Das höhere Mathematikon

Transkript

1 Das höhere Mathematikon Christian Huber Diese Zusammenfassung ist ein Mix aus dem Skript von Herr Dr. Peer Kunstmann, der allseits beliebten Wikipedia, diversen anderen Onlinequellen und letztendlich meiner Fantasie... es gibt also keine Garantie auf Richtigkeit vor allem nicht bei den Beispielen ;) A abgeschlossen (Menge) Eine Menge heißt abgeschlossen, wenn jede konvergente Folge in der Menge gegen einen Wert in der Menge konvergiert x n x 0 x 0 D Absolutkonvergenz Eine Reihe heißt absolutkonvergent, wenn die Reihe über die Absolutbeträge n=1 a n konvergiert. Abschluss einer Menge Der Abschluss einer Menge D ist eine Menge, die alle Elemente der Menge D enthält und zusätzlich noch deren Häufungspunkte. Das heißt, dass alle endlichen einzelnen Lücken in der Menge geschlossen werden. Die Definition lautet: D = {x R : ɛ > 0 : U ɛ (x) D } Additionstheoreme sin(x + y) = sin x cos y + sin y cos x cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y Arcuscosinus Der Arcuscosinus ist die Umkehrfunktion vom Cosinus. Er bildet [ 1, 1] [0, π] ab. Er ist streng monoton fallend, stetig und bijektiv. 1

2 Arcussinus Der Arcussinus ist die Umkehrfunktion vom Sinus. Er bildet [ 1, 1] [ π 2, π 2 ] ab. Er ist streng monoton wachsend und stetig und bijektiv. Arcustangens Der Arcustangens ist die Umkehfunktion vom Tangens. Er bildet R [ π 2, π 2 ] ab. Er ist streng monton wachsend, stetig und bijektiv. B Bernouillsche Ungleichung (1 + x) n 1 + nx Beschränktheit Eine Menge heißt beschränkt, wenn es sowohl eine obere als auch eine untere Schranke gibt, die nicht in der Menge liegt. γ x M : x < γ. Eine Funktion heißt beschränkt, falls es eine obere und eine untere Schranke für die Funktionswerte gibt. γ x D : f(x) < γ. Bestapproximation Man nehme zwei kompakte Mengen, die einen leeren Schnitt haben (also kein Element kommt in beiden Mengen vor). Für jedes Element x 0 der einen Menge gibt es in der anderen Menge mindestens eine Bestapproximation y 0. Das ist das Element, dass am nächsten an x 0 dran ist. Bijektivität Eine Funktion heißt bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist. Bijektive Funktionen besitzen Umkehrfunktion, da die Zuordnung x y auf eindeutige Art und Weise in y x umgewandelt werden kann. Binomialkoeffizient Der Binomialkoeffizient ist eine verkürzte Schreibweise. Es gilt: ( ) ( ) n n + 1 = k 1 k ( n k ) = n! k!(n k)!. Weiterhin gilt: ( n k ) + Binomialsatz (a + b) n = n k=0 ak b n k 2

3 Bolzano-Weierstraß-Satz Jede beschränkte Folge besitzt eine konvergente Teilfolge, d.h. jede beschränkte Folge hat einen Häufungswert. C Cauchyfolge Eine Folge deren Folgenglieder ab einem bestimmten Folgeglied beliebig nahe aneinanderkommen heißt Cauchyfolge: ɛ > 0 n 0 N n, m n 0 : a n a m < ɛ Jede konvergente Folge ist Cauchyfolge. Cauchyprodukt Das Cauchyprodukt zweier Reihen n=0 a nund n=0 b n ist definiert als n n=0 k=0 a kb n k. Sind beide Reihen absolut konvergent, so ist dies auch das Cauchyprodukt. Cosinus Die Reihe cos(z) = n=0 ( 1)n z 2n (2n)! heißt Cosinusreihe. Sie besitzt den Konvergenzradius. Man definiert die Funktion analog wie beim Sinus. Der Cosinus ist stetig und auf dem Intervall [0, π] streng monoton fallend. Cosinus Hyperbolicus Der Cosinus Hyperbolicus ist definiert als: cosh x = 1 2 (ex + e x ) = n=0 x2n (2n)!. Er sieht ähnlich aus wie einer Normalparabel durch (0,1) und ist stetig. D Dreiecksungleichung Dreiecksungleichung lautet: a + b a + b. Sie kann auch auf Summen: a a, oder komplexe Zahlen oder auch auf Integrale f(x) f(x) angewand werden. E Epsilonumgebung Die Epsilonumgebung U ɛ um eine Zahl x 0 gibt das geschlossene Intervall [x 0 ɛ, x 0 + ɛ] an. 3

