Entscheidungsanalyse unter Risiko und Unsicherheit

Transkript

1 Guido Recke Entscheidungsanalyse unter Risiko und Unsicherheit Entscheidungscharakteristika in ökonomischen Netzen Göttingen 2004

2 Guido Recke Entscheidungsanalyse unter Risiko und Unsicherheit Entscheidungscharakteristika in ökonomischen Netzen Habilitationsschrift von Guido Recke Göttingen 2001

3 Vorwort Die Entscheidungstheorie ist ein Wissensgebiet der Ökonomen, das in den letzten Jahren eine besondere Aufmerksamkeit gewonnen hat. An dieser Entwicklung haben der Nobelpreisträger Daniel Kahneman zusammen mit seinem Kollegen Amos Tversky einen entscheidenden Anteil. Sie haben mit ihren Arbeiten die Entscheidungstheorie maßgeblich beeinflusst. Außerdem haben die Entwicklungen in den Bereichen Computertechnik und Software dazu beigetragen, dass viele Analysen von Entscheidungsproblemen inzwischen auch am PC durchgeführt werden können. Dadurch konnten neue Erkenntnisse aus der Entscheidungstheorie auch in der Praxis umgesetzt werden. Ziel dieser Schrift ist es, auf dem Gebiet der Entscheidungstheorie den Entscheidungsnetzansatz einzuführen. Dieser Ansatz erlaubt eine wesentliche Erweiterung von Entscheidungsanalysen unter Risiko und Unsicherheit. Mit ihm können selbst mehrfaktorielle netzartige Einflussstrukturen mittels der dafür abgeleiteten statistischen Kenngrößen deskriptiv und normativ analysiert werden. Neue Erkenntnisse erschließen sich damit in der Entscheidungslehre und Spieltheorie, und auch für andere Forschungsgebiete der Ökonomik, in die Risiko und Unsicherheit eingehen, wie z. B. in der Investitionslehre, sind neue Einsichten zu erwarten. Mein herzlicher Dank gilt all denen, die mich bei dieser Arbeit unterstützt haben. Besonders möchte ich meinen akademischen Lehrern am Institut für Agrarökonomie in Göttingen danken. Herr Prof. em. Dr. Wilhelm Brandes, an dessen Lehrstuhl für Theoretische Landwirtschaftliche Betriebslehre ich die Habilitationsschrift verfassen konnte, hat maßgeblich zum Gelingen beigetragen. Er hat viele wichtige inhaltliche Anregungen gegeben und sich stets viel Zeit für meine Fragen genommen. Bedanken möchte ich mich auch bei Herrn Prof. Dr. Michael Leserer. Er ist der geistige Vater der Entscheidungsnetze und hat wesentlich dazu beigetragen, den Ansatz der Entscheidungsnetze auch auf Entscheidungssituationen unter Risiko und Unsicherheit zu übertragen und die zugehörigen statistischen Grundlagen und Konzepte zu entwickeln. V

4 Mein Dank gilt auch den Kollegen am Institut und besonders den Doktoren Thomas Berger, Jocelyn Braun, Hans-Joachim Budde, Alois Fenneker, Ludger Hinners- Tobrägel und Olaf Linnemann, die in vielen Lehrstuhlbesprechungen mit kritischen Anmerkungen meine Arbeit vorangebracht haben. Ohne die Entwicklung eines Programms, mit dem komplexe Entscheidungsnetze analysiert werden können, wäre diese Schrift nicht möglich gewesen. Hier ist besonders Herr Manfred Tietze zu erwähnen, der das leistungsfähige Programm Magic entwickelt hat. Danken möchte ich zudem den Herren Dipl.-Ing. agr. Cord Kröschell und Jochen Meyer, die wichtige Makros zur graphischen Aufbereitung der Ergebnisse aus der Entscheidungsnetzanalyse entwickelt haben. Schließlich gilt mein Dank Herrn M.Sc. Bernhard Link, der mich in der Schlussphase beim Layout der Arbeit unterstützt hat. Bedanken möchte ich mich auch bei den Gutachtern mit ihren wichtigen Anregungen zu dieser Habilitationsschrift. Mein besonderer Dank gilt dabei Herrn Prof. Dr. Michael Grings, der sich in dieses neue Gebiet intensiv eingearbeitet hat und wichtige Anmerkungen geben konnte, die entscheidend die vorliegende Monographie verbessert haben. Mein Dank gilt auch Herrn Wolfgang Peinemann und Frau Martina Reichmann, die viele Abbildungen erstellt und mich beim Schreiben der Endfassung unterstützt haben. Schließlich gilt mein besonderer Dank meiner Frau, die mich in dieser Zeit stets unterstützt und es damit erst ermöglicht hat, dass diese Schrift nun vorliegt. Göttingen, im Juni 2004 Guido Recke VI

