klar Mathematik 7 Hötzel Postruznik Urban-Woldron Weigl

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1 klar Mathematik 7 Hötzel Postruznik Urban-Woldron Weigl

2 Mit Bescheid des Bundesministeriums für Bildung, Wissenschaft und Kultur GZ 5.021/0064-Präs. 8/2010 vom 15. Juli 2011 als für den Unterrichtsgebrauch an allgemein bildendenden höheren Schulen im Unterrichtsgegenstand Mathematik geeignet erklärt. KOPIERVERBOT Wir weisen darauf hin, dass das Kopieren auch zum Schulgebrauch aus diesem Buch verboten ist ( 42 Absatz 6 des Urheberrechtsgesetzes). Quellenangaben S. 38: Space Shuttle: NASA, Public Domain/Wikimedia Commons; S. 42: Zug: lizenziert unter CC-BY-SA-3.0/Wikimedia Commons; S. 44: Jet d eau: Michel Bobillier, lizenziert unter CC-BY-2.5/Wikimedia Commons; S. 47: Grand Canyon Skywalk: lizenziert unter CC-BY-SA-3.0/ Wikimedia Commons; S. 50: Fahrradcomputer: Günther Postruznik; S. Airbus A380: Markus Kranz/Stock.Xchng; S. 57: Wasserrutsche: Klaus Franke, lizenziert unter CC-BY-SA-3.0/Wikimedia Commons; S. 58: Lamborghini: lizenziert unter CC-BY-SA-3.0/Wikimedia Commons; S. 59: Anton Zeilinger: Jaqueline Godany, lizenziert unter CCBY-2.5/Wikimedia Commons; ISS: NASA, Public Domain/Wikimedia Commons; S. 61: Georg Totschnig: lizenziert unter CC-BY-SA-3.0/Wikimedia Commons; S. 62: Hundeschlitten: Russel Lee Klika, lizenziert unter CC-BY-2.0/Wikimedia Commons; S. 64: Golden Gate Bridge: Salim Virji, lizenziert unter CC-BY-SA-2.0/Flickr; S. 65: Ice Road: Ian Mackenzie, lizenziert unter CC-BY-2.0/Wikimedia Commons; ÖkoDach: S. 69: Sass Pordoi: Günther Postruznik; S. 70: Matroschkas: Günther Postruznik; S. 71: Barack Obama: lizenziert unter CC-BY-SA-3.0/Wikimedia Commons; S. 74: Wasserhyazinthe: lizenziert unter CC-BY-2.0/Flickr; S. 75: Wiener Riesenrad: S. 76: Albert Einstein: Oren Jack Turner, Public Domain/Wikimedia Commons; S. 77: Kernkraftwerk Fukushima: Digital Globe, lizenziert unter CC-BY-SA-3.0/Wikimedia Commons; S. 78: Wattwanderweg: lizenziert unter CC-BY-2.0/ Flickr; S. 79: Joseph Kittinger: US Air Force, Public Domain/Wikimedia Commons; i-lab: Paul Scherrer Institut; S. 87: Klippenspringer: BeYourBest; S. 92: Tour de France: lizenziert unter CC-BY-SA-2.5/Wikimedia Commons; S. 140: Windkanal: Martin Helfer, Public Domain/ Wikimedia Commons; S. 143: Robbie Maddison: Predrag Vučković; Sushi: Donald Cook/StockXchng; S. 144: Glaskörper: backwinkel.de; Dose: Wikipedia user MikkoM, lizenziert unter CC-BYSA-3.0/Wikimedia Commons; S. 146: Käferbohne: Steirerkraft; S. 150: Design Center Linz: lizenziert unter CC-BY-SA-2.0/Wikimedia Commons; S. 158: Passauer Tor: Stadtgemeinde Schärding; S. 159: Tipi: Public Domain/Wikimedia Commons; Löschboot: Public Domain/Wikimedia Commons; S. 160: Trulli: lizenziert unter CC-BY-SA-3.0/ Wikimedia Commons; S. 161: Raumfähre: lizenziert unter CC-BYSA-3.0/Wikimedia Commons; S. 162: Galileo Logo: ESA; S. 165: Brook Taylor: Public Domain/Wikimedia Commons; S. 168: Betonröhre: lizenziert unter CC-BY-SA-2.0/Flickr; S. 215: Briefmarke: Deutsche Post AG, Public Domain/Wikimedia Commons; Das vorliegende Material wurde mit freundlicher Unterstützung von Texas Instruments entwickelt. Im Buch wurden u. a. der numerische Graphikrechner TI-84 Plus und TI-NspireTM CAS Handheld verwendet. Die jeweils aktuelle Version des Betriebssystems oder auch der passenden PC-Software finden Sie im Bereich Downloads auf der TIWebsite. Sollten Urheberrechte ungewollterweise verletzt worden sein, wird der Verlag nach Anmeldung berechtigter Ansprüche diese entgelten. In Fällen freier Werknutzung: Schulbuchvergütung/Bildrecht: VBK, Wien Nach den Regeln der neuen Rechtschreibung Schulbuch-Nr Hötzel, Postruznik, Urban-Woldron, Weigl klar_mathematik , Verlag Jugend & Volk GmbH, Wien. Alle Auflagen mit 2012 sind nebeneinander verwendbar. ISBN _Impressum.indd 1 Umschlaggestaltung: AV+ Astoria Druckzentrum Prepress, Wien Lektorat: DI Christoph Kottbauer Satz und Layout: Bibliomania GmbH, D Frankfurt am Main Layoutentwicklung: Der Lichtblick, Wien Grafiken: Dietmar Ebenhofer Alle Rechte vorbehalten. Jede Art der Vervielfältigung auch auszugsweise gesetzlich verboten. [ ] :44

