Daten und Zufall in der Jahrgangsstufe 9 Seite 1

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1 Date ud uall i der Jahrgagsstue Seite usammegesetzte uallsexperimete, Padregel Aubaued au de Erahruge aus de vorhergehede Jahrgagsstue beschätige sich die Schüler systematisch mit zusammegesetzte uallsexperimete ud veraschauliche de Ablau solcher Vorgäge a Baumdiagramme. Mit Hile der (als Axiome eigeührte) Padregel bestimme sie ahrscheilichkeite (Gewichace). Ot lasse sich komplexe uallsexperimete als usammesetzug eiacherer uallsexperimete auasse. Beispiele: - Es wird mit drei ürel gewürelt. Dies lässt sich durch das dreimalige Ausühre des uallsexperimets Eie ürel were ersetze. - Statt vier Müze zu were, ka ma auch eie Müze viermal were. Solche Experimete lasse sich durch Baumdiagramme übersichtlich darstelle. Beispiel: Dreiacher Müzwur Bei jedem ur gibt es zwei Möglichkeite, Kop K oder ahl. Isgesamt ergebe sich 3 = Möglichkeite, die sich im Baumdiagramm übersichtlich darstelle lasse. Der Baum besteht aus Kote ud Äste, die je zwei Kote miteiader verbide. Die Edkote werde Blätter geat. Jeder Baum begit mit dem Startkote (Aagskote oder urzel) ud edet mit de Blätter. Ei eg vom Startkote zu eiem Blatt heißt Pad. Baumdiagramm. ur. ur 3. ur Ergebis (Ausgag) K K (K, K, K) K (K, K, ) K (K,, K) (K,, ) K Start K (, K, K) (, K, ) gezeichet mit Sotware zur Dyamische Geometrie K (,, K) (,, ) 00 Staatsistitut ür Schulqualität ud Bildugsorschug Abteilug Realschule

2 Date ud uall i der Jahrgagsstue Seite Padregel Mit Hile der Padregel ka ma ot eie rasche, eiache Berechug vo ahrscheilichkeite durchühre. Ma kommt ohe Ergebismege, ohe Ereigisse als Mege darzustelle ud ohe kombiatorische Berechuge aus. Für ei durch ei Baumdiagramm veraschaulichtes uallsexperimet gilt: () Pad-Multiplikatiosregel: Die ahrscheilichkeit ür ei Ergebis erhält ma durch die Multiplikatio der ahrscheilichkeite lägs des zum Blatt gehörige Pades. () Pad-Additiosregel: Die ahrscheilichkeit eies Ereigisses ist gleich der Summe der ahrscheilichkeite aller zugehörige Ergebisse (Pade). Beispiel ie groß ist die ahrscheilichkeit ür die Abolge K,, K beim dreiache ere eier Müze?. ur. ur 3. ur Ausgag (Ergebis) ahrscheilichkeit K K (K, K, K) K (K, K, ) K (K,, K) (K,, ) K Start K (, K, K) (, K, ) K (,, K) (,, ) Summe: 00 Staatsistitut ür Schulqualität ud Bildugsorschug Abteilug Realschule

3 Date ud uall i der Jahrgagsstue Seite 3 Da au jede Fall eies der Ergebisse eitritt, ist die Summe der ahrscheilichkeite aller Ergebisse. Beispiele: Die ahrscheilichkeit erst Kop, da ahl ud da Kop zu were beträgt = 0,5 =,5% (Pad-Multiplikatiosregel). Die ahrscheilichkeit ür das Ereigis geau zweimal ahl zu were beträgt = = 0,375 = 37,5% (Pad-Additiosregel). Bei viele Probleme reicht es, vereiachte Baumdiagramme zu zeiche. So bietet es sich otmals a, ur Ereigis ud Gegeereigis darzustelle. Beispiel: Es werde zwei ürel gewore. Mit welcher ahrscheilichkeit ällt ei Sechserpasch? Lösug mit Teilbaum: Start icht 6 6 icht 6 Bei jedem ur ist hierbei ur das Ereigis Es ällt eie 6 ud das Gegeereigis Es ällt keie 6 dargestellt. Die ahrscheilichkeit ür eie Sechserpasch beträgt = 0, 07,7% Staatsistitut ür Schulqualität ud Bildugsorschug Abteilug Realschule

