Mathematische Grundlagen in Biologie und Geowissenschaften Kurs 2004/2005

Transkript

1 Ina Kersten Mathematische Grundlagen in Biologie und Geowissenschaften Kurs 2004/2005 TgX-Bearbeitung von Ben Müller und Christian Kierdorf Universitätsdrucke Göttingen 2004

2 Zahlen und Abbildungen 10 1 Aufbau des Zahlsystems Natürliche Zahlen Ganze Zahlen Rationale Zahlen Reelle Zahlen Komplexe Zahlen Der n-dimensionale Raum Aufgaben 17 2 Abbildungen Definitionsbereich und Wertemenge Injektive, surjektive und bijektive Abbildungen Umkehrabbildung Kompositum von Abbildungen Aufgaben 22 Analysis 23 3 Folgen und Grenzwerte Beispiele Konvergenz von Folgen Nullfolgen Summenschreibweise Ratenzahlungen Geometrische Reihe Unendliche Reihen Majorantenkriterium für unendliche Reihen..., Bestimmte Divergenz gegen ±oo Aufgaben 31 4 Stetige Funktionen Der Funktionsbegriff 33 MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN IN BIOLOGIE UND GEOWISSENSCHAFTEN, UNIVERSITÄT GÖTTINGEN 2004

3 4.2 Der Graph einer Funktion Grenzwerte von Funktionen Stetigkeit Umkehrfunktion Lineare Funktionen Quadratische Funktionen vgerade und ungerade Funktionen Die Betragsfunktion Sinus und Cosinus Die Exponentialfunktion Gaußsche Glockenkurve Allgemeine Potenz Aufgaben 46 5 Differentialrechnung Differenzenquotient Differentialquotient Differenzierbare Funktionen Beispiele Differentiationsregeln Umkehrregel Berechnung einiger Ableitungen Mittelwertsatz Lokale Extrema Kurvendiskussion Aufgaben Ableitungstest 60 6 Integralrechnung Integrierbarkeit Mittelwertsatz Stammfunktion Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Konventionen Berechnung einiger Integrale Partielle Integration Substitutionsmethode Uneigentliche Integrale Integrale mit unendlichen Grenzen Aufgaben 69 7 Differentialgleichungen 1. Ordnung Was ist eine Differentialgleichung? Trennung der Variablen Übersicht von Differentialgleichungen 1. Ordnung 73 MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN IN BIOLOGIE UND GEOWISSENSCHAFTEN, UNIVERSITÄT GÖTTINGEN 2004

4 7.4 Die Differentialgleichung y' = a(x)y Übungsbeispiel Anwendungsbeispiel Aufgaben 76 8 Kurven imm 77 9 Funktionen mehrerer Veränderlicher Reellwertige Funktionen Der Graph einer Funktion Stetigkeit Offene Mengen im B" Partielle Ableitungen Höhere partielle Ableitungen Extremalstellen Extremalbedingungen bei zwei Veränderlichen Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen Aufgaben 91 Diskrete Mathematik Kombinatorik Anzahl geordneter fc-tupel ohne Wiederholung Anzahl geordneter fc-tupel mit Wiederholung Anzahl von fc-kombinationen mit Wiederholung Anzahl von fc-kombinationen ohne Wiederholung Zusammenfassung der Ergebnisse Urnenmodell BinomialkoefRzienten Anzahl der Teilmengen einer endlichen Menge Binomialsatz Ein weiteres kombinatorisches Problem Polynomialsatz Aufgaben Rekursionsprobleme Fibonacci-Problem Fibonacci-Rekursion Weitere Rekursionen Kubische Gleichungen Aufgaben 108 Lineare Algebra Vektorrechnung Vektoren ime" Addition von Vektoren 111 MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN IN BIOLOGIE UND GEOWISSENSCHAFTEN. UNIVERSITÄT GÖTTINGEN 2004

5 12.3 Multiplikation mit einem Skalar Skalarprodukt Orthonormalbasis Normierung auf Länge Beispiel Lineare Unabhängigkeit und Basis Vektorprodukt Spatprodukt Aufgaben Matrizenrechnung Definition Addition von Matrizen und Skalarmultiplikation Produkt von Matrizen Diagonalmatrizen Transponierte Matrix Determinante Determinante einer 3 x 3-Matrix Regeln für die Determinante Formel für die inverse Matrix Aufgaben Lineare Gleichungssysteme Geraden im R Lineare Gleichungssysteme mit 2 Unbekannten Matrizenschreibweise Gaußscher Algorithmus Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems Cramersche Regel Aufgaben Lineare Abbildungen Definition Bemerkung Beispiele für lineare Abbildungen Darstellung durch Matrizen Eigenwerte und Eigenvektoren Aufgaben 155 Resultate der Aufgaben r 157 Symbolverzeichnis 167 Literaturverzeichnis 169 Index 171 MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN IN BIOLOGIE UND GEOWISSENSCHAFTEN, UNIVERSITÄT GÖTTINGEN 2001