3 Inhaltsverzeichnis 1 Komplexe Zahlen und Gleichungen höheren Grades 1.1 Was sind komplexe Zahlen? Zahlbereichserweiterungen verstehen Den Bedarf für die imaginäre Einheit i argumentieren Komplexe Zahlen erklären und anschreiben Zusammenfassung Musterbeispiele Übungsaufgaben Rechenoperationen mit komplexen Zahlen durchführen Addition und Subtraktion durchführen Multiplikation erklären und ausführen Division verstehen und ausführen Zusammenfassung Musterbeispiele Übungsaufgaben Mit der geometrischen Darstellung und der Polarform arbeiten Gaußsche Zahlenebene als geometrische Interpretation erklären Mit der Polardarstellung operieren Vertiefung: Die vier Grundrechnungsarten graphisch umsetzen und interpretieren Potenzieren und Radizieren als Rechenarten 3. Stufe über C beherrschen Vertiefung: e hoch i mal v (e i v ) Vertiefung: Mandelbrot- und Juliamengen Vertiefung: Wechselstromtechnik Zusammenfassung Musterbeispiele Übungsaufgaben Quadratische Gleichungen und algebraische Gleichungen höheren Grades lösen und interpretieren Quadratische Gleichungen über der Menge C lösen Mit algebraischen Gleichungen höheren Grades arbeiten/mit dem Fundamentalsatz der Algebra argumentieren Zusammenfassung Musterbeispiel Übungsaufgaben Sicherung mathematischer Kompetenzen Einsatz von Technologie Wichtige Funktionen und Befehle von TI-Nspire TM CAS Handheld/Software Musterbeispiel Projektaufgaben Übungsaufgaben Grundlagen der Differenzialrechnung 2.1 Vom Differenzenquotienten zum Differenzialquotienten Eine Trilogie: S T S(Sekante Tangente Steigung) Der Differenzenquotient als mittlere Änderungsrate Am Limit: Die Momentangeschwindigkeit Der Differenzialquotient als momentane Änderungsrate Erste Schritte beim Differenzieren: Potenzregel und Konstantenregel Zusammenfassung Musterbeispiele Übungsaufgaben Ableitungsregeln Konstantenregel bei f(a x) Produktregel und Quotientenregel Die Kettenregel Ableitung der Exponential- und Logarithmusfunktionen Ableitung der Winkelfunktionen Zusammenfassung Musterbeispiele Übungsaufgaben Vertiefung Das Newton-Verfahren Das Differenzial einer Funktion Implizites Differenzieren und partielle Ableitungen... zumdownload auf Übungsaufgaben Sicherung mathematischer Kompetenzen Einsatz von Technologie Wichtige Funktionen und Befehle von TI-Nspire TM CAS Handheld/Software Musterbeispiele Projektaufgaben Übungsaufgaben

4 Inhaltsverzeichnis 3 Kurvendiskussion 3.1 Differenzierbarkeit und Stetigkeit Zusammenfassung Musterbeispiel Übungsaufgaben Erste Ableitung, erste Ableitungsfunktion Den Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitungsfunktion in deren graphischer Darstellung erkennen und beschreiben können Funktionen mit Hilfe der ersten Ableitung(sfunktion) beschreiben können Zusammenfassung Musterbeispiele Übungsaufgaben Zweite Ableitung, zweite Ableitungsfunktion Den Zusammenhang zwischen Funktion und zweiter Ableitungsfunktion graphisch erkennen und beschreiben können Eigenschaften von Funktionen mit Hilfe der zweiten Ableitung(sfunktion) erklären können Zusammenfassung Musterbeispiele Übungsaufgaben Anwendungen Die Zusammenhänge zwischen Ableitung(sfunktion) und Eigenschaften einer Funktion kennen und spezielle Punkte berechnen können Den Begriff Ableitung(sfunktion) im wirtschaftsmathematischen Kontext anwenden und interpretieren können Zusammenfassung Musterbeispiele Übungsaufgaben Sicherung mathematischer Kompetenzen Einsatz von Technologie Wichtige Funktionen und Befehle von TI-Nspire TM CAS Handheld/Software Musterbeispiele Projektaufgabe Übungsaufgaben Anwendungen der