4 Date ud uall i der Jahrgagsstue Seite 4 Beispiel: I eiem Koer beide sich 00 Uhre. Davo sid 70% Origialuhre ud 30% Fälschuge, die sich au de erste Blick icht uterscheide. Vo de Origialuhre sid 5% deekt, vo de Fälschuge sid 30% deekt. a) ie groß ist die ahrscheilichkeit, eie uktioierede Fälschug zu erhalte, we ma eie Uhr aus dem Koer immt? b) ie groß ist die ahrscheilichkeit, eie deekte Uhr aus dem Koer zu ehme? Lösug: Start Origial 0,7 0,5 uktioiert 0,7 0,05 = 0,665 = 66,5% 0,5 deekt 0, 7 0, 05 = 0, 035 = 3,5% Fälschug 0,3 uktioiert 0,3 0, 7 = 0, = % 0,7 0,3 deekt 0,3 0,3 = 0, 0 = % Summe: = 00% a) Die ahrscheilichkeit, eie uktioierede Fälschug aus dem Koer zu ehme, beträgt %. b) Die ahrscheilichkeit, eie deekte Uhr aus dem Koer zu ehme, beträgt 3,5% + % =,5%. 00 Staatsistitut ür Schulqualität ud Bildugsorschug Abteilug Realschule

5 5 5 5 Augabe Padregel Date ud uall i der Jahrgagsstue Seite 5. Die drei Glücksräder drehe sich gleichzeitig. Dreimal die ier 3 gewit a) ie groß ist die ahrscheilichkeit (Gewichace), dass alle drei Glücksräder die ier 3 azeige? b) Dreimal die gleiche ier gewit. ie groß ist die Gewichace? Lösug mit Teilbaum: a) 3 3 icht 3 3 icht 3 Start icht 3 Die Gewichace ür dreimal die ier 3 beträgt: P(3;3;3) = P(3;3;3) = 0,4% Staatsistitut ür Schulqualität ud Bildugsorschug Abteilug Realschule

6 Date ud uall i der Jahrgagsstue Seite 6 b) icht icht Start icht Die Gewichace ür dreimal eie gleiche ier beträgt: P(; ; ) = P(; ; ) = 0,4%. 7 Da die Gewichace ür jede der ier gleich groß ist, olgt ür die Gewichace dreimal die gleiche ier gewit: P(dreimal eie gleiche ier) = P(dreimal eie gleiche ier) = 7 P(dreimal eie gleiche ier) =, %. 00 Staatsistitut ür Schulqualität ud Bildugsorschug Abteilug Realschule

7 Date ud uall i der Jahrgagsstue Seite 7. Peter bietet seiem Bruder Paul olgede ette a: e bei drei üre mit eier -Euro-Müze midestes zweimal ahl ällt, mache ich deie Hausaugabe, sost machst du meie Hausaugabe. Soll Paul darau eigehe? a) Vervollstädige das Baumdiagramm.. ur. ur 3. ur Ergebis ahrscheilichkeit (,, ) = (,,) b) Schreibe alle Ausgäge zu dem Ereigis midestes zweimal ahl au. c) Ermittle die ahrscheilichkeit zum Ereigis midestes zweimal ahl. d) ie soll sich Paul etscheide? Begrüde. 00 Staatsistitut ür Schulqualität ud Bildugsorschug Abteilug Realschule

8 Lösug zu Augabe : Date ud uall i der Jahrgagsstue Seite a) Vervollstädige das Baumdiagramm. ur. ur 3. ur Ergebis ahrscheilichkeit (,, ) (,, ) = (,, ) (,,) (,,) (,,) (,,) (,,) b) Schreibe alle Ausgäge zu dem Ereigis midestes zweimal ahl au. (,,), (,,), (,,), (,,). c) Ermittle die ahrscheilichkeit zum Ereigis midestes zweimal ahl. P(midestes zweimal ahl) = = = 50%. d) ie soll sich Paul etscheide? Begrüde.. B.: Vo der Gewichace betrachtet, hadelt es sich um ei aires Spiel er köte es also aehme. Hat Paul de Si vo Hausaugabe erkat, dürte er au die ette icht eigehe. 00 Staatsistitut ür Schulqualität ud Bildugsorschug Abteilug Realschule

9 Date ud uall i der Jahrgagsstue Seite usammegesetzte uallsexperimete Beispielaugabe mit vereiachtem Baumdiagramm (Ereigis Gegeereigis) 3. Ei ürel wird dreimal acheiader gewore. Mit welcher ahrscheilichkeit würelt ma dabei a) keie Sechs? b) geau eie Sechs? b) höchstes eie Sechs? d) midestes eie Sechs? Lösug zu Augabe 3 mit Hile des Baumdiagramms: Sechs /6 Sechs ahrscheilichkeit Start /6 5/6 Sechs /6 5/6 /6 keie Sechs Sechs 5/6 keie Sechs Sechs /6 5/6 keie Sechs Sechs /6 5/6 keie Sechs keie Sechs 5/6 /6 Sechs keie Sechs 5/6 keie Sechs Staatsistitut ür Schulqualität ud Bildugsorschug Abteilug Realschule

