H -Reglerentwurfsverfahren

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1 Stephanie Geist H -Reglerentwurfsverfahren 1 H -Reglerentwurfsverfahren Übung Mehrgrößenregelsysteme, Sommersemester Anne-Kathrin Hess 1 Fachgebiet Regelungssysteme Technische Universität Berlin GERMANY 1 Diese Präsentation geht teilweise auf die Arbeit von Stephanie Geist zurück

2 Stephanie Geist H -Reglerentwurfsverfahren 2 Inhalt 1 H -Standardproblem 2 S/KS/T-Problem 3 NLKF-Problem

3 Stephanie Geist H -Reglerentwurfsverfahren 3 Funktionen in RH RH Die Menge aller asymptotisch stabilen realisierbaren Übertragungsfunktionen bezeichnet man mit RH, d.h. Zählergrad Nennergrad, alle Pole liegen links der imaginären Achse.

4 Stephanie Geist H -Reglerentwurfsverfahren 4 H -Reglerentwurf Idee: Entwurt eines Reglers, der das System stabilisiert quantitative Regelkreiseigenschaften erfüllt robust ist, gegenüber Modellunsicherheiten und Störungen Regler soll diese Anforderungen möglichst gut erfüllen Optimierung Je nach Anwendung, verschiedene Kostenfunktionale für Optimierungsproblem S/KS/T-Problem ( mixed sensitivity problem ) NLKF-Problem (H -loop shaping) Beide Probleme können in ein H -Standardproblem überführt werden.

5 Stephanie Geist H -Reglerentwurfsverfahren 5 H -Reglerentwurf Ansatz: Verallgemeinerter Regelkreis [ ] [ ] [ ] z P11 P e = 12 w P 21 P 22 u }{{} :=P z e P (s) u w P - verallgem. Streckenmodell K(s) Übertragungsfunktion des verallgemeinerten Regelkreises F(P, K) = wz 1 = P 11 + P 12 K(I P 22 K) 1 P 21 (1) Voraussetzung für H -Reglerentwurf: P 12, P 21 besitzen vollen Spaltenrang ω

6 Stephanie Geist H -Reglerentwurfsverfahren 6 H -Standardproblem Optimierung: H -Standardproblem inf stabilisierende K(s) P 11 + P 12 K(I P 22 K) 1 }{{ P 21 } F(P,K) (2) S/KS/T- und NLKF-Problem führen zu verschiedenen F(P, K) Minimierung der Energieverstärkung des in F(P, K) spezifizierten Übertragungsverhaltens H -Norm Für F(s) RH p q ist die H -Norm definiert: F(s) := sup σ[f(jω)] = sup ω ω max w(jω) 0 F(jω)w(jω). (3) w(jω)

7 Stephanie Geist H -Reglerentwurfsverfahren 7 Inhalt 1 H -Standardproblem 2 S/KS/T-Problem 3 NLKF-Problem

8 Stephanie Geist H -Reglerentwurfsverfahren 8 S/KS/T-Problem (mixed sensitivity problem) Annahmen: kein Messrauschen η = 0 keine Führungsgröße r = 0 Spezielle Ziele: Stabilität gute Unterdrückung von Störungen d am Streckenausgang: e(s) = S(s)d (s) mit S = (I + GK) 1... Sensitivitätsfunktion Robustheit gegenüber multiplikativen Fehlern σ[t (jw)] < 1 l mit T = (I + m(w) GK) 1 GK... komplementäre Sensitivitätsfunktion und l m (w) ist die frequenzabh. obere Schranke des multiplikativen Fehlers es gilt y(s) = T (s)d(s) geringe Stellgliedaktivität u(s) = K(s)S(s)d(s) Minimierung der Energieübertragung von d auf e, y, u noch besser: Wichtung der einzelnen Anforderungen

9 Stephanie Geist H -Reglerentwurfsverfahren 9 Verallgemeinerter Regelkreis Darstellung des verallgemeinerten Regelkreises für das S/KS/T-Problem WS w Wi WKS z WT K e u G P (s) [ ] [ ] [ ] z P11 P e = 12 w P 21 P 22 u }{{} :=P W S W i P(s) = 0 0 W i W S G W KS W T G G

10 Stephanie Geist H -Reglerentwurfsverfahren 10 S/KS/T-Problem (mixed sensitivity problem) H -Optimierungsproblem inf stabilisierende K(s) W S(s)S(s) W KS (s)k(s)s(s) W i (s) W T (s)t (s) }{{} F S/KS/T (4) e(s) = S(s)(r(s) d(s)) (5) e(s) = T (s)η(s) (6) u(s) = K(s)S(s)(r η d) (7) S = (I + GK) 1 (8) T = (I + GK) 1 GK (9) S + T = I (10)

11 Stephanie Geist H -Reglerentwurfsverfahren 11 Beispiel: Aufgabe 7.1 Wahl von W s = w s I : Bode-Diagramm des Fehlermodels g d und 1 w s = s Bode Diagram g d (s) 1/w 1,s Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec)