5 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis... VII 1 Einleitung Entscheidungen unter Risiko und Unsicherheit Grundlagen der Entscheidungsfindung Entscheidungsansätze unter Risiko und Unsicherheit Einführung Grundlagen der Erwartungsnutzentheorie Alternativen zur Erwartungsnutzentheorie Modifikationen der Erwartungsnutzentheorie Erwartungswert-Varianz-Analyse Stochastische Dominanz Prospect-Theorie Zur Interpretation von Wahrscheinlichkeiten Einführung Exkurs zur Geschichte der Wahrscheinlichkeitstheorie Objektivistische Interpretation Subjektivistische Interpretation Verwirklichungstendenzen Entscheidungsverfahren Einführung Entscheidungsbäume und -matrizen Einflussdiagramme Entscheidungsnetze Charakteristika für Entscheidungsnetze Einführung Zur Ermittlung von Charakteristika in Entscheidungsnetzen Wahrscheinlichkeitsmaßfunktionen Erwartungswerte und Varianzen VII

6 Bedingte Erwartungswerte und bedingte Varianzen Varianzanalyse Multivariate Analysen Entscheidungsnetzanalyse Sensitivitätsanalysen Einführung Veränderungen in der Struktur Veränderungen in den Attributen Veränderungen in den Wahrscheinlichkeiten Entscheidungsnetze und Spieltheorie Einführung Grundlagen der Spieltheorie Entscheidungsnetze und Nash-Gleichgewichte Zusammenfassung und Ausblick Literaturverzeichnis Anhang Anhang 1: Quellcode des Programms MAGIC.EXE in der Version 2.0 vom November 2000, nach einer Idee von M. Leserer, weiterentwickelt und überarbeitet von G. Recke, von M. Tietze programmiert Anhang 2: Beschreibung der Routine NETZINP1.EXE zur Erstellung einer Eingabedatei und des Programms MAGIC.EXE Anhang 3: Die Ausgabe von MAGIC.EXE VIII

7 Tabellenverzeichnis Tabelle 2.1: Investitionsentscheidung unter Unsicherheit: Erwarteter Gewinn... 8 Tabelle 2.2: Entscheidungsmatrix Investitionsentscheidung: Erwarteter Gewinn Tabelle 2.3: Beschreibung der Handlungsalternativen Tabelle 2.4: Zulässige Alternativenkombinationen und ihre wahrscheinlichkeitstheoretische Auswertung Tabelle 2.5: Gemeinsame WMF Tabelle 2.6: Gemeinsame WMF für das Anbieter-Nachfrager-Beispiel Tabelle 2.7: Bedingte WMF Tabelle 2.8: Bedingte WMF für das Anbieter-Nachfrager-Beispiel Tabelle 2.9: Varianz-Kovarianz-Matrix Tabelle 2.10: Korrelationsmatrix Tabelle 2.11: Bedingte Erwartungswerte Tabelle 2.12: Bedingte Varianz Tabelle 2.13: Varianzzerlegung Tabelle 2.14: Gemeinsame WMF der Zufallsvariablen X 1 und Y, X 2 = Tabelle 2.15: Gemeinsame WMF der Zufallsvariablen X 1 und Y, X 2 = Tabelle 2.16: Multivariate gemeinsame WMF in Diagonalform Tabelle 2.17: Multivariate gemeinsame WMF mit der Variable Z Tabelle 2.18: Multivariate bedingte WMF Tabelle 2.19: Multivariate gemeinsame WMF Tabelle 2.20: Multivariate bedingte WMF und ausgewählte Parameter Tabelle 3.1: Bedingte WMF und ausgewählte Parameter des Entscheidungsnetzes Kaufsituation Tabelle 3.2: Bedingte WMF und ausgewählte Parameter des Entscheidungsnetzes Kaufsituation Tabelle 3.3: Bedingte WMF und ausgewählte Parameter des Entscheidungsnetzes Kaufsituation Tabelle 3.4: Bedingte WMF und ausgewählte Parameter des Entscheidungsnetzes Kaufsituation Tabelle 3.5: Angsthase (Variante 1) IX

