Abschlussprüfung Fachoberschule 2015 Herbst Mathematik

Transkript

1 Aufgabenvorschlag A Funktionsuntersuchung /0 Das Höhenprofil eines Berglaufs wird durch folgende Funktion f beschrieben: f ( x) x x x, x IR, x Dabei gilt folgender Maßstab: x -Achse: LE ˆ 000 m y -Achse: LE ˆ 00 m y 0 entspricht 000 m über dem Meeresspiegel (ü.d.m) Abbildung: Höhenprofil eines Berglaufs. Der Berglauf wird in einer Höhe von 000 m ü.d.m. (über dem Meeresspiegel) gestartet. Ermitteln Sie die x-koordinate (in Meter) der Punkte, an denen die Läufer wieder die Starthöhe erreichen.. Unmittelbar nach dem Start führt die Strecke für eine erste Zwischenwertung bergauf auf den Gipfel einer Anhöhe. Ermitteln Sie die x-koordinate des Gipfels (in Meter). Berechnen Sie die Höhe des Gipfels über dem Meeresspiegel.. Nach der Anhöhe führt der Streckenverlauf bergab, bis eine Talsenke erreicht wird. Ermitteln Sie die x-koordinate des tiefsten Punktes dieses Tals. Berechnen Sie seine Höhe über dem Meeresspiegel.. Im Gelände verläuft eine Fahrstraße, deren Höhenprofil durch die Funktion g mit g ( x) x 6 beschrieben werden kann. 8 Die Laufstrecke kreuzt diese Fahrstraße zwei Mal, das erste Mal bei x 6000 m. Berechnen Sie die Höhe, auf der die Laufstrecke die Fahrstraße das zweite Mal kreuzt.. Es gibt einen Punkt W, in dem sich das Krümmungsverhalten des Höhenprofils ändert. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes W in m. Bestimmen Sie die Art der Krümmungsänderung..6 Nach 9, km erreichen die Läufer beim Gipfelkreuz das Ziel. Berechnen Sie den Höhenunterschied, den sie dabei von der Talsohle bis ins Ziel zurückgelegt haben..7 Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f unter Zuhilfenahme aller ermittelten Punkte/Stellen. Verwenden Sie das Koordinatensystem auf der folgenden Seite. / /8 / /8 /7 / / Fortsetzung auf der nächsten Seite Aufgabenvorschlag A Seite von

2 A Koordinatensystem zu Aufgabe.7: Aufgabenvorschlag A Seite von

3 A Rekonstruktion / Der Graph einer ganzrationalen Funktion fünften Grades ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Die Nullstellen liegen bei x und x. Zusätzlich verläuft der Graph durch den Punkt P ( ).. Bestimmen Sie die Gleichung der Funktion f. /0 Hinweis: Wenn Sie das Gleichungssystem nicht aufstellen können, dann lösen Sie das folgende Gleichungssystem und bestimmen Sie damit die gesuchte Funktionsgleichung der Funktion f. f ( x) ax bx cx 0 = a + b + c 0 = 6a + b + c = a + 7b + c [zur Kontrolle: f ( x) 0, x 0, x 0, x ]. Ermitteln Sie die Gleichung der Normalen an den Graphen von f im Punkt P ( ). / Aufgabenvorschlag A Seite von

4 A Extremwertaufgabe / Aus Stangen der Länge s soll eine gerade quadratische Pyramide errichtet werden (siehe Abbildung). Das Volumen der Pyramide soll maximal werden. s S s h M s s a C A Abbildung: Pyramide a B. Bestimmen Sie die Zielfunktion V, mit der das Volumen der Pyramide berechnet werden kann. [zur Kontrolle: V( h) s h h ]. Berechnen Sie den Wert für h (in Abhängigkeit von s), für den das Volumen maximal wird.. Berechnen Sie, welches Volumen eine Pyramide mit s cm maximal haben kann. / /6 /7 Aufgabenvorschlag A Seite von

5 A Integralrechnung /0 Gegeben sind die beiden Funktionen f und g mit: f ( x) x 0x 8 und g ( x) x 0. Die Graphen der Funktionen sind G f und G g.. Berechnen Sie den Inhalt der Flächen, die von G f und G g eingeschlossen wird. /8. G g wird um 7 Einheiten nach oben parallel zur x-achse verschoben. Zeigen sie rechnerisch, dass der Graph der verschobenen Funktion g x und x den Graphen G f schneidet. neu nur noch bei. In den Tiefpunkten von G f berührt der Graph einer linearen Funktion h den Graphen G f. Berechnen Sie die Tiefpunkte von G f. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von h. [zur Kontrolle: h x ]. Berechnen Sie die von G f und den Graphen von gneu und h eingeschlossene Fläche (siehe schraffierte Fläche in der Abbildung) unter Berücksichtigung der errechneten Schnitt- und Berührpunkte. / /8 /0 Aufgabenvorschlag A Seite von

