1 4. Algebraisch abgeschlossene Körper

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1 1 4. Algebraisch abgeschlossene örper Z iel: onstruktion einer kleinsten algebraisch abgeschlossenen örpererweiterung des örpers und Eindeutigkeit von bis auf -Isomorphie Definition: Ein örper heißt algebraisch abgeschlossen, wenn gilt: i. Jedes Polynom f [ X] vom Grad d 1 hat mindestens eine Nullstelle α in. oder äquivalent dazu: ii. Jedes f [ X] vom Grad d 1 zerfällt in [ X] vollständig in Linearfaktoren Definition: Die örpererweiterung des örpers heißt algebraischer Abschluss von, wenn eine der äquivalenten Bedingungen erfüllt ist: 1 i. ist algebraisch und ist algebraisch abgeschlossen ii. ist algebraisch und ist maximal mit dieser Eigenschaft ( Mit anderen Worten: Ist L, L algebraisch, so ist = L) iii. ist algebraisch abgeschlossen und minimale Erweiterung von mit dieser Eigenschaft ( Mit anderen Worten: Ist L, L algebraisch abgeschlossen, so ist L = ) Übung! Lemma: R sei ein Ring ( kommutativ) und a R ein Ideal: Dann existiert ein maximales Ideal m von R mit a m R. Erinnerung: Lemma von Zorn: Ist ( Σ, ) eine nichtleere, induktiv geordnete Menge, so besitzt Σ maximale Elemente. 1. Vergleiche hierzu die Definition einer B asis eines Vektorraums: ( maximale linear unabhängige Menge, minimales Erzeugendensystem, oder linear unabhängiges Erzeugendensystem) 1

2 induktiv geordnet: Jede vollständig geordnete Teilmenge von Σ besitzt in Σ eine obere Schranke. Sei Σ { b b ist Ideal von R und a b R} geordnet durch Inklusion nichtleer, da a Σ induktiv geordnet: Ist { b i i I } eine vollständig geordnete Teilmenge von Σ, so ist b b a und b R ( sonst 1 b i für ein i, also b i = R Widerspruch ). b i ein Ideal mit i I Nach dem Lemma von Zorn existiert m wie verlangt Definition: Es sei S eine beliebige nichtleere Indexmenge und für jedes s S sei X s eine Unbestimmte. Setze: [ X s s S] für den Polynomring in S Variablen X s. Dies ist ein kommutativer, nullteilerfreier Ring. Beispiel: S = { 1 } X 1 = X, [ X s s S] = [ X] S = { 1, 2,, n }, [ X s s S] = [ X 1, X 2,, X n ] S = N, [ X s s S] = [ X 1, X 2, ] S allgemein, [ X s s S] = [ X s s S ] S S en d lich Satz: Z u jedem örper existiert ein algebraischer Abschluss. i. Wir konstruieren: zu eine algebraische Erweiterung 1, so dass alle nichtkonstanten Polynome f [ X] über 1 eine Nullstelle bekommen. 2

3 zu 1 eine algebraische Erweiterung 2, so dass alle nichtkonstanten Polynome f 1 [ X] über 2 eine Nullstelle bekommen. zu i eine algebraische Erweiterung i + 1, so dass alle nichtkonstanten Polynome f i [ X] über i + 1 eine Nullstelle bekommen. ( i N) Dann ist: i algebraisch i N i i N ist örpererweiterung von, algebraisch und jedes f [ X] mit deg f 1 hat in eine Nullstelle. Also ist dieses der gesuchte algebraische Abschluss von. Bleibt also die onstruktion 1 zu zu zeigen. ( Diese muss universell sein, d. h. anwendbar auf jeden örper ) ii. onstruktion dieses 1 : Sei S { f [ X] d( f) 1, f normiert}. Für jedes f S sei X f eine Unbestimmte. Setze: R [ X f f S ] und a R sei das Ideal, das von allen f( X f ) ( f S) erzeugt wird. iii. Es ist a R. Annahme: a = R. Dann ist 1 a. ( ) 1 = g i f i ( X fi ) 1 i n Für jedes i = 1, 2,, n sei: S i { s S X s kommt in g i vor}, #S i < Weiter sei T 1 i n S i { f i 1 i n }, #T < und L eine algebraische en d liche besitzt ( ). örpererweiterung, über der jedes der f i Setze jetzt für alle s T in ( ) Werte für die Variablen X s ein: eine Nullstelle α i s = f i : X fi α i s f i : X s 0 3

