Portfoliothorie (Markowitz) Separationstheorem (Tobin) Kapitamarkttheorie (Sharpe

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1 Portfolothore (Markowtz) Separatonstheore (Tobn) Kaptaarkttheore (Sharpe Ene Enführung n das Werk von dre Nobelpresträgern zu ene Thea U3L-Vorlesung R.H. Schdt,

2 Wozu braucht an Theoren oder Modelle? KB KB KA 6:00 18:00 6:00 KA 18:00 KB KB 6:00 KA 18:00

3 Überblck und Zusaenhang Harry Markowtz (1951) hat de bs heute gültge Theore der Portfolotheore erfunden und dafür den Wrtschafts-Nobelpres (1990) bekoen. Jaes Tobn (W-Nobelpres 1981) hat das nach h benannte Separatonstheore erfunden und dat de Grundlage für de Verenfachung der Portfolotheore und deren Weterentwcklung zur Kaptalarkttheore (Sharpe und Lntner 1976) gelegt. Wlla Sharpe und John Lntner haben 1976 herausgefunden, we sch a Kaptalarkt Prese und Rendten blden, wenn alle Anleger sch so verhalten, we Markowtz und Tobn es epfehlen, und Sharpe hat dafür zusaen t sene Lehrer Markowtz 1990 den W- Nobelpres bekoen. Wlhel Merton-Professur: Investton und Fnanzerung SS 2006, 2. Vorlesung Fole 3

4 Ausgangspunkt: Beschrebung und Lösung von Entschedungsprobleen be Rsko Beschrebung enes Entschedungsprobles Mt je ener Kenngröße für Ertrag und Rsko öglcher Handlungen Lösung enes Entschedungsprobles Mt de (, s)-krteru, d.h. ener Regel zu Abwägen zwschen erwartete Ertrag (Mttelwert ) und Rsko (Streuung der öglchen Werte u deren Mttelwert s) House of Fnance-Stftungsprofessur für Fnance und Accountng: Fnanzen 1 WSe 2013/2014 Fole 4

5 Bewertung anhand von zwe Kennzahlen: Das (,s)-krteru Ertrag wrd geessen t de Erwartungswert () von Endverögen oder Rendten Rsko wrd geessen t der Standardabwechung (s) der öglchen Endverögen oder Rendten (oder deren Quadrat, der Varanz) Entschedungsregel: Wähle de Handlungsöglchket t de höchsten Zelwert Z=Z(,s), nwobe dese Funkton de persönlche Rskonegung ausdrückt Bespel: Z = - b s, t b als Maß für de Rskoaverson House of Fnance-Stftungsprofessur für Fnance und Accountng: Fnanzen 1 WSe 2013/2014 Fole 5

6 De Entschedung erfolgt n zwe Stufen Erste Stufe: Bestung der effzenten Alternatven Effzent nennt an ene Handlungsalternatve dann, wenn es kene andere gbt, de be (ndestens) glech hohe Ertrag wenger Rsko hat be (höchstens) glech hohe Rsko ehr Ertrag aufwest. Man nennt ene Handlungsalternatve dann donert, wenn es ene andere gbt, de hr gegenüber effzent st. Ene donerte Handlungsalternatve st jedenfalls ncht gut und braucht deshalb ncht weter betrachtet zu werden House of Fnance-Stftungsprofessur für Fnance und Accountng: Fnanzen 1 WSe 2013/2014 Fole 6

7 Effzenz und Donanz Ertrag B Effcent A Donated Rsko House of Fnance-Stftungsprofessur für Fnance und Accountng: Fnanzen 1 WSe 2013/2014 Fole 7

8 Zweter Schrtt: Bewertung von Rsko-Ertrags- Kobnatonen anhand von Indfferenzkurven Jede deser Lnen zegt de Kobnatonen von Ertrag und Rsko an, de jeand glech bewertet. Es gbt natürlch unendlch vele parallel verlaufende Indff-Kurven. Weter lnkes oben = besser De Stegung zegt an we sehr jeand rskoabgenegt st. Das Maß der Rskoaverson st ene ren persönlche Sache. House of Fnance-Stftungsprofessur für Fnance und Accountng: Fnanzen 1 WSe 2013/2014 Fole 8

