Kompaktheit und gleichgradige Stetigkeit. 1 Einführung in die Kompaktheit in C 0

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1 Kompaktheit ud gleichgradige Stetigkeit Vortrag zum Prosemiar zur Aalysis, Mao Wiescherma Matthias Klupsch Dieser Vortrag beschäftigt sich mit Kompaktheit vo Teilräume vom Raum der stetige Abbilduge zwische metrische Räume (M, d M ) ud (N, d N ), de wir mit C 0 (M, N) bezeiche. Hierbei werde meistes M = [a, b] ei abgeschlossees Itervall, N = R ud d M, d N die jeweils durch de Betrag iduzierte Metrike sei. Deshalb werde wir kurz C 0 := C 0 ([a, b], R) schreibe. Es soll die Frage geklärt werde, welche Teilmege vo C 0 kompakt sid ud wa Fuktioefolge i C 0 Häufugspukte besitze. 1 Eiführug i die Kompaktheit i C 0 I diesem Abschitt zeige wir, warum der Raum der stetige Fuktioe bei der Betrachtug vo Kompaktheit Probleme bereite ka. Zuvor och eie (1.1) Bemerkug (Norm ud Metrik) Auf C 0 lässt sich die folgede Norm defiiere: f = sup{ f (x) x [a, b] }. Die dadurch auf C 0 iduzierte Metrik ist gegebe durch d( f, g) := sup{ f (x) g(x) x [a, b] }. Bezüglich dieser Metrik ist C 0 vollstädig, das heißt, dass alle Cauchy-Folge i C 0 kovergiere. Im Folgede werde ur diese Norm ud diese Metrik auf C 0 verwedet.

2 Kompaktheit ud gleichgradige Stetigkeit 1 Eiführug i die Kompaktheit i C 0 Eiführedes Beispiel Zuächst erier wir a de (1.2) Satz (vo Heie-Borel) Für eie Teilmege A R m mit m N sid folgede Aussage äquivalet: a) A ist kompakt. b) A ist abgeschlosse ud beschräkt. Dabei gilt die Folgerug a) b) sogar für beliebige metrische Räume, die Umkehrug muss allerdigs icht immer zutreffe, wie wir och sehe werde. Nach Heie-Borel sid abgeschlossee ud beschräkte Räume im R m also stets kompakt. Im C 0 gilt das i dieser Form icht. (1.3) Lemma Die abgeschlossee Eiheitskugel B = { f C 0 ([0, 1], R) f 1 } ist abgeschlosse ud beschräkt, aber keie kompakte Teilmege vo C 0. Zuächst zeige wir die Abgeschlosseheit ud Beschräktheit vo B. Abgeschlosseheit: Sei ( f ) N eie kovergete Folge i B mit Grezwert f. Da f 1 ud die Norm stetig ist, folgt 1 lim f = f, also liegt f i B. Somit ist B abgeschlosse. Beschräktheit: Betrachte g : [0, 1] R mit g(x) = 0 für alle x [0, 1]. Da ist B { f C 0 ([0, 1], R) f < 2 } = U 2 (g), wobei U 2 (g) die 2-Umgebug um g bezeichet. Damit ist B abgeschlosse als Teilmege eier ε-umgebug. B ist aber icht kompakt: Die Folge f : [0, 1] R mit f (x) = x für N ist eie Folge i B, sie besitzt aber keie kovergete Teilfolge. Ageomme sie würde eie kovergete Teilfolge ( f k ) k N habe ud ihr Grezwert sei f. Da wäre { 0 falls x = 1, f (x) = 1 falls x = 1. Aber f ist icht stetig ud damit liegt der Grezwert f vo ( f k ) k N icht i C 0. Der Grud für die Problematik ist, dass der Raum C 0 uedlich-dimesioal ist. Im Folgede werde wir erläuter, uter welche zusätzliche Bediguge eie abgeschlossee ud beschräkte Teilmege vo C 0 kompakt ist. Es folgt ei kleier Hilfssatz, de wir später beötige werde. 2

