Logik. Gabriele Kern-Isberner LS 1 Information Engineering. TU Dortmund Wintersemester 2014/15 WS 2014/15

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1 Logik Gabriele Kern-Isberner LS 1 Information Engineering TU Dortmund Wintersemester 2014/15 WS 2014/15 G. Kern-Isberner (TU Dortmund) Logik WS 2014/15 1 / 125

2 Übersicht Modallogik 5. Grundlagen 6. Erfüllbarkeit 7. Weitere Eigenschaften G. Kern-Isberner (TU Dortmund) Logik WS 2014/15 46 / 125

3 Teil B B Modallogik (ML) Kapitel 6: Erfüllbarkeit G. Kern-Isberner (TU Dortmund) Logik WS 2014/15 47 / 125

4 Erfüllbarkeit und Folgerungen in ML (1/2) Wie in der Aussagenlogik nennen wir eine Formel erfüllbar, wenn sie ein Modell hat: Definition 6.4 ((ML)Erfüllbarkeit, Kripke-Modell) Eine modallogische Formal ϕ heißt erfüllbar, wenn es eine Kripkestruktur K mit einer Welt s gibt, so dass K, s = ϕ gilt. In diesem Fall nennen wir (K, s) auch ein Kripke-Modell von ϕ. Auch die Folgerung lässt sich analog zur Aussagenlogik definieren: Definition 6.5 ((ML)Folgerung) Seien ϕ, ψ ML-Formeln. ψ folgt aus ϕ, in Zeichen: ϕ = ψ gdw. jedes Kripke-Modell (K, s) von ϕ auch ein Kripke-Modell von ψ ist, d.h., wenn K, s = ϕ impliziert K, s = ψ G. Kern-Isberner (TU Dortmund) Logik WS 2014/15 48 / 125

5 Erfüllbarkeit und Folgerungen in ML (2/2) Folgerungen 1 lassen sich wieder sehr bequem auf Fragen der Unerfüllbarkeit reduzieren (vgl. Proposition 4.10): Proposition 6.5 Sei Φ eine Menge von ML-Formeln und ψ eine ML-Formel Dann gilt: Φ = ψ gdw. Φ { ψ} ist unerfüllbar 1 wobei wir wie in der Aussagenlogik auch wieder Folgerungen aus Mengen von ML-Formeln betrachten können G. Kern-Isberner (TU Dortmund) Logik WS 2014/15 49 / 125

6 Vorüberlegungen zu Erfüllbarkeitstests (1/2) Ziel in diesem Kapitel: Beweiskalkül und Erfüllbarkeitstest für die Modallogik Da die Modallogik als Erweiterung der Aussagenlogik aufgefasst werden kann, liegt es nahe, ein Verfahren für die Aussagenlogik geeignet für die Modallogik zu erweitern G. Kern-Isberner (TU Dortmund) Logik WS 2014/15 50 / 125

7 Vorüberlegungen zu Erfüllbarkeitstests (2/2) Welche Erfüllbarkeitstests kennen wir für AL-Formeln ϕ? Wahrheitstabelle 1. Werte α = ϕ für alle Belegungen α aus 2. Falls es ein α gibt mit α = ϕ, Ausgabe α 3. Andernfalls: Ausgabe unerfüllbar Resolution 1. Wandle ϕ in KNF und dann in eine Klauselmenge K um 2. Berechne Res (K) 3. Falls Res (K): Ausgabe unerfüllbar Aber: bei beiden Methoden ist nicht klar, wie sie für die Modallogik erweitert werden könnten. Deshalb werden wir jetzt zunächst einen weiteren Beweiskalkül für die Aussagenlogik kennen lernen, der sich dann leicht für die Modallogik erweitern lässt. G. Kern-Isberner (TU Dortmund) Logik WS 2014/15 51 / 125

8 6.1 Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik 6.2 Ein Tableaukalkül für die Modallogik G. Kern-Isberner (TU Dortmund) Logik WS 2014/15 52 / 125

9 Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik 6.1 Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik 6.2 Ein Tableaukalkül für die Modallogik G. Kern-Isberner (TU Dortmund) Logik WS 2014/15 53 / 125