8 Tabelle 3.6: Zwei-Personen-Spiel in strategischer Form Tabelle 3.7: Angsthase (Variante 2) Tabelle 3.8: Angsthase (Variante 1) mit Payoff und Bestimmtheitsmaß ( ) Tabelle 3.9: Angsthase (Variante 2) mit Payoff und Bestimmtheitsmaß ( ) Y X Y X X

9 Abbildungsverzeichnis Abbildung 2.1: Verteilungsfunktionen und stochastische Dominanz Abbildung 2.2: Typische Wertfunktion (Prospect-Theorie) Abbildung 2.3: Wahrscheinlichkeitsgewichtungsfunktion (Prospect-Theorie) Abbildung 2.4: Wahrscheinlichkeitsgewichtungsfunktionen (kumulative Prospect- Theorie) Abbildung 2.5: Entscheidungsbaum Investitionsentscheidung Abbildung 2.6: Einflussdiagramm Geldanlage Abbildung 2.7: Einflussformen in Einflussdiagrammen Abbildung 2.8: Entscheidungsnetz Kaufsituation Abbildung 2.9: Entscheidungsnetz Anbieter-Nachfrager-Beispiel Abbildung 3.1: Entscheidungsnetz Kaufsituation Abbildung 3.2: Entscheidungsnetz Kaufsituation Abbildung 3.3: Entscheidungsnetz Kaufsituation Abbildung 3.4: Entscheidungsnetz Kaufsituation Abbildung 3.5: Kaufsituation 3, Fall 1 (N 2 bei A 21 = 1) Abbildung 3.6: Kaufsituation 3, Fall 2 (N 2 bei A 21 = 10) Abbildung 3.7: Kaufsituation 4, Fall 1 (N 2 bei A 41 = 1) Abbildung 3.8: Kaufsituation 4, Fall 2 (N 2 bei A 41 = 10) Abbildung 3.9: E(Y) der Kaufsituation Abbildung 3.10: Var(Y) der Kaufsituation Abbildung 3.11: Y X der Kaufsituation Abbildung 3.12: E(Y) der Kaufsituation Abbildung 3.13: Var(Y) der Kaufsituation Abbildung 3.14: der Kaufsituation Y X Abbildung 3.15: Entscheidungsnetz ausgehend von Spieler A Abbildung 3.16: Entscheidungsnetz ausgehend von Spieler B Abbildung 3.17: Entscheidungsnetz ausgehend von Spieler A, Variante Abbildung 3.18: Entscheidungsnetz ausgehend von Spieler B, Variante Abbildung 3.19: Entscheidungsnetz ausgehend von Spieler A, Variante XI

10 Abbildung 3.20: Entscheidungsnetz ausgehend von Spieler B, Variante Abbildung 3.21: Bestimmtheitsmaß ( ) ausgehend von Spieler A, Variante Y X Abbildung 3.22: Bestimmtheitsmaß ( ) ausgehend von Spieler B, Variante Y X Abbildung 3.23: Bestimmtheitsmaß ( ) ausgehend von Spieler A, Variante Y X Abbildung 3.24: Bestimmtheitsmaß ( ) ausgehend von Spieler B, Variante Y X XII