3 Kompaktheit ud gleichgradige Stetigkeit 1 Eiführug i die Kompaktheit i C 0 (1.4) Lemma Sei (M, d) ei metrischer Raum ud A M kompakt. Da gilt: a) A besitzt eie höchstes abzählbare, dichte Teilmege. b) Sei D dicht i A. Zu jedem δ > 0 gibt es eie edliche Teilmege D δ vo D, sodass es zu jedem a A ei x D δ gibt mit d(x, a) < δ. a) Zu N defiiere U 1 = { U 1 (a) a A }. Offesichtlich hadelt es sich bei U 1 um eie offee Überdeckug vo A. Da A kompakt ist, gibt es eie edliche Teilmege I 1 welche weiterhi A überdeckt. Zu jedem U I 1 wähle ei a U A mit U = U 1 (a U ). Defiiere da für N D 1 = { a U U I 1 }. Nu gibt es zu jedem N ud a A ei x D 1 mit d(x, a) < 1. Da ist D := D 1 N als abzählbare Vereiiguge edlicher Mege abzählbar ud damit eie abzählbare Teilmege vo A. Sei u a A beliebig. Da gibt es zu jedem N ei a D 1 mit d(a, a ) < 1. Zu ε > 0 wähle 0 > 1 ε, da ist d(a, a ) < ε für alle 0. Also kovergiert die Folge (a ) N gege a. Da a beliebig war, ist jedes a A Häufugspukt vo D ud damit D = A. b) Zu δ > 0 defiiere U δ := { U δ (y) y D }. Da D dicht i A liegt, gibt es zu jedem a A ei y D mit a U δ (y), also ist U δ eie offee Überdeckug vo A. Da A kompakt ist, gibt es eie edliche Teilmege I δ = {U 1,..., U } vo U δ mit N, welche weiterhi A überdeckt. Zu jedem 1 k wähle ei y k D mit U k = U δ (y k ), da ist die gesuchte Mege gegebe durch D δ := { y k 1 k }. Da jede kompakte Mege dicht i sich selbst liegt, ka (1.4) b) auch ohe explizite Neug eier dichte Teilmege verwedet werde. 3

4 Kompaktheit ud gleichgradige Stetigkeit 1 Eiführug i die Kompaktheit i C 0 Gleichgradige Stetigkeit Nu wolle wir die für diese Vortrag etscheidee Defiitio agebe: (1.5) Defiitio (Gleichgradige Stetigkeit) Sei (M, d) ei metrischer Raum ud ( f ) N eie Folge vo Fuktioe i C 0 (M, R). i) ( f ) N heißt puktweise gleichgradig stetig, falls zu jedem ε > 0 ud jedem x M ei δ > 0 existiert, sodass für alle N ud alle t [a, b] mit d(x, t) < δ folgt: f (x) f (t) < ε. ii) ( f ) N heißt gleichmäßig gleichgradig stetig, falls zu jedem ε > 0 ei δ > 0 existiert, sodass für alle N ud alle s, t M mit d(s, t) < δ folgt: f (s) f (t) < ε. Dabei ist zu beachte, dass δ ur vo ε ud icht vo abhäge darf. Gleichmäßig gleichgradige Stetigkeit werde wir im Folgede als gleichgradige Stetigkeit bezeiche. Diese Defiitio lässt sich leicht auf Mege vo Fuktioe erweiter. Sei E C 0 (M, R) eie Mege vo Fuktioe. Da heißt E gleichgradig stetig, falls zu jedem ε > 0 ei δ > 0 existiert, sodass für alle f E ud alle s, t M mit d(s, t) < δ folgt: f (s) f (t) < ε. Dabei hägt δ icht vo eiem spezielle f ab. (1.6) Beispiele 1. Ist die Mege E C 0 edlich, so ist sie gleichgradig stetig. 2. Die Folge f : [0, 2π] R, x cos(x) mit N ist icht gleichgradig stetig. zu 1. Sei E = { f 1, f 2,, f }, da ist f k für jedes k stetig ud wege der Kompaktheit vo [a, b] sogar gleichmäßig stetig. Für jedes k ud ε > 0 gibt es also ei δ k > 0, sodass für alle s, t [a, b] mit s t < δ k gilt: f k (s) f k (t) < ε. Defiiere δ = mi{ δ k k }, da gilt für alle k ud alle s, t [a, b] mit s t < δ : Damit ist E gleichgradig stetig. f k (s) f k (t) < ε. 4

