Kapitel 2. Folgen und ihre Konvergenz

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1 Kapitel 2 Folgen und ihre Konvergenz

2 Zur Erinnerung Denition. Eine Folge (reeller Zahlen) ist eine Funktion von N 0 nach R. Schreibweisen. Im Falle einer Folge f : N 0 R schreibt man an Stelle von f (n) üblicherweise f n mit n N 0. Zudem schreibt man an Stelle von f : N 0 R üblicherweise (f n ) n N0. Manchmal schreibt man eine Folge auch auf in der Form f 0, f 1, f 2, f 3, f 4,.... Denition. Die Zahl f n heiÿt das Folgenglied zum Index n. Schreibweise. Beliebte Wahlen von Buchstaben sind n oder m (oder i) oder j oder ν (sprich: nü, das n des griechischen Alphabets) für den Index und a, b, c,..., genauer: a n, b b, c n,... für die Folgenglieder.

3 Abschnitt 2.1 Konvergenz von Folgen

4 Das Beispiel der Heron-Folge, 1 In Abschnitt 1.4 wurde für a R beliebig mit a 1 die Folge (H n ) n N0 deniert durch H 0 := a und H n+1 := 1 ) (H n + ahn für n N 0. 2 Für diese wurde insbesondere gezeigt a Hn für alle n N 0 und H n+1 a = H n (H n a ) 2 für alle n N 0. Durch Ausprobieren (und vielleicht auch Ausnutzen der obigen Gleichung für die Dierenz von H n+1 und a) sieht man, dass die Folgenglieder H n immer bessere Näherungen für die Zahl a liefern.

5 Das Beispiel der Heron-Folge, 2 Genauer gilt: Gibt man eine Genauigkeit ε > 0 vor, etwa ε = 1 10 oder auch ε = 1, so braucht man nur mit dem Index n hinreichend groÿ zu werden, damit das Folgenglied H n um weniger als ε von a abweicht, also: H n a < ε für n hinreichend groÿ. Anmerkungen. Bei der bislang betrachteten Situation für die Heron-Folge ist sogar 0 H n a < ε. Rechnet man aber die entsprechende Folge mit dem Startwert a durch, dass man auch den Fall in Betracht ziehen sollte, dass das Folgenglied kleiner als der anzunähernde Wert ist. Statt H n a < ε könnte man auch H n a ε verlangen, also, dass H n um höchstens ε von a abweicht (und nicht um weniger als ε). Dies sind zwei verschiedene Bedingungen; läÿt man aber ε variieren, so liefern sie im folgenden das Gleiche.

6 Das Beispiel der Heron-Folge, 3 Das ist fast schon die formale Dention für Konvergenz; man muÿ sich aber noch genauer überlegen, was hinreichend groÿ heiÿen soll. Dazu gibt es (mindestens) zwei Möglichkeiten: 1. Es gibt überhaupt einen Index n, so dass gilt H n a < ε. 2. Für jeden Index n ab einer von ε abhängenden natürlichen Zahl n(ε) gilt H n a < ε. Die zweite Fassung ist oenbar restriktiver als die erste; sie entspricht aber auch der Aussage, dass die H n mit wachsendem n immer bessere Näherungen für a liefern. Und für diese, zweite, Fassung hat man sich auch bei der allgemeinen Denition entschieden:

7 Denition der Konvergenz von Folgen Denition: Sei (a n ) n N0 eine Folge. Eine reelle Zahl a heiÿt Grenzwert (oder Limes) der Folge (a n ) n N0, wenn gilt: Zu jedem ε > 0 gibt es eine (von ε abhängende) natürliche Zahl n(ε), so dass für alle n N 0 mit n n(ε) gilt Man schreibt in diesem Falle a n a < ε. a = lim n a n. Eine Folge, die einen Grenzwert a besitzt, heiÿt konvergent; genauer sagt man häug, dass sie gegen a konvergiert. Eine Folge, die keinen Grenzwert besitzt, heiÿt divergent. Eine Folge (a n ) n heiÿt Nullfolge, wenn sie gegen 0 konvergiert, d. h., wenn lim n a n = 0 gilt.

8 Bemerkung: Weglassen von Anfangsgliedern Die Folge (a n ) n N0 konvergiert genau dann gegen eine Zahl a, wenn dies für die Folge (a n ) n N zutrit, entsprechend für die Folge (a n ) n N {1} usw. Allgemeiner: Das Fortlassen oder Hinzufügen von endlich vielen Folgengliedern ändert nicht das Konvergenzverhalten einer Folge. Insbesondere wird bei Konvergenzuntersuchungen häug nur die Folge (a n ) n hingeschrieben anstelle von (a n ) n N0 bzw. (a n ) n N usw..