Differenzialrechnung 4.1 Extremwertaufgaben Extremwertaufgaben ohne Nebenbedingungen lösen können Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen lösen können Zusammenfassung Musterbeispiele Übungsaufgaben Vertiefung Lokale Approximation (Tangente) Globale Approximation (Taylor) Methode der kleinsten Quadrate (Ausgleichsgerade, Trendlinie)... zumdownload auf Übungsaufgaben Sicherung mathematischer Kompetenzen Einsatz von Technologie Wichtige Funktionen und Befehle von TI-Nspire TM CAS Handheld/Software Musterbeispiele Projektaufgaben Übungsaufgaben Nichtlineare analytische Geometrie 5.1 Kreis Quadratische Gleichungen als Kreisgleichungen Lagebeziehungen Tangenten eines Kreises Schnittwinkel Zusammenfassung Musterbeispiele Übungsaufgaben Kugel Kugelgleichung Lagebeziehungen Schnittwinkel einer Kugel mit einer Geraden Zusammenfassung Musterbeispiele Übungsaufgaben

5 Inhaltsverzeichnis 5.3 Kegelschnitte Ellipse Hyperbel Parabel Kegelschnitte im Überblick Zusammenfassung Musterbeispiele Übungsaufgaben Erweiterung: Kurven Parameterdarstellung von Kurven in der Ebene Kurven und Flächen im Raum... zumdownload auf Zusammenfassung Musterbeispiel Übungsaufgaben Sicherung mathematischer Kompetenzen Einsatz von Technologie Wichtige Funktionen und Befehle von TI-Nspire TM CAS Handheld/Software Musterbeispiele Projektaufgaben Übungsaufgaben Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 6.1 Wiederholung aus der 6. Klasse Zusammenfassung Musterbeispiele Übungsaufgaben Verteilungen verständig deuten und einsetzen können Zufallsvariable, Wahrscheinlichkeitsfunktion, Verteilungsfunktion erklären, berechnen und im Kontext deuten Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung verständig deuten, berechnen und damit argumentieren Situationen erkennen und modellieren, die mittels der Binomialverteilung mathematisch beschreibbar sind Vertiefung: Testen von Hypothesen mit der Binomialverteilung Hypergeometrische Verteilung kennen und ihre Verwendung argumentieren Zusammenfassung Musterbeispiele Übungsaufgaben Vertiefung Problemstellungen mittels anderer Verteilungen lösen Mit der geometrischen Verteilung argumentieren Poissonverteilung sinnvoll einsetzen Zusammenfassung Musterbeispiele Übungsaufgaben Sicherung mathematischer Kompetenzen Einsatz von Technologie Wichtige Funktionen und Befehle von TI-Nspire TM CAS Handheld/Software Musterbeispiele Projektaufgaben Übungsaufgaben Anhang Nachhaltigkeitstest 274 Die Lösungen zum Nachhaltigkeitstest stehen auf zum Download bereit. Moderne Rechenhilfsmittel in der Mathematik 1 Arbeiten mit TI-Nspire TM CAS Handheld/Software Arbeiten mit dem TI-84 Plus... zumdownload auf 3 Arbeiten mit Excel... zum Download auf 4 Arbeiten mit GeoGebra... zum Download auf Formelsammlung Stichwortverzeichnis

6 1 Komplexe Zahlen und Gleichungen höheren Grades 1 Komplexe Zahlen und Gleichungen höheren Grades 1.1 Was sind komplexe Zahlen? Grundkompetenzen Wissen,dass es Zahlenbereiche gibt, die über die reellen Zahlen R hinausgehen. Beziehungen der Zahlenmengen zueinander kennen. Wissen über die Zahlenmengen N, Z, Q, R und C verständig einsetzen können. Lernziele Arbeite dieses Kapitel durch und du lernst, warum die Zahlbereiche immer wieder erweitert wurden; was die imaginäre Einheit i ist; was eine komplexe Zahl ist; was man unter dem Real- bzw. Imaginärteil versteht; was die Menge der komplexen Zahlen C ist; wie man komplexe Zahlen darstellen kann Zahlbereichserweiterungen verstehen Die Entwicklung der Zahlenmengen wurde durch die gesellschaftlichen Notwendigkeiten bestimmt. Am Anfang war für das Abzählen von Tieren oder Gegenständen die Menge der natürlichen Zahlen ohne null vollkommen ausreichend. In den frühen Hochkulturen Vorderasiens, Ägyptens, Chinas, sowie Mittel- und Südamerikas mit ihren zentralistisch organisierten Staaten bestand der Bedarf nach dem Abzählen von