Bestimmen der Wahrscheinlichkeiten mithilfe von Zählstrategien

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1 R. Brinmann Seite Bestimmen der Wahrscheinlicheiten mithilfe von Zählstrategien Die bisherigen Aufgaben zur Wahrscheinlicheitsrechnung onnten im Wesentlichen mit übersichtlichen Ergebnisbäumen bearbeitet werden. Doch diese Methode hat ihre Grenzen. Das zeigt schon allein das Beispiel des mehrmaligen Wurfes eines Würfels. Geordnete Stichprobe mit Zurüclegen. Beispiel: Ein Würfel wird mal geworfen. Nach dem Urnenmodell bedeutet das, dass aus einer Urne, die Kugeln mit den Nummern bis enthält, mal mit Zurüclegen eine Kugel gezogen wird. A: Mit jedem Wurf, bzw. Zug erhält man eine 4. a) Wie groß ist die Wahrscheinlicheit bei jedem der Würfe bzw. Züge eine 4 zu erhalten? b) Wie viele Elemente enthält die Ergebnismenge (Anzahl aller Möglicheiten)? / Stufe Äste / Stufe 2 = Äste = 2 / / Stufe 3 3 = Äste 2 3 / 4 P( A ) =... mal 5 Stufe... = Äste mal Erstellt von R. Brinmann p9_w_rechnung_09.doc :27 Seite von 2

2 R. Brinmann Seite a) Da es sich bei dem Versuch um ein Laplace Experiment handelt, wo für alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlicheit angenommen werden ann, gilt für die Wahrscheinlicheit nach jeder Stufe eine 4 zu erhalten: P( A ) =... = = mal b) Da die Anzahl der Äste im Baumdiagramm sich mit jeder Stufe versechsfachen, gilt für die te Stufe:... = Äste, das ist genau die Anzahl aller Möglicheiten. mal Die Anzahl der Möglicheiten lässt sich auch über die Wahrscheinlicheit der Einzelergebnisse finden. Für jedes Einzelergebnis gilt: P( e i ) = Da aber die Summe der Wahrscheinlicheiten aller Einzelergebnisse sein muss, lässt sich daraus auch die Anzahl aller Möglicheiten berechnen: x = x = Verallgemeinert man diese Gesetzmäßigeit derart, dass man sagt: In einer Urne befinden sich n gleichartige Kugeln mit den Nummern, 2,..., n, wobei mal mit zurüclegen gezogen wird, dann ist die Anzahl der Möglicheiten n. Mere: Aus n verschiedenen Elementen einer Menge erhält mandurch - faches Ziehen * n n... n= n n, N geordnete Stichproben mit Zurüclegen. mal ( ) Beispiel: Bei der Fußballwette (Toto) muss man für Spiele an einem Wochenende vorhersagen, ob die Heimmannschaft gewinnt (Tipp: ) oder die Gastmannschaft (Tipp: 2) oder ob beide Mannschaften unentschieden spielen (Tipp: 0). a) Wie viele Möglicheiten gibt es, einen Toto Tippzettel auszufüllen? b) Wie groß ist die Wahrscheinlicheit für einen Tipp mit richtigen? Lösung: a) Modellierung mit dem Urnenmodell: Eine Urne enthält drei Kugeln mit den Nummern 0; und 2. Es wird mal gezogen mit Zurüclegen. n = 3 Ergebnismenge für einen Zug: E = { 0;;2} = Das Zufallsexperiment ist - stufig. Anzahl der möglichen Ergebnisse: x = n = 3 = 7747 b) Da es nur einen möglichen Tipp mit richtigen gibt, ist die Wahrscheinlicheit hierfür: 7747 Erstellt von R. Brinmann p9_w_rechnung_09.doc :27 Seite 2 von 2

