Hochschule Regensburg. Übung 12_3 Genetische Algorithmen 1. Spezielle Algorithmen (SAL) Lehrbeauftragter: Prof. Sauer

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1 Hochschule Regensburg Übung 12_ Genetische Algorithmen 1 Spezielle Algorithmen (SAL) Lehrbeauftragter: Prof. Sauer Name: Vorname: 1. Was sind GA? - Ein GA ist ein Algorithmus, der Strategien aus der Evolutionstheorie nachahmt, um zu einem Problem eine möglichst gut Lösung zu finden. - Diese Suchalgorithmen basieren auf dem Mechanismus der natürlichen Selektion: -- Verbinden das Überleben der Stärksten -- mit strukturiertem aber zufälligem Informationsaustausch - Ziel: Anpassungsfähigkeit und Widerstandsfähigkeit der Natur nachzuahmen - Einfach zu realisieren -. Grund der Entwicklung: -- Abstraktion des Prozesses der natürlich Selektion -- Software für KI-Systeme 1 Vgl. Skriptum, 5. 1

2 2. Prinzip der genetischen Algorithmen Population zum Zeitpunkt t Kreuzung (crossover) Selektion Verdrängung Mutation Population zum Zeitpunkt t + 1. Rezept für die Konstruktion genetischer Algorithmen Man nehme ein oder mehrere Eltern, die durch Rekombination der Erbinformationen eine Anzahl von Nachkommen erzeugen. Nun streut man eine Prise Chaos hinein und mutiert damit die Information der Nachkommen. Man erhält nach diesem Rezept eine Population von einander ähnlichen Individuen (Reproduktionen), die mathematisch betrachtet, eine zufällige Auswahl der Umgebungsbeschreibung der Eltern im n-dimensionalen Parameterraum und deren Repräsentation im Lösungsraum darstellen. Zur Selektion dient ein Vergleich: Zielvorgabe mit den Randparametern (vorrangige Auswahl der Stärksten unter Berücksichtigung schwächerer Gruppen, Roulette-Rad). Glücksradauswahl (roulette wheel selection) ist der einfachste Selektionsalgorithmus, bei dem die Individuen von bester Fitness für die Reproduktion mit größerer Wahrscheinlichkeit selektiert werden. Aus einer Population mit n Individuen wird n- mal gezogen (mit Zurücklegen) und die selektierten Individuen im matching pool akkumuliert. 2

3 f abs ( s) f rel ( s) ist die Auswahlwahrscheinlichkeit eines Individuums (sog. f ( s' ) s' p( t ) abs fitnessproportionale Selektion 2 ) Veranschaulichung: Glücksrad mit einem Sektor je Individuum s. Die Sektorgröße entsprechen den relativen Fitnesswerten (s) f rel Markierung s4 s s5 s2 s6 s1 Auswahl eines Individuums: - Drehe Glücksrad - Wähle Chromosom dessen Sektor an der Markierung liegt Auswahl der Zwischenpopulation: - Wiederhole die Auswahl so oft, wie es Individuen in der Population gibt. Die daraus resultierenden Eltern werden nach Fitness im folgenden Generationsschritt benutzt, alle übrigen werden vergessen. Häufig verwendet man auch die folgende Form der Selektion (mit dem Parameter r, 0 < r < populations _ groesse und p, 0 p < 1): c < c - Wähle aus der Population p(t) zufällig (aber unter Berücksichtigung der Fitneß) r Chromosomen (mit Zurücklegen) - Bestimme für jedes für jedes dieser r Chromosomen, ob es am Crossover teilnimmt (Wahrscheinlichkeit p c ) oder mutiert wird (Wahrscheinlichkeit 1 pc ) und wende die genetischen Operatoren an. - Wähle aus p (t) zufällig (aber unter Berücksichtigung der Fitneß populations _ groesse r Chromosomen (ohne Zurücklegen) - Diese populations _ groesse r Chromosomen werden unverändert übernommen Mutationsschritte sind begrenzt und so in die zu optimierenden Größen einzubeziehen. Eine Schrittweiten-Festlegung legt fest, dass Mutationen nicht allzu zahlreich vorliegen. 2 Die absolute Fitness f abs (s) darf in diesem Fall nicht negativ sein, ggf. ist ein positiver Wert zu addieren und negative Werte sind Null zu setzen. Die Fitneß muß zu maimieren sein. (Sonst würden schlechte Individuen mit hoher Wahrscheinlichkeit gewählt).