4 Epsilon-Delta-Kriterium Mithilfe des ɛ δ- Kriteriums lässt sich eine Aussage über Stetigkeit treffen. Es sagt, dass wenn die x-werte beliebig nahe aneinanderkommen die Funktionswerte beliebig nahe anneinander kommen. ɛ δ : f(x) f(x 0 ) x D : x x 0 < δ. Exponentialreihe Die Reihe E(z) = n=0 z n! heißt Exponentialreihe und konvergiert für jedes z C. F Feinheit Die Feinheit einer Zerlegung ist die Intervalllänge des längsten Intervalls: Z = max{ I j } Folge eine Folge ist eine Abbildung der natürlichen Zahlen auf eine andere Menge. G Gleichmäßige Konvergenz Eine Funktionenfolge heißt gleichmäßig konvergent, wenn eine stetige Grenzfunktion existiert, d.h ab einem bestimmten n 0 liegen alle Funktionswerte in einem beliebig engen Epsilonschlauch um die Funktion. ɛ > 0 n 0 N n n 0 x D : f n (x) f(x) < ɛ Gleichmäßige Stetigkeit Eine Funktion heißt gleichmäßig stetig, wenn man das Epsilon-Delta-Kriterium auf die gleiche Art und Weise für alle x-werte verwenden kann: ɛ > 0 δ > 0 x, x 0 D : x x 0 < δ f(x) f(x 0 ) < ɛ H Häufungspunkt Ein Häufungspunkt einer Menge ist der Grenzwert einer Folge in der Menge (deren Folgenglieder jedoch selbst nicht der Grenzwert werden dürfen). Das kann auch folgendermaßen ausgedrückt werden. x 0 ist Häufungspunkt ɛ > 0 U ɛ (x 0 ) (D \ {x 0 }). 4

5 Häufungswert Ein Häufungswert ist der Grenzwert einer Teilfolge einer Folge. Besitzen alle Teilfolgen den selben Häufungswert, dann ist dies auch der Grenzwert der Folge. I Induktionsmenge Eine Induktionsmenge ist eine Menge, die die 1 enthält und weiterhin jede um 1 größere Zahl. Folglich sind die natürlichen Zahlen, die kleinste Induktionsmenge. Infimum Das Infimum einer Menge (Funktion) ist die größte untere Schranke. Injektivität Eine Funktion heißt injektiv, wenn jedem x ein anderes y zugeordnet wird, d.h. x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) Intervallschachtelung Eine Intervallschachtelung ist eine Folge von Intervallen für die gilt: I n+1 I n und a n b n 0. Wobei a und b die Intervallgrenzen sind. Isolierter Punkt Eine isolierter Punkt einer Funktion ist ein Punkt der nicht Häufungspunkt der der Definitionsmenge ist. Jede Funktion ist in einem isolierten Punkt stetig. K Kartesisches Produkt Das kartesische Produkt zweier Mengen ist die Menge der geordneten n-tupel beider Mengen. Das kann man sich so vorstellen: Man nehme jedes Element jeder Menge und kombiniere es mit jedem Element der anderen Menge. Der R 3 ist ein kartesisches Produkt R R R. Kompaktheit Eine Menge heißt kompakt wenn jede Folge in der Menge eine Teilfolge besitzt, die in der Menge konvergiert. Im Reellen ist eine Menge kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist. 5

6 Komplexe Zahlen Die komplexen Zahlen bestehen aus einem Real und einem Imaginärteil. Beide sind reell. Der Imaginärteil wird mit der imaginären Einheit der komplexen Zahl i multipliziert. Dabei gilt i = 1. Man kann sich die komplexen Zahlen anschaulich in der komplexen Zahlenebene vorstellen, ähnlich wie Vektoren im R 2. Komplexe Zahlen können auch über Polarkoordinaten dargestellt werden: z = z e φi Komposition von Funktionen Eine Funktion heißt Komposition zweier Funktionen, wenn sie sich als hintereinander Ausführung zweier Funktionen darstellen lässt. f(x) = x 2 1 ist h g wenn h(x) = x 2 und g(x) = 1 ist. Die Komposition ist assoziativ. Konjugation Die Konjugation einer komplexen Zahl z = x + iy ist z = x iy. Die konjugiert komplexe Zahl ist die an der Realachse gespiegelte Zahl. Sie besitzt den gleichen Betrag. Dieser beträgt z = zz = x 2 + y 2. Konvergenz Eine Folge heißt konvergent, wenn die Folgenglieder beliebig nahe an einen Grenzwert herankommen. ɛ > 0 n 0 n > n 0 : a n a < ɛ. Eine monotone beschränkte Folge ist konvergent. Konvergenzradius Der Konvergenzradius R einer Potenzreihe gibt den Kreisradius um den Entwicklungspunkt an für den die Potenzreihe konvergiert. Es gilt R := lim sup n 1 n an L Leibnizkriterium Ist a n eine monton fallende Nullfolge, so konvergiert n=1 ( 1)n a n. Limes Der Limes ist der Grenzwert einer Folge (Funktion). Limes Superior Der Limes Superior ist der größte Häufungswert einer Folge. Limes Inferior Der Limes Inferior ist der kleinste Häufungswert einer Folge. 6