11 1 Einleitung Wirtschaftssubjekte treffen für sich oder in Gruppen viele Entscheidungen, die mit Risiko und Unsicherheit verbunden sind. Dabei bedienen sie sich auch einfacher Regeln. Sie wiederholen z. B. eine Entscheidung, wenn diese sich als gut herausgestellt hat, oder sie orientieren sich am erfolgreichen Verhalten anderer Wirtschaftssubjekte. Viele Entscheidungssituationen sind aber einmalig und/oder komplex, sodass die einfachen Regeln nicht angewendet werden können. In solchen Fällen können einfache Heuristiken oder Analyseverfahren Entscheidungshilfe bieten. Dabei wird i. d. R. eine präskriptive Analyse aus der Sicht des unmittelbar betroffenen Entscheiders durchgeführt. Zu diesen Analyseverfahren ist ein neuer Ansatz der Entscheidungsnetzansatz zu zählen, der hier vorgestellt wird. Er erlaubt es, die Sichtweise eines außerhalb der Entscheidungssituation sich befindenden Beobachters einzunehmen, der eine Entscheidungssituation beschreiben und erklären will. Dieser zunächst deskriptive Ansatz kann auch präskriptiv zur Entscheidungsunterstützung eingesetzt werden. Entscheiden heißt, aus einem Bündel von Alternativen auszuwählen. Da in der Wirtschaftswelt ein Entscheider i. d. R. nicht unabhängig von anderen ist, sind die Alternativenbündel der verschiedenen Entscheider kausal verbunden. Die Alternativenbündel hängen bedingt voneinander ab, und jede Alternative hat in einer stochastischen Situation eine Tendenz sich zu verwirklichen (POPPER 1992, 347 ff.). So beeinflusst die Entscheidung des Anbieters, einen hohen oder niedrigen Preis für sein Gut zu verlangen, die davon abhängige Entscheidung des Nachfragers zu kaufen oder zu verzichten. Mit Entscheidungsnetzen kann die Analyse einer solchen stochastischen Entscheidungssituation aus der Sicht des nicht unmittelbar involvierten Beobachters (Dritten) durchgeführt werden. Diesem wird mit dem Entscheidungsnetzansatz die Möglichkeit eröffnet, einmalige Entscheidungssituationen unter Risiko und Unsicherheit zu beschreiben, zu erklären und mittelbar gezielt auf die Entscheidungssituation Einfluss zu nehmen. In diesem Ansatz wird vorausgesetzt, dass der Beobachter die Struktur des Entscheidungsproblems vollständig beschreiben und 1

12 außerdem den einzelnen Alternativen Verwirklichungstendenzen (Wahrscheinlichkeiten) zuordnen kann. Ob diese auf subjektiven Mutmaßungen basieren, Expertenwissen sind oder sich auf Daten ähnlicher Probleme aus der Vergangenheit stützen, soll hier nicht weiter diskutiert werden. Auch werden die damit verbundenen Informationsprobleme in dieser Arbeit nicht näher behandelt. In Kapitel 2 der vorliegenden Arbeit werden zunächst die Grundlagen der Analyse von Entscheidungen und hier speziell solcher unter Risiko und Unsicherheit beschrieben. Abschnitt 2.1 stellt den Entscheidungsprozess als mehrstufigen Prozess dar. Der folgende Abschnitt führt in die wichtigsten Entscheidungstheorien und Heuristiken für Entscheidungen unter Risiko und Unsicherheit ein. Neben präskriptiven werden auch einige deskriptive Ansätze vorgestellt. Dabei wird untersucht, ob bei der Entwicklung von Theorien zur Entscheidungsfindung empirisches Entscheidungsverhalten und axiomatische Eleganz miteinander zu verbinden sind. Es folgt ein Abschnitt, in dem die bedeutendsten Wahrscheinlichkeitsinterpretationen beschrieben werden. Für die vorliegende Arbeit wird der auf POPPER (1992, 347 ff.) zurückgehende Propensitäten-Ansatz gewählt. In Abschnitt 2.4 werden die wichtigsten Ansätze vorgestellt, mit denen Entscheidungen unter Risiko und Unsicherheit computergestützt untersucht werden können. Für die Analyse der oben beschriebenen einmaligen Entscheidungsprobleme unter Risiko und Unsicherheit aus der Sicht eines Beobachters ist die Entscheidungsnetzanalyse am ehesten geeignet. Danach werden die mathematisch-statistischen Grundlagen der Entscheidungsnetzanalyse ausführlich hergeleitet. Diese kann, was ihre Struktur angeht, auf die FISZ sche Regression erster Art zurückgeführt werden. Für diesen Ansatz werden Charakteristika einer gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsmaßfunktion (WMF) wie Erwartungswerte sowie Varianzen eingeführt, und auf der Grundlage einer Varianzzerlegung wird ein Bestimmtheitsmaß ( Y X ) abgeleitet. Dabei wird die Streuung, die 2