10 Date ud uall i der Jahrgagsstue Seite 0 a) Keie Sechs wird mit eier ahrscheilichkeit vo 5 0,577 57,7% 6 = = gewürelt. b) Geau eie Sechs wird mit eier ahrscheilichkeit vo = = 0,347 = 34, 7% gewürelt c) Höchstes eie Sechs wird mit eier ahrscheilichkeit vo = = 0,5 =,5% gewürelt d) Midestes eie Sechs wird mit eier ahrscheilichkeit vo = = 0, 4 4,3% oder: 5 = 0,577 = 0,43 = 4,3% (Gegeereigis zu keie Sechs ) gewürelt Staatsistitut ür Schulqualität ud Bildugsorschug Abteilug Realschule

11 Date ud uall i der Jahrgagsstue Seite 4. Bei eiem Test ka ma bei drei Frage zwische vier vorgegebee Atworte wähle, vo dee jeweils geau eie Atwort richtig (r) ist, die adere drei sid alsch (). e ma icht weiß, welche Atwort richtig ist, ka ma rate. ie groß ist die ahrscheilichkeit, dass ma bei dem Test ur durch Rate a) geau zwei Atworte richtig hat? b) ur eie Atwort richtig hat? c) midestes eie Atwort richtig hat? Baumdiagramm (uvollstädig) mögliche Ergebisse ahrscheilichkeit. Frage. Frage 3. Frage r r, r, r 0,5 0,5 0,5 0,5 r, r, 0,5 0,5 0,5 0,5 r 0,5 r r r, r, 0,5 0,5 0,5 r, r, 0,5 0,5 0,5 r,, r r,, r,, r,, r,, r r,, r,, r,, r,, r r,, r,, r,,, r, r, r,, r,, r,,, r,,,,,, Start 0,5,, r,,,,,,,, r,,,,,,, r, r, r,, r,, r, 0,5,, r,,,,,,,, r,,,,,, 0,5,, r,,,,,,, r, r, r,, r,, r,,, r,,,,,,,, r,,,,,,,, r,,,,,, 00 Staatsistitut ür Schulqualität ud Bildugsorschug Abteilug Realschule

12 Date ud uall i der Jahrgagsstue Seite Lösug: Isgesamt gibt es = 64 mögliche Ergebisse (Ausgäge), vo dee beim Rate ach der Pad-Multiplikatiosregel jedes mit der gleiche ahrscheilichkeit vo 0,5 0,5 0,5 = 0,0565 eitritt. a) Geau zwei Atworte sid richtig bei de Ergebisse r,, r, r, r, r, r,, r r,, r r,, r, r, r, r, r, r, r. Nach der Pad-Additiosregel ergibt sich eie ahrscheilichkeit vo 0, , , , , , , , ,0565 = 0,0565 = 0,4065 4,%. b) Geau eie Atwort ist richtig bei de Ereigisse r,, (kommt -mal vor), r, (kommt -mal vor),, r (kommt -mal vor). Nach der Pad-Additiosregel ergibt sich eie ahrscheilichkeit vo 0, , ,0565 = 7 0,0565 = 0,475 4,%. c) Midestes eie Atwort ist richtig, we das Gegeereigis zu alle Atworte sid alsch eitritt. Die ahrscheilichkeit ür das Ergebis,, beträgt 7 0,0565 = 0,475 4,%. Die ahrscheilichkeit ür midestes eie richtige Atwort beträgt damit 0,475 = 0,575 57,%. Amerkug: Ei vereiachtes Baumdiagramm mit Hile des Gegeereigisses macht die Lösug übersichtlicher ud eiacher. (siehe ächste Seite) 00 Staatsistitut ür Schulqualität ud Bildugsorschug Abteilug Realschule

13 Date ud uall i der Jahrgagsstue Seite 3 Lösug zu Augabe 4 mit Hile eies Teilbaums: r Ergebisse ahrscheilichkeit r 0,5 r, r, r 0,5 0,5 0,5 r 0,5 0,75 r, r, 0,5 0,5 0,75 0,5 0,75 r 0,5 r,, r 0,5 0,75 0,5 Start r 0,75 r,, 0,5 0,75 0,5 r 0,5, r, r 0,75 0,5 0,5 0,75 0,5 0,75, r, 0,75 0,5 0,75 0,75 r 0,5,, r 0,75 0,75 0,5 0,75,, 0,75 0,75 0,75 r a) Geau zwei Atworte sid richtig, we die Ergebisse r, r, r,, r, r, r eitrete. Hierür beträgt die ahrscheilichkeit ach de Padregel: 0,5 0,5 0,75 + 0,5 0,75 0,5 + 0,75 0,5 0,5 = 3 0,5 0,5 0,75 = 0,4065 4,%. b) Geau eie Atwort ist richtig, we die Ergebisse r,,, r,,, r eitrete. Hierür beträgt die ahrscheilichkeit ach de Padregel: 0,5 0,75 0,75 + 0,75 0,5 0,75 + 0,75 0,75 0,5 = 3 0,5 0,75 0,75 = 0,475 4, %. 00 Staatsistitut ür Schulqualität ud Bildugsorschug Abteilug Realschule