7 Logarithmus (allgemeiner) Der allgemeine Logarithmus log a x ist die Umkehrfunktion von f(x) = a x. Es gilt log a x = ln x ln a Logarithmus (natürlicher) Der natürliche Logarithmus ist die Umkehrfunktion der e-funktion. Er bildet die positiven reellen Zahlen auf die reellen Zahlen ab und ist stetig sowie streng monoton wachsend. M Maximum Eine Maximum einer Menge ist eine obere Schranke, die noch Element der Menge ist γ : γ M γ ist OS von M. Minimum Ein Minimum einer Menge ist eine untere Schranke, die noch Element der Menge ist: γ : γ M γ ist US von M. P Piπ Pi ist definiert als das doppelte der ersten Nullstelle des cos x im Intervall [0, 2]. Polarkoordinaten Jede komplexe Zahl lässt sich mithilfe von Polarkoordinaten darstellen, die sich z.b. leichter potenzieren lassen. Sie haben die Form: z = z e φi, hierbei heißt φ das Argument. Dies geschieht analog zur Physik wegen der Eulerumformung e φi = cos x + i sin x. Den Winkel bekommt man über ϕ = arctan b a, wobei man natürlich mit dem Vorzeichen aufpassen muss. Potenz (allgemeine) Es gilt a x = e x ln a Potenzmenge Die Potenzmenge ist die Menge aller Teilmengen: P ot(m) = {N : N ist Teilmenge von M} Potenzreihe Eine Reihe der Form n=0 a n(z z o ) n heißt Potenzreihe um den Entwicklungspunkt z 0. Sie ist konvergent für alle z, die innerhalb des Konvergenzradius liegen. 7

8 Punktweise Konvergenz Eine Funktionenfolge heißt punktweise Konvergent, wenn an jeder Stelle x 0 der Limes der Folge existiert. D.h. mit zunehmendem n nähern sich die Funktionswerte einer Grenzfunktion an. Diese muss nicht stetig sein. Es muss lediglich gelten:lim n f n (x) = f(x) Q Quotientenkriterium Ist α = lim sup n an+1 a n R Raum der beschränkten Funktionen, so ist die Reihe n=1 a n absolutkonvergent für α < 1 und divergent für α > 1. Der Raum der beschränkten Funktionen B(M) sind alle Funktionen, die von M R abbilden und beschränkt sind. Reihe Die Folge über die Partialsummen s N Reihenwert der Reihe genannt. S geometrische: n=0 zn = 1 1 z ist konvergent für z < 1. harmonische: n=1 1 n divergiert. 1 n=1 n(n+1) = 1 Sinus einer Folge heißt Reihe. Konvergiert die Reihe wird n=1 a n auch der Die Reihe sin(z) = n=0 ( 1)n z 2n+1 (2n+1)! heißt Sinusreihe. Sie besitzt den Konvergenzradius Man definiert die Funktion. z sin z. Der Sinus ist stetig, 2π-periodisch und auf dem Intervall [ π 2, π 2 ] streng monoton wachsend. Sinus Hyperbolicus Der Sinus Hyperbolicus wird definiert als: sinh x = 1 2 (ex e x ) = n=0 x2n+1 (2n+1)!. Er sieht ähnlich aus, wie eine x3 Funktion und ist stetig. 8

9 Stetigkeit Eine Funktion heißt stetig in x 0, wenn der lim x x0 f(x) = f(x 0 ) ist. Analog kann man auch den rechtsseitigen und linksseitigen Limes auf Gleichheit überprüfen, oder das ɛ δ- Kriterium anwenden. Eine Funktion heißt stetig, wenn sie in jedem Punkt stetig ist. Supremum Das Supremum einer Menge (Funktion) ist die kleinste obere Schranke. Supremumsnorm Die Supremumsnorm einer Funktion f B(M) ist das Supremum der Absolutbeträge der Funktionswerte. Surjektivität Eine Funktion heißt surjektiv, wenn jedes Element des Wertebereichs, auf den der Definitionsbereich abgebildet wird, getroffen wird, d.h. y W x D : f(x) = y T Tangens Der Tangens ist definiert durch tan x = sin x cos x. Aus seiner Definitionsmenge muss man die Nullstellen des Cosinus rausnehmen, d.h. D = R\{ π 2 +Zπ}. Der Tangens ist π-periodisch und auf einem stetigen Intervall streng monoton wachsend. U Umkehrabbildung Jede bijektive oder streng monoton wachsende Funktion besitzt eine Umkehrabbildung, die die Funktionswerte zurück auf die Definitionsmenge abbildet. f : D W, f 1 : f(d) D. W Wurzelkriterium Ist α = lim sup n an, dann gilt. Für α < 1 konvergiert n=1 a n absolut. Ist α > 1 so divergiert die Reihe. 9

10 Z Zwischenwertsatz Der Zwischenwertsatz besagt, dass wenn f auf dem Intervall [a, b] eine stetige Funktion ist, dass es dann zu jedem y 0 zwischen f(a) und f(b) ein x 0 gibt mit f(x 0 ) = y 0. Daraus folgt, dass das Bild eines Intervalls einer stetigen Funktion wieder ein Intervall ist. 10