4 In L gilt dann: Also ist a R. 1 = i g i ( ) f i ( α i ) = 0 Widerspruc h! = 0 iv. Sei jetzt m ein maximales Ideal oberhalb von a, d. h. a m R. ( ) Dann ist 1 R/m ein örper, der enthält durch 2 R = [ X f f S ] R/m = : 1 Da R über von den X f erzeugt wird, wird 1 über von α f 1 Restklasse von X f modulo m erzeugt. Es gilt: f( α f ) f( X f ) 0 ( modulo m). Damit ist 1 algebraisch, und 1 hat die benötigte Nullstelleneigenschaft Situation: örper, ein algebraischer Abschluss, L eine einfache algebraische Erweiterung von, L = ( α), m( X) = m, f ( X). Betrachte -Einbettungen von L in, d. h. Ringhomomorphismen: σ: L mit σ = id Es ist X [ X] /( m) α L ( Isomorphiesatz) Da algebraisch abgeschlossen ist, Nullstelle β von m in. Der Ringhomomorphismus σ : [ X] X β σ [ X] /( m) ( α) = L X α hat ern ( m) und faktorisiert also über L = ( α), d. h.! σ wie oben. D. h. σ ist eine -Einbettung von L in, die durch die Wahl der Nullstelle β von m wohlbestimmt ist. 2. Die Hintereinanderausführung von Ringhomomorphismen ist wieder ein Ringhomomorphismus. Ein Homomorphismus von einem örper in einen Ring ist injektiv Einbettung. 4

5 Damit ist bewiesen: Proposition: Sei L einfach, L = ( α), m = m, α das Minimalpoynom. ein algebraischer Abschluss. Dann -Einbettungen σ: L. Sie entsprechen eineindeutig den Nullstellen β von m in Satz: örper, algebraischer Abschluss, L algebraische Erweiterung. Dann i. -Einbettung σ: L ; ii. ist auch L algebraisch abgeschlossen, so ist jedes σ wie in ( i) ein -Isomorphismus. i. ist gezeigt, falls L = ( α) ist. Daraus erhält man ( i) auch für L von der Form L = ( α 1, α 2,, α n ), schließlich für L von der Form L = ( α 1, α 2,, α i i N) Allgemeiner Fall: Anwendung des Lemmas von Z orn. Setze: S ist S geordnet bzgl., ( M, τ) M ist Z wischenerweiterung von L M L und τ: M ist eine -Einbettung ( M, τ) ( M, τ ) : M M, τ M = τ nichtleer ( alle endlich erzeugten M gehören zusammen mit ihren τ s zu S) S ist induktiv geordnet 3 (! ) Deshalb maximales Element ( M, τ) in S, und es muss M = L sein. ii. Sei L algebraisch abgeschlossen, σ: L Z u zeigen ist: σ ist surjektiv. eine -Einbettung. Sei β, f = m, β [ X], β i ( i = 1,, n) die Nullstellen von f in, β = β 1. Weil auch L algebraisch abgeschlossen ist, zerfällt f in L[ X] in Linearfaktoren, 3. Man beachte, dass die ( M i, τ i ) eine aufsteigende ette von örpern bilden. Wobei für zwei solcher, ( M i, τ i ), ( M j, τ j ) gilt: ( M i, τ i ) ( M j, τ j ) oder ( M i, τ i ) ( M j, τ j ). ( M i, τ i ) ist auch örper und ist eine obere i I S chranke für die ( M i, τ i ). Also ist induktiv geordnet. 5

6 f( X) = ( X α i ). Setze: 1 i n L ( α 1, α 2,, α n ) L ( β 1, β 2,, β n ) L σ L Es gilt: σ( L ) und es muss σ( L ) = gelten. (! ) (!! ) Insbesondere ist β σ( L), d. h. σ surjektiv. Beispiel: = Q, f( X) = X 3 2, N = N Q, f, Z = Z Q, f. [ Z: Q] = 6 und es existieren genau 6 verschiedene Q-Einbettungen σ: Z Q = { z C z ist algebraisch über Q} Z = Q( η, i) = Q( η, 1 ) ; N = Q( η) η 3 2 = 2, 1 = Satz/ Definition: Es sei der algebraische Abschluss von, und L sei eine Zwischenerweiterung L. Dann sind äquivalent: i. Jede -Einbettung von L nach ist ein Automorphismus. ( d. h. σ: L ist σ( L) = L) ii. L ist Zerfällungskörper einer Menge S von Polynomen aus [ X]. iii. Jedes irreduzible f [ X], das in L eine Nullstelle besitzt, zerfällt vollständig über L. Sind ( i), ( ii), ( iii) für L erfüllt, so heißt L normal. 6