3 R. Brinmann Seite Übung: Ein Fahrradschloss (Zahlenschloss) besteht aus vier unabhängig voneinander beweglichen Rädern, die jeweils Ziffern ( von bis ) enthalten. Das Schloss öffnet sich nur bei einer ganz bestimmten Zahlenombination. Wie viele Stellungen (Zahlenombinationen) hat das Fahrradschloss und wie groß ist die Wahrscheinlicheit, bei der ersten Einstellung das Schloss zu öffnen? Lösung: Modellierung mit dem Urnenmodell: Eine Urne enthält n = Kugeln mit den Nummern bis. Es wird = 4 mal gezogen mit Zurüclegen. 4 Die Anzahl der Zahlenonbinationen beträgt: n = = 29 Die Wahrscheinlicheit mit einem Versuch die richtige Kombination zu finden ist 0, Übung: Aus den 2 Buchstaben des Alphabets werden nacheinander blind drei Buchstaben mit Zurüclegen entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlicheit dreimal denselben Buchstaben zu ziehen? Lösung: Modellierung mit dem Urnenmodell: Eine Urne enthält n = 2 Kugeln mit den Buchstaben A bis Z. Es wird = 3 mal gezogen mit Zurüclegen. 3 Die Anzahl der Buchstabenonbinationen beträgt: n = 2 = 757 Die Wahrscheinlicheit bei drei Ziehungen z. B. 3 mal den Buchstaben A zu ziehen ist mal B, bzw. C oder irgend einen anderen Buchstaben zu ziehen hat jeweils die gleiche Wahrscheinlicheit. Es gibt mit den 2 Buchstaben des Alpabets insgesamt 2 günstige Fälle. Damit ist die Wahrscheinlicheit, drei gleiche Buchstaben zu ziehen: ,0048 Geordnete Stichprobe ohne Zurüclegen. Beispiel: In einer Urne liegen 4 Kugeln mit den Farben rot, gelb, grün und blau. Man zieht eine Kugel, registriert die Nummer, legt die Kugel zur Seite und wiederholt den Vorgang. Insgesamt sind 4 Züge möglich, dann ist die Urne leer. Wie viele Elemente enthält die Ergebnismenge (Anzahl aller Möglicheiten)? Erstellt von R. Brinmann p9_w_rechnung_09.doc :27 Seite 3 von 2

4 R. Brinmann Seite Stufe 4 Äste Stufe 2 ( ) 4 4 Äste Stufe Äste ( ) ( ) Stufe Äste ( ) ( ) ( ) Wie aus dem Baumdiagramm leicht abzulesen ist, verringert sich von Stufe zu Stufe die Anzahl der Äste um. Die Anzahl der Möglicheiten ist 4 ( 4 ) ( 4 2) ( 4 3) = = 24 Die aus dem Baumdiagramm abzulesende Gesetzmäßigeit lässt sich verallgemeinern. Betrachtet man nun eine Urne mit n Kugeln nummeriert von bis n und führt Züge ohne zurüclegen durch, so gilt für die Anzahl der Möglicheiten: n n n 2 n 3... n + ( ) ( ) ( ) ( ) Ein Produt, bei dem jeder Folgefator um erniedrigt wird, nennt man Faultät nennt man 4 - Faultät und schreibt 4! Für die Zahl n gilt somit n! = n n n 2 n n! lies n - Faultät ( n )! = ( n ) ( n ) ( n 2 ) oder in Kurzform ( n )! = ( n ) Der Ausdruc n ( n ) ( n 2) ( n 3 )... ( n + ) lässt sich wir folgt umformen: n ( n ) ( n 2) ( n 3 )... ( n + ) ( n ) n! = n n! ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Erstellt von R. Brinmann p9_w_rechnung_09.doc :27 Seite 4 von 2