14 Date ud uall i der Jahrgagsstue Seite 4 c) Midestes eie Atwort ist richtig, we das Gegeereigis zum Ergebis,, eitritt. Für das Ergebis,, ergibt sich ach der Pad-Multiplikatiosregel die ahrscheilichkeit: 0,75 0,75 0,75 = 0,475. Die ahrscheilichkeit ür das Gegeereigis ist da: 0,475 57,%. 00 Staatsistitut ür Schulqualität ud Bildugsorschug Abteilug Realschule

15 Date ud uall i der Jahrgagsstue Seite 5 Augabe zusammegesetzte uallsexperimete 5. Ei ürel wird 4-mal gewore. ie groß ist die ahrscheilichkeit ur Füe oder ur Sechse zu were? 6. Eie Ure ethält 3 schwarze ud 5 weiße Kugel. wei Kugel werde acheiader mit (ohe) urücklege gezoge. a) Bereche Sie die ahrscheilichkeit, zweimal eie schwarze Kugel zu ziehe. b) Bereche Sie die ahrscheilichkeit, dass die zweite Kugel schwarz ist. 7. Vo 0 ahle sid 5 positiv, 5 egativ. wei ahle werde zuällig ohe urücklege gewählt ud miteiader multipliziert. Ist ei positiver oder ei egativer Produktwert wahrscheilicher?. Vo ahle sid 4 gerade, 4 ugerade. wei ahle werde zuällig ohe urücklege gewählt ud miteiader multipliziert. ie groß ist die ahrscheilichkeit, dass der Produktwert eie gerade ahl ist?. wei Jäger schieße au dasselbe iel. Ihre Treerwahrscheilichkeite sid jeweils 0,5. Mit welcher ahrscheilichkeit wird das iel weigstes eimal getroe? 0. Ei Schütze hat die Treerwahrscheilichkeit 0,5. ie ot muss er au das iel schieße, um es mit midestes % ahrscheilichkeit zu tree? 00 Staatsistitut ür Schulqualität ud Bildugsorschug Abteilug Realschule

16 Lösuge (Kurzorm): Date ud uall i der Jahrgagsstue Seite 6 zu 5. P(5, 5, 5, 5) = = P(6, 6, 6, 6) = = P((5, 5, 5, 5) oder (6, 6, 6, 6)) = + = 0,5% zu 6. Mit urücklege (S steht ür eie schwarze, ür eie weiße Kugel): Baumdiagramm Ergebis ahrscheilichkeit 3 S 3 5 S S, S S, S, S, zu 6. a) Die ahrscheilichkeit, dass zwei schwarze Kugel gezoge werde, beträgt: 3 3 = 4,%. 64 zu 6. b) Die ahrscheilichkeit, dass die zweite gezogee Kugel schwarz ist, beträgt: = = 37,5% Staatsistitut ür Schulqualität ud Bildugsorschug Abteilug Realschule

17 Date ud uall i der Jahrgagsstue Seite 7 zu 6. Ohe urücklege (S steht ür eie schwarze, ür eie weiße Kugel): Baumdiagramm Ergebis ahrscheilichkeit 3 S S S, S S, S, S, zu 6. zu 6. a) Die ahrscheilichkeit, dass zwei schwarze Kugel gezoge werde, beträgt: 3 6 = 0,7% b) Die ahrscheilichkeit, dass die zweite gezogee Kugel schwarz ist, beträgt: = = = 37,5% Staatsistitut ür Schulqualität ud Bildugsorschug Abteilug Realschule

18 Date ud uall i der Jahrgagsstue Seite zu 7. (p steht ür eie positive, ür eie egative ahl) Baumdiagramm Ergebis ahrscheilichkeit p p p p, p p,, p, Ei positiver Produktwert tritt bei de Ergebisse p, p ud, ei. Die ahrscheilichkeit ür eie positive Produktwert beträgt: Damit ist ei egativer Produktwert wahrscheilicher. 4 + =. zu. (g steht ür eie gerade, ür eie ugerade ahl) Baumdiagramm Ergebis ahrscheilichkeit g u g u g u Eie gerade ahl als Produktwert tritt ei, we midestes ei Faktor gerade ist, also bei de Ergebisse g, g g, u ud u, g. g, g g, u u, g u, u Staatsistitut ür Schulqualität ud Bildugsorschug Abteilug Realschule

