Gruppentheorie und ihre Anwendungen in der Physik Ü5

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1 Frank Essenberger, Max Hoffmann 8. Juni 2007 Gruppentheorie un ihre Anwenungen in er Physik Ü5 Aufgabe 8 a) Als erstes müssen ie Gruppen bestimmt weren. Das Element E einer Gruppe G bilet immer einen Klasse für sich. Da ort XEX 1 E für alle Elemente aus G. Usere erste Klasse ist ementsprechen C 1 {E}. Als nächstes ist C an er Reihe un wir bilen XC X 1 : X C 2 C 2 C C2 1 C 1 C 1 2 C C 1 X C 1 C 1 C C EC C E X σ x σ x C σx 1 σ σx 1 C 1 σ X σ y σ y C σ y σ x C 1 X σ σ C σ y C 1 σ y X σ σ C σ x C 1 σ x Wir haben also eine zweite Klasse C 2 {C, C 1 } gefunen un machen uns weiter an ie Arbeit. Als nächstes prüfen wir C 2 : X C C C 2 C 1 C 1 C 1 C 2 C 1 X C 2 C 2 C 2 C2 1 EC2 1 C 2 E X σ x σ x C 2 σx 1 σ y σx 1 C 2 σ y X σ y σ y C 2 σy 1 σ x σy 1 C 2 σ x 1

2 X σ x σ C 2 σ σ C 2 X σ x σ C 2 σ C 2 σ Unsere ritte Klasse C 3 {C 2 } hat also nur ein Element. Wir machen weiter mit σ x : X C C σ }{{ x C } 1 σ C 1 σ y σ X C 2 C 2 σ }{{ x } C2 1 σ y C 1 σ x σ y X C 1 C 1 σ x C σ C σ y σ X σ x σ x σ }{{ x } E X σ y σ y σ x C 2 σ X σ σ σ }{{ x } C 1 x 1 y E x C 2 y σ x σ x C 1 σ 1 σ y X σ σ σ }{{ x } C σ y C Als vierte Klasse haben wir nun C {σ x, σ y } gefunen. Nun noch σ betrachten: X C C σ C 1 σ x C 1 σ σ x Puh, wir haben alle Elemente von G aufgeteilt un unseren Gruppen sin: C 1 {E} C 2 {C, C 1 C 3 {C 2 } C {σ x, σ y } C 5 {σ, σ } 2

3 b) Wir erinnern uns an ie Tatsache, ass ie Anzahl er irreuziblen Darstellungen n r gleich er Anzahl er Klassen n c ist. Eine Darstellung kennen wir nämlich Γ (1) (G) 1 für alle g G. Nun suchen wir einen Darstellung Γ (2) mit Matrizen: Γ (2) (E) Γ (2) (C 2 ) Γ (2) (σ ) Γ (2) (C ) Γ (2) (σ x ) Γ (2) (σ ) Γ (2) (C 1 ) Γ (2) (σ y ) Die Matrizen für E, C i, σ x un σ y waren klar. Die für σ un σ ergaben sich aus er Multiplikatortabelle. Wir prüfen zunächst ob es sich um eine Darstellung hanelt: Γ (2) (C E) Γ (2)! (C ) 1 0 Γ (2) (C 2) Γ(2)! (C 2 ) 1 0 Γ (2) (C C 2 ) Γ (2) (C 1 )! 1 0 Γ (2) (C C 1 ) Γ(2)! (E) 1 0 Γ (2) (C σ x ) Γ (2)! (σ ) 1 0 Γ (2) (C σ y ) Γ (2)! (σ ) 1 0 Γ (2) (C σ ) Γ (2)! (σ x ) 1 0 Γ (2) (C σ ) Γ (2)! (σ y ) 1 0 Die ersten sin gemacht. Nun ist aber C C 1 as Minus kann man bei er Multiplikation rausziehen un es wanelt ann genau entsprechen er Multiplikatortabelle um. Gleiches gilt für C 2 E. Hier gilt kommt es auch genau hin als letztes machen wir noch eine er Spiegelungen für ie aneren gilt as gleiche analog: Γ (2) (σ x E) Γ (2) (σ x )! 3

