Mathematik für Studienanfänger

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1 Mathematik für Studienanfänger von Dr. G. Tinhofer mit 191 Bildern Carl Hanser Verlag München Wien 1977

2 Kapitel 1: Grundbegriffe der Mathematik Mengen Eigenschaften von Objekten - Eigenschaften von Mengen Die Angabe von Mengen Die Darstellung von Mengen Name für Objekte Variable Die Gleichheit von Objekten Gleichungen ( 1.9 Teilmengen, Obermengen, Inklusion 1.10 Die Potenzmenge Mengenbildungen Rechenregeln Disjunkte Mengen, Partitionen Kartesische Produkte und deren Darstellung Relationen Äquivalenzrelationen Abbildungen, Funktionen Angabe und Darstellung von Funktionen Injektive, surjektive und bijektive Funktionen Umkehrfunktionen, zusammengesetzte Funktionen Übungen Lösungen der Übungsaufgaben 55 Kapitel 2: Zahlen und Rechenoperationen Der Zahlbegriff und die natürlichen Zahlen Das Induktionspostulat Folgen Ein Anzahlproblem Permutationen Die Ordnung der natürlichen Zahlen Die ganzen Zahlen Operationen auf Mengen : Gruppen Brüche und rationale Zahlen ' Ringe und Körper Rechenregeln und Vereinbarungen Die Ordnung der rationalen Zahlen Übungen Lösungen der Übungsaufgaben 93

3 VIII Kapitel 3: Mathematische Theorien Aussagen und Aussageformen Die logische Struktur von Aussagen Wahrheitstabellen. Allgemeingültige Aussagenverbindungen Quantoren Beweis^quantifizierter Aussagen Primitive Ausdrücke Definitionen Postulate und Theoreme Beweisregeln Direkte und indirekte Beweise Übungen Lösungen der Übungsaufgaben 119 Kapitel 4: Reelle und komplexe Zahlen Längenmessung Obere und untere Schranken Der Körper der reellen Zahlen Rationale Approximationen Zwei spezielle Funktionen Eigenschaften der Betragsfunktion Umgebungen Der Grenzwertbegriff Rechnen mit Grenzwerten Bestimmte Divergenz Der Körper der komplexen Zahlen Die komplexe Ebene Unendliche Reihen Übungen Lösungen der Übungsaufgaben. 163 Kapitel 5: Lineare Gleichungen Lineare Gleichungen v Matrizen und Vektoren, Operationen mit Matrizen und Vektoren Geometrische Deutung Die Determinante einer quadratischen Matrix Weitere Rechenregeln Die inverse Matrix. Gleichungssysteme mit regulärer quadratischer Matrix Das Gauß-Jordan-Verfahren Übungen Lösungen der Übungsaufgaben 205 Kapitel 6: Analytische Geometrie Die Koordinatenmethode Punkte und Ortsvektoren. Parameterdarstellungen Winkel und Winkelfunktionen 216

4 i IX 6.4 Die Geradengleichung Steigung und Achsenabschnitt Der Winkel zwischen zwei Geraden Die Parameterdarstellung einer Ebene. * Die Ebenennormale Die Gerade im Raum Polarkoordinaten Translationen Drehungen Quadratische Gleichungen in zwei Unbekannten Die Lösungsmengen quadratischer Gleichungen Übungen Lösungen der Übungsaufgaben 250 Kapitel 7: Elementare Funktionen Polynome Rechnen mit Polynomen Der Divisionsalgorithmus Zerlegung in Faktoren Interpolation Rationale Funktionen Partialbruchzerlegung > Potenzreihen Die Exponentialfunktion Der natürliche Logarithmus Die allgemeine Exponentialfunktion und deren Umkehrfunktion. Potenzfunktionen Die Potenzreihen der Winkelfunktionen Die Arkusfunktionen Grenzwerte von Funktionen Stetigkeit Übungen Lösungen der Übungsaufgaben 301 Kapitel 8: Differential-und Integralrechnung Vorbemerkungen " Die Ableitung einer Funktion Rechenregeln Das Differential Höhere Ableitungen Das Taylorpolynom Extremwerte von Funktionen Die Bestimmung von Nullstellen Funktionen von zwei Variablen Partielle Ableitungen Stammfunktionen Flächenmessung ; Der Hauptsatz der Differential-und Integralrechnung Die Länge eines ebenen Kurvenstückes

5 X in 8.15 Differentialgleichungen Übungen Lösungen der Übungsaufgaben 367 Kapitel 9: Die Grundzüge der Wahrscheinlichkeitstheorie Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Ereignisse und Versuche Ereignisse als Teilmengen Die klassische Wahrscheinlichkeitsdefinition Statistische Wahrscheinlichkeiten Die axiomatische Begründung der Wahrscheinlichkeitstheorie Folgerungen aus den Axiomen Bedingte Wahrscheinlichkeiten Zufallsgrößen Die Verteilungsfunktion einer stetigen Zufallsgröße Erwartungswerte ' Die Varianz einer Zufallsgröße Übungen Lösungen der Übungsaufgaben 408 Kapitel 10: Rechentechnik Geschichtliches zur Rechentechnik Die elektronische Rechenmaschine Das Dualsystem...' Schaltlogik ' Die Schaltungsalgebra Das Flipflop Die Addition von Dualzahlen und die Darstellung negativer Zahlen ' Ein Addierwerk Die Uhr ^ Programme Übungen Lösungen der Übungsaufgaben 441 Sachverzeichnis 445

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