7 Gegenbeispiel: = Q, L = Z Q, f, f = X 3 2, L = Q( η) mit η 3 = 2. ( i) verletzt ( aus mengentheoretischen Gründen) ( iii) verletzt, da f( X) = m η ( X). In Q [ X] ist f( X) = ( X η) ( X ρ η) ( X ρ 2 η) ρ = e 2 πi 3 f( X) = ( X η) ( X 2 + ηx + η 2 ) Primzerlegung in L[ X]. = X 2 + ηx + η 2 irred u z ib el ü b er L, ( i) ( ii) Wir geben eine passende Menge S [ X] an: S { f [ X] α L mit f( X) = m α ( X) } Ist f S, f = m α mit α L und β eine Nullstelle von f, so -Einbettung ( ) σ 0 : ( α) α β. Setze σ 0 zu einer -Einbettung σ von L nach fort ( ) L σ σ 0 ( α) ( β) α β Nach ( i) ist σ( L) = L Jede Nullstelle β von f in liegt in L f in L[ X] zerfällt vollständig In L zerfallen alle f S vollständig, und L ist minimal mit dieser Eigenschaft L = Z, S Genau dasselbe Argument zeigt auch ( i) ( iii) ( ii) ( i) Sei σ eine -Einbettung von L nach, L = Z, S. S = { f i [ X] i I }, L = Z, S = ( α i j α i j = Nullstelle von f i ) Da α i j Nullstelle von f i ist, ist σ( α i j ) auch Nullstelle von f i, also L = ( α i j ) σ( L) = ( σ( α i j ) ) = ( α i j ) = L, d. h. ( i). Wieder dasselbe Argument zeigt auch ( iii) ( i) 7

8 Proposition: L algebraische Erweiterung, σ: L L eine -Einbettung. Dann ist σ auch surjektiv, d. h. ein Automorphismus. α L, f( X) = m, α ( X), L ( β β L Nullstelle von f) surjektiv, insbesondere α σ( L) und σ ist sur- Dann ist [ L : ] < und σ( L ) L, also ist σ L jektiv Beispiele: i. Ist [ L : ] = 2, so ist L normal. ii. Q( η) Q, η 3 = 2 ist nicht normal. iii. Die Erweiterungen Q( α) Q, Q( β) Q mit α primitive 9. Einheitswurzel, β α + ᾱ ( Beispiel ( ( ii) ) ) sind normal. iv. Die Erweiterung N F 2 von ( iii) N = N F 2, f, f( X) = X 5 + X ist normal Proposition: Es sei ein örper mit algebraischem Abschluss. i. Sind, L Teilerweiterungen von und ist L normal, so ist auch L normal. L L : = normal ii. L, L normal L normal ( Spezialfall von ( i) ) 8

9 { iii. L i ( i = 1, 2). L i normal L 1 L 2 normal L 1 L 2 normal L 1 L 2 L 1 L 2 L 1 L 2 L 1 L 2 L 1 L 2 : = normal i. L normal, L = Z, S, S [ X], S = { f i i I}, ii. { α i j } Nullstellenmenge von f i in L bzw. L = ( α i j ), L = ( α i j ) = Z, S normal über. iii. Sei σ: L 1 L 2 eine -Einbettung. } σ( L Dann ist 1 ) = L 1, da L σ( L 2 ) = L i normal. ( i = 1, 2) 2 Deshalb σ( L 1 L 2 ) = σ( L 1 ) σ( L 2 ) = L 1 L 2 L 1 L 2 normal. Ist σ 0 : L 1 L 2 eine -Einbettung, σ: L 1 L 2 eine Fortsetzung (! ), dann ist σ 0 ( L 1 L 2 ) = σ( L 1 L 2 ) = σ( L 1 ) σ( L 2 ) = L 1 L 2 L 1 L 2 normal Warnung: Im allgemeinen gilt nicht: M L L } normal M normal. Gegenbeispiel: = Q, L = Q( 2 ) Q( α) mit α 2 = 2 M = Q( η) 2 L 2 Q, M = LQ( 2 ) = L( η), η 2 = α η 4 = 2 9

10 f = m Q, η = X 4 2. Die drei weiteren Nullstellen von m Q, η sind η, ± iη, also ist Z Q, f = Q( η, i) Q( η) = M G rad 4 M besitzt eine Q-Einbettung σ: M η die positive negative 4 4. Wurzel von 2 in R. C mit Bild in R, nämlich Deshalb enthält M keine primitive 4. Einheitswurzel, also ist Q( η, i) Q( η). 4. Die Wahl der positiven oder der negativen 4. Wurzel ist vollkommen willkürlich. 1 0