4 Γ (2) (σ x C ) Γ (2)! (σ ) 1 0 Γ (2) (σ x C 2 ) Γ (2)! 1 0 (σ y ) Γ (2) (σ x C 1 ) Γ(2)! (σ ) 1 0 Γ (2) (σ x σ x ) Γ (2)! 1 0 (E) Γ (2) (σ x σ y ) Γ (2)! 1 0 (C 2 ) Γ (2) (σ x σ ) Γ (2)! (C ) 1 0 Γ (2) (σ x σ ) Γ (2) (C 1 )! 1 0 Auch hier passt alles un wir schreiben ie aneren Multiplikationen nicht extra auf, sonern gehen jetzt avon aus, ass wir eine Darstellung er Gruppe C v gefunen haben. Nun noch schnell nachrechnen, ob ie Darstellung irreuzibel ist. Dazu beienen wir uns er Formel G χγ(2) (G) 2 g Γ (2) irreuzibel ist. χ Γ(2) (G) ( 2) g G Wir haben also in en 2 2 Matrizen einen irreuzible Darstellung gefunen. Dies bringt uns so einiges. Wir benutzen nun ie Tatsache, ass 5 k1 im(γ(k) ) 2 g 8 ist. In unserem Fall: 8 im(γ (i) ) 2 im(γ (1) ) 2 + im(γ (2) ) 2 + im(γ (3) ) 2 + im(γ () ) 2 + im(γ (5) ) 2 i im(γ (3) ) 2 + im(γ () ) 2 + im(γ (5) ) 2 a 2 +b 2 +c a 2 + b 2 + c 2 Nun muss also a 2 + b 2 + c 2 3 sein, ass heißt ie rei noch fehlenen irreuziblen Darstellungen sin alle einimensional. Das heißt ie Spur ist gleich er Darstellung er Matrix. Insgesamt wir es also vier einimensionale un eine zweiimensionale irreuzible Darstellungen geben.

5 c) Nun soll ie Charaktertafel bestimmt weren. Wir schauen uns erstmal an wie weit wir bis jetzt sin: C 1 2C 2 C 3 2C 2C 5 Γ (3)????? Γ ()????? Γ (5)????? Da es sich bei Γ (3) bis Γ (5) um einimensional Darstellungen hanelt ist ie erste Spalte klar un in allen aneren müssen immer ±1 stehen, a es sich nur ann um irreuzible Darstellungen haneln kann ( h k χ(c k ) 2 8). C 1 2C 2 C 3 2C 2C 5 Γ (3) 1???? Γ () 1???? Γ (5) 1???? Nun benutzen wir ie erste Orthogonalität für Charakter. Das beeutet, ass zwei verschieene Spalten jeweils orthogonal zueinaner sein müssen: m1 un wählen C i E un C j C 3 somit ergibt sich: 0 χ Γ(m) (C i )χ Γ(m) (C j ) δ ij g h j (1) χ Γ(m) (E)χ Γ(m) (C 3 ) ( 2) + 1 χ Γ(3) (C 2 ) + 1 χ Γ() (C 2 ) + 1 χ Γ(5) (C 2 ) m χ Γ(3) (C 2 ) + 1 χ Γ() (C 2 ) + 1 χ Γ(5) (C 2 ). Wir haben also gefunen, ass χ Γ(3) (C 2 ) χ Γ() (C 2 ) χ Γ(5) (C 2 ) 1 un so sieht unsere Tabelle aus: C 1 2C 2 C 3 2C 2C 5 Γ (3) 1? 1?? Γ () 1? 1?? Γ (5) 1? 1?? 5