9 De Bewertung von Rsko und Ertrag durch zwe Personen t unterschedlchen Graden der Rskoaverson Ertrag b U 1 U 2 U 3 a Rsko House of Fnance-Stftungsprofessur für Fnance und Accountng: Fnanzen 1 WSe 2013/2014 Fole 9

10 De Entschedung kluger Anleger über de Geldanlage a Kaptalarkt: Portfolo Selecton nach Markowtz Gegenstand: Investoren entscheden sch be der Geldanlage oft für ehrere verschedene Akten, de se zu ene Portefeulle zusaenfassen. De unscheren Erträge der Wertpapere beenflussen sch gegensetg, se können sch öglcherwese kopenseren oder stablseren Es st wchtg zu verstehen und zu erfassen n welcher For, unter welchen Uständen und t welcher Intenstät des gescheht, u öglchst effzente Wertpaperportefeulles (WP-Mschungen) herzustellen. Frage: We stellen ratonale rskoscheue Investoren hre Portefeulles zusaen und we wählen se das beste Portefeulle aus? House of Fnance-Stftungsprofessur für Fnance und Accountng: Fnanzen 1 WSe 2013/2014 Fole 10

11 Grunddee: Dversfkaton De rskanten Wertpapere sollen derart zusaengestellt werden, dass der Anleger n jede Uweltzustand z.b. enen bestten Mndestertrag erwarten kann. Bespel: En Investor hält Akten enes Badehosenherstellers und enes Regenschrfabrkanten. House of Fnance-Stftungsprofessur für Fnance und Accountng: Fnanzen 1 WSe 2013/2014 Fole 11

12 Bespel: Zwe Akten t den angegebenen Rendten De Badehosenfabrk und de Regenschrfabrk gut (s1) ttel (s2) schlecht (s3) µ p1=1/3 p2=1/3 p3=1/3 WP 1 16% 10% 4% 10% WP 2 1% 10% 19% 10% Wertpaperschung: WP1: 60% WP2: 40% Was bedeutet des für den Ertrag des Portefeulles? Er wrd scher! s1 s2 s3 µ Portfolo 10% 10% 10% 10% House of Fnance-Stftungsprofessur für Fnance und Accountng: Fnanzen 1 WSe 2013/2014 Fole 12

13 Paraeter von kontnuerlchen Vertelungen: Volatltät als Rskoaß Vertelung der Wahrschenlchgketen t verschedenen erwarteten Mttelwerten (µ) und Volatltäten (s); her: Noralvertelungen Wahr. (Ertrag) nedrge Volatltät: N(*, s=5%) µ st de erwartete Rendte, und de rote Lne st de Standardabwechung s hohe Volatltät N(**, s=8%) * ** erw. Rendte House of Fnance-Stftungsprofessur für Fnance und Accountng: Fnanzen 1 WSe 2013/2014 Fole 13

14 Kovaranzatrx: Das Rsko hängt davon ab, we de verschedenen Akten zusaen von hre jewelgen Mttelwert abwechen können Akte X 1 1 X 2 2 X 3 3 X 1 1 X s s s s = 11 1 s s2 s 2 = s X 3 3 s s s2 = s 3 33 House of Fnance-Stftungsprofessur für Fnance und Accountng: Fnanzen 1 WSe 2013/2014 Fole 14

15 . und davon, we vel Geld an n jede Akte nvestert: De Varanz enes Portefeulle t n Akten. Akte. entsprcht der Sue aller Zellen n der Tabelle X 1 1 X 2 2 X 3 3 X X n n X 1 1 x 12 s 1 2 x 1 x 2 s 12 x 1 x 3 s x 1 x n s 1n X 2 2 x 1 x 2 s 12 x 22 s 2 2 x 2 x 3 s x 2 x n s 2n X 3 3 x 1 x 3 s 13 x 2 x 3 s 23 x 32 s x 3 x n s 3n X X n n x 1 x n s 1n x 2 x n s 2n x 3 x n s 3n x n2 s n 2 House of Fnance-Stftungsprofessur für Fnance und Accountng: Fnanzen 1 WSe 2013/2014 Fole 15