5 R. Brinmann Seite Mere: Aus n verschiedenen Elementen einer Menge erhält mandurch - faches Ziehen ( n ) ( n 2) ( n 3 )... ( n ) + = geordnete Stichproben ohne Zurüclegen. Festlegung: 0! = und! = n! ( n )! Beispiel: Ein Computerprogramm ist durch ein Passwort geschützt. Dieses Passwort besteht aus 4 unterschiedlichen Buchstaben. a) Wie viele Passwörter sind möglich? b) Mit welcher Wahrscheinlicheit ann der Code mit einem Versuch genact werden? Lösung: a) Es stehen alle 2 Buchstaben des Alphabets genau einmal zur Verfügung. Für den ersten Buchstaben des Wortes ommen alle 2 Buchstaben des Alphabets, für den zweiten nur noch 25 Buchstaben in Frage usw. Es handelt sich um eine geordnete Stichprobe ohne Zurüclegen. Aus n = 2 Buchstaben werden = 4 Buchstaben gezogen. n! 2! Anzahl der Möglicheiten: = = = ( n )! 22! b) Da es nur einen richtigen Code gibt, wird die Erfolgswahrscheinlicheit unmittelbar berechnet: P( A) = 0, Übung: In einer Lostrommel befinden sich Lose mit den Nummern bis. Ein Spieler zieht nacheinander drei Lose. Zieht er in der Reihenfolge die Nummern 2, 4 und, so hat er gewonnen. Berechnen Sie die Wahrscheinlicheit für einen Gewinn. Lösung: Zuerst wird die Anzahl der Möglicheiten berechnet, von diesen gibt es nur eine, die zum Gewinn führt, nämlich die Zahlenfolge 2, 4,. Es handelt sich um eine geordnete Stichprobe ohne Zurüclegen. Aus n = Zahlen werden = 3 Zahlen gezogen. n!! Anzahl der Möglicheiten: = = = 5 4 = 20 ( n )! 3! 3 2 P( A) = 0, Erstellt von R. Brinmann p9_w_rechnung_09.doc :27 Seite 5 von 2

6 R. Brinmann Seite Ungeordnete Stichprobe ohne Zurüclegen. Beispiel: Bei der Ziehung der Lottozahlen werden Zahlen aus insgesamt 49 Zahlen gezogen. Dabei handelt es sich um ein Ziehen ohne zurüclegen. n! 49! Die Anzahl der Möglicheiten als geordnete Stichprobe ist: = ( n )! 43! Da es bei der Ziehung nicht auf die Reihenfolge der gezogenen Zahlen anommt, verringert sich die Anzahl der Möglicheiten um den Teil, wie oft sich die gezogenen Zahlen anordnen lassen. Werden z. B. die Zahlen 3, 2, 7, 22, 3 und 4 gezogen, so ann man sie auch in der Form 7, 22, 4, 3, 3 und 2 anordnen. Das hat für den Gewinn eine Bedeutung. Um die Anzahl der Möglicheiten beim Lotto herauszufinden, müssen wir Anzahl der möglichen Vertauschungen der Zahlen herausfinden. Oder anders ausgedrüct, wir müssen herausfinden, auf wie viele verschiedene Arten sich diese Zahlen anordnen lassen. Die Lösung lässt sich leicht durch ein Urnenexperiment finden. In einer Urne befinden sich n = Kugeln mit den Nummern von bis. Zieht man nun der Reihe nach (Ziehen ohne Zurüclegen) = mal, bis die Urne leer ist, dann hat man alle Möglicheiten gefunden, die Zahlen anzuordnen. n!!!!! ( n )! = ( )! = 0! = = Wird aus einer Urne mit n Elementen solange gezogen (Ziehen ohne Zurüclegen), bis die Urne leer ist, dann ist, dann spricht man von einer geordneten Vollerhebung. In diesem Fall ist n =. Mere: Für n verschiedene Elemente gibt es n! Vollerhebungen. Mit anderen Worten: Eine Menge aus n unterschiedlichen Elementen lässt sich auf n! verschiedene Arten anordnen. Kommen wir zurüc zu unserem Lotto Beispiel. Bisher haben wir ermittelt wie viele Möglicheiten es gibt, aus 49 Zahlen Zahlen zu ziehen. Da es bei der Auswertung nicht auf die Reihenfolge der gezogenen Zahlen anommt, muss die Anzahl der Möglicheiten durch! geteilt werden. Damit wird die Anzahl der Möglicheiten im Lotto richtige zu haben: n! 49! = = = ! n!! 43! ( ) Mere: Wählt man aus einer Menge mit n verschiedenen Elementen Elemente aus, dann ist die Anzahl der ungeordneten Stichproben ohne Zurüclegen n n! =! ( n )! n Der Ausdruc ( lies n über ) heißt Binomialoeffizient. Erstellt von R. Brinmann p9_w_rechnung_09.doc :27 Seite von 2