Arbeitskräften und Gütern. Im Gegensatz dazu kennen etwa die Aborigines in Australien keine Zahlwörter im eigentlichen Sinn. Die Einführung eines Stellenwertsystems schließlich machte die Einführung der Null erforderlich. Die Menge der natürlichen Zahlen N war geboren. In einem nächsten ökonomischen Schritt borgte sich die Menschheit Güter und Geld aus. Die nummerische Darstellung dieses Sachverhalts führte zur Einführung der negativen Zahlen, die Menge der ganzen Zahlen Z war entstanden. Im Rahmen des Unterrichts wurdest du meist nicht mit dem ökonomischen Ballast behelligt, sondern vor das rein mathematische Problem gestellt: Löse die Gleichung x 1 0. Wir führten die negative Einheit 1 und deren Vielfache ein. Die Probe überzeugte uns von der Richtigkeit der Vorgehensweise. Das nächste Problem stellte sich bei der Teilung eines Ganzen. Es war nötig sowohl die Bruchteile des Ganzen anzuschreiben als auch damit rechnen zu können. Es ergab sich in natürlicher Weise die Menge der rationalen Zahlen Q. In der einfachsten Form lässt sich das Problem auch wieder als Gleichung so formulieren: Löse die Gleichung 2 x 1. Wie du bereits in der 2. Klasse gelernt hast, kann der Wert für x auf zwei Arten geschrieben werden, entweder als Bruch 1 oder als Dezimalzahl 0,5. Du hast bereits damals gelernt, dass sich jeder Bruch in eine endliche oder periodische Dezimalzahl umwandeln lässt und 2 umgekehrt. Die ökonomischen Notwendigkeiten waren damit befriedigt, die Mathematiker konnten sich zufrieden zurücklehnen. Plötzlich tauchte aber ein Problem beim Berechnen rechtwinkeliger Dreiecke auf: Während gemäß des Satzes von Pythagoras die Kathetenlängen 5 und 12 oder 3 und 4 zu ganzzahligen Hypotenusenlängen 13 ( ) bzw. 5 ( ) führen, stellt die Angabe der Kathetenlängen 1 und 1 die Mathematik bereits vor ein Problem: x 2 Löse die Gleichung x

7 1.1 Was sind komplexe Zahlen? Diese Gleichung besitzt keine Lösung im Zahlbereich Q. Es gibt keinen Bruch, dessen Quadrat gleich 2 ist. Daher wurde eine neue Zahl eingeführt, die die Gleichung x 2 2 lösbar macht. Sie wurde mit Wurzel 2 bezeichnet, geschrieben als 2, und mit der Eigenschaft ausgestattet, dass eine Multiplikation mit sich selbst 2 ergibt, Diese neu konstruierten Zahlen wurden als irrationale Zahlen, nicht als Bruch oder Verhältnis (ratio, lat. Verhältnis) darstellbare Zahlen bezeichnet. Gemeinsam mit den rationalen Zahlen bilden sie die Menge der reellen Zahlen R. Neben den Wurzeln gibt es selbstverständlich auch weitere irrationale Zahlen wie die Kreiszahl p, die eulersche Zahl e, oder selbst konstruierte Zahlen wie 0, Merke Bei der Erweiterung von Q nach R wurden drei wesentliche Punkte eingehalten (Permanenzprinzip): (1) Die alte Zahlenmenge ist ein Teil der neuen Zahlenmenge, in mathematischer Symbolik geschrieben: Q R. (2) Alle Rechenoperationen, die mit den alten Zahlen möglich sind, sind auch mit den neuen Zahlen möglich. Die Erweiterung des Zahlbereichs erzeugt keinerlei Einschränkungen. (3) Die neuen Zahlen unterliegen den gleichen Rechenregeln. Du kannst mit den reellen Zahlen genauso rechnen wie mit den rationalen Zahlen. In der gefundenen Zahlenmenge R ist das Ausführen aller Grundrechnungsarten uneingeschränkt möglich, du kannst auch Potenzieren, Logarithmieren, Differenzieren und Integrieren. Aber bereits im 16. Jahrhundert erkannten die italienischen Mathematiker Gerolamo Cardano (* 24. Sept. 1501, Pavia; 21. Sept. 1576, Rom) und Raffaele Bombelli (* Jän. 1526, Bologna; 1572, vermutlich Rom), dass es Probleme beim Radizieren gibt. In einigen Fällen traten Lösungen auf, die es in den Augen der Mathematiker nicht geben konnte, also nur eingebildet (imaginär) sein konnten. Am einfachsten lässt sich das Problem anhand folgender Aufgabe beschreiben: Löse die Gleichung x Den Bedarf für die imaginäre Einheit i argumentieren Definition 1.1 Wir definieren eine