4 4. Modellierung einer Problemstellung, die mit einem genetischen Algorithmus gelöst werden soll Definition einer Abbildung, so dass Lösungen des relevanten Suchraums durch Zeichenketten (Strings, Zeichen sind in der Regel 0 und 1) repräsentiert werden können (Genotypen). Die zugehörigen Lösungen bezeichnet man als Phänotyp (äußere Erscheinungsbild eines Individuums) Durch Anwendung genetischer Operationen auf die n Individuen einer Ausgangspopulation werden neue Individuen (Strings) erzeugt (auf der Ebene Genotypen). Die Bewertung der Individuen (Fitness) erfolgt auf der Ebene der Phänotypen 4.1 Welche Aktivitäten zählen zum Entwurf eines genetischen Algorithmus? Modellierung Finden einer geeigneten Codierung durch Strings Konfigurierung Auswahl einer geeigneten Verfahrensvariante, insbesondere durch effiziente Operatoren 4.2 Welche Arbeiten umfasst die Realisierungsphase? Arbeiten zum Umsetzen des Entwurfs in ein lauffähiges Optimierungsverfahren. Hierunter fallen Implementierung und Parametrisierung, d.h. Bestimmen der Werte für eterne Parameter Ein String ist eine Zeichenkette der Länge m, deren Glieder einem vorgegebenen Alphabet entnommen sind. 4

5 5. Aufbau und Funktionsweise von GAs Ein genetischer Algorithmus durchläuft die folgenden Schritte: - Kodierung - Fitness auswerten - Selektion - Crossover / Mutation 5.1 Kodierung Man unterscheidet: binäre Codierung, Permutation-Kodierung, Wert-Kodierung, Baum-Kodierung. Binäre Codierung - Binärer Vektor aus Menge : { 0,1} r,..., n M n M heißt Chromosom:, 1 2 für n > 1 r - n l() ist die Länge des Vektors n - M ist eine Population - i-te Position eines Chromosoms heißt i-tes Gen. - Wert des Gens heißt Allel (hier nur 0 und 1) möglich). - Gene sind Variable, die als Platzhalter dienen und Allele sind Werte dieser Variablen. - Programmtechnisch hat binäre Codierung erhebliche Vorteile: -- Individuen lassen sich wesentlich kompakter im Speicher verarbeiten (wichtig bei großen Populationen) -- schnelle Verarbeitung mit binären Zahlen (z.b. Shift-Operationen) - Es gibt aber auch Nachteile: -- Positionsabhängigkeit der Codierung: Positionen innerhalb des Codes sind nicht gleichwertig. -- führende Stellen codieren definitionsgemäss größere Zweierpositionen als hintere Die Wahl der Codierung erfolgt problemspezifisch. Es gibt kein allgemeines Kochrezept für eine gute Codierung. Man kann nur einige wünschenswerte Eigenschaften fordern: - Ähnliche Phänotypen sollen durch ähnliche Genotypen dargestellt werden. - Ähnliche Lösungskandidaten sollen eine ähnliche Fitness besitzen. - Der Suchraum (die Menge der möglichen Lösungskandidaten) sollte, wenn möglich, unter den verwendeten genetischen Operatoren abgeschlossen sein. Hamming-Klippen. Ähnliche Phänotypen sollen durch ähnliche Genotypen dargestellt werden. Benachbarte Elemente, z.b. Zahlen, können bspw. bei einer Darstellung durch Binärcodes sehr verschieden codiert sein, d.h. die Codierungen haben einen großen Hamming-Abstand (Anzahl verschiedener Bits). Große Hamming-Abstände können durch Mutationen und Crossover nur sehr schwer überwunden werden (sog. Hamming-Klippen). Bsp.: Der Bereich der Zahlen von 0 bis 1 werde durch 4-Bit-Zahlen dargestellt. Dann haben die Kodierungen von 7/15 (0111) und 8/15 (1000) den Hamming-Abstand 4. Die Lösung können Gray-Codes sein. Hier unterscheiden sich benachbarte Zahlen nur in einem Bit. 5

6 5.2 Fitnessfunktion Fitness ist der Erfolgsindikator, wird bei der Selektion verwendet. Mit der Fitness definiert man, was optimiert werden sollte. Allerdings gibt es auch hier ein Problem: (Epitasie): Die Änderung der Fitness durch die Änderung eines Gens hängt stark von den Ausprägungen der anderen Gene ab. 5. Neue Populationen erzeugen Eine neue Population erzeugt man durch folgende Schritte - Selektion (Auswahl der Individuen für Crossover) Individuen mit besserer Fitness sollen größere Chancen haben, Nachkommen zu erzeugen. Die Stärke der Bevorzugung guter Individuen heißt Selektionsdruck. Bei der Wahl des Selektionsdrucks gibt es aber einen Gegensatz von Durchforstung des Suchraums (eploration). Die Individuen sollen möglichst breit gestreut sein, damit die Chancen, dass das globale Optimum gefunden wird, möglichst groß sind. Ein geringer Selektionsdruck ist wünschenswert. Ausbeutung guter Individuen (eploitation) Es sollte das (u.u. lokale) Optimum in der Nähe guter Individuen angestrebt werden (Konvergenz zum Optimum). Ein hoher Selektionsdruck ist wünschenswert. Wahl des Selektionsdrucks: Die beste Strategie wäre: ein zeitabhängiger Selektionsdruck mit geringem Selektionsdruck in früheren Generationen höherer Selektionsdruck in späteren Generationen Allgemein wird der Selektionsdruck über eine Skalierung der Fitnessfunktion oder Parameter des Selektionsverfahrens gesteuert (z. B. Glücksradauswahl). - Crossover (verwirklicht den Informationsaustausch zwischen 2 Individuen) Man unterscheidet: Single-Point Crossover (zufällig wird ein Trennpunkt bestimmt. Parent A Parent B Resultat Two-Point-Crossover Parent A Parent B Resultat Uniform-Crossover Parent A Parent B Resultat Arithmetisches Crossover (UND) Parent A Parent B Resultat Mutation (verändert rein zufällig ein oder mehrere Gene eines Individuums) Ziel: gänzlich andere Lösungen zu finden, die mit der Kreuzung nicht allein generiert werden können. Die Mutation soll gewährleisten, daß die Vielfalt (viele unterschiedliche Lösungen) in der Population erhalten bleibt. 6

7 6. Programmablaufplan eines genetischen Algorithmus Auswahl einer Ausgangspopulation Wahl der Codierung Ermittlung der Fitness der Individuen Auswahl eines Individuums Selektion der Eltern NEIN Matching-pool voll? Auswahl eines oder mehrerer Eltern Zeugung der Auswahl und Rekombination (Reproduktion) Nachkommen Anwendung Mutation Crossover NEIN Neue Generation voll? NEIN Abbruchbedingung erfüllt JA Ende der Optimierung 7

8 7. Reproduktionsmodell Der Selektionsoperator wählt jedes Mal nur so viele Individuen aus, wie zur einmaligen Ausführung des Crossover- bzw. Mutationsoperators benötigt werden. Die entstandenen Nachkommen werden unmittelbar nach Anwendung des Operators in die Population eingefügt. Eltern bleiben in der Population. Anschließend werden so viele der schlechtesten Individuen aus der Population entfernt, wie Nachkommen eingesetzt werden. Falls derselbe Genotyp vor dem Einsetzen bereits in der Population eistiert, wird er verworfen. Auf diese Weise wird sichergestellt, daß die Population ausschließlich Unikate enthält. Die Strings werden in Abhängigkeit zur Fitness kopiert, z.b.: String Fitness Roulette-Rad Bei der Glücksradauswahl kann ein Individuum mit hoher Fitness die Auswahl dominieren. Das zeigt den starken Einfluss der Fitnessfunktion bei einer fitnessproportionalen Selektion. Dominanzproblem bei der Glücksradauswahl - hat ein Individuum eine sehr hohe Fitness, kann es die Auswahl dominieren - In den Folgegenerationen wird diese Dominanz noch verstärkt, da dann Kopien und dehr ähnliche Individuen vorliegen - Als Ergebnis kommt es zum Crowding. Diese Population besteht aus gleichen oder sehr ähnlichen Individuen - Crowding führt dazu, dass das (lokale) Optimum sehr schnell gefunden wird. - Nachteil: Die Diversität der Population geht verloren 8

9 8. Bsp.: 1. Gegeben ist f ( ) sin(10 π ) + 1. Gesucht ist Maimum im Intervall -1 bis 2, also o mit f ( o ) f ( ) für alle [ 1,2] - Mathematische Lösung - Notw. Bedingung: 1. Ableitung 0 - f '( ) sin(10* pi * ) + 10* pi * *cos(10* pi * ) 0 tan( 10* pi * ) 10* pi * - Unendlich viele Lösungen o 2 i 1 + i i 1,2, i i i 1, 2, ε i ε i ε { ε i } repräsentiert reelle Nullfolge ( i > 0) - Mit Hilfe der 2. Ableitung (Hinreichende Bedingung) Für ungerade i: Maimum Für gerade i: Minimum Graph der Funktion: f ( ) sin(10 π ) + 1 9

10 - Für die Funktion ( ) sin(10 ) + 1 bei f ( 19 ) ist etwas größer als f ( 1.85) 1.85* sin(10π ) bei f ( ) Repräsentation f π auf dem Intervall I[-1,2] ist das Maimum bei f ( ) bei f ( ) i - binärer Vektor mit 22 Bits: ( b b... b ) b 2 ' - auf Intervall normieren: Bsp.: i 10 - Chromosom ( ) ' ( ) natürlich sind ( ) 1 und ( ) 2 Bewertung (Evaluation) - Funktion eval ( v) f ( ) - Bsp.: v 1 v v Mutation 2 ( ) ( ) ( ) ergibt eval ( v ) f ( 1) eval ( v ) f ( 2 ) eval v ) f ( ) 1 2 ( das 5. Gen des Chromosoms v ist (zufällig) ausgesucht für Mutation v v ' ( ) ( ) , f ( ) f ( ) ' 1 ' - gewaltige Veränderung der Bewertung bei nur einer Mutation - wenn allerdings das 10. Gen mutiert: v v '' ( ) ( ) 10

11 v ( ) '' , f ( ) '' f ( ' ' ) geringe Veränderung der Bewertung (aber Verbesserung) Crossover - Crossover der beiden letzten Chromosomen nach dem 5. Gen v 2 ( ) v ( ) - Ergebnisse (Nachwuchs) v 2 ' ( ) v ' ( ) 2 ' f ( 2' ) ' f ( ' ) v hat bessere Bewertung als beide Eltern ' 11