7 R. Brinmann Seite Beispiel: Aus einem Kartenspiel mit 32 Karten werden 4 Karten gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlicheit dafür, dass dies 4 Buben sind? Lösung: Ungeordnete Stichprobe ohne Zurüclegen. n = 32; = 4 Anzahl der Möglicheiten: n n! 32! = = = = 3590! ( n )! 4! 28! P( A) = 0, Übung: Aus einem Kartenspiel mit 32 Karten werden 8 Karten gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlicheit dafür, dass dies 8 Karo Karten sind? Lösung: Aus einem Kartenspiel mit 32 Karten werden 8 Karten gezogen.<br> Wie groß ist die Wahrscheinlicheit dafür, dass dies 8 Karo - Karten sind? n = 32; = 8 Anzahl der Möglicheiten: n n! 32! = = = = ! ( n )! 8! 24! P( A) = Etwas anspruchsvollere Taschenrechner haben für die oben genannten Formeln Funtionstasten, mit denen der Rechenvorgang sehr vereinfacht werden ann. Für den TI 30 eco RS von Texas Instruments gilt beispielsweise: Speziell Allgemein 8 x 2 2 y 8 = 25 n n y =... 2! n! 2 2nd npr 4 = n 2nd npr =... 4! n! 32 n 32 2nd ncr 4 = 3590 n 2nd ncr = ! 4 x! = 24 n! n x! =... ( 2 ) ( ) x Erstellt von R. Brinmann p9_w_rechnung_09.doc :27 Seite 7 von 2

8 R. Brinmann Seite Zusammenfassung: Anordnung von Elementen: Anzahl der Möglicheiten:! Geordnete Stichprobe mit Zurüclegen: Anzahl der Möglicheiten: n mal ziehen ( ) Geordnete Stichprobe ohne Zurüclegen: n! Anzahl der Möglicheiten: mal ziehen n! ( ) ( ) Ungeordnete Stichprobe ohne Zurüclegen: n n! Anzahl der Möglicheiten: =! ( n )! mal ziehen n n Eas gilt: 0! =! = und = = 0 Lotto aus 49 Wahrscheinlicheit für weniger als richtige und Zusatzzahl. Vorüberlegung: Die Definition der Wahrscheinlicheit für das Eintreten eines Ereignisses A ist wie folgt definiert: ( ) ( ) P A = Anzahl aller Möglicheiten, die zu A gehören Anzahl aller Möglicheiten des Zufallsversuchs Beim deutschen Lotto werden aus 49 Zahlen angereuzt. Die Anzahl der Möglicheiten diese zu tun ist 49! = = = 39838! 43! Die Anzahl der Möglicheiten von Gewinnzahlen genau anzureuzen ist! = =! 0! Das Ereignis, dessen Wahrscheinlicheit bestimmt werden soll lautet: A: sechs richtige im Lotto Zu A gehört genau eine Möglicheit von insgesamt Möglicheiten. Erstellt von R. Brinmann p9_w_rechnung_09.doc :27 Seite 8 von 2