19 Date ud uall i der Jahrgagsstue Seite Damit ist die ahrscheilichkeit ür eie gerade ahl als Produktwert: = oder als Gegeereigis zu u, u: 3 = 7,6%. 4 4 zu. Das iel wird weigstes eimal getroe, we icht beide Jäger daebe schieße (woür die ahrscheilichkeit 0,5 0,5 = 0, 5 beträgt). Somit gilt ür das Gegeereigis iel weigstes eimal getroe eie ahrscheilichkeit vo 0,5 = 0,75 = 75%. zu 0. Das Gegeereigis zu midestes eimal Tree ist keimal Tree, woür die ahrscheilichkeit bei Schüsse 0,5 ist. p(kei Treer) p(midestes ei Treer) 0,5 50 % 0,5 0,5 = 0,5 0,5 = 75 % 3 0,5 0,5 0,5 = 0,5 0,5 = 7,5 % 4 0,5 0,5 0,5 0,5 = 0,065 0,065 = 3,75 % 5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 = 0,035 0,035 = 6,75 % 6 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 = 0,0565 0,0565 =,4375 % 7 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 = 0,0075 0,0075 =,75 % Er muss midestes 7-mal au das iel schieße. 00 Staatsistitut ür Schulqualität ud Bildugsorschug Abteilug Realschule

20 Date ud uall i der Jahrgagsstue Seite 0 Erwartugswert, Variaz ud Stadardabweichug (ur I) Vo zwei Gruppe zu je Kider werde die Körpergröße gemesse.. Gruppe. Gruppe Körpergröße Körpergröße i cm i cm Summe: 4 4 Mittelwert: Die Messwerte der Körpergröße ergebe ür beide Gruppe de gleiche Mittelwert vo 53 cm. Jedoch ist i keier der beide Gruppe ei Kid 53 cm groß. ie uterscheide sich u die beide Gruppe, obwohl sie de gleiche Mittelwert habe? Die graphische Darstellug der Messwerte zeigt Uterschiede: Mittelwert Gruppe. Gruppe ir utersuche ür beide Gruppe die Abweichuge vom Mittelwert (Streuug) ud stelle est: Summiere der Abweichuge vom Mittelwert ergibt stets Null. Das sollte eigetlich keie Überraschug sei, soder olgt aus de Eigeschate des Mittelwerts: Die Abweichuge + ud hebe sich gegeseitig au. ir köte die Beträge der Abweichuge ausummiere ud damit ei Maß ür die Streuug estlege. Es gibt jedoch eie bessere Idee: e wir die Abweichuge quadriere, da werde ihre erte alle positiv. Als weitere Folge des Quadrieres ergibt sich, dass größere Abweichuge vom Mittelwert stärker berücksichtigt werde als kleiere.. B. wirkt sich durch das Quadriere eie Abweichug um zeh Eiheite vom Mittelwert geauso stark aus wie hudert Abweichuge um eie Eiheit. 00 Staatsistitut ür Schulqualität ud Bildugsorschug Abteilug Realschule

21 Date ud uall i der Jahrgagsstue Seite Augabe: Überlege, warum dies so ist ud gib weitere Beispiele daür a. Der Mittelwert der Quadrate der Abweichuge ist ei Maß ür die Streuug. Er heißt Variaz. Nu stehe durch das Quadriere die ursprügliche Eiheite im Quadrat. Das köe wir dadurch korrigiere, dass wir die urzel ziehe. Die urzel aus der Variaz, also die urzel aus der Summe der Quadrate der Abweichuge, heißt Stadardabweichug. Die Stadardabweichug ist der Mittelwert aller Abweichuge vom Mittelwert. Sie ist ei Maß ür die Streuug. Augabe: erte die Körpergröße beider Gruppe mit eiem Tabellekalkulatiosprogramm aus. Hiweis: Die Formel ür die Variaz lautet i Excel =variaze(), die Formel ür die Stadardabweichug lautet =stabw(). Lösug: Abweichug vom Mittelwert i cm Quadrat der Abweichug i cm. Gruppe. Gruppe Körpergröße Abweichug Quadrat der Körpergröße i cm vom Mittel- Abweichug i cm wert i cm i cm Summe: Mittelwert: Mittelwert der Quadrate der Abweichuge Variaz: 7,5 cm 44,5 cm urzel daraus Stadardabweichug:,44 cm 0,603 cm Als grobe Vorstellug gilt: Die durchschittliche Abweichug der Eizelwerte vom Mittelwert beträgt i der. Gruppe,4 cm ud i der. Gruppe 0,6 cm. Sicher ist: Die Körpergröße streue i der zweite Gruppe deutlich stärker als i der erste. 00 Staatsistitut ür Schulqualität ud Bildugsorschug Abteilug Realschule