10 Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik AL-Tableaukalkül: Beispiel für die Basisidee (1/2) Ist ( A ((B A) ( B A))) (A (( A B) B)) erfüllbar? Die Formel ist erfüllbar, wenn eine der beiden Teilformeln erfüllbar ist (1) Ist A ((B A) ( B A)) erfüllbar? Dafür müssten A und ((B A) ( B A)) simultan erfüllbar sein Dafür müssten A, B A, und B A simultan erfüllbar sein Zwei Fälle: (1a) A, B, und B A simultan erfüllbar? - Zwei Unterfälle: (1bi) A, B, und B simultan erfüllbar? (1bii) A, B, und A simultan erfüllbar? (1b) A, A, und B A simultan erfüllbar? A ((B A) ( B A)) ist also nicht erfüllbar (2) Ist (A (( A B) B)) erfüllbar? Sind A und ( A B) B simultan erfüllbar? Zwei Fälle: (2a) A und A B simultan erfüllbar? A, A, und B simultan erfüllbar? (2b) A und B simultan erfüllbar: Also ist die Gesamtformel erfüllbar. G. Kern-Isberner (TU Dortmund) Logik WS 2014/15 54 / 125

11 Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik AL-Tableaukalkül: Beispiel für die Basisidee (2/2) Dieses Vorgehen wird ziemlich unübersichtlich Tableaukalkül: Systematische und übersichtliche Notation für die obige Grundidee G. Kern-Isberner (TU Dortmund) Logik WS 2014/15 55 / 125

12 Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik AL-Tableaukalkül: Beispiel Beispiel ( A ((B A) ( B A))) (A (( A B) B)) A ((B A) ( B A)) A (( A B) B) A A (B A) ( B A) ( A B) B B A A B B B A A B A B B A B A G. Kern-Isberner (TU Dortmund) Logik WS 2014/15 56 / 125

13 Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik AL-Tableaukalkül: Regeln (1/2) Ein aussagenlogisches Tableau ist ein Baum, dessen Knoten mit aussagenlogischen Formeln beschriftet sind. Ein Tableau für eine AL-Formel ϕ in Negations-Normalform und ohne Vorkommen von und kann wie folgt konstruiert werden: G. Kern-Isberner (TU Dortmund) Logik WS 2014/15 57 / 125

14 Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik AL-Tableaukalkül: Regeln (2/2) Zunächst wird die Wurzel des Baumes erzeugt und mit ϕ beschriftet Danach wird so lange eine der beiden folgenden Regeln angewendet, bis dies nicht mehr möglich ist: -Regel: Wähle einen unmarkierten Knoten v mit einer Formel der Form ϕ 1 ϕ 2 und markiere ihn Hänge an jedes Blatt u des an v hängenden Teilbaumes zwei neue Knoten u 1 und u 2 als Kinder an, und beschrifte sie mit ϕ 1 bzw. ϕ 2 -Regel: Wähle einen unmarkierten Knoten v mit einer Formel der Form ϕ 1 ϕ 2 und markiere ihn Hänge an jedes Blatt u des an v hängenden Teilbaumes ein neues Kind u an, das mit ϕ 1 beschriftet ist, und an u ein weiteres Kind u, das mit ϕ 2 beschriftet ist G. Kern-Isberner (TU Dortmund) Logik WS 2014/15 58 / 125

15 Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik AL-Tableaukalkül: Bedeutung (1/2) Ein Tableau heißt saturiert, wenn alle Knoten, deren Formel kein Literal ist, markiert sind. Woran lässt sich an einem saturierten Tableau T zu ϕ ablesen, ob ϕ erfüllbar ist? Dazu betrachten wir die Blätter von T : Wir nennen ein Blatt v von T geschlossen, wenn auf dem Weg von v zur Wurzel eine Variable X und ihre Negation X vorkommt Geschlossene Blätter entsprechen also widersprüchlichen Pfaden Wir nennen ein Blatt offen, wenn es nicht geschlossen ist Ein saturiertes Tableau heißt offen, wenn es ein offenes Blatt hat, andernfalls geschlossen G. Kern-Isberner (TU Dortmund) Logik WS 2014/15 59 / 125