13 auf die unabhängigen Variablen zurückzuführen ist, ins Verhältnis zur Gesamtstreuung der abhängigen Variablen gesetzt. In Kapitel 3 werden anhand von Entscheidungsnetzen zunächst verschiedene Strukturen von Entscheidungssituationen verglichen. Außerdem werden Sensitivitätsrechnungen für einzelne Attribute und Wahrscheinlichkeiten durchgeführt, um der Frage nachzugehen, wie robust die Ergebnisse der Charakteristika sind. In Abschnitt 3.2 werden im Rahmen einer spieltheoretischen Anwendung Spiele mit gemischten Strategien analysiert. Damit soll beispielhaft gezeigt werden, wie der Entscheidungsnetzansatz in Teilbereichen der Ökonomie eingesetzt werden kann. In diesem Abschnitt soll speziell der Frage nachgegangen werden, ob Entscheidungsnetze neue Erkenntnisse in der Frage der Differenzierbarkeit von Nash-Gleichgewichten liefern können. Um insbesondere komplexe Entscheidungsnetze rechnen zu können, wurde das Computerprogramm MAGIC entwickelt, das zusammen mit einigen Hilfsprogrammen im Anhang ausführlich beschrieben wird. 3

14 2 Entscheidungen unter Risiko und Unsicherheit 2.1 Grundlagen der Entscheidungsfindung Entscheidungsfindung ist häufig ein komplexer Prozess, der ausgehend von einem Problem über mehrere Stufen zu einer Entscheidung führt. Im Folgenden wird zunächst der Prozess für eine Entscheidung unter Sicherheit beschrieben. Auf Entscheidungen unter Risiko und Unsicherheit geht Abschnitt 2.2 ein. In Anlehnung an HAMMOND et al. (1999, 4 ff.) und LAUX (1998, 8 ff.) kann der Prozess der Entscheidungsfindung in fünf Stufen unterteilt werden: 1. Problemdefinition 2. Zielsetzung 3. Ermittlung der Alternativen 4. Feststellen der Konsequenzen 5. Entscheidung 1. Problemdefinition Ausgangspunkt jeder Entscheidungsfindung sind Entscheidungsprobleme. Diese besitzen einen Auslöser, ein Ereignis, das die Entscheidungsfindung anstößt. Die Analyse des Auslösers sollte der erste Schritt der Problemdefinition sein (HAMMOND et al. 1999, 19 f.), um sicherzustellen, dass das eigentliche Problem erkannt wird. Im Verlauf der Problemdefinition sollten ferner implizite Beschränkungen bzgl. der Entscheidungsprobleme hinterfragt werden, um die Lösungsalternativen nicht zu sehr einzuschränken (HAMMOND et al. 1999, 20 f.). 2. Zielsetzung Im Anschluss an die Problemdefinition sind die Ziele festzulegen. Beispielsweise sollte in einem Unternehmen die Unternehmensführung die Zielfunktion so formulieren, dass in ihr sämtliche Ziele bzw. Teilziele enthalten sind. Da dieses in der betrieblichen Praxis schwer umzusetzen ist, wird die langfristige Gewinnmaximierung 4

15 häufig als Hauptziel unterstellt, und weitere Ziele werden in Form von Nebenbedingungen berücksichtigt (WÖHE/DÖRING 2000, 119). Versucht man, Ziele oder Zielvorstellungen zu systematisieren, finden sich in der betriebswirtschaftlichen Literatur die unterschiedlichsten Ansätze. Nach WÖ- HE/DÖRING (2000, 119 f.) können beispielsweise monetäre von nicht-monetären Zielen unterschieden werden. Monetäre Ziele sind etwa die Steigerung des Gewinns und die Steigerung des Umsatzes. Die nicht-monetären Ziele lassen sich in ökonomische, wie z. B. die Erhöhung des Marktanteiles oder nichtökonomische, wie das Streben nach Prestige und Macht oder das Streben nach Unabhängigkeit, unterteilen (HÖRSCHGEN 1992, 471 ff.). Ziele können außerdem nach den Zielarten systematisiert werden (WÖHE/DÖRING 2000, 120 ff.). Z. B. kann nach - der Rangordnung der Ziele, - dem angestrebten Ausmaß der Zielerreichung, - den Beziehungen zwischen den Zielen und - dem zeitlichen Bezug der Ziele unterteilt werden. Hinsichtlich der Rangordnung können Ober- von Zwischen- und Unterzielen unterschieden werden. Beim Ausmaß der Zielerreichung sind unbegrenzte von begrenzten Zielen (Anspruchsniveau) zu unterscheiden. Daneben können Ziele nach ihrer Zielbeziehung differenziert werden. Dabei sind in erster Linie komplementäre von konkurrierenden Zielen zu unterscheiden. Neben diesen Aspekten kann außerdem der zeitliche Bezug berücksichtigt werden, so ist eine Systematisierung nach der Fristigkeit (kurz-, mittel- und langfristig) oder nach dem zeitlichen Bezug (Zeitpunkt oder Zeitraum) möglich. EISENFÜHR/WEBER (1999, 53 ff.) betonen, dass aus einer präskriptiven Sicht die Unterscheidung zwischen Fundamental- und Instrumentalzielen bedeutend ist. Zur Bewertung der Alternativen sollten nur fundamentale Ziele berücksichtigt werden. Ein 5