16 Ene erste Lehre: Anlagestreuung reduzert das Rsko Für en Portefeulle st de Rendte glech der durchschnttlchen Rendte der Akten Portefeulle, Hngegen st das Rsko des Portefeulles klener als das durchschnttlche Rsko der Akten Portfeulle. Was legt des nahe für vernünftge Geldanlagen? Lege ncht alle Eer n enen Korb! Markowtz hat als erster gezegt, we an n rchtger Art und rchtgen Ausaß sene Anlagen streuen soll. House of Fnance-Stftungsprofessur für Fnance und Accountng: Fnanzen 1 WSe 2013/2014 Fole 16

17 Ertrag und Rsko be Portefeulles aus zwe Akten De Lnen zwschen A und B zegen alle µ,s Kobnatonen derjengen Portefeulles, de be unterschedlchen Korrelatonen aus den Wertpaperen A und B herstellbar snd. House of Fnance-Stftungsprofessur für Fnance und Accountng: Fnanzen 1 WSe 2013/2014 Fole 17

18 Ertrag und Rsko von Portefeulles aus dre Akten G House of Fnance-Stftungsprofessur für Fnance und Accountng: Fnanzen 1 WSe 2013/2014 Fole 18

19 De effcent fronter alas: De Kurve der guten Handlungsöglchketen - be Akten Effcent fronter: Es gbt kene errechbaren Portefeulles, de lnks-oben von der effcent fronter legen House of Fnance-Stftungsprofessur für Fnance und Accountng: Fnanzen 1 WSe 2013/2014 Fole 19

20 Effzente Portefeulles und das optales Aktenportefeulle enes bestten Anlegers House of Fnance-Stftungsprofessur für Fnance und Accountng: Fnanzen 1 WSe 2013/2014 Fole 20

21 Effzente und optale Portefeulles für zwe Investoren t unterschedlch starker Rskoaverson P Investoren t unterschedlch starker Rskoaverson würden (sollten) Aktenportefeulles t unterschedlchen Zusaensetzungen wählen Her: Das Portfolo Q st rskanter als das Portfolo P House of Fnance-Stftungsprofessur für Fnance und Accountng: Fnanzen 1 WSe 2013/2014 Fole 21

22 De wssenschaftlche Lestung von Markowtz Er hat gezegt, we an de Kurve der guten Handlungsöglchketen, de effcent fronter rchtg erttelt für alle Anleger deselbe!! Er hat gezegt, we an unter verschedenen (effzenten) Portefeulles rchtg auswählt Dabe wurde deutlch, dass Prnzp jeder aus den glechen effzenten Portefulles auswählt, dabe aber.d.r. ene andere Auswahl trfft. Dat st auch de Zusaensetzung des jewels besten Portefeulles von Anleger zu Anleger unterschedlch. House of Fnance-Stftungsprofessur für Fnance und Accountng: Fnanzen 1 WSe 2013/2014 Fole 22

23 Iplkatonen Jeder Punkt auf der effcent fronter repräsentert ene ganz bestte Portefeulle-Struktur Bs herher glt: Unterschedlche Rskoenstellungen (oder unterschedlche Erwartungen) führen zu unterschedlchen Portefeullestrukturen: Ada wählt Portefeulle A Berta wählt Portefeulle B Chrstan wählt Portefeulle C als das jewels für se oder hn beste Aktenportefeulle aus En Manager, der ene geensae optale Entschedung für Ada, Berta und Chrstan treffen sollte, hätte en Resen-Proble! Her setzt Tobn t sene Separatonstheore en und acht alles enfacher De Stuaton ändert sch, wenn es außer rskanten Akten auch de Möglchket gbt, Geld rskolos zu ene gegebenen (scheren) Znssatz f anzulegen (und sch zu f zu verschulden, d.h. wenn es enen vollkoenen Kaptalarkt gbt)? House of Fnance-Stftungsprofessur für Fnance und Accountng: Fnanzen 1 WSe 2013/2014 Fole 23

24 Portefeullestruktur und Rskonegung: Tobn-Separaton Annahe: Es gbt enen vollkoenen Kaptalarkt n der For, dass Geldanlage und -aufnahe zu rskofreen Zns f öglch snd. Ertrag des Mschportefeulles a, wobe a = rskobehafteter Antel (1-a) = rskofreer Antel a a (1a ) Rsko des Portfolos: p f f a ( p f ) s a a 2 s 2 p as p a = s a / s p wel de rskolose Anlage eben rskolos und dat auch unkorrelert st House of Fnance-Stftungsprofessur für Fnance und Accountng: Fnanzen 1 WSe 2013/2014 Fole 24