6 Erwartungshorizont für Aufgabenvorschlag A. f x 0 x x x x 0 0 x x 8 0 x und x 9 Der Läufer startet auf 000 m Höhe und erreicht diese 000 m und 9000 m nach dem Start wieder.. f ' x 0 f ' x x x 6 9 x x 6 0 x E 0,9 ; x E 6, f x x 9 f 0,9 0,9 0; Maximum x E 0, 9 f 6, 0,9 0 ; Minimum x E 6, 0,9 0, HP 0,9 0, f ; 0,9 000 m 90 m (Entfernung vom Start) 0, 00 m m (Höhe über Start) 000 m m 0 m Der Gipfel liegt bei x 90 mund hat eine Höhe von 0 m ü.d.m.. x E 6, 6, 000 m 600 m 6,, 07 f,07 00 m 07 m 000 m 07 m 9 m Die tiefste Punkt des Tals liegt bei x 600 m und hat eine Höhe von 9 m ü.d.m. Seite von 7

7 Erwartungshorizont A. f x gx x x x 6 0 ; x 6 (Polynomdivision) 8 x x x 6 x 6 x x 8 8 x 6x 8 0 x S, x S 8, x S0 6 g 8,, 6, m 000 m 6 m 77 m Die Laufstrecke kreuzt die Fahrstraßen zum zweiten Mal in einer Höhe von 77 m ü.d.m.. f x x 9 f x 0 x W,67, f,8, m 8m 89 m Wendepunkt W f Rechts-Links-Krümmungsänderung Angabe der Art der Krümmungsänderung..6 f 9, 0, 9 ; (Ansatz Gipfelhöhe) 0,9 00,9 m; (Höhe über Starthöhe) 000 m,9 m 0,9 m 06 m Das Gipfelkreuz im Ziel befindet sich in einer Höhe von 06 m ü.d.m. Höhenunterschied zwischen Talsohle und Zielhöhe: 06 m 9 m m Der Höhenunterschied zwischen Talsohle und Ziel beträgt m. Seite von 7

8 Erwartungshorizont A.7 Das Einzeichnen des berechneten Schnittpunktes der Laufstrecke mit der Fahrstraße ist nicht erforderlich. Summen der BE in den Anforderungsbereichen 7 0 Summe der BE 0 Seite von 7

9 Erwartungshorizont A. Ansatz: f ( x) ax bx cx; (aufgrund der Symmetrie) Bedingungsgefüge:. f ( ) 0 (Nullstelle x ). f ( ) 0 (Nullstelle x ). f ( ) (Punkt P ( ) ) Gleichungssystem: I. 0 = a + b + c II. 0 = a + 8b + c III. = a + 7b + c Lösen des Gleichungssystems (auch Ersatz-LGS) ergibt: a 0,; b 0, ; c 0, Für die Funktionsgleichung gilt: f ( x) 0, x 0, x 0, x. f ( x) 0, x y mx n m f () 7, m T N m T, x 0,06 0, mit dem Punkt P ( ) ergibt sich: 0,06 n ; n, Die Gleichung der Normale lautet: y N 0,06x,. Summen der BE in den Anforderungsbereichen 0 Summe der BE Seite von 7

10 Erwartungshorizont A.. V( a; h) a AM a a h V( h) AM h a h ; s (Hauptbedi ngung) s ; a s h ; s h h s h h ; (Zielfunkt ion) (Nebenbedi ngung) V( h) s h h V h s h V h h h ( ) ( ) ; ( ) ( 6 ) 0 ( ) 0 ; s s h s h 0 ; h 6 7. s h 8 V( 8) 8 8, Das Volumen beträgt ca., cm. Summen der BE in den Anforderungsbereichen 7 6 Summe der BE Seite von 7

11 Erwartungshorizont A. f x gx x 0x 8 x 0 x 7x x x 0 ; z ; z 8 x 0,707 ; x, 8 d / / x x 7x 8 Dx 7 x x 8x Flächenbilanz A ges A A A oder Symmetrieausnutzung mit A A mit A D 0,707 D,8 6, FE A A 9 0,707 D 0,707 7,,8 D0,707 6, 9FE D D Ages 8,7 FE Die von den Graphen von f und g eingeschlossene Fläche beträgt 8,7 FE. FE. Gg -Verschiebung bedeutet: x x 7 x g x g neu f neu x 7x 9 0 ; x z z 9 ; z ; Rücksubstitution von z (z nicht definiert); x / Die einzigen Schnittstellen liegen jetzt bei x und x.. f x 8x 0x ; f x x 0 ; f x 0 8 x 0 0 x ; x E f ; x f f '' 80 0 f f Die Tiefpunkte lautentp und E / TP. Ansatz für lineare Funktion durch diese beiden Tiefpunkte: hx m x n waagerechter Graph, kein Anstieg, also m 0 Punkt einsetzen ergibt: h x Die lineare Funktion h hat die Funktionsgleichung h x. Seite 6 von 7

12 Erwartungshorizont A. A ges A A A g x f xd x x 7x 7 A neu 9 dx x x 9x A,7 FE ; A,7 FE (Symmetrie ) A neu A g x hxd x x 9d x x x 9, FE A ges 8,9 FE Die von den Graphen der Funktionen f, g neu und h eingeschlossene Fläche beträgt 8,9 FE. Summen der BE in den Anforderungsbereichen 6 0 Summe der BE 0 Seite 7 von 7