neue Zahl i, welche die Gleichung x 2 1 löst, das heißt für die i 2 1 gilt. Diese Zahl i heißt imaginäre Einheit. Vielen berühmten Mathematikern war die Zahl i etwas suspekt. Gottfried Wilhelm Leibniz ( ) nannte sie ein Amphibium zwischen Sein und Nichtsein, Leonhard Euler ( ) bezeichnete sie als unmögliche Zahl, und Carl Friedrich Gauß ( ) nannte sie einen Schatten von Schatten. Da i also eine unmögliche Zahl war, das heißt keine reelle Zahl, nannte man sie imaginär (imaginarius, lat. eingebildet), eine Bezeichnung, die auf René Descartes ( ) zurückgeht. Wir wissen noch nicht, welche Eigenschaften i besitzt, können aber aufgrund des dritten Punktes des Permanenzprinzips bereits damit rechnen. Beispiel 1 a) Berechne i 3 und i 8 b) Berechne die Summe aller i 2 n 1 für 0 n 4. Lösung a) i 3 i 2 i Anwendung der Regeln der Potenzrechnung ( 1) i i Definition der imaginären Einheit i 8 i 2 i 2 i 2 i 2 (i 2 ) 4 ( 1) 4 1 Anwendung der Regeln der Potenzrechnung Definition der imaginären Einheit b) i 1 i 3 i 5 i 7 i 9 Anwendung der Regeln der Potenzrechnung i i 2 i i 2 i 2 i i 2 i 2 i 2 i i 2 i 2 i 2 i 2 i =i ( 1) i ( 1) 2 i ( 1) 3 i ( 1) 4 i Definition der imaginären Einheit i i i i i i 5

8 1 Komplexe Zahlen und Gleichungen höheren Grades Beispiel 2 Warum ist die Definition i: 1 nicht geeignet? Lösung Widerspruch i 2 1 i 1 Definition der imaginären Einheit und alternative Definition i 2 i i 1 1 ( 1) ( 1) 1 1 Rechenregeln aus R, Verwendung der alternativen Definition Rechenregeln aus R; eine Wurzel ist stets eine positive Zahl Beispiel 3 Berechne: a) 8 i 7 i, b) 5 i 9 i, c) (4 i) 7 Lösung a) 8 i 7 i 15 i Anwendung der Rechenregeln aus R für die Addition b) 5 i 9 i 4 i Anwendung der Rechenregeln aus R für die Subtraktion c) (4 i) 7 28 i Anwendung der Rechenregeln aus R für die Multiplikation Komplexe Zahlen erklären und anschreiben Nach der Einführung der imaginären Einheit i soll diese in einem nächsten Schritt mit den reellen Zahlen verknüpft werden. Wir bilden dazu die sogenannten komplexen Zahlen. Das Wort komplex steht hier für zusammengesetzt bzw. umfassend (lat. complexus). Definition 1.2 Eine Zahl z der Form z a b i heißt komplexe Zahl, wobei a und b reelle Zahlen sind und i für die imaginäre Einheit steht. Die Zahl a heißt Realteil von z, man schreibt auch a Re (z). Die Zahl b heißt Imaginärteil von z, man schreibt auch b Im(z). Zahlen der Form b i heißen rein imaginär. Beispiele für komplexe Zahlen sind: 2 5 i 6 0,2 i 4 7 i p 2 i 5 Beispiel 4 Gib den Realteil und den Imaginärteil der komplexen Zahl 12 0,32 i an; verwende dazu die Schreibweise Re und Im. Lösung Re(12 0,32 i) 12 Im (12 0,32 i) 0,32 Achtung! Der Imaginärteil ist 0,32, also reell. Er ist nicht gleich dem rein imaginären Anteil von 12 0,32 i, der wäre 0,32 i. Umgekehrt kann jede reelle Zahl nun als komplexe Zahl aufgefasst werden. Die reellen Zahlen sind die komplexen Zahlen mit Imaginärteil 0. Wir können die Menge der reellen Zahlen als Teilmenge der komplexen Zahlen auffassen. Die Menge der komplexen Zahlen wird mit C bezeichnet. Diese Menge ist auch die letzte mögliche Zahlbereichserweiterung, bei der alle Rechengesetze weiter gültig bleiben. Eine weitere Zahlbereichserweiterung sind die 1843 vom Mathematiker Sir William Hamilton ersonnenen Quaternionen H (lat. quaternio, Vierheit). Die Quaternionen entstehen, indem zu den reellen Zahlen drei neue Zahlen i, j und k hinzugefügt werden. In Analogie zu den komplexen Zahlen ergibt sich damit ein vierdimensionales Zahlensystem, bestehend aus einem eindimensionalen Realteil und einem dreidimensionalen Imaginärteil. Hamilton muss beim Rechnen mit diesen Zahlen auf das Kommutativgesetz verzichten. Merke Die Menge der komplexen Zahlen bezeichnet man mit C. Die Menge der reellen Zahlen R ist eine Teilmenge der komplexen Zahlen C, das heißt, R C. 6