9 R. Brinmann Seite Damit ist P( A) = 0, die Wahrscheinlicheit bei einem Tipp genau richtige zu haben. Als neues Ereignis definieren wir B: 4 richtige im Lotto. Das bedeutet, von den Gewinnzahlen wurden 4 angereuzt, 2 der angereuzten Zahlen gehören zu den 49 = 43 nicht Gewinnzahlen. Die Anzahl der Möglicheiten von Gewinnzahlen 4 anzureuzen ist! 5 30 = = = = 5 4 4! 2! 2 2 Die Anzahl der Möglicheiten von den 43 nicht Gewinnzahlen 2 anzureuzen ist: 43 43! = = = = ! 4! 2 2 Damit ist die Anzahl der Möglicheiten für 4 richtige im Lotto: 43 = = Zu B gehören also insgesamt 3545 Möglicheiten von insgesamt Möglicheiten Damit ist P( B) = 0, die Wahrscheinlicheit bei einem Tipp genau 4 richtige zu haben. Folgendes Schema soll noch mal die Notwendigeit der Multipliation von 5 mit 903 veranschaulichen: aus 43 In einer Zeile bleiben die angereuzten ggggnn... ggggnn Gewinnzahlen (gggg) gleich, die angereuzten nicht Gewinnzahlen (nn) ändern sich ggggnn... ggggnn 4 aus In einer Spalte bleiben die angereuzten nicht Gewinnzahlen (nn) gleich, die angereuzten Gewinnzahlen (gggg) ändern sich. Erstellt von R. Brinmann p9_w_rechnung_09.doc :27 Seite 9 von 2

10 R. Brinmann Seite Als neues Ereignis definieren wir C: 5 richtige mit Zusatzzahl. Anzahl der Möglicheiten für: 5 Gewinnzahlen angereuzt ( 5 aus ) = 5 Zusatzzahl angereuzt ( aus ) = 42 0 nicht Gewinnzahlen angereuzt ( 0 aus 42) = PC ( ) = = = 0, Ist die Wahrscheinlicheit bei einem Tipp genau 5 richtige mit Zusatzzahl zu haben. Zusatzinformationen zum Lotto In Deutschland betreibt der Deutsche Lotto- und Totobloc Zusammenschluss der Landes-Lotteriegesellschaften das Lottospiel. Man ann zusätzlich am Spiel Super und Spiel 77 teilnehmen. Zu den Zahlen werden zudem noch eine Zusatzzahl und eine Superzahl gezogen. Die Zusatzzahl wird aus den restlichen 43 Kugeln als siebte, nach den ersten Zahlen, gezogen. Sie erhöht bei den niedrigeren Gewinnlassen den Gewinn um eine Stufe. Demgegenüber ergibt sich die Superzahl (nur) für den Jacpot aus den Zahlen 0 bis 9 aus der letzten Ziffer, der auf der Spielquittung bereits eingedructen Spiel 77 - beziehungsweise Super -Nummer. Das ist sozusagen ein weiteres Los - allerdings mit der Auswirung, dass diese Chance um das Zehnfache niedriger wird. Erstellt von R. Brinmann p9_w_rechnung_09.doc :27 Seite 0 von 2

11 R. Brinmann Seite Gewinnlassen: Gewinnlasse Anz. der richtigen Wahrscheinlicheit bei einem Tipp Klasse mit Superzahl = 0, Klasse 2 = 0, Klasse 3 5 mit Zusatzzahl = 0, Klasse = 0, Klasse 5 4 mit Zusatzzahl = 0, Erstellt von R. Brinmann p9_w_rechnung_09.doc :27 Seite von 2

12 R. Brinmann Seite Klasse = 0, Klasse 7 3 mit Zusatzzahl = 0, Klasse = 0, = 0, = 0, = 0, Erstellt von R. Brinmann p9_w_rechnung_09.doc :27 Seite 2 von 2