16 Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik AL-Tableaukalkül: Bedeutung (2/2) Eine Formel ϕ ist genau dann erfüllbar, wenn ϕ ein offenes saturiertes Tableau T hat (Das werden wir noch beweisen!) Und: Wenn es ein solches Tableau für ϕ gibt, so haben alle saturierten Tableaus für ϕ ein offenes Blatt Eine erfüllende Belegung für ϕ lässt sich dann wie folgt konstruieren: Wähle ein offenes Blatt v von T Definiere eine Wahrheitsbelegung α so, dass sie alle Literale auf dem Weg von v zur Wurzel wahr macht Bemerkung: Verschieden strukturierte Tableaus unterscheiden sich durch die Reihenfolge, in denen Konjunktionen und Disjunktionen bearbeitet werden. G. Kern-Isberner (TU Dortmund) Logik WS 2014/15 60 / 125

17 Beispiel Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik AL-Tableaukalkül: Beispiel (Forts.) A ((B A) ( B A))) (A (( A B) B)) A ((B A) ( B A)) A (( A B) B) A A (B A) ( B A) ( A B) B B A A B B B A A B A B B A B A Erfüllende Belegung: A 1, B 0 G. Kern-Isberner (TU Dortmund) Logik WS 2014/15 61 / 125

18 Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik AL-Tableaukalkül: Korrektheit, Vollständigkeit, Termination Satz 6.6 (a) Für jede AL-Formel ϕ erzeugt der Tableaukalkül nach endlich vielen Schritten ein saturiertes Tableau T der Tiefe ϕ 1 mit 2 ϕ Knoten (b) Für jedes offene Blatt eines saturierten Tableaus induzieren die Literale seines Pfades eine erfüllende Belegung für ϕ (c) Ist ϕ unerfüllbar, so ist jedes saturierte Tableau T zu ϕ geschlossen (d) Ist ϕ erfüllbar, so ist jedes saturierte Tableau T zu ϕ offen G. Kern-Isberner (TU Dortmund) Logik WS 2014/15 62 / 125

19 Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik Korrektheit, Vollständigkeit, Termination Für den Beweis dieses Satzes verwenden wir die folgende Notationen: Seien ϕ eine AL-Formel, T ein (saturiertes oder nicht saturiertes) Tableau zu ϕ und v ein Knoten von T Die Formel, mit der ein Knoten v beschriftet ist, bezeichnen wir durch ϕ v Der Pfad P v von v besteht aus allen Knoten auf dem Weg von v zur Wurzel r des Baumes (einschließlich v und r) Ist α eine Belegung, so schreiben wir α = P v ( α erfüllt P v ), wenn für alle Knoten u in P v gilt: α = ϕ u G. Kern-Isberner (TU Dortmund) Logik WS 2014/15 63 / 125

20 Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik Beweis von Satz 6.6 (1/7) Beweis Wir zeigen zunächst (a): Jedes Tableau zu einer Formel ϕ hat höchstens die Tiefe ϕ 1 und höchstens 2 ϕ Knoten Klar: im Tableau zu ϕ kommen nur Teilformeln von ϕ vor Und: jede Teilformel von ϕ kommt auf jedem Pfad höchstens so oft vor, wie sie in ϕ vorkommt Jeder Pfad hat höchstens so viele Knoten wie ϕ Vorkommen von Teilformeln hat G. Kern-Isberner (TU Dortmund) Logik WS 2014/15 64 / 125

21 Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik Beweis von Satz 6.6 (2/7) Beispiel: Vorkommen von Teilformeln Die Formel (A B) (C (A B)) hat die folgenden Vorkommen von Teilformeln: A: 2 B : 2 C : 1 A B : 2 C (A B): 1 (A B) (C (A B)): 1 Zusammen: 9 Vorkommen von Teilformeln G. Kern-Isberner (TU Dortmund) Logik WS 2014/15 65 / 125

22 Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik Beweis von Satz 6.6 (3/7) Beweis (Forts.) Es ist durch Induktion nach der Strukur von Formeln leicht zu beweisen: Die Anzahl der Vorkommen von Teilformeln von ϕ in ϕ ist ϕ die Tiefe jedes Pfades ist ϕ 1 T hat höchstens 2 ϕ Knoten, da T binär ist Die Tableau-Methode terminiert also nach höchstens 2 ϕ Regelanwendungen G. Kern-Isberner (TU Dortmund) Logik WS 2014/15 66 / 125