25 Durch Ensetzen und Uforen ergbt sch en lnearer Zusaenhang zwschen erwartete Ertrag und Rsko a f ( p s p f ) s a Portefeullertrag = rskoloser Zns + Rskopr. pro R-Enhet * R-Maß a P f s P s a Dese Bezehung zegt den Zusaenhang zwschen Ertrag und Rsko enes Mschportefeulles aus ener rskanten Anlage (we P) und ener rskolosen Anlage zu f. Se glt sot für jedes Verögensgut, egal ob es effzent st oder ncht. Aber: welches Portefeulle st denn für alle Anleger effzent? House of Fnance-Stftungsprofessur für Fnance und Accountng: Fnanzen 1 WSe 2013/2014 Fole 25

26 Optales Aktenportfolo be Separaton (nach Tobn) En Investor wählt unabhängg vo Ausaß sener Rskoaverson nur aus, welche Antele senes Verögens er rskolos zu ( f /0) und welchen er n das rskante Portefeulle (µ M /s M ) nvestert House of Fnance-Stftungsprofessur für Fnance und Accountng: Fnanzen 1 WSe 2013/2014 Fole 26

27 Tobns Separatonstheore De Entschedung über de Zusaensetzung des rskanten Portefeulles kann völlg unabhängg von der Entschedung darüber erfolgen, we vel Rsko en Investor übernt. Nur noch en enzges Aktenportefeulle st effzent: das Portefeulle M Wevel Rsko jeand übernehen wll (u enen höheren Ertrag zu bekoen), bestt nur, we sehr er das (enzge) rskante Aktenportefeulle (M) t rskoloser Anlage (oder Verschuldung) kobnert. Anleger brauchen deshalb ncht ehr alle effzenten Portefeulles zu kennen, u zu wssen, we hr Aktenportefeulle zusaengesetzte sen soll: Das st für alle glech! Das wrft de Frage auf, de de Kaptalarkttheore von Sharpe beantwortet: Was ergbt sch als Glechgewcht a Markt für den Zusaenhang zwschen Ertrag und Rsko be effzenten Portefeulles (wssen wr schon!) be enzelnen Akten? (st jetzt zu besten!) House of Fnance-Stftungsprofessur für Fnance und Accountng: Fnanzen 1 WSe 2013/2014 Fole 27

28 Annahen und erste Ergebnsse der Kaptalarkttheore A1: Der Kaptalarkt st vollkoen. A2: Es gbt rskobehaftete Anlageöglchketen ( Akten ), deren Anzahl jeder Art ( = 1,.., ) vorgegeben st. A3: Alle Investoren snd rskoscheu, beurtelen Portefeulles anhand von und s und haben enen Planungshorzont von ener Perode. E1: Für alle Investoren st hre effcent fronter wchtg. A4: Alle Anleger haben überenstende Erwartungen E2: De effcent fronter st für alle glech. A5: Es gbt ene rskolose Anlage- und Verschuldungsöglchket t vorgegebene Znssatz f. E3: Alle halten dasselbe Akten-Portefeulle, aber ncht t glech vel scherer Anlage bzw. Kredtaufnahe kobnert. Und E4: De wertäßgen Antele der Akten snd n jede Portefeulle glech und dat glech den Antelen des Marktportefeulles House of Fnance-Stftungsprofessur für Fnance und Accountng: Fnanzen 1 WSe 2013/2014 Fole 28

29 We verhalten sch de Aktenantele n den enzelnen Portefeulles und Markt? Annahe: Es gbt 3 Arten von Akten: Akte 1, Akte 2, Akte 3 Annahe: Es gbt 3 Anleger Ada, Berta un Chrstoph (se blden den Markt ) Anlagebetrag Davon rskolos Anlage n Akte 1 Anlage n Akte 2 Anlage n Akte 3 Ada 1 Mo Berta 2 Mo Chrstoph Der Markt (20%) (30%) (50%) House of Fnance-Stftungsprofessur für Fnance und Accountng: Fnanzen 1 WSe 2013/2014 Fole 29