22 Date ud uall i der Jahrgagsstue Seite Nur ür de Lehrer: Vo userer Formel ür Variaz zur Excel-Formel =variaze(): ( xi x) i= i= i i ( ) ( ) ( ) xi x xi x beim mittlere Glied ist x ei Faktor, beim letzte + i= i= i= ( ) xi x x x wird es -mal ausummiert. + i= xi x i= x x i= x ( x) xi xi i= i= Formel i Excel: = variaze() Nach der DIN-Norm wird icht durch soder durch - dividiert. Dies ührt bei Stichprobe zu bessere Aussage. 00 Staatsistitut ür Schulqualität ud Bildugsorschug Abteilug Realschule

23 Date ud uall i der Jahrgagsstue Seite 3 Beispielaugabe: Die Tabelle ethält die Schülerzahle i de 7. Klasse vo vier Realschule. A-Schule B-Schule C-Schule D-Schule Klasse Azahl Azahl Azahl Azahl 7a b c d Mittelwert Spaweite 0 33 Variaz 0 0,5,5,5 Stadardabweichug 0,00 0,7 3,54 3,7 Vergleiche die Aussage über die Mittelwerte ud die Streuugsmaße i der Tabelle mit der Aussage der Graphik Mittelwert 7a 7b 7c 7d A-Schule B-Schule C-Schule D-Schule Schaue dir die eizele Agabe u och eimal kritisch a 00 Staatsistitut ür Schulqualität ud Bildugsorschug Abteilug Realschule

24 Date ud uall i der Jahrgagsstue Seite 4 Beispielaugabe: I eier Schraubeabrik werde a drei Maschie Schraube mit eier Läge vo 5 mm ür die Motage vo Kameraobjektive geertigt. Die olgede Tabelle gibt die erte vo Messuge a. elche Maschie hältst du ür die beste? Lösug: Maschie_ Maschie_ Maschie_3 Läge i mm Läge i mm Läge i mm 4,57 4,4 4,0 5, 4,0 5,36 3 4, 4,6 4,7 4 5,0 4,76 5,7 5 4,4 4,66 4,6 6 5,37 5,4 4,7 7 5,5 5, 4,66 4,54 4,6 5,4 5,3 5,3 4,67 0 4, 5,35 4, 5,03 4,4 4,6 4, 5, 4,6 3 5,05 4,6 5,46 4 4,53 4,3 5,07 5 5,33 5, 5,7 6 5,3 5,40 5,3 7 4, 4,56 5, 5,3 5,40 4,5 4,5 5, 4,5 0 4, 4,5 5,50 4, 4, 4,4 Maschie_ Maschie_ Maschie_3 Mittelwert i mm: 5,00 5,00 5,00 Variaz i mm : 0,07 0,0 0,0 Stadardabweichug i mm: 0,6 0, 0,3 Da alle drei Maschie bei der Messug de gleiche Mittelwert vo 5,00 mm erreiche, köte ma vermute, dass sie Schraube gleicher Qualität produziere. Vergleicht ma jedoch die Variaz bzw. Stadardabweichug, so sieht ma, dass die Läge der Schraube bei Maschie_ am weigste streut. 00 Staatsistitut ür Schulqualität ud Bildugsorschug Abteilug Realschule

25 Date ud uall i der Jahrgagsstue Seite 5 Beispielaugabe (aus der ahrscheilichkeitsrechug): ir wolle ür de ur mit ürel die ahrscheilichkeit ür die eizele mögliche Augesumme ermittel. Hier tritt der Begri Erwartugswert a die Stelle des Mittelwerts. So wie sich i der ahrscheilichkeitsrechug der Begri ahrscheilichkeit zum Begri relative Häuigkeit verhält, verhält sich i der beschreibede Statistik der Begri Erwartugswert zum Begri Mittelwert. Der Erwartugswert wird als Summe der Produkte aus ahrscheilichkeit eies Ereigisses mit desse ert berechet. Beispiel zur Berechug des Erwartugswerts: Die Augesumme ka die erte, 3, bis aehme. ie wir wisse, ergebe sich ür diese erte die olgede ahrscheilichkeite. Augesumme: ahrscheilichkeit: Erwartugswert: Der Erwartugswert ist 7. Für die Variaz gilt: ( 7) + ( 3 7) + ( 4 7) + ( 5 7) + ( 6 7) + ( 7 7) ( 7) + ( 7) + ( 0 7) + ( 7) + ( 7) Die Stadardabweichug ist 35, 4 6 =. 00 Staatsistitut ür Schulqualität ud Bildugsorschug Abteilug Realschule