23 Beweis (Forts.) Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik Beweis von Satz 6.6 (4/7) Wir zeigen nun: (b) Für jedes offene Blatt eines saturierten Tableaus induzieren die Literale seines Pfades eine erfüllende Belegung für ϕ Sei also u ein offenes Blatt eines saturierten Tableaus T zu einer Formel ϕ Zu u definieren { wir eine Belegung α für die Variablen von ϕ: 1 falls X in P u vorkommt α(x) = def 0 andernfalls (im zweiten Fall kommt X in P u vor oder weder X noch X kommen vor) Behauptung: α = ϕ Dazu zeigen wir für alle Knoten w von P u, durch Induktion nach dem Abstand von w zu u, dass α = ϕ w gilt G. Kern-Isberner (TU Dortmund) Logik WS 2014/15 67 / 125

24 Beweis (Forts.) Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik Beweis von Satz 6.6 (5/7) Induktionsanfang: w = u Klar, da ϕ u ein Literal ist Induktionsschritt: Also: für alle Knoten z von P u bis unterhalb von w gilt: α = ϕ z Wir unterscheiden 3 Fälle: 1. Fall: ϕ w ist Literal Dann gilt α = ϕ w nach Konstruktion von α 2. Fall: ϕ w = ϕ 1 ϕ 2 ϕ 1 und ϕ 2 kommen zwischen w und u vor und werden nach Induktion durch α wahr gemacht 3. Fall: ϕ u = ϕ 1 ϕ 2 ϕ 1 oder ϕ 2 kommt zwischen w und u vor und wird nach Induktion durch α wahr gemacht Es folgt also jeweils: α = ϕ w ϕ ist erfüllbar (b), und durch Kontraposition folgt auch (c) G. Kern-Isberner (TU Dortmund) Logik WS 2014/15 68 / 125

25 Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik Beweis (Forts.) Beweis von Satz 6.6 (6/7) Jetzt zeigen wir: (d) Ist ϕ erfüllbar, so ist jedes saturierte Tableau T zu ϕ offen Wir zeigen dazu für jede Belegung α und jedes (nicht notwendigerweise saturierte) Tableau T : (*) Falls α = ϕ, so gibt es ein Blatt u von T mit α = P u Sei also α eine erfüllende Belegung für ϕ Der Beweis ist eine Induktion nach der Anzahl der Knoten von T Induktionsanfang: T besteht nur aus ϕ Induktionsschritt: Sei T durch Anwendung einer Regel aus T entstanden Induktion: In T gibt es ein Blatt u mit α = P u Falls u auch ein Blatt von T ist: Andernfalls wurden an u neue Knoten angehängt G. Kern-Isberner (TU Dortmund) Logik WS 2014/15 69 / 125

26 Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik Beweis von Satz 6.6 (7/7) Beweis (Forts.) Sei v der Knoten von P u, auf den dabei eine Regel angewendet wurde 1. Fall: -Regel ϕ v ist von der Form ϕ 1 ϕ 2 Da α = ϕ v gilt, folgt: α = ϕ 1 oder α = ϕ 2 Für die Kinder u 1 und u 2 von u gilt: α = ϕ u1 α = P u1 oder α = P u2 ( ) 2. Fall: -Regel oder α = ϕ u2 ϕ v ist von der Form ϕ 1 ϕ 2 Da α = ϕ v gilt, folgt: α = ϕ 1 und α = ϕ 2 Für das Kind u 1 und den Enkel u 2 von u gilt: α = ϕ u1 α = P u2 ( ) Insgesamt folgt also (d). und α = ϕ u2 G. Kern-Isberner (TU Dortmund) Logik WS 2014/15 70 / 125

27 Ein Tableaukalkül für die Modallogik 6.1 Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik 6.2 Ein Tableaukalkül für die Modallogik G. Kern-Isberner (TU Dortmund) Logik WS 2014/15 71 / 125

28 Ein Tableaukalkül für die Modallogik Tableaukalkül für ML: Grundidee (1/2) Ist die Formel A ( A B) erfüllbar? Wir können die -Regel des AL-Tableaukalküls einmal anwenden: A ( A B) A ( A B) Aber wie soll es dann weiter gehen? Um ( A B) wahr zu machen, muss es eine Welt geben, die in einem Schritt erreichbar ist und in der A B erfüllt ist Idee: Wir ergänzen jeden Knoten des Tableaus um die Angabe einer Welt Knotenbeschriftungen sind also von der Form s, ϕ (und die intendierte Bedeutung ist, dass ϕ in s gilt) G. Kern-Isberner (TU Dortmund) Logik WS 2014/15 72 / 125