9 1.1 Was sind komplexe Zahlen? Zusammenfassung Wir definieren eine neue Zahl i, die die Gleichung x 2 1 löst, das heißt für die i 2 1 gilt. Diese Zahl heißt imaginäre Einheit. Eine Zahl z der Form z a b i heißt komplexe Zahl, wobei a und b reelle Zahlen sind und i für die imaginäre Einheit steht. Die Zahl a heißt Realteil von z, man schreibt auch a Re(z). Die Zahl b heißt Imaginärteil von z, man schreibt auch b Im (z). Zahlen der Form b i heißen rein imaginär Musterbeispiele M 1.1 Berechne ( i) 26 und i 71. Lösung ( i) 26 ( 1 i) 26 ( 1) 26 i 26 vereinfachte Schreibweise auflösen; Potenzieren von Produkten 1 (i 2 ) 13 ( 1) 13 1 Definition der imaginären Einheit; Potenzen von 1 i 71 i 70 i 1 (i 2 ) 35 i ( 1) 35 i i Rechenregeln für Potenzen (Multiplikation, Potenzieren) Definition der imaginären Einheit; Potenzen von 1 M 1.2 Gegeben sind x 1 2 i und y 3 0,5 i. Berechne Re (x), Im(y) und Im (x) Im (y). Lösung Re (x) Re( 1 2 i) 1 Definition des Realteils ( jene reelle Zahl, bei der kein i steht ) Im (y) Im (3 0,5 i) 0,5 Definition des Imaginärteils ( jene reelle Zahl, bei der i steht ) Im (x) Im(y) Im ( 1 2 i) Im (3 0,5 i) 2 0,5 1,5 Definition anwenden; rechnen in R Übungsaufgaben 1.1 Berechne und begründe die einzelnen Rechenschritte: a) i 4 b) i 7 c) ( i) 6 d) i 5 e) i 8 f) ( i) 12 g) i Berechne und begründe die einzelnen Rechenschritte: a) 6 i 15 i b) 4 i 5 i c) (12 i) ( 3) d) ( 21 i) 3 e) 3 ( 4 i) ( 6) 3 i 1.3 Gib jene komplexe Zahl an, die folgenden Realteil und Imaginärteil besitzt: a) Re (z) 3; Im(z) 5 b) Re (z) 0,5; Im(z) 2 c) Re (z) 1 3; Im (z) p 2 d) Re (z) 0; Im (z) 9 e) Re(z) 4; Im (z) 0 f) Re(z) 1,2; Im (z) 0,1 1.4 Bestimme den Realteil und den Imaginärteil der folgenden komplexen Zahlen unter Verwendung der Schreibweisen Re und Im (Schreibe also beispielsweise Re (2 3 i) 2 und Im(2 3 i) 3). 5 a) 1 4 i b) 5 9 i c) 7 i 8 d) 6 p i e) 6 7 f) i g) Berechne und begründe die einzelnen Rechenschritte: a) b) Argumentiere, welche der folgenden Aussagen richtig sind (c R, x C). Re x c Re(x) a) Re (c x) c Re (x) b) c) Im (c x) c Re(x) d) c 2 Im x c Im(x) c 7

10 1 Komplexe Zahlen und Gleichungen höheren Grades 1.2 Rechenoperationen mit komplexen Zahlen durchführen Lernziele Arbeite dieses Kapitel durch und du lernst, die vier Grundrechnungsarten mit komplexen Zahlen in der Normalform durchzuführen; was eine konjugiert komplexe Zahl ist Addition und Subtraktion durchführen Angenommen, die Terme (2 7 i) und (3 11 i) sollen addiert werden. Gesucht ist also (2 7 i) (3 11 i). Aufgrund des Permanenzprinzips, das wir im vorigen Kapitel kennengelernt haben, sollen die Rechenregeln aus R weiterhin gültig sein. Wie würdest du im Bereich der reellen Zahlen addieren, wenn i eine Variable wäre? Klarerweise würdest du die beiden reellen Zahlen addieren (das heißt 2 und 3) und ebenso die beiden Koeffizienten der Variablen (das heißt 7 und 11). Diese Vorgehensweise kannst du auch hier anwenden, du rechnest daher (2 7 i) (3 11 i) 2 7 i 3 11 i (2 3) (7 11) i 5 4 i Analog gehst du bei der Subtraktion vor, du verwendest die Kenntnis der bekannten Rechenregeln aus R. Zur Veranschaulichung die Subtraktion obiger Zahlen: (2 7 i) (3 11 i) 2 7 i 3 11 i (2 3) (7 11) i 1 18 i Merke Komplexe Zahlen werden addiert bzw. subtrahiert, indem man die Realteile und Imaginärteile separat addiert bzw. subtrahiert. Sind a b i und c d i zwei komplexe Zahlen (das heißt a, b, c, d reell), dann gilt: (a b i) (c d i) (a c) (b d) i (a b i) (c d i) (a c) (b d) i Beispiel 5 Gegeben sind die beiden komplexen Zahlen x 8 2 i und y 2 7 i. Berechne x y und x y. Lösung x y (8 2 i) ( 2 7 i) auflösen der Klammern gemäß der Rechenregeln in R 8 2 i 2 7 i 6 5 i addieren der reellen und imaginären Zahlen separat x y (8 2 i) ( 2 7 i) 8 2 i 2 7 i 10 9 i auflösen der Klammern gemäß der Rechenregeln in R addieren der reellen und imaginären Zahlen separat Beispiel 6 Gegeben sind die komplexen Zahlen x 2 i, y 3 5 i und z 2 7 i. Berechne Re (x y z) und Im( x (z y)). Lösung Re (x y z) Re ( 2 i (3 5 i) ( 2 7 i)) Re ( 2 i 3 5 i 2 7 i) Re(5 4 i) 5 Der Realteil ist der Ausdruck ohne i. Im ( x (z y)) Im ( ( 2 i) (( 2 7 i) (3 5 i)) Im (2 i ( 2 7 i 3 5 i) Im(2 i 2 7 i 3 5 i) Im (5 0 i) 0 Der Imaginärteil ist jene reelle Zahl, die bei i steht. 8