26 Date ud uall i der Jahrgagsstue Seite 6 Beispielaugabe (aus der ahrscheilichkeitsrechug): Jedes Los gewit Die Klasse a eröet au dem Schulest eie Losbude, dere Erlös sie ür die Neugestaltug des Pausehos spede will. Die Schüler stelle 00 Lose her. Der Hauptgewi ist ei MP3- Player im ert vo 50,00, der zweite Gewi ist ei Computerspiel im ert vo 30,00 ud der dritte Gewi ist ei Computerspiel im ert vo 0. Alle adere Gewie sid Trostpreise im ert vo je 0,50. ie teuer müsste ei Los sei, damit die Eiahme ud die Ausgabe ach dem Verkau aller Lose gleich groß sid?. Lösugsmöglichkeit: 50, ,00 + 0, ,50 =,45 00 Ei Los müsste,45 koste.. Lösugsmöglichkeit: ir ermittel zuerst die ahrscheilichkeite ür die uterschiedliche Gewie: De Gewi im ert vo 50 gibt es eimal: ahrscheilichkeit: 00 De Gewi im ert vo 30 gibt es eimal: ahrscheilichkeit: 00 De Gewi im ert vo 0 gibt es eimal: ahrscheilichkeit: 00 De Gewi im ert vo 0,50 gibt es 7-mal: ahrscheilichkeit: 7 00 Für de Loskäuer ergibt sich also olgeder Erwartugswert (Summe der Produkte aus ahrscheilichkeit eies Ereigisses mit desse ert): 7 50, ,00 + 0,00 + 0,50 =, Bei eiem Lospreis vo,45 würde also weder ei Gewi och ei Verlust etstehe. Die Klasse beschließt ür jedes Los zu verlage. ie hoch wird die Spede, we alle Lose verkaut werde? 00 (,00,45 ) = 5,50. Die Spede beträgt 5, Staatsistitut ür Schulqualität ud Bildugsorschug Abteilug Realschule

27 Date ud uall i der Jahrgagsstue Seite 7 Beispielaugabe (aus der ahrscheilichkeitsrechug): Jedes Mal, we Rupert eie Gruppe vo ü Persoe trit, wettet er 00, dass midestes zwei vo diese ü Persoe im gleiche Moat Geburtstag habe. Überlegug: Die ahrscheilichkeit, dass midestes Persoe im gleiche Moat Geburtstag habe, reche wir über das Gegeereigis (alle ü Persoe habe i verschiedee Moate Geburtstag) aus. Die. Perso ka aus Moate auswähle: Die. Perso ka aus Moate auswähle: Die 3. Perso ka aus 0 Moate auswähle: 0 Die 4. Perso ka aus Moate auswähle: Die 5. Perso ka aus Moate auswähle: Die ahrscheilichkeit, dass alle 5 Persoe i uterschiedliche Moate Geburtstag habe, beträgt = = 0, Für das Gegeereigis (midestes zwei Persoe habe im gleiche Moat Geburtstag) beträgt die ahrscheilichkeit 0,3 = 0,6. Berechug des Erwartugswertes: ( 00 ) 0, ,6 = 3,6 Lagristig hat Rupert eie Gewierwartug vo 3,6 pro Spiel. 00 Staatsistitut ür Schulqualität ud Bildugsorschug Abteilug Realschule