9 Bemerkung: Eindeutigkeit des Grenzwertes Jede Folge (a n ) n kann höchstens einen Grenzwert haben: Wären a und b zwei verschiedene Grenzwerte von (a n ) n, so wäre ε := a b /2 > 0. Wegen der Konvergenz von (a n ) n gegen a gäbe es dann ein n(ε), so dass für alle n n(ε) gilt a n a < ε. Entsprechend gäbe es ein n (ε), so dass für alle n n (ε) gilt a n b < ε. Man wähle nun ein n, das sowohl gröÿergleich n(ε) als auch gröÿergleich n (ε) ist, etwa n = max {n(ε), n (ε)}. Dann gälte aufgrund der Voraussetzungen und der Dreiecksungleichung: a b = a a n + a n b a a n + a n b < ε + ε = a b, also ein Widerspruch. Daher kann in der Tat eine Folge höchstens einen Grenzwert besitzen; insbesondere ist die Schreibweise a = lim n a n eindeutig.

10 Beschreibung der Divergenz bzw. der Nicht-Konvergenz gegen a, 1 Dass eine Folge (a n ) n divergiert, ist nach Denition gleichbedeutend damit, dass sie gegen keine reelle Zahl a konvergiert. Sei a R beliebig, im Folgenden aber fest. Dann ist die Aussage Die Zahl a ist kein Grenzwert von (a n ) n. gleichbedeutend mit: Es stimmt es nicht, dass es zu jedem ε > 0 ein n(ε) N 0 gibt, so dass für alle n n(ε) gilt a n a < ε. mit anderen Worten: Es gibt ein ε > 0, zu dem es kein n(ε) N 0 gibt, so dass für alle n n(ε) gilt a n a < ε.

11 Beschreibung der Divergenz bzw. der Nicht-Konvergenz gegen a, 2 mit anderen Worten: Es gibt ein ε > 0, so dass für alle n(ε) N 0 gilt: Es ist falsch, dass für alle n n(ε) gilt a n a < ε. mit anderen Worten: Es gibt ein ε > 0, so dass für alle n(ε) N 0 gilt: Es gibt ein n n(ε), für das nicht gilt a n a < ε. mit anderen Worten: Es gibt ein ε > 0, so dass für alle n(ε) N 0 gilt: Es gibt ein n n(ε), für das gilt a n a ε.

12 Beispiel: Die konstante Folge Ist a eine reelle Zahl, so nimmt die konstante Folge (a n ) n mit a n := a nur den Wert a an. Sie konvergiert dann auch gegen a: Für beliebiges ε kann man einfach n(ε) := 0 oder auch n(ε) := 1 setzen.)

13 Beispiel: Die Folge der Stammbrüche, 1 Bei der Folge der Stammbrüche ( ) 1, also 1, n n N 1 1 2, 1 3, 1 4, 1 5,... gewinnt man schnell den Verdacht, dass diese gegen 0 konvergiert. Dies soll jetzt bewiesen werden: Sei dazu ε > 0 beliebig. Gesucht ist eine natürliche Zahl n(ε), so dass für alle n n(ε) gilt 1 n 0 < ε. Dies ist aber gleichbedeutend mit 1 n < ε, also mit 1 n < ε, also mit 1 < n ε, also mit n > 1/ε.

14 Beispiel: Die Folge der Stammbrüche, 2 Mithin bietet es sich an, n(ε) wie folgt zu denieren: Wegen ε > 0 ist 1/ε eine (positive) reelle Zahl. Also gibt es aufgrund des Archimedischen Axioms eine natürliche Zahl n(ε) mit n(ε) > 1 ε. Für jedes n N mit n n(ε) gilt dann 1 n 1 n(ε) 1 n 0 = 1 n = 1 n 1 n(ε) < ε. und somit Da ε > 0 beliebig war, ist damit die Konvergenz der Folge ( 1 n ) n 1 gegen 0 nachgewiesen.