16 Fundamentalziel ist ein Ziel, das seiner selbst wegen angestrebt wird und in seinem speziellen Entscheidungskontext zu sehen ist, während ein Instrumentalziel Mittel zur Erreichung eines Fundamentalzieles ist. Die Fundamentalziele sollten ferner folgende Eigenschaften erfüllen (EISENFÜHR/WEBER 1999, 60 ff. und KEENEY 1992, 82 ff.): 1. Vollständigkeit 2. Redundanzfreiheit 3. Messbarkeit 4. Operationalität 5. Eindeutigkeit 6. Einfachheit 3. Ermittlung der Alternativen Im Rahmen der Entscheidungsfindung sind ferner die Alternativen zu bestimmen, zwischen denen der Entscheider zu wählen hat. Diese sollten so formuliert werden, dass dieser zwischen verschiedenen sich ausschließenden Alternativen entscheidet. Das bedeutet, dass mindestens zwei Alternativen vorliegen müssen und außerdem Fälle vermieden werden sollten, in denen sich mehrere Alternativen gleichzeitig realisieren lassen (BAMBERG/COENENBERG 2000, 16 f.) 4. Feststellung der Konsequenzen Die mit den jeweiligen Alternativen verbundenen Konsequenzen sind als vierte Komponente im Entscheidungsprozess festzustellen. Nach HAMMOND et al. (1999, 66 f.) sollten die Konsequenzen - richtig, - vollständig und - genau erfasst werden. 6

17 5. Entscheidung Im letzten Schritt der Entscheidungsfindung sollte unter Berücksichtigung des Zielsystems und gegebener Beschränkungen eine möglichst gute Alternative gewählt werden. In dieser Stufe können die in den folgenden Abschnitten noch ausführlicher beschriebenen Analyseansätze als Hilfe bei der Entscheidungsfindung eingesetzt werden. 1 Entscheidungsfindung ist demnach ein Prozess, der sich in einzelne Stufen zerlegen lässt. Diese dürfen aber nicht isoliert voneinander betrachtet werden, da sie oft miteinander verbunden sind. Auch können einzelne Stufen mehrfach durchlaufen werden. Und schließlich sollte eine Entscheidung nicht isoliert, sondern im Kontext mit anderen Entscheidungen, als verknüpfte Entscheidung, gesehen werden. Falls eine Entscheidung unter Risiko und Unsicherheit zu treffen ist, ist der Prozess der Entscheidungsfindung komplexer. Die Entscheidungsfindung wird dann beispielsweise noch von einer sich ändernden Umwelt und/oder anderen Entscheidern beeinflusst. Risiko und Unsicherheit erschweren den Prozess der Entscheidungsfindung. Ausführlich wird darauf in den folgenden Abschnitten eingegangen. 2.2 Entscheidungsansätze unter Risiko und Unsicherheit Einführung Risiko und Unsicherheit 3 sind ein wesentlicher Bestandteil des Lebens (VARIAN 1987, 211). Dieses zeigt sich insbesondere, wenn Menschen planen und Entscheidungen treffen. Risiko und Unsicherheit können sich aus natürlichen Ereignissen 1 Zusätzlich finden sich in Lehrbüchern zur Entscheidungstheorie wie z. B. bei BAM- BERG/COENENBERG (2000) oder EISENFÜHR/WEBER (1999) weitere Ansätze, um Entscheidung zu unterstützen. Auf diese wird aber im Rahmen dieser Arbeit nicht eingegangen. 2 Dieser Abschnitt stützt sich auf Kapitel 12 von BRANDES et al. (1997). 3 Bzgl. der Einordnung von Entscheidungen unter Risiko und Unsicherheