Bearbeiten Sie 6 der 8 Aufgaben nach Ihrer Wahl.

Transkript

1 Kursprüfung Methoden der VWL Klausurteil Dynamische Methoden der VWL (Prof. Dr. Lutz Arnold) Sommersemester Bitte gut leserlich ausfüllen: Name: Vorname: Matr.-nr.: Wird vom Prüfer ausgefüllt: Aufgabe Punkte Wichtige Hinweise: Bearbeiten Sie 6 der 8 Aufgaben nach Ihrer Wahl. In jeder der Aufgaben sind maximal je 10 Punkte erreichbar. Machen Sie bei Ihren Antworten von allen Zahlenangaben Gebrauch (keine allgemeinen Lösungen oder Zwischenschritte!). Notation und Symbole sind aus der Vorlesung übernommen. Die Bearbeitungszeit beträgt für die Klausurteile Dynamische Methoden und Quantitative Methoden zusammen 90 Minuten. Zugelassenes Hilfsmittel: nicht-programmierbarer Taschenrechner. Bitte überprüfen Sie vor Beginn der Bearbeitung, ob Ihr Aufgabenteil alle Seiten enthält. Er beginnt mit Seite 1 und endet mit Seite 9. 1

2 Aufgabe 1: Sparen Geld kann zum festen Zins von r = 5,5% pro Jahr angelegt werden. Formulieren Sie die DGL, die den Zusammenhang zwischen den Vermögensniveaus x t 1 und x t in aufeinander folgenden Jahren angibt. Berechnen Sie gemäß der DGL aus Aufgabenteil rekursiv x 1, x 2, x 3 und x 4 in Abhängigkeit vom Anfangsvermögen x 0. Welche Lösung der DGL aus Aufgabenteil lässt sich anhand der Lösung zu Aufgabenteil erkennen? Wie hoch ist das Vermögen nach 15 Jahren bei einem Anfangsvermögen von x 0 = 1.000? Wie viele Jahre muss man warten, bis aus einem Anfangsvermögen von x 0 = muss Vermögen von x t = geworden ist? 2

3 Aufgabe 2: Stabilität in linearen DGLs 1. Ordnung Betrachten Sie die allgemeine Lösung x t = Aa t der DGL x t = ax t 1. Geben Sie an, wie sich x t entwickelt, wenn A 0 ist und a > 1 und A > 0; 0 < a < 1 und A < 0; 1 < a < 0; a < 1. Wie lässt sich eine divergente Entwicklung vermeiden, wenn a > 1 ist? 3

4 Aufgabe 3: Stabilität eines Marktes Nachfrage und Angebot in einem Markt lauten: D t = 30 2 p t S t = p t. Die Preisanpassung erfolgt, ausgehend vom Startwert p 0 = 8, gemäß p t+1 p t = 1 10 (D t S t ). Berechnen Sie den markträumenden Preis. Illustrieren Sie den Markt anhand der üblichen Grafik mit p t auf der senkrechten und D t und S t auf der waagerechten Achse (geben Sie dabei die Achsenschnitte der beiden Geraden explizit an). Leiten Sie aus den Formeln für D t und S t eine DGL in p t her. Eliminieren Sie die Konstante aus der DGL in Aufgabenteil. Berechnen Sie p t und p t für t = 1, 2, 3. Ist der Markt stabil? 4

5 Aufgabe 4: Logistische Gleichung Betrachten Sie die logistische Gleichung: x t = ax t 1 (1 x t 1 ), 0 < a < 4. Bei welchem Wert erreicht die Funktion auf der rechten Seite der Gleichung ein Maximum? Überprüfen Sie die Bedingung zweiter Ordnung. Wie hoch ist der Funktionswert beim Maximum? Welche Ober- und Untergrenzen für x t ergeben bei gegebenem Startwert x 0 mit 0 < x 0 < 1 aus Ihrer Antwort zu Aufgabenteil? Warum? Sei a = 3,5. Wie hoch ist die Steigung der Funktion auf der rechten Seite der logistischen Gleichung im Ursprung? Bei welchem positiven x-wert schneidet die Funktion für a = 3,5 die 45-Grad-Linie? Wie hoch ist die Steigung in diesem Punkt? Illustrieren Sie den Verlauf der Funktion für a = 3,5 anhand der üblichen Grafik mit x t 1 und x t auf den Achsen. Illustrieren Sie, dass x t nicht gegen den Schnittpunkt aus Aufgabenteil konvergiert, wenn es in der Nähe davon startet. (Hinweis: Achten Sie darauf, dass Sie die Funktion hinreichend flach bzw. steil gemäß Aufgabenteil einzeichnen.) 5

6 Aufgabe 5: Lineare DGLs 2. Ordnung Wie lautet die lineare DGL 2. Ordnung ohne Konstante? Mit Lösungen welcher Form probiert man es? Leiten Sie die quadratische Gleichung her, die die Eigenwerte λ der DGL bestimmt. Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit man zwei verschiedene reale Eigenwerte erhält? Zeigen Sie, dass eine Linearkombination der zu den beiden Eigenwerten gehörigen Lösungen ebenfalls eine Lösung (die allgemeine Lösung) ist. Wie lautet, gegeben die Bedingung aus Aufgabenteil, die Bedingung für eine stabile Lösung? 6

7 Aufgabe 6: Stochastische lineare DGL 1. Ordnung Betrachten Sie die stochastische lineare DGL 1. Ordnung x t = ax t 1 + ε t. Ermitteln Sie x 1, x 2 und x 3 durch iteratives Einsetzen. Welche Lösung der DGL lässt sich anhand Ihrer Antwort zu Aufgabenteil erkennen? Beweisen Sie die Richtigkeit der Formel aus Aufgabenteil durch vollständige Induktion. 7

8 Aufgabe 7: Optimale Konsumplanung mit dynamischer Programmierung Betrachten Sie das folgende dynamische Optimierungsproblem: 1 c 1 σ t+i max {c t+i } t=0 (1 + ρ) i 1 σ i=0 u.d.n.: x t+1 = (1 + r t )(x t + y t c t ). Stellen Sie die Bellman-Gleichung für dieses Problem auf. Leiten Sie aus der Bellman-Gleichung die beiden notwendigen Optimalitätsbedingungen her. Welcher Zusammenhang zwischen c t und v (x t ) folgt aus den beiden notwendigen Optimalitätsbedingungen? Leiten Sie die Gleichung her, die das Konsumwachstum in Abhängigkeit vom Zinssatz r t angibt. Erklären Sie ökonomisch, warum c t+1 /c t mit steigendem ρ abnimmt. 8

9 Aufgabe 8: Cake eating Betrachten Sie das folgende dynamische Optimierungsproblem (ohne Diskontierung): mit gegebenem x 0. max {c t+i,x t+i } 11 i=0 11 i=0 ln c t+i u.d.n.: x t+1 = x t c t Stellen Sie die Bellman-Gleichung für dieses Problem auf. Leiten Sie aus der Bellman-Gleichung die beiden notwendigen Optimalitätsbedingungen her. Leiten Sie aus den notwendigen Bedingungen aus Aufgabenteil eine DGL in c t her. Wie hoch ist c t für t = 0,..., 11? Begründen Sie Ihre Antwort mithilfe des Ergebnisses aus Aufgabenteil. Interpretieren Sie das Problem als Cake-eating -Problem. Was besagt in dieser Interpretation die Lösung aus Aufgabenteil? 9