15 Beispiel: Die Folge der Stammbrüche, 4 Praktisch wortgleich beweist man Die Folge ( ( 1) n+1 1 ) n n N konvergiert gegen 0. Betrachtet man sozusagen als Gegenstücke zu diesen Folgen die Folge (n) n der natürlichen Zahlen oder auch die Folge ( ( 1) n+1 n ) der natürlichen Zahlen mit n wechselndem Vorzeichen, so gewinnt man schnell den Verdacht, dass diese nicht konvergieren, etwa, weil sie über alle Grenzen wachsen. In der Tat gilt der folgende allgemeine

16 Konvergenz und Beschränktheit, 1 Satz. Jede konvergente Folge ist beschränkt. Jede unbeschränkte Folge ist divergent. Beweis. Man braucht nur die erste Aussage zu zeigen, da die zweite deren logische Kontraposition ist. Sei also (a n ) n eine gegen den Grenzwert a konvergente Folge. Dann gibt es zu ε = 1 ein n(1), so dass für alle n n(1) gilt a n a < 1. Sei M das Maximum der endlich vielen (!) Zahlen a 0, a 1,..., a n(1) 1, a + 1. Dann gilt für jedes n N 0 mit n < n(1), dass a n M, und für jedes n N 0 mit n n(1), dass a n = a n a + a a n a + a < 1 + a M. Also ist (a n ) n in der Tat beschränkt, und zwar durch M.

17 Konvergenz und Beschränktheit, 2 Die Umkehrung des Satzes gilt leider nicht. Dies belegt das folgende Beispiel. Die Folge (( 1) n ) n N0, also +1, 1, +1, 1, +1, 1,..., ist oenbar durch 1 beschränkt. Sie besitzt aber keinen Grenzwert: Als mögliche Grenzwerte kämen nur +1 und 1 in Frage, da alle Folgenglieder gleich +1 oder 1 sind. Es ist aber +1 kein Grenzwert, denn: Setze ε := 1. Ist dann n(ε) irgendeine natürliche Zahl, so sei n die kleinste ungerade natürliche Zahl, die gröÿergleich n(ε) ist. Dann gilt ( 1) n 1 = 1 1 = 2 = 2 > 1 = ε. Also ist +1 kein Grenzwert der Folge (( 1) n ) n.

18 Konvergenz und Beschränktheit, 3 Ähnlich sieht man ein, dass auch 1 kein Grenzwert dieser Folge ist: Man kann wieder ε := 1 setzen und braucht dann nur dafür zu sorgen, dass n gröÿergleich dem vorgegebenen n ε und gerade ist. Anmerkung. Man kann die Situation des obigen Beispiels so beschreiben, dass die Folge (( 1) n ) n aus zwei Teilfolgen besteht, von denen die eine gegen +1 und die andere gegen 1 konvergiert. Hierzu gibt es das formale Konzept des Häufungspunktes einer Folge, das ist der Grenzwert eines Teils der gegebenen Folge.

19 Abschnitt 2.2 Rechenregeln für konvergente Folgen

20 Rechenregeln für konvergente Folgen, 1 Satz 1. Seien (a n ) n und (b n ) n konvergente Folgen. 1. Dann konvergieren auch die Folgen (a n + b n ) n und (a n b n ) n, und es gilt: lim n + b n ) n = lim n + lim n, n n lim n b n ) n = lim n lim n. n n 2. Dann konvergiert auch die Folge (a n b n ) n, und es gilt lim (a n b n ) = lim a n lim b n. n n n 3. Es gelte lim b n 0. Dann gibt es ein n 0 N 0, so dass für alle n ( n n 0 gilt b n 0, die Folge an b konvergiert, und es gilt n )n n 0 a n lim = n b n lim a n n lim b n n.

21 Rechenregeln für konvergente Folgen, 2 Beweis: Sei a := lim a n und b := lim b n. n n zu 1. Sei ε > 0 beliebig. Dann ist auch ε/2 > 0. Da (a n ) n und (b n ) n gegen a bzw. b konvergieren, gibt es also ein n(ε/2) und ein n (ε/2), so dass für alle n N 0 mit n n(ε/2) gilt a n a < ε/2 und für alle Zahlen n N 0 mit n n (ε/2) gilt b n b < ε/2. Setze N(ε) := max{n(ε/2), n (ε/2)}. Dann gilt für alle n N 0 mit n N(ε), dass (a n + b n ) (a + b) = (a n a) + (b n b) und a n a + b n b < ε/2 + ε/2 = ε (a n b n ) (a b) = (a n a) + (b b n ) a n a + b b n < ε/2 + ε/2 = ε. Da ε > 0 beliebig war, ist damit die Konvergenz von (a n + b n ) n gegen a + b und die von (a n b n ) n gegen a b nachgewiesen.

22 Rechenregeln für konvergente Folgen, 3 zu 2. Der Trick bei diesem Beweis ist, die Dierenz a n b n a b geschickt zu schreiben, nämlich als a n b n a b = a n b n a b n +a b n a b = (a n a) b n +a (b n b). Sei nun ε > 0 beliebig. Da die Folge (b n ) n konvergiert, ist sie nach dem Satz aus Abschnitt 2.1 beschränkt. Also gibt es eine reelle Zahl M > 0 mit M a und M b n für alle n N 0. Dann ist auch ε/(2m) > 0. Da (a n ) n und (b n ) n gegen a bzw. b konvergieren, gibt es ein n(ε/(2m)) und ein n (ε/(2m)), so dass für alle n N 0 mit n n(ε/(2m)) gilt a n a < ε/(2m) und für alle n N 0 mit n n (ε/(2m)) gilt b n b < ε/(2m).

23 Rechenregeln für konvergente Folgen, 4 Setze m(ε) := max {n (ε/(2m)), n (ε/(2m))}. Dann gilt für alle n N 0 mit n m(ε), dass a n b n a b = (a n a) b n + a (b n b) a n a b n + a b n b < ε/(2m) M + M ε/(2m) = ε/2 + ε/2 = ε. Da ε > 0 beliebig war, ist damit die Konvergenz von (a n b n ) n gegen a b nachgewiesen.

24 Rechenregeln für konvergente Folgen, 5 zu 3. Existenz von n 0. Nach Voraussetzung konvergiert (b n ) n gegen b, wobei b 0, also b > 0 gilt. Mithin darf man ε := b /2 setzen. Dazu gibt es ein n 0 N 0, so dass für alle n N 0 mit n n 0 gilt b n b < ε und daher b = b b n + b n b n b + b n < ε + b n = b /2 + b n, also b n > b /2 > 0, mithin insbesondere b n 0.

25 Rechenregeln für konvergente Folgen, 6 Spezialfall a n = 1 für alle n N 0. Für alle n N 0 mit n n 0 gilt 1 b n 1 b = b b n b n b. Sei ε > 0 beliebig. Man setze ε := 1 2 ε b 2. Da (b n ) n gegen b konvergiert, gibt es ein n(ε ) N 0, so dass für alle n N 0 mit n n(ε ) gilt b n b < ε. Für alle n N 0 mit n n 0 gilt aufgrund des eben Gezeigten b n > b /2. Somit ergibt sich für alle n N 0 mit n n(ε) := max {n(ε ), n 0 }, dass 1 1 = b b n = 1 b n b b n b b n b b 1 n b < b 2 1 b ε = 2 b ε b 2 = ε. Da ε > 0 beliebig war, ist damit die Konvergenz der Folge ( 1 b n )n n 0 gegen 1 b nachgewiesen.

26 Rechenregeln für konvergente Folgen, 7 Allgemeinfall. Sei nun wieder (a n ) n eine beliebige konvergente Folge mit Grenzwert a. Für jedes n n 0 gilt dann a n 1 = a n. b n b n Aufgrund ( des eben bewiesenen Spezialfalles konvergiert die Folge 1 ) b n gegen 1 n n 0 b. Wegen der bereits bewiesenen! Aussage 2. konvergiert also auch die Folge und zwar gegen ( an b n ) n n 0 = ( a n 1 b n )n n 0 lim a 1 n lim = a 1 n n b n b = a b.

27 Anwendungen: Konstante Faktoren, Verhalten rationaler Funktionen, 1 Folgerung aus Aussage 2. von Satz 1. Ist (a n ) n eine gegen a konvergente Folge und c eine reelle Zahl, so konvergiert auch die Folge (c a n ) n und zwar gegen c a. Es seien und p(x) := a j x j + a j 1 x j a 1 x + a 0 q(x) := b k x k + b k 1 x k b 1 x + b 0 zwei Polynome mit reellen Koezienten. Es soll die Folge ( ) ( p(n) aj n j ) + a j 1 n j a 1 n + a 0 = q(n) n b k n k + b k 1 n k b 1 n + b 0 n auf Konvergenz untersucht werden.

28 Anwendungen: Verhalten rationaler Funktionen, 2 Beispiel. Man untersuche die Folge ( ) n 3 7n + 5 3n 3 + 5n n Trick. Man klammere aus Zähler und Nenner jeweils die höchste auftretende Potenz von n aus. Für alle n N gilt n 3 7n + 5 = n 3 (1 7 1n + 5 1n ) 2 3 und 3n 3 + 5n = n 3 ( n + 6 1n ). 3 Bereits in Abschnitt 2.1 wurde gezeigt, dass 1 lim n n = 0.

29 Anwendungen: Verhalten rationaler Funktionen, 3 Wegen Satz 1, Aussage 2 folgt daraus 1 lim n n = 2 und entsprechend lim 1 n n 1 n = lim 1 n n lim 1 n n = 0 0 = 0 1 lim n n = 0. 3 Aufgrund der obigen Folgerung aus Satz 1 folgt daraus lim 7 1 n n = 7 0 = 0, 2 lim 5 1 n n = 5 0 = 0, 3 lim 5 1 n n = 5 0 = 0, lim 6 1 n n = 6 0 = 0. 3 Wegen Satz 1, Aussage 1. folgt daraus wiederum (1 7 1 n ) = = 1 2 n 3 und lim n lim ( n n ) = = 3 0. n 3

30 Anwendungen: Verhalten rationaler Funktionen, 4 Für alle n N gilt ( ) n 3 7n + 5 3n 3 + 5n = n n 2 n 3 n 3 ( n + 6 ) = n 2 n n 3 n n 3 Wegen Satz 1, Aussage 3 folgt aber aus dem Obigen so dass sich insgesamt ergibt lim n n lim 2 n 3 n n + 6 = 1 1 3, n 3 n 3 7n + 5 3n 3 + 5n = lim n 2 n 3 n n + 6 = n 3 Hinweis. Dadurch, dass Zähler und Nenner der rationalen Funktion den gleichen Grad, nämlich 3, hatten, haben sich die beiden jeweils ausgeklammerten Potenzen von n weggekürzt. Falls die Grade von Zähler und Nenner ) verschieden sind, kann es auch vorkommen, dass die Folge ( p(n) q(n) n divergiert.

31 Rechenregeln für Nullfolgen Eine Folge (a n ) n heiÿt bekanntlich Nullfolge, wenn sie gegen 0 konvergiert Satz 2. Seien (a n ) n und (b n ) n Nullfolgen. 1. Dann sind auch die Folgen (a n + b n ) n und (a n b n ) n Nullfolgen. 2. Ist (c n ) n eine beschränkte Folge, so ist auch (a n c n ) n eine Nullfolge. 3. Ist (d n ) n eine Folge mit d n a n für alle n, so ist auch (d n ) n eine Nullfolge. Beweis. Klar bzw. Übungsaufgabe Warnung: In 2. ist in der Tat erforderlich, dass (a n ) n eine Nullfolge ist. Setzt man nur voraus, dass (a n ) n konvergiert, so braucht bei beschränkter Folge (c n ) n die Folge (a n c n ) n nicht einmal konvergent zu sein, wie das (Gegen)Beispiel mit a n := 1 und c n := ( 1) n für n N 0 belegt.

32 Zusammenhang von konvergenten Folgen und Nullfolgen Nach Denition sind Nullfolgen Spezialfälle konvergenter Folgen. Umgekehrt kann man aber auch beliebige konvergente Folgen auf Nullfolgen zurückführen: Satz 3. Sei (a n ) n eine Folge und a eine reelle Zahl. Genau dann konvergiert (a n ) n gegen a, wenn (a n a) n eine Nullfolge ist. Beweis. Übungsaufgabe

33 Abschnitt 2.3 Konvergenzkriterien

34 Konvergenzkriterien, 1 Satz 1. Seien (a n ) n, (b n ) n und (c n ) n Folgen. Es gelte Für alle n ist an b n c n. Die Folgen (an ) n und (c n ) n konvergieren gegen denselben Grenzwert d. Dann konvergiert auch (b n ) n gegen den Grenzwert d. Beweis. Da die Folgen (a n ) n und (c n ) n beide gegen d konvergieren, gilt nach Satz 1 in Abschnitt 2.2, Aussage 1, lim (c n a n ) = n lim c n lim a n = d d = 0, n n d. h., die Folge (c n a n ) n ist eine Nullfolge.

35 Konvergenzkriterien, 2 Nach Voraussetzung gilt weiterhin für alle n N 0, dass a n b n c n, also 0 b n a n c n a n und daher b n a n c n a n. Aufgrund von Satz 2 in Abschnitt 2.2, Aussage 3 ist mit (c n a n ) n daher auch (b n a n ) n eine Nullfolge, d. h., es gilt lim (b n a n ) = 0. n Wegen Satz 1 in Abschnitt 2.2, Aussage 1 folgt aus der Konvergenz der Folgen (b n a n ) n und (a n ) n die der Folge (b n a n + a n ) n = (b n ), wobei gilt lim b n = n lim (b n a n ) + lim a n = 0 + d = d. n n

36 Konvergenzkriterien, 3 Satz 2. (Satz von Bolzano-Weierstraÿ) Jede monoton wachsende und nach oben beschränkte Folge ist konvergent (und zwar gegen ihr Supremum). Jede monoton fallende und nach unten beschränkte Folge ist konvergent (und zwar gegen ihr Inmum). Beweis. Sei (a n ) n N0 eine monoton wachsende und nach oben beschränkte Folge. (Der Beweis für den Fall, dass (a n ) n N0 monoton fallend und nach unten beschränkt ist, verläuft analog.) Dann ist die Menge M := {a n : n N 0 } nach oben beschränkt und nicht leer. Aufgrund des Supremumsprinzips besitzt M also überhaupt ein Supremum s R. Es bleibt nachzuweisen, dass gilt lim a n = s : n