29 Ein Tableaukalkül für die Modallogik Tableaukalkül für ML: Grundidee (2/2) Um die Modaloperatoren aufzulösen, erlauben wir das Hinzufügen neuer Welten: Wenn wir einen mit s, ϕ beschrifteten Knoten markieren, fügen wir einen mit (s, s ) E beschrifteten Knoten ein (für eine neue Welt s ) und darunter einen mit s, ϕ beschrifteten Knoten (Details folgen noch...) Wenn wir einen mit s, ϕ beschrifteten Knoten markieren, fügen wir, für jede Welt s, für die es auf dem Pfad einen mit (s, s ) E markierten Knoten gibt, einen mit s, ϕ beschrifteten Knoten an (Details folgen noch...) G. Kern-Isberner (TU Dortmund) Logik WS 2014/15 73 / 125

30 Ein Tableaukalkül für die Modallogik Tableaukalkül für ML: Erstes Beispiel (1/2) Beispiel Ist A ( A A) erfüllbar? s 1, A ( A A) s 1, A s 1, ( A A) (s 1, s 2 ) E s 2, A (s 2, s 3 ) E s 3, A s 2, A A s 2, A s 2, A s 3, A G. Kern-Isberner (TU Dortmund) Logik WS 2014/15 74 / 125

31 Ein Tableaukalkül für die Modallogik Tableaukalkül für ML: Erstes Beispiel (2/2) Beispiel (Forts.) Also gilt ϕ in Welt s 1 der folgenden Kripkestruktur und ist deshalb erfüllbar: s 1 s 2 s 3 A G. Kern-Isberner (TU Dortmund) Logik WS 2014/15 75 / 125

32 Ein Tableaukalkül für die Modallogik Tableaukalkül für ML: Zweites Beispiel (1/2) Beispiel s 1, A B ( A B)) s 1, A s 1, B s 1, ( A B) (s 1, s 2 ) E s 2, A s 2, B (s 1, s 3 ) E s 3, A B s 3, B s 3, A s 3, B G. Kern-Isberner (TU Dortmund) Logik WS 2014/15 76 / 125

33 Ein Tableaukalkül für die Modallogik Tableaukalkül für ML: Zweites Beispiel (2/2) Umgang mit : Wird ein Knoten v mit Beschriftung s, ϕ bearbeitet, so muss für jeden mit (s, s ) E beschrifteten Knoten w ein mit s, ϕ beschrifteter Knoten an jedes Blatt, das unterhalb von v und w liegt, angefügt werden Ist v ein Knoten mit Beschriftung s, ϕ, der markiert wird, und ist u ein mit (s, s ) E beschrifteter Knoten, der dabei neu eingefügt wird, dann muss für jeden schon markierten Knoten z mit Beschriftung s, ψ in P u ein mit s, ψ beschrifteter Knoten an jedes Blatt unterhalb u angefügt werden G. Kern-Isberner (TU Dortmund) Logik WS 2014/15 77 / 125

34 Ein Tableaukalkül für die Modallogik Modallogischer Tableaukalkül: Definition (1/2) Der modallogische Tableaukalkül zum Test der Erfüllbarkeit einer modallogischen Formel ϕ entsteht aus dem aussagenlogischen Tableaukalkül durch folgende Ergänzungen: Jeder Knoten des Tableaus wird durch ein Paar s i, ψ beschriftet Die Wurzel wird mit s 1, ϕ beschriftet Knoten, die mit einer Formel der Typen s i, X s i, X s i, ϕ 1 ϕ 2 s i, ϕ 1 ϕ 2 beschriftet sind, werden wie im AL-Tableaukalkül behandelt und die dabei eventuell neu eingefügten Knoten haben ebenfalls die Welt s i G. Kern-Isberner (TU Dortmund) Logik WS 2014/15 78 / 125

35 Ein Tableaukalkül für die Modallogik Modallogischer Tableaukalkül: Definition (2/2) -Regel: Wähle einen unmarkierten Knoten v mit einer Formel der Form s i, ψ und markiere ihn Hänge an jedes Blatt u des an v hängenden Baumes für jede Welt s j, für die (s i, s j ) E in P u vorkommt, einen neuen Knoten s j, ψ an (so, dass die angehängten Knoten unterhalb von u einen Weg bilden) -Regel: Wähle einen unmarkierten Knoten v mit einer Formel der Form s i, ψ und markiere ihn Wähle j so, dass s j noch nicht in T vorkommt Hänge für jedes Blatt u des an v hängenden Baumes einen neuen markierten Knoten mit Beschriftung (s i, s j ) E und darunter einen neuen Knoten mit Beschriftung s j, ψ an Hänge für jeden schon markierten und mit s i, ψ beschrifteten Knoten in P u einen Knoten s j, ψ an jedes Blatt unterhalb von u an G. Kern-Isberner (TU Dortmund) Logik WS 2014/15 79 / 125