12 2. Gefangenendilemma - 2 Gangster begehen gemeinsam einen Raub und werden gefaßt - der Raub kann nicht nachgewiesen werden - Gefängnisdirektor steckt beide in getrennte Zellen und macht Angebot: - Raub kann gestanden oder geleugnet werden - Leugnen beide, kann ihnen Raub nicht nachgewiesen werden, aber Strafe wegen unerlaubten Waffenbesitzes (1 Jahr Gefängnis) - gesteht einer, während der andere leugnet: Kronzeugenregelung für den Gestehenden, 5 Jahre für den Leugnenden Gestehen beide, erhalten sie jeweils 5 Jahre Gefangener 2 Gefangener 1 Leugnen (Cooperate) Gestehen (Defect) Leugnen (Cooperate) Gestehen (Defect) (-1,-1) (-5,0) (0,-5) (-4,-4) - spieltheoretische Lösung des Spiels (gestehen, gestehen) 4 - intuitiv ist die Lösung merkwürdig, weil die Spieler hier in der Summe schlechtesten Zustand erreichen: leugnen beide, bekommen sie -1 + (-1) -2 gestehen beide, bekommen sie -4 + (-4) -8 Repräsentation - Strategien sollen Ergebnisse der vorliegenden Spielzüge benutzen und dann aktuellen Spielzug wählen - Da 4 verschiedene Möglichkeiten für jeden Spielzug vorhanden, gibt es verschiedene Möglichkeiten für die vorherigen Spielzüge - Somit kann Strategie repräsentiert werden als String von 64 Bits (oder Ds und Cs), die angeben, was getan wird bei jeder der 64 Möglichkeiten - beim Start noch die hypothetischen vorherigen (nicht gespielten) Spielzüge angeben, dazu noch 6 Bits -> 70 Bits. C D C C D C C D D D C C C D D letzte Züge C C C D D C C C D D C C C D D C D C C D D.. C C GA von Aelrod 64 Bits 6 Bits virtuelle letzten Züge vor dem Start 1. Wähle Startpopulation: Jeder Spieler bekommt einen zufällig erzeugten 70-Bit-String 2. Bestimmen der Wirksamkeit von jedem Spieler, die Punktezahl des Spiels ist die Durchschnittspunktzahl von allen seinen Spielern. Spieler aussuchen zur Fortpflanzung. Spieler mit durchschnittlicher Punktzahl bekommen eine Paarung, mit überdurchschnittlicher Punktzahl keine Paarung 4 Streng dominante Strategie 12

13 4. zwischen erfolgreichen Spielern werden Paare gebildet, 2 Kinder je Paar werden produziert, Strategie des Nachwuchses entsteht durch Strategien der Eltern über Crossover und Mutation Eperimentelle Ergebnisse Einige Verhaltensmuster entwickeln sich in der Mehrheit der Individuen 1. weiter leugnen nach gegenseitigen Kooperationen: C nach (CC)(CC)(CC) 2. gestehen, wenn anderer gesteht: D nach (CC)(CC)(CD). leugnen, wenn Kooperation wiederhergestellt ist: C nach (CD)(DC)(CC) 4. leugnen, wenn gegenseitige Kooperation wiederhergestellt ist: C nach (DC)(CC)(CC) 5. D nach (DD)(DD)(DD) 1

14 . TSP Repräsentation: Problem mit binärer Kodierung für n 20 Städte. Stadt Codierung Stadt Codierung Stadt Codierung Probleme bei der Mutation: - Mutation kann Tour erzeugen, in der eine Stadt zweimal vorkommt, z.b Die Mutation am Gen 9 führt zu: Die Stadt 14 gibt es jetzt zweimal - Mutation kann Städte erzeugen, die keine Städte sind, z.b Mutation an Gen Es wird die nicht eistierende Stadt 21 erzeugt Ähnliche Problem gibt es beim Crossover - Entweder wird ein Reparier-Algorithmus verwendet oder besser gleich auf eine ganzzahlige Repräsentation verzweigt. Bei der Initialisierung kann die Population dann ausgehen von einer zufällig zusammengestellten Permutation von <1 2 n> - OX Operator (order crossover): Aus 2 Eltern wird ein Nachwuchs aufgebaut, in dem eine Subsequenz einer Tour eines Elternteils gewählt wird und die verhältnismäßige Ordnung der Städte beim anderen Elternteil beibehalten wird. 14