37 Konvergenzkriterien, 4 Als Supremum von M ist s die kleinste obere Schranke von M. Insbesondere gilt somit für alle n N 0, dass a n s. Sei nun ε > 0 beliebig vorgegeben. Da s die kleinste obere Schranke von M ist, ist dann s ε keine obere Schranke von M. Also gibt es ein N(ε) N 0, so dass gilt s ε < a N(ε). Da (a n ) n monoton wachsend ist, gilt a n a N(ε) für alle n N 0 mit n N(ε). Mithin gilt für alle n N 0 mit n N(ε), dass s ε < a N(ε) a n s < s + ε

38 Konvergenzkriterien, 5 ist, also a n s < ε. Da ε > 0 beliebig war, ist damit die Konvergenz der Folge (a n ) n gegen s nachgewiesen. Denition. Eine Folge (a n ) n heiÿt Cauchy-Folge, wenn es zu jedem ε > 0 ein N(ε) N 0 gibt, so dass für alle m, n N 0 mit m, n N(ε) gilt a m a n < ε.

39 Konvergenzkriterien, 6 Satz 3 (Cauchysches Konvergenzkriterium). Eine Folge reeller Zahlen ist genau dann konvergent, wenn sie eine Cauchy-Folge ist. Beweis. Sei zunächst (a n ) n eine gegen a konvergente Folge. Um nachzuweisen, dass (a n ) n dann auch eine Cauchy-Folge ist, sei ε > 0 beliebig gegeben. Dann ist auch ε/2 > 0. Da (a n ) n gegen a konvergiert, gibt es ein N(ε/2) N 0, so dass für alle n N 0 mit n N(ε/2) gilt a n a < ε/2. Dann gilt für alle m, n N(ε/2), dass a m a n = a m a + a a n a m a + a a n < ε/2+ε/2 = ε. Da ε > 0 beliebig war, ist damit nachgewiesen, dass (a n ) n eine Cauchy-Folge ist.

40 Konvergenzkriterien, 7 Sei nun umgekehrt vorausgesetzt, dass (a n ) n eine Cauchy-Folge ist. Als erstes wird gezeigt, dass (a n ) n dann beschränkt ist: Man setze dazu ε = 1. Dann gibt es ein N(1) N 0, so dass für alle m, n N 0 mit m, n N(1) gilt a n a m < 1. Insbesondere ist dann a n a N(1) < 1 für alle n N 0 mit n N(1). Mit M := max { a 0, a 1,..., a N(1) 1, a N(1) + 1 } gilt dann a n M für alle n N 0, so dass die Folge (a n ) n in der Tat beschränkt ist.

41 Konvergenzkriterien, 8 Mit der Folge (a n ) n, also der Menge {a n : n N 0 } ist dann auch für jedes m N 0 die Menge {a µ : µ N 0, µ m} beschränkt. Aufgrund des Supremums- bzw. des Inmumsprinzip existieren daher sowohl ihr Supremum als auch ihr Inmum: s m := sup {a µ : µ N 0, µ m}, i m := inf {a µ : µ N 0, µ m}. Dabei ist die Folge (s m ) m monoton fallend und durch die untere Schranke M der Menge {a n : n N 0 } nach unten beschränkt. Analog ist die Folge (i m ) m monoton wachsend und durch die obere Schranke +M der Menge {a n : n N 0 } nach oben beschränkt. Unter Verwendung des Satzes von Bolzano-Weierstraÿ folgt daraus die Existenz der Grenzwerte a := lim m s m und b := lim m i m.

42 Konvergenzkriterien, 9 Sei nun ε > 0 beliebig vorgegeben. Wegen a := lim s m und b := lim i m gibt es dann ein m m N a (ε/5) N 0 und ein N b (ε/5) N 0, so dass für alle m N 0 mit m N a (ε/5) gilt s m a < ε/5 und für alle n N 0 mit n N a (ε/5) gilt i n b < ε/5. Sei nun N N 0 beliebig mit N max {N a (ε/5), N a (ε/5)}.

43 Konvergenzkriterien, 10 Da s N = sup {a ν : ν N 0, ν N} die kleinste obere Schranke von {a ν : ν N 0, ν N} ist, gilt einerseits für alle ν N 0 mit ν N, dass a ν s N < a + ε/5, und andererseits, dass es ein m (N) N 0 mit m (N) N gibt, so dass gilt a m (N) > s N ε/5. Analog ergibt sich, dass zum einen für alle ν N 0 mit ν N gilt b ε/5 < i N a ν und es zum anderen ein n (N) N 0 gibt mit n (N) N und a n (N) < i N + ε/5.