28 Date ud uall i der Jahrgagsstue Seite Iteressat sid Berechuge zum Vergleich vo Spielstrategie Beispielaugabe (aus der ahrscheilichkeitsrechug): Beim Roulette wirt der Croupier eie Kugel. Diese ladet mit gleich großer ahrscheilichkeit i eiem vo 37 Fächer, die mit ahle vo 0 bis 36 gekezeichet sid. Vo diese ahle sid rot ud schwarz. Die Null ist grü. Karl ud Heirich spiele. Karl Karl setzt 5 au die ahl 0. Im Gewiall erhält er ach de Spielregel das 36-ache seies Eisatzes zurück. Da es 37 ahle gibt, beträgt die Chace 37 au eie Gewi vo Heirich Heirich setzt au schwarz. Im Gewiall erhält er ach de Spielregel das Doppelte seies Eisatzes zurück. Da es schwarze ahle gibt, beträgt die Chace au eie Gewi vo { = 75 ür Karl. Eisatz Die Chace au eie Verlust vo 5 beträgt Als Erwartugswert ergibt sich: ( 5 ) = { = 5 ür Heirich. Eisatz Die Chace au eie Verlust vo 5 beträgt 37. Als Erwartugswert ergibt sich: ( 5 ) = Die Erwartugswerte ür beide Strategie sid also gleich. Au lage Sicht würde jeder der beide Spieler pro Spiel eie Verlust vo 5, also 3,5 Ct, mache. 37 Ist es also egal, welche der beide Strategie ma spielt? Um das zu utersuche, bereche wir ür beide Strategie die Stadardabweichuge ( ) + 5 ( ) ( ) + 5 ( ) = =, 30 3 = = 5, Die deutlich uterschiedliche erte ür die Stadardabweichuge der beide Strategie lasse erkee, dass das Verlustrisiko, aber auch der mögliche Gewi, mit Karls Strategie deutlich größer ist als mit Heirichs. 00 Staatsistitut ür Schulqualität ud Bildugsorschug Abteilug Realschule

29 Date ud uall i der Jahrgagsstue Seite Augabe. Aus de olgede ü örter wird eies zuällig gezoge: DIESER INTER IST SEHR SCHNEEREICH. Bereche olgede Erwartugswerte: a) Azahl der Buchstabe des gezogee ortes. b) Azahl der Vokale des gezogee ortes. c) Azahl der Kosoate des gezogee ortes. d) Azahl der Buchstabe E des gezogee ortes.. Frage deie Mitschülerie ud Mitschüler ach ihre Schuhgröße ud trage diese i die Tabelle ei. erte die Utersuchug zuerst über alle Jugedliche ud da getret ach Mädche ud Juge aus ud vergleiche. Schuhgröße: Juge Azahl: Mädche Azahl: a) eiche ei Säulediagramm. b) Stelle die Ergebisse i eiem Boxplot dar. c) Bestimme ei Maß ür die Streuug. 3. Du erhältst vier au de erste Blick gleich aussehede Schlüssel ud sollst damit eie Türe ausperre. Es ist sicher, dass geau eier der Schlüssel passt. Bestimme de Erwartugswert ür die Azahl der otwedige Versuche. Azahl der Versuche: 3 4 ahrscheilichkeit: 4. Es wird dreimal hitereiader ei ürel gewore. Jedes Mal, we der ürel midestes eie ü zeigt, wird das Spielkapital verdoppelt, asoste wird es halbiert. a) eiche ei Baumdiagramm ür dieses Spiel. b) Mit welchem Betrag rechest du am Ede des Spiels, we du mit eiem Startkapital vo 0 atrittst? c) Bestimme ei Maß ür die Streuug. d) Nimmst du a diesem Spiel teil? 00 Staatsistitut ür Schulqualität ud Bildugsorschug Abteilug Realschule

30 Date ud uall i der Jahrgagsstue Seite 30 Lösuge: Augabe : DIESER INTER IST SEHR SCHNEEREICH Azahl Buchstabe: Erwartugswert ür Azahl der Buchstabe Azahl der Vokale 3 4 Erwartugswert ür die Azahl der Vokale =, Azahl der Kosoate oder: 4 = 7 Erwartugswert ür die Azahl der Kosoate = 3, oder: 6,= 3, Azahl der Buchstabe E 0 3 Erwartugswert ür die Azahl der Buchstabe E =, Augabe 3: Azahl der Versuche: 3 4 ahrscheilichkeit: Baumdiagramm zur Bestimmug der ahrscheilichkeite (S: alscher Schlüssel; ps: passeder Schlüssel) Erwartugswert: =, Staatsistitut ür Schulqualität ud Bildugsorschug Abteilug Realschule

31 Date ud uall i der Jahrgagsstue Seite 3 Augabe 4 a) Das Baumdiagramm zeigt olgede ahrscheilichkeite: 0 0 5, b) Ermittlug des Erwartugswerts: 6 (0 0 ) + (0 0 ) + (5 0 ) + (, 5 0 ) Der Erwartugswert beträgt 0. c) Berechug der Stadardabweichug: 6 (0 0 ) + (0 0 ) + (5 0 ) + (, 5 0 ) 5, Die Stadardabweichug beträgt 5,4. d) Der Erwartugswert 0 zeigt, dass das Spiel air ist lägerristig stellt sich weder ei Gewi och ei Verlust ei. Die Stadardabweichug zeigt jedoch, dass das Spiel icht ohe Risiko ist. 00 Staatsistitut ür Schulqualität ud Bildugsorschug Abteilug Realschule