5 Kompaktheit ud gleichgradige Stetigkeit 2 Der Satz vo Heie-Borel für C 0 zu 2. Sei ε = 1 ud δ > 0 beliebig. Wähle N so groß, dass 2 π < δ, da ist ( π ) ( cos(0) π ) f (0) f = cos = Hervorzuhebe bei diesem Beispiel ist die Tatsache, dass alle f gleichmäßig stetig (da stetig auf dem kompaktem Defiitiosbereich) ud zusätzlich auch och beschräkt sid (da cos(x) 1 für alle N, x R), trotzdem aber ( f ) N icht gleichgradig stetig ist. 2 Der Satz vo Heie-Borel für C 0 Jetzt wolle wir begie, die Kompaktheit vo Mege vo Fuktioe im C 0 zu aalysiere. Der Satz vo Arzela-Ascoli Zuächst wede wir us eiem grudlegede Satz über gleichgradige Stetigkeit zu. Er beschreibt de Zusammehag zwische gleichgradiger Stetigkeit ud gleichmäßiger Kovergez. (2.1) Satz (Satz vo Arzela-Ascoli) Jede beschräkte ud gleichgradig stetige Folge vo Fuktioe i C 0 ([a, b], R) besitzt eie gleichmäßig kovergete Teilfolge. Sei ( f ) N eie beschräkte ud gleichgradig stetige Folge vo Fuktioe i C 0. Sei D := {d 1, d 2,... } eie höchstes abzählbare, dichte Teilmege vo [a, b]. Diese existiert ach 1.4 a), möglich wäre zum Beispiel D = Q [a, b]. Da ist ( f (d 1 )) N eie beschräkte Folge reeller Zahle. Nach dem Satz vo Bolzao-Weierstrass existiert eie kovergete Teilfolge, die i R kovergiert, also f 1,k (d 1 ) y 1 für k. Da ist wieder ( f 1,k (d 2 )) k N eie beschräkte Folge, die ebefalls eie i R kovergete Teilfolge ( f 2,k (d 2 )) k N besitzt, also f 2,k (d 2 ) y 2 für k. We ma dies iduktiv weiterführt, erhält ma: ( f m,k ) k N ist Teilfolge vo ( f m 1,k ) k N ud für alle j m folgt f m,k (d j ) y j für k. 5

6 Kompaktheit ud gleichgradige Stetigkeit 2 Der Satz vo Heie-Borel für C 0 Wähle k(1) so, dass für alle k k(1) gilt: f 1,k (d 1 ) y 1 < 1 Sid k(1),..., k(m 1) scho kostruiert so wähle k(m) > k(m 1), sodass für alle k k(m) ud j m gilt: f m,k (d j ) y j < 1 m Betrachte da die Diagoalfolge g m (x) := f m,k(m) (x) für x D. Diese kovergiert für alle x D. Wir behaupte, dass g m (x) für jedes x [a, b] kovergiert ud dass die Kovergez sogar gleichmäßig ist. Wege der Vollstädigkeit vo C 0 bzgl. der Supremumsorm reicht es zu zeige, dass (g m ) m N eie Cauchy-Folge ist. Sei ε > 0. Wege der gleichgradige Stetigkeit, existiert ei δ > 0, sodass für alle s, t [a, b] mit s t < δ, folgt: g m (s) g m (t) < ε 3. (1) Da [a, b] kompakt ud D dicht ist, ist es ach (1.4) b) möglich, ei J > 0 zu fide, sodass jedes x [a, b] i eier δ-umgebug vo d j mit j J liegt. Da {d 1,..., d J } edlich ist ud g m (d j ) für jedes d j kovergiert, existiert ei N N, sodass für alle l, m N ud alle j J gilt g m (d j ) g l (d j ) < ε 3. (2) Für l, m N ud x [a, b] wähle d j mit j J ud d j x < δ. Da folgt mit (1) ud (2) ud der Dreiecksugleichug: g m (x) g l (x) g m (x) g m (d j ) + g m (d j ) g l (d j ) + g l (d j ) g l (x) < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε. Also ist (g m ) m N eie Cauchy-Folge i C 0, die aufgrud der Vollstädigkeit vo C 0 auch i C 0 kovergiert. Dieser führt us zu eiem weitere Resultat: (2.2) Satz (Fortssetzugssatz vo Arzela-Ascoli) Kovergiert eie gleichgradig stetige Folge vo Fuktioe im C 0 ([a, b], R) puktweise auf eier dichte Teilmege des Defiitiosbereiches, so kovergiert die Folge auf dem gesamte Defiitiosbereich gleichmäßig. 6