44 Konvergenzkriterien, 11 Falls N max {N a (ε/5), N b (ε/5)} ist, gilt also für alle ν N, dass b ε/5 < a ν < a + ε/5. Um die Konvergenz der Folge (a n ) n nachzuweisen, reicht es im Folgenden also aus zu zeigen, dass gilt a = b. Annahme. Es gilt a b. Setze dann ε := a b > 0. Da auch ε/5 > 0 und (a n ) n eine Cauchy-Folge ist, gibt es dann ein N(ε/5), so dass für alle m, n N 0 mit m, n N(ε/5) gilt a m a n < ε/5.

45 Konvergenzkriterien, 12 Sei nun N := max {N(ε/5), N a (ε/5), N a (ε/5)}. Dann gibt es nach dem Obigen m, n + N 0 mit m, n N, so dass gilt und Aus s N a m (N) > s N ε/5, also a m (N) s N < ε/5 i N a n (N) < i N + ε/5, also a n (N) i N < ε/5. a b = a s N + s N a m (N ) + a m (N ) a n (N ) + a n (N ) i N + i N b folgt dann wegen m, n N = max {N(ε/5), N a (ε/5), N a (ε/5)}, dass

46 Konvergenzkriterien, 13 a b a s N + s N a m (N ) + a m (N ) a n (N ) + a n (N ) i N + i N b < ε/5 + ε/5 + ε/5 + ε/5 + ε/5 = ε = a b. Dies ist aber ein Widerspruch! Entstanden ist dieser aus der Annahme, dass a b ist. Somit muss in der Tat a = b sein.

47 Abschnitt 2.4 Weitere Beispiele

48 Zur Erinnerung: Der binomische Satz, 1 Denition. Für n N 0 setze man ( ) n n! := für k Z mit 0 k n, k k!(n k)! ( ) n := 0 sonst. k Die so denierten Zahlen heiÿen Binomialkoezienten. Beispiele. Für n N 0 beliebig gilt ( ) ( ) ( ) n n n = 1 =, 0 n 1 allgemein für k Z beliebig ( ) n = k = n = ( ) n. n k ( ) n, n 1

49 Zur Erinnerung: Der binomische Satz, 2 Bemerkung. Für alle n N 0 und alle k Z ( n ist k) eine natürliche Zahl. Der binomische Lehrsatz. Es seien a, b R und n N 0 beliebig. Dann gilt n ( ) n (a + b) n = a n k b k, k also k=0 (a + b) n ( ) ( ) ( ) n n n = a n 0 b 0 + a n 1 b 1 + a n 2 b ( ) ( ) n n + a n (n 2) b n 2 + a n (n 1) b n 1 n 2 n 1 ( ) n + a n n b n n = a n + na n 1 b + ( ) n 2 a n 2 b ( n n 2) a 2 b n 2 + nab n 1 + b n.

50 Die geometrische Folge, 1 Satz: Sei q R. Dann konvergiert die geometrische Folge (q n ) n genau dann, wenn q ] 1, 1] gilt. Im Falle q ] 1, 1[ ist der Grenzwert gleich 0. Beweis. Im Falle q = 0 und im Falle q = 1 liegen konstante und mithin konvergente Folgen vor. Im Falle q = 1 liegt die Folge (( 1) n ) n vor, die bereits in Abschnitt 2.1 als divergent nachgewiesen wurde. Mithin bleibt nur noch zu zeigen, dass die Folge (q n ) n im Falle q > 1 divergiert und im Falle 0 < q < 1 konvergiert. Im Falle q > 1 ist s := q 1 > 0. Wegen q = 1 + s liefert dann der Binomische Lehrsatz, dass für alle n N 0 gilt q n = q n = (1 + s) n = n k=0 ( ) n 1 n k s k 1 + ns. k

51 Die geometrische Folge, 2 Da s > 0 gilt, ist die Folge ( q n ) nicht nach oben beschränkt, also n nicht beschränkt. Daher ist auch die Folge (q n ) n nicht beschränkt und daher nach dem Satz aus Abschnitt 2.1 nicht konvergent. Ist jedoch 0 < q < 1, so setze man r := 1 q. Dann ist r > 1. Schreibt man analog wie eben r = 1 + s mit s > 0, so erhält man entsprechend für n N beliebig r n 1 + ns, also q n = 1 r n ns 1 ns = 1 s 1 n. Mit ( ) 1 n ist nach der Folgerung aus Aussage 2. von Satz 1 in n 1 Abschnitt 2.2 auch ( 1 s ) 1 n eine Nullfolge. Aufgrund von n 1 Aussage 3. von Satz 2 aus dem gleichen Abschnitt folgt somit aus der obigen Abschätzung, dass ( q n ) n und damit auch (q n ) n eine Nullfolge ist.