12 Beispiel: Aufgabe 7.1 Wahl von W s : Erzeugen einer asymptotisch stabilen Gewichtsmatrix: 1 40 Bode Diagram w s = s Magnitude (db) g d (s) 1/w 1,s 1/w 2,s Phase (deg) Frequency (rad/sec) Stephanie Geist H -Reglerentwurfsverfahren 12

13 Stephanie Geist H -Reglerentwurfsverfahren 13 Inhalt 1 H -Standardproblem 2 S/KS/T-Problem 3 NLKF-Problem

14 Stephanie Geist H -Reglerentwurfsverfahren 14 NLKF-Entwurf - Ziel I Ziel I: Maximale Robustheit der Stabilität gegenüber faktorisierenden Modellfehlern Theorem Der Regelkreis (G r = ( M + M ) 1 (Ñ + N), K) ist asymptotisch stabil für alle asymptotisch stabilen M, N mit σ [ M (jω) N (jω) ] < l MN (ω), wenn, und nur dann wenn, 1 der Regelkreis (G, K) asymptotisch stabil ist, 2 [ S(jω) σ M ] 1 (jω) 1 K(jω)S(jω) M 1 (jω) l MN (ω) ω.

15 Stephanie Geist H -Reglerentwurfsverfahren 15 NLKF-Entwurf - Ziel I Ziel I: Maximale Robustheit der Stabilität gegenüber faktorisierenden Modellfehlern Theorem Der Regelkreis (G r = ( M + M ) 1 (Ñ + N), K) ist asymptotisch stabil für alle asymptotisch stabilen M, N mit σ [ M (jω) N (jω) ] < l MN (ω), wenn 1 der Regelkreis (G, K) asymptotisch stabil ist, 2 [ ] I S(s) K(s) M 1 (s) 1 supl MN (ω) (11)

16 Stephanie Geist H -Reglerentwurfsverfahren 16 NLKF - Entwurf - Ziel II Ziel II: Erreichen von gewünschten quantitativen Regelkreiseigenschaften Einschränkung des Optimierungsproblems Vorgabe eines gewünschten Verlaufes der Singulärwerte der Frequenzgangmatrix Q(jω) = G(jω)K(jω) Verwendung eines gewichteten Streckenmodells G w (jω) := W a (jω)g(jω)w e (jω) (12) Wahl der Gewichte W a und W e, so dass der Verlauf der Singulärwerte von G w (jω) dem gewünschten Verlauf der Singulärwerte von Q(jω) entsprechen: σ i [G w (jω)] = σ i,wunsch [Q(jω)] (13)

17 Stephanie Geist H -Reglerentwurfsverfahren 17 NLKF - Problem - gewichtetes Kostenfunktional gewichtetes NLKF-Problem [ ] I 1 inf (I + G stabilisierende K w (s) K w (s) w (s)k w (s)) M 1 w (s) }{{} F NLKF 1 ρ wmax (14) mit K = W e K w W a und G w = 1 M w Ñw ρ wmax... maximale Stabilitätsreserve ρ wmax 1 eine hohe Robustheit wird erreicht und σ i [G w (jω)] σ i,wunsch [Q(jω)] ρ wmax 1 Robustheitsanforderungen und quantitative Anforderungen sind nicht vereinbar Anpassung von σ i,wunsch [Q(jω)] erforderlich neue Wahl von W e und W a

18 Stephanie Geist H -Reglerentwurfsverfahren 18 Verallgemeinerter Regelkreis Darstellung des verallgemeinerten Regelkreises für das NLKF-Problem in (14) z w M w 1 (s) Kw(s) e u Gw(s) P (s) [ ] [ ] [ ] z P11 P e = 12 w P 21 P 22 u }{{} :=P (15) [ ] [ ] M 1 w (s) Gw (s) P(s) = 0 I (16) 1 M w (s) G w (s)

19 Stephanie Geist H -Reglerentwurfsverfahren 19 Robustifizierung eines Reglers Grundgedankte Meist ist die Wahl von W a und W e nicht sehr intuitiv, da noch kein Regler K und damit auch noch keine offene Kette Q gegeben ist. ABER: Wenn schon ein Regler K entworfen wurde, welcher die quantitative Anforderungen für ein nominelles Modell gut erfüllt aber nicht robust ist, kann der NLKF-Entwurf zur Robustifizierung dieses Regelers verwendet werden, d.h. es wird ein Regler mit gleichen quantitativen Eigenschaften, aber maximaler Robustheit entworfen.

20 Stephanie Geist H -Reglerentwurfsverfahren 20 Robustifizierung eines Reglers Vorgehensweise Der Verlauf der Singulärwerte von Q(jω) des Regelkreises mit dem bereits vorhandenen Regler wird als gewünschter Verlauf für den Reglerentwurf vorgeben. G w (jω) := G(jω)K(jω) (17) Die Gewichte W e und W a werden entsprechend gewählt. z.b. Wahl der Gewichte für K as. stabil: W a = I, W e = K Der Reglerentwurf wird über die Minimierung des Kostenfunktionals (14) durchgeführt. (z.b. mit Hilfe der Funktion h inf in Scilab) der Robuste Regler kann dann wie folgt berechnet werden: Robustifizierter Regler K rob = W e K W W a