7 Kompaktheit ud gleichgradige Stetigkeit 2 Der Satz vo Heie-Borel für C 0 Dies etspricht i (2.1) dem teil, i dem gezeigt wurde, dass (g m ) m N eie Cauchy-Folge ist. Aus dem Satz vo Arzela-Ascoli folgt zudem och folgedes (2.3) Korollar Sei ( f ) N mit f : [a, b] R eie Folge differezierbarer Fuktioe, dere Ableituge gleichmäßig beschräkt sid. We es ei x 0 gibt, sodass ( f (x 0 )) N beschräkt ist, so hat die Folge ( f ) N eie Teilfolge, die auf [a, b] gleichmäßig kovergiert. Sei M > 0 eie obere Schrake, sodass f (x) M für alle N ud alle x [a, b] gilt. Die Folge ( f ) N ist ach dem Mittelwertsatz gleichgradig stetig, de für s t < δ ud N folgt: f (s) f (t) = f (θ) s t Mδ für ei θ zwische s ud t. Zu ε > 0 wähle δ = M+1 ε ud ma erhält, dass für alle N ud alle s, t [a, b] mit s t < δ gilt: f (s) f (t) < ε. Damit ist ( f ) N gleichgradig stetig. Nach Voraussetzug gibt es ei x 0 [a, b], sodass f (x 0 ) C für ei C > 0 ud alle N. Da gilt mit der Dreiecksugleichug für x [a, b]: f (x) f (x) f (x 0 ) + f (x 0 ) M x x 0 + C M b a + C. Also ist die Folge ( f ) N beschräkt im C 0. Mit dem Satz vo Arzela-Ascoli folgt, dass ( f ) N eie gleichmäßig kovergete Teilfolge besitzt. Heie-Borel für Fuktioeräume Der ächste Satz stellt u de Zusammehag zur Kompaktheit her ud ist eigetlich eie topologische Versio des Satzes vo Arzela-Ascoli: 7

8 Kompaktheit ud gleichgradige Stetigkeit 2 Der Satz vo Heie-Borel für C 0 (2.4) Satz (Satz vo Heie-Borel für Fuktioeräume) Eie Teilmege E C 0 ist geau da kompakt, we sie abgeschlosse, beschräkt ud gleichgradig stetig ist. : Ageomme E sei kompakt. Da ist E ach dem Satz vo Heie-Borel beschräkt ud abgeschlosse. Es bleibt zu zeige, dass E gleichgradig stetig ist. Sei ε > 0. Da E kompakt ist gibt es wege (1.4) b) eie edliche Mege M = { f 1,..., f } E, sodass zu jedem f E ei k, 1 k, existiert, sodass f U ε 3 ( f k ). Da die Mege M edlich ist, ist sie gleichgradig stetig (vgl. Beispiel 1.6 a)). Es gibt also ei δ > 0 sodass aus x y < δ für alle 1 k stets f k (x) f k (y) < 3 ε folgt. Sei u f E beliebig. Es gibt ei k, sodass d( f, f k ) < 3 ε, daher gilt für x y < δ mit der Dreiecksugleichug: f (x) f (y) f (x) f k (x) + f k (x) f k (y) + f k (y) f (y) < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε. Damit ist E gleichgradig stetig. : Sei E adererseits abgeschlosse, beschräkt ud gleichgradig stetig. We ( f ) N eie Folge i E ist, da existiert ach Arzela-Ascoli eie kovergete Teilfolge, die gleichmäßig kovergiert. Da E abgeschlosse ist, liegt der Grezwert i E. Also ist E kompakt. 8

9 Kompaktheit ud gleichgradige Stetigkeit 3 Fazit 3 Fazit Damit ist jetzt klar, wie ma de Satz vo Heie-Borel auf Fuktioeräume erweiter ka. Zusätzlich zu de Eigeschafte abgeschlosse ud beschräkt muss ma och gleichgradige Stetigkeit prüfe. Da ka ma auf Kompaktheit des Raumes schließe. Obwohl i de e stets vo C 0 ([a, b], R) ausgegage wurde, gelte die Resultate, isbesodere der Satz vo Arzela-Ascoli auf Grud vo (1.4) a), für alle Fuktioeräume C 0 (M, R), solage M kompakt ist. 9