52 Die (strikte) Bernoullische Ungleichung, 1 Für alle x R mit x > 1, x 0 und alle n N mit n 2 gilt (1 + x) n > 1 + n x. Beweis (durch Induktion nach n). Induktionsanfang. Wegen x 0 ist x 2 > 0, also (1 + x) 2 = 1 + 2x + x 2 > 1 + 2x, so dass die Behauptung für n = 2 gilt. Induktionsschluÿ. Sei n 2 eine natürliche Zahl, für die die strikte Bernoullische Ungleichung gilt, also (1 + x) n > 1 + n x.

53 Die (strikte) Bernoullische Ungleichung, 2 Wegen x > 1, also 1 + x > 0 und x 0, also x 2 > 0 und damit auch n x 2 > 0 folgt daraus (1 + x) n+1 = (1 + x) n (1 + x) also die Behauptung für n + 1. > (1 + n x) (1 + x) = 1 + n x + x + n x 2 > 1 + (n + 1)x, Aufgrund des Prinzips der vollständigen Induktion ist damit die Behauptung für alle n N mit n 2 bewiesen.

54 Denition von e, 1 Die Folge (e n ) n sei deniert durch ( e n := ) n für n N n und die Folge (d n ) n durch ( d n := 1 1 ) n für n N. n Dann gilt für alle n N, dass ( e n d n = ) n ( 1 1 ) n = n n ( 1 1 n 2 ) n.

55 Denition von e, 2 Hilfssatz. Die Folge (d n ) n 1 ist streng monoton wachsend. Beweis. Wegen d 1 = 0 und d 2 = 1 4 reicht es, die Folge (d n) n 2 zu betrachten. Sei n N mit n 2 beliebig. Dann ist insbesondere 1 1 n 0 und daher d n 0. Wegen 1 1 n n = n+1 1 n+1 n 1 n = n n+1 n 1 n = n2 n 2 1 = n = n 2 1 n 2 1 gilt d n+1 d n = = ) n+1 ( 1 1 ( ) n n+1 ( n+1 ( ) 1 1 n = 1 1 ) 1 1 n n n ( ) n+1 ( 1 1 ). n 2 1 n

56 Denition von e, 3 Man wende nun die strikte Bernoullische Ungleichung an für n + 1 anstelle von n und x := 1. (Oenbar gilt x > 1 und x 0.) n 2 1 Dann ergibt sich d n+1 d n = > = ( ) n+1 ( 1 1 ) n 2 1 n ( ) ( (n + 1) 1 1 ) n 2 1 n ( ) n 1 = n n 1 n n 1 n 1 n = 1. Also ist der Hilfssatz bewiesen.

57 Denition von e, 4 Satz. Die Folgen (d n ) n und (e n ) konvergieren. Bezeichnet man ihre Grenzwerte mit d bzw. e, so gilt e d = 1. Beweis: Die Folge (d n ) n ist wegen d n = ( 1 n) 1 n durch 1 nach oben beschränkt und aufgrund des Hilfssatzes streng monoton wachsend, also nach dem Satz von Bolzano-Weierstraÿ (Satz 2 aus Abschnitt 2.3) konvergent. Ihr Grenzwert sei mit d bezeichnet. Dann ist d > 0, da alle Folgenglieder d n mit n 2 positiv sind und die Folge streng monoton wächst. Für alle n N ist e n d n = ( ) n. 1 1 n Aufgrund der 2 Bernoullischen Ungleichung mit x := 1 gilt dabei für alle n 2, n 2 dass ( ) n 1 > 1 n n 2 n = n.

58 Denition von e, 5 Da sowohl die konstante Folge (1) n als auch die Folge (( ) 1 1 n ) n n gegen 1 konvergiert, folgt hieraus mittels Satz 1 aus Abschnitt 2.3, dass gilt ( 1 = lim 1 1 ) n = lim n n (e 2 n d n ). n Wegen lim d n = d 0 folgt daraus mittels Satz 1 aus n Abschnitt 2.2, Aussage 3 die Konvergenz der Folge ( ) en d n (e n ) n = d n n und zwar gegen lim (e n d n ) n lim d = 1 n d. n

59 Denition von e, 6 Setzt man also e := lim n e n, so gilt e d = 1. Denition. Die Zahl ( e := lim ) n n n heiÿt Eulersche Zahl. (Ihr Wert beträgt ungefähr 2, )

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