6 Nun benutzen wir wieer Gleichung (1) nur wählen wir iesmal C i C 2 un C j C 2 somit ergibt sich 5 m1 χγ(m) (E)χ Γ(m) (C 2 ) 0 in en einzelnen Summanten ausgeschrieben finen wir: χ Γ(3) (C 2 ) + 1 χ Γ() (C 2 ) + 1 χ Γ(5) (C 2 ). Es muss also zweimal 1 un einmal +1 auftauchen. Bisher waren ie Darstellungen noch ununterscheibar amit ist jetzt Schluss un wir setzen bei Γ (5) einfach ie +1 ein somit ergibt sich: C 1 2C 2 C 3 2C 2C 5 Γ (3) 1-1 1?? Γ () 1-1 1?? Γ (5) 1 1 1?? Nun benutzen wir ie zweite Orthogonalität für Charakter: h k χ Γ(j) (C k )χ Γ(i) (C k ) gδ ij (2) k1 un wählen Γ (j) Γ (1) un Γ (i) Γ (5) somit ergibt sich: (χ Γ(5) (C ) + χ Γ(5) (C 5 )) Nun ist klar, ass χ Γ(5) (C ) χ Γ(5) (C 5 ) 1 seien muss un wir sin fast fertig. Wir gehen wieer von Gleichung (2) aus un wählen iesmal Γ (j) Γ (1) un Γ (i) Γ () somit finen wir: ( 1) (χ Γ() (C ) + χ Γ() (C 5 )) Es muss also einer von beien negativ un er aneren positiv sein. Die gleiche Aussage hätten wir gefunen wenn wir Γ (3) in Gleichung (2) eingesetzt hätten. Dies ist auch ganz klar, enn Γ (3) un Γ () sin bisher noch gleich. Wir können jetzt einfach ie ±1 so einsetzen, ass ie beien Darstellungen unterschielich weren, amit wir unsere fünf irreuziblen Darstellungen gefunen haben: C 1 2C 2 C 3 2C 2C 5 Γ (3) Γ () Γ (5)

7 ) Nun soll ie Darstellung Γ (2) Γ (2) betrachtet weren. Dabei hanelt es sich nach er Definition es irekten Prouktes um Matrizen, welche ie Dimension vier haben. Also ist ie Darstellung reuzibel. Das folgt aus h k χ(c k ) k1 h k χ(c k ) 2 > 2 g. 2 } {{ } >0 Wir suchen nun ie Bausteine, aus enen Γ (2) Γ (2) zusammengesetzt ist. Dazu benutzen wir ie bekannte Formel: Γ (2) Γ (2) q j Γ (j), wobei es sich um eine irekte Summe hanelt un Γ (j) irreuzible Darstellungen un q j ie Häufigkeiten er Γ (j) auf er Hauptiagonalen sin. Die entscheienen q j ergeben sich urch: q j 1 χ Γ(2) Γ (2) (G)χ Γ(j) (G) 1 g g G h k χ Γ(2) Γ (2) (C k )χ Γ(j) (C k ). Wir müssen also zunächst ie χ Γ(2) Γ (2) (C k ) χ Γ(2) (C k ) χ Γ(2) (C k ) bestimmen: k1 χ Γ(2) Γ (2) (C 1 ) 2 2 χ Γ(2) Γ (2) (C 2 ) 0 χ Γ(2) Γ (2) (C 3 ) ( 2) 2 χ Γ(2) Γ (2) (C ) 0 χ Γ(2) Γ (2) (C 5 ) 0 Wir haben also gefunen, ass h k χ Γ(2) Γ (2) (C k ) (δ 1k + δ 3k ). Somit ergibt sich für ie Häufigkeiten: q q q q 1 8 q (δ 1k + δ 3k )χ Γ(1) (C k ) k1 (δ 1k + δ 3k )χ Γ(2) (C k ) k1 (δ 1k + δ 3k )χ Γ(2) (C k ) k1 (δ 1k + δ 3k )χ Γ(2) (C k ) k1 (δ 1k + δ 3k )χ Γ(2) (C k ) k1 Bei Γ (2) Γ (2) hanelt es sich also um Γ (1) Γ (3) Γ () Γ (5) also wie erwartet um Matrizen. Diese schreiben wir schnell noch hin. Bei en einimensionalen Darstellungen 7

8 sin ie Darstellungen einer Klasse immer gleich. Deshalbe sin einige Matrizen ientisch: Γ (Γ(2) Γ (2)) (E) Γ (Γ(2) Γ (2)) (C 2 ) Γ (Γ(2) Γ (2)) (C ) Γ (Γ(2) Γ (2)) (C 1 ) Γ (Γ(2) Γ (2)) (σ x ) Γ (Γ(2) Γ (2)) (σ y ) Γ (Γ(2) Γ (2)) (σ ) Γ (Γ(2) Γ (2)) (σ ) In er Charaktertafel sieht as wie folgt aus: C 1 2C 2 C 3 2C 2C 5 Γ (3) Γ () Γ (5) Γ (Γ(2) Γ (2) )