36 Ein Tableaukalkül für die Modallogik Tableaukalkül für ML: Drittes Beispiel (1/2) Mit dem modallogischen Tableaukalkül lassen sich natürlich auch modallogische Äquivalenzen und Folgerungen testen Beispiel Wir betrachten die Aussage: Wenn (ϕ ψ) gilt, dann auch ϕ ψ Wir zeigen dazu die Unerfüllbarkeit von (ϕ ψ) ( ϕ ψ) Aufgrund des Substitutionslemmas genügt es dafür zu zeigen, dass χ = def ( A B) ( A B) unerfüllbar ist Denn: wenn χ, dann auch S(χ) S( ) = (mit S : A ϕ, B ψ) Dazu bringen wir χ in NNF ( A B) A B und wenden den Tableaukalkül an G. Kern-Isberner (TU Dortmund) Logik WS 2014/15 80 / 125

37 Ein Tableaukalkül für die Modallogik Tableaukalkül für ML: Drittes Beispiel (2/2) Beispiel (Forts.) s 1, ( A B) A B) s 1, ( A B) s 1, A s 1, B (s 1, s 2 ) E s 2, A s 2, B s 2, A B s 3, A Also ist χ unerfüllbar Behauptung s 3, B G. Kern-Isberner (TU Dortmund) Logik WS 2014/15 81 / 125

38 Ein Tableaukalkül für die Modallogik ML-Tableaukalkül: Korrektheit, Vollständigkeit, Termination Die Analyse des ML-Tableaukalküls ist der Analyse des AL-Tableaukalküls sehr ähnlich Ein Blatt v ist geschlossen, falls in P v zwei Knoten s i, X und s i, X vorkommen Die restlichen Begriffe sind analog wie im Falle von AL Satz 6.2 (a) Für jede ML-Formel ϕ erzeugt die Tableau-Methode nach endlich vielen Schritten ein saturiertes Tableau T (b) Für jedes offene Blatt eines saturierten Tableaus induzieren die (Welt,Literal)-Paare und die Kanten (s i, s j ) seines Pfades ein Modell für ϕ (c) Ist ϕ unerfüllbar, so ist jedes saturierte Tableau T zu ϕ geschlossen (d) Ist ϕ erfüllbar, so ist jedes saturierte Tableau T zu ϕ offen G. Kern-Isberner (TU Dortmund) Logik WS 2014/15 82 / 125

39 Ein Tableaukalkül für die Modallogik Korrektheit, Vollständigkeit, Termination Auf einen Beweis dieses Satzes verzichten wir Aus einem offenen Blatt u kann wie folgt ein Modell für ϕ gewonnen werden: Konstruiere die Knoten und Kanten einer Kripkestruktur K gemäß der in P u vorkommenden Knoten (s i, s j ) E Für jedes i definieren wir die Wahrheitsbelegung { α i (und damit die 1 falls s i, X in P u vorkommt Menge P (s i ) durch: α i (X) = def 0 andernfalls Damit haben wir das angestrebte Ziel, eine Methode zum Testen der Erfüllbarkeit einer modallogischen Formel, erreicht G. Kern-Isberner (TU Dortmund) Logik WS 2014/15 83 / 125

40 Ein Tableaukalkül für die Modallogik Zusammenfassung Der aussagenlogische Tableaukalkül stellt eine weitere Methode zum Testen der Erfüllbarkeit aussagenlogischer Formeln dar Er liefert für erfüllbare Formeln auch immer eine erfüllende Belegung Der modallogische Tableaukalkül stellt eine Methode zum Testen der Erfüllbarkeit modallogischer Formeln dar Er liefert für erfüllbare Formeln auch immer ein Modell also eine Kripkestruktur K und eine Welt s von K, in der die Formel gilt G. Kern-Isberner (TU Dortmund) Logik WS 2014/15 84 / 125