11 1.2 Rechenoperationen mit komplexen Zahlen durchführen Multiplikation erklären und ausführen Angenommen, die Terme (2 7 i) und (3 11 i) sollen multipliziert werden. Gesucht ist also (2 7 i) (3 11 i). Aufgrund des Permanenzprinzips sollen die Rechenregeln aus R weiter gültig sein, wir rechnen daher wie wir es für Binome in der Unterstufe gelernt haben: (2 7 i) (3 11 i) ( 11 i) (7 i) 3 (7 i) ( 11 i) 6 22 i 21 i 77 i i 21 i i (unter Verwendung von i 2 1) Merke Komplexe Zahlen werden multipliziert, indem man sie wie Binome ausmultipliziert und dabei die Definition i 2 1 beachtet, oder folgende Formel anwendet: Sind a b i und c d i zwei komplexe Zahlen (das heißt a, b, c, d reell), dann gilt: (a b i) (c d i) (a c b d) (a d b c) i Beispiel 7 Gegeben sind die komplexen Zahlen x 8 2 i, y 2 7 i und z 3 i. Berechne x y und x y z. Lösung x y (8 2 i) ( 2 7 i) auflösen der Klammern gemäß der Rechenregeln für Binome i 4 i 14 i i 4 i i x y z (8 2 i) ( 2 7 i) ( 3 i) auflösen der Klammern gemäß der Rechenregeln für Binome ( i 4 i 14 i 2 ) ( 3 i) 48 i 168 i 2 12 i 2 42 i 3 48 i i i Division verstehen und ausführen Bevor wir uns die Division komplexer Zahlen näher ansehen, erinnern wir uns an die Aufgabenstellung der 6. Klasse: Stelle den folgenden Ausdruck mit rationalem Nenner dar. Es handelte sich um die Anwendung der Binomischen Formel (a b) (a b) a 2 b 2, demonstriert an folgendem Beispiel: ( 3 5) ( 3 5) ( 3) 2 ( 5) Dies ermöglichte uns damals die gestellte Aufgabe, den Nenner rational zu machen, folgendermaßen zu lösen: Eine analoge Vorgangsweise wählen wir nun im Bereich der komplexen Zahlen: Wir multiplizieren zwei komplexe Zahlen, die den gleichen Realteil besitzen und deren Imaginärteile entgegengesetzt gleich sind: ( 3 5 i) ( 3 5 i) ( 3) 2 (5 i) i ( 1) Das Ergebnis ist eine reelle Zahl. 9

12 1 Komplexe Zahlen und Gleichungen höheren Grades Definition 1.3 Es sei z a b i eine komplexe Zahl. Die zu z konjugiert komplexe Zahl ist die Zahl a b i. Man schreibt: z a b i Lies für z: z quer oder z konjugiert komplex. Jetzt kann die Division komplexer Zahlen in vollkommener Analogie durchgeführt werden. Für die Division (2 3 i) ( 1 2 i) gehen wir vor, wie wir es von den reellen Zahlen kennen und verwenden dabei die gewonnenen Erfahrungen mit der konjugiert komplexen Zahl: (2 3 i) ( 1 2 i) 2 3 i 1 2 i 2 3 i 1 2 i 1 2 i 2 4 i 3 i 6 i2 1 2 i = 1 ( 1) 2 (2 i) i 6 ( 1) 2 7 i i i i 5 Merke Zwei komplexe Zahlen werden dividiert, indem man den zugehörigen Bruch mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners erweitert: x y x y y y Die nun angegebene Formel musst du nicht auswendig lernen, wichtig ist nur, dass du die Vorgehensweise bei der Division komplexer Zahlen beherrscht. x y a b i (a b i) (c d i) (a c b d) (b c a d) i c d i (c d i) (c d i) c 2 d 2 Beispiel 8 Gegeben sind die beiden komplexen Zahlen x 4 3 i und y 2 5 i. Berechne x 2 y. Lösung x 2 y (4 3 i) 2 (2 5 i) quadrieren gemäß (a b) 2, Klammern auflösen i 9 i i i i 5 29 i 5 29 i konjugiert komplexe Zahl bilden: Vorzeichen des Imaginärteils ändern Beispiel 9 Gegeben sind die beiden komplexen Zahlen x 3 2 i und y 2 5 i. Berechne z x y. Lösung z x y 3 2 i ( 3 2 i) ( 2 5 i) erweitern mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners 2 5 i ( 2 5 i) ( 2 5 i) 6 4 i 15 i 10 i i i 15 i i 29 10