15 9. Schlussfolgerungen aus den Beispielen - Die Beispiele von GA zeigen eine große Anwendbarkeit von Gas aber auch Probleme - Der neue Operator OX Crossover war nicht trivial - Im ersten und dritten Bsp (Funktionsoptimierung, TSP) ist die Bewertungsfunktion klar definiert. - Im 2. Bsp. (Gefangenendilemma) hat ein einfacher Simulationsprozess die Bewertung der Spieler gegeben (Effektivität jedes Spielers wird getestet: Jeder Spieler spielt seine Strategie (Chromosom) gegen andere, seine Punktzahl ist die Durchschnittspunktzahl von allen Spielen) - Im ersten Bsp. (Funktionsoptimierung) konnte man eine zweckmäßige Repräsentation benutzen, bei der jedem binären String ein Wert einer Variable des Intervalls -1 2 zugeordnet wurde. - d.h.: jede Mutation und Crossover produziert einen zulässigen Nachwuchs - auch beim zweiten Beispiel funktioniert es - Beim. Problem ist es anders: Jede Stadt durfte nur einmal in der Tour vorkommen. - Dadurch entstanden Probleme: Benutzt wurden Vektoren aus ganzen Zahlen (anstelle von binären Zahlen) und der Crossover-Operator verändert. 15

16 10. Das Schematheorem Es gibt weder empirische Gesetze noch eine allgemeine Theorie, die die Eigenschaften von genetischen Algorithmen hinreichend beschreibt. 197 stellte John Holland eine Hypothese auf, die den Erfolg der genetischen Algorithmen zu erklären versucht. Die Hypothese ist als Schematheorem bekannt. Ein Schema ist ein Muster, das aus den Zeichen 0, 1 und dem Platzhalter # besteht und beschreibt eine Menge von Chromosomen, die in dieses Schema passen, z.b.: Die Chomosomen 0101, 0001, 1101 passen in das Schema ##01. Die Ordnung O (H ) eines Schemas H ist die Anzahl der festen Bits. Die definierte Länge δ (H ) des Schemas H ist definiert durch die Differenz der letzten und der ersten Stelle eines festen Bits. Zur Erklärung der Funktionsweise eines genetischen Algorithmus betrachtet man ein Schema mit hoher Fitness und untersucht welchen Einfluss die Operationen Selektion, Crossover und Mutation auf das Überleben solcher guten Schemata haben. 16

17 11. Implementierungen 1. Lösung des 8-Damen-Problems mit einem GA 5 Aufgabe: Entwerfe einen Algorithmus, der eine gültige Damenaufstellung als Ergebnis liefert. Folgendes Entwurfsschema dürfte hilfreich sein: - Festlegen einer geeigneten Repräsentation (Wie wird die Schachbrettaufstellung codiert?) - Definition der Fitness (Formulierung des Problems in Form einer Zielfunktion) - Definition von Rekombinations- bzw. Mutationsoperator - Festlegung der Selektionsoperation (Wer rekombiniert mit wem? bzw. Wer von Kindern und Eltern bleibt für die neue Generation erhalten?) - Festlegen der Populationsgrösse 1. Codierung für die Schachbrettaufstellung Günstig spaltenweise Codierung: Insgesamt gibt es 8 Spalten, die jeweils nur von einer Dame belegt werden können, da ansonsten ein unmittelbarer Konflikt entsteht. Es reicht die Zeilennummer zu notieren, in der die Dame steht. Insgesamt ergibt sich ein Codestring der länge 8, der die Zahlen 1 bis 8 enthält. Die Größe des Suchraums beträgt 8! 4020 Komnbinationen 2. Fitness. Rekombination 4. Mutation 5. Selektion 6. Populationsgrösse 7. Gefundene Lösung und Optimierungsverlauf 2. TSP 6 5 vgl. ueb12_, pr vgl. ueb12_, pr

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