30 Jetzt kot der schwergere Tel: de Frage, de das CAPM beantwortet Gbt es ene Möglchket, den Ertrag µ M oder de Rskopräe (µ M f ) des Marktportefeulles und das Rsko s M oder de Varanz s² M so auf de enzelnen Akten aufzutelen, dass (1) alles aufgetelt st und (2) dabe en Glechgewcht vorlegt? House of Fnance-Stftungsprofessur für Fnance und Accountng: Fnanzen 1 WSe 2013/2014 Fole 30

31 Ertrag des Marktportefeulles und Ertragsbetrag der enzelnen Akten We lassen sch Ertrag und Rsko des Marktportefeulles aus den enzelnen Ertrags- und Rskowerten der Akten herleten? Ertrag bzw. Rskopräe des Marktportefeulles: 1 x p bzw. ( f ) Der Betrag der enzelnen Akte zu Ertrag (zur Rskopräe) des Portefeulles M pro nvesterter Geldenhet st de erwartete Aktenrendte bzw. de erwartete Rskopräe - f 1 x M f House of Fnance-Stftungsprofessur für Fnance und Accountng: Fnanzen 1 WSe 2013/2014 Fole 31

32 Rsko des Marktportfolos und Rskobetrag der enzelnen Akten s 2 x 2 s x x s x x s M k k 1 1 k1 1 k1 k 1 k k s Var 2 M x xk 1 k1 ( r ~ 2 M s k M ) s x cov M) 1 ( r ~,r ~ Der Klaerausdruck st de durchschnttlche Kovaranz der Rendte der Akte t allen anderen, d.h. hre Kovaranz t de Markt De Varanz der Rendte des Marktportefeulles st de durchschnttlche Kovaranz der Rendten der enzelnen Akten t der Rendte des Marktportefeulles Dat st der Rskobetrag ener Akte de Kovaranz hrer Rendte t der des Marktportefeulles (oder enfach: des Marktes) House of Fnance-Stftungsprofessur für Fnance und Accountng: Fnanzen 1 WSe 2013/2014 Fole 32

33 Betrag ener Akte zu Ertrag/Rsko des Marktportefeulles Der Ertrag des Marktportefeulles st der Erwartungswert der Rendte des Marktportefeulles. Der Ertrag ener enzelnen Akte st hr Betrag zu "Ertrag" des Marktportefeulles. Das st der Erwartungswert hrer Rendte. Das Rsko des Marktportefeulles st de Standardabwechung oder de Varanz der Portefeullerendte. Das für de Bewertung a Markt relevante Rsko ener enzelnen Akte st hr Betrag zu "Rsko" des Marktportefeulles, also cov(r, r M). House of Fnance-Stftungsprofessur für Fnance und Accountng: Fnanzen 1 WSe 2013/2014 Fole 33

34 House of Fnance-Stftungsprofessur für Fnance und Accountng: Fnanzen 1 WSe 2013/2014 Fole 34 Nachwes ) ( f M f M ) ( f f ) ( ~ ), ~ cov( ~ ) cov( ~, ~ ) ~, ~ cov( M f M M f M k f k M f r Var r r r r r r M M Glechgewchtsbedngung: und I Glechgewcht uss de Rskopräe pro Rskoenhet für alle Akten glech sen. Und das glt auch für alle Portefeulles, nsb das Portefeulle M

35 Das Captal Asset Prcng Model (CAPM), das Herzstück von Sharpe s Theore f ( f ( M f ) M f ) cov( ~ r, ~ r var( ~ M r ) I Glechgewcht st de erwartete Rendte ener Akte de Sue aus de rskolosen Znssatz und ener Rskopräe, de sch als Produkt aus ener Rskopräe pro Rskoenhet und de aktenndvduellen Rskoaß t f M ) cov( r~, r~ var( r~ ) M M ) r~, r~ cov( M ) var( r~ ) M ( M f ergbt. ) Beta = standardsertes aktenndvduelles Rskoaß und Regressonskoeffzent House of Fnance-Stftungsprofessur für Fnance und Accountng: Fnanzen 1 WSe 2013/2014 Fole 35

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