13 1.2 Rechenoperationen mit komplexen Zahlen durchführen Zusammenfassung Es sei z a b i eine komplexe Zahl. Die zu z konjugiert komplexe Zahl ist die Zahl a b i. Man schreibt dafür z a b i. Rechenoperationen Komplexe Zahlen werden addiert bzw. subtrahiert, indem man die Realteile und Imaginärteile separat addiert bzw. subtrahiert. (a b i) (c d i) (a c) (b d) i (a b i) (c d i) (a c) (b d) i Komplexe Zahlen werden multipliziert, indem man sie wie Binome ausmultipliziert und dabei die Definition i 2 1 beachtet. Zwei komplexe Zahlen werden dividiert, indem man den zugehörigen Bruch mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners erweitert: x y x y y y Musterbeispiele M 1.3 Gegeben sind x 1 i und y 3 2 i. Berechne Im (x), Im (y), Im(x y), Im (x) Im (y) und interpretiere das Ergebnis. Lösung Im (x) Im( 1 i) 1; Im (y) Im (3 2 i) 2 Imaginärteile von x und y bestimmen x y ( 1 i) (3 2 i) 3 2 i 3 i 2 i i Im(x y) Im ( 1 5 i) 5 Im (x) Im (y) 1 ( 2) 2 Offensichtlich gilt im Allgemeinen: Im (x y) Im (x) Im(y) Produkt berechnen, i 2 1 Imaginärteil von x y bestimmen Ergebnisse stimmen nicht überein M 1.4 Gegeben ist z 2 3 i. Berechne z z. Lösung z z 2 3 i 2 3 i 2 3 i 2 3 i 2 3 i 2 3 i 2 3 i 2 3 i i 3 i i 4 3 i 2 7 konjugiert komplexe Zahl bestimmen; erweitern mit 1 Multiplikation zusammenfassen, wobei i Übungsaufgaben 1.7 Berechne folgende Ausdrücke: a) (2 5 i) (6 14 i) b) (4 2 i) ( 8 12 i) c) ( 6 4 i) (1 3 i) d) e) f) ( 2 3 i) ( 2 3 i) ( 0,22 1,5 i) i ( 2,5 i) 2 3 p i 1 6 4p i Berechne folgende Ausdrücke: a) ( 4 7 i) (2 11 i) b) (3 5 i) ( 8 2 i) c) (15 6 i) (21 4 i) d) ( 2 i) ( i) ( 2 i) e) f) ( 2 3 i) ( 2 3 i) p i 5 8 6p i Berechne folgende Ausdrücke: a) Re (( 1 i) (3 8 i) i) b) Re (6 i ( 1 2 i) (2 3 i)) c) Im(2 ( 4 4 i) ( 3 10 i)) d) Im ( 5 i (2 9 i) ( 6 4 i)) 11

14 1 Komplexe Zahlen und Gleichungen höheren Grades 1.10 Berechne für x 7 2 i, y 3 2 i und z 1 5 i die folgenden Ausdrücke: a) y x z b) z y x c) x y z d) y x z e) 2 x (y z) f) y 2 (x 3 z) 1.11 Begründe und berechne. a) Lässt sich die Zahl 1 als Summe zweier rein imaginärer Zahlen schreiben? b) Sind x und y zwei komplexe Zahlen, so gilt: Re (x y) Re(x) Re (y). c) Schreibe die imaginäre Einheit i als Summe zweier komplexer Zahlen Berechne folgende Ausdrücke. a) (3 4 i) (2 9 i) b) (3 11 i) ( 8 2 i) c) ( 2 5 i) ( 1 i) d) ( 3) (8 7 i) e) (5 i) ( 4 3 i) f) ( 2 3 i) ( 2 3 i) g) (2 5 i) ( 3 2 i) (4 3 i) 1.13 Berechne für x 2 5 i, y 3 4 i und z 1 i die folgenden Ausdrücke: a) x y z b) x y z c) x y y z d) x (y z) e) x z y 2 3 (x z) 1.14 Berechne für x 3 5 i, y 2 3 i und z 8 5 i die folgenden Ausdrücke: a) Re (x y i z) b) Im (x y z) c) Re (3 y x z) d) Im(y (x z)) 1.15 Wird eine komplexe Zahl mit i multipliziert, so werden Realteil und Imaginärteil vertauscht. Ist diese Aussage richtig oder falsch? Begründe deine Antwort Argumentiere, ob im Allgemeinen gilt: Re(x y) Re (x) Re (y) für x, y C Berechne folgende Ausdrücke: a) 3 7 i b) 5 0,5 i c) 2 i d) i 1.18 Berechne folgende Ausdrücke für x 1 i und y 2 3 i: a) x y b) x y c) x y d) x 2 y Beweise, dass für alle komplexen Zahlen z gilt: a) z z 2 Re(z) b) z z Re (z) 2 Im (z) 2 c) z z 1.20 Berechne für die komplexe Zahl z a b i: 1 a) z z b) (z z) i (z z) 2 c) Argumentiere, warum das Binom a 2 b 2, das bisher als unzerlegbar galt, jetzt plötzlich über der Menge C der komplexen Zahlen in Linearfaktoren zerlegbar ist, und gib diese Zerlegung an Berechne folgende Ausdrücke: 2 3 i 4 i 6 5 i 2 3 i 5 3 i a) b) c) d) e) f) 6 i 1 3 i i 2 3 i 5 3 i 2 2 i 1 2 i 1.23 Berechne die Quotienten x y und y x. a) x 2 3 i; y 1 4 i b) x i; y 1 i c) x 5 2 i; y 2 5 i d) x 5; y 5 10 i e) x 2 i; y 3 i f) x 5 i; y 2 3 i 1.24 Berechne für die komplexe Zahl z a b i und interpretiere das Ergebnis. a) 1 z b) 1 2 i (z z) c) 1 (z z) d) z z Die Mathematik kennt als algebraische Strukturen Gruppe, Ring und Körper. Finde heraus, welche Rechengesetze in welcher Struktur gelten müssen und welche Zahlbereiche für welche Struktur in Frage kommen. Finde heraus, was der Schiefkörper der Quaternionen ist und untersuche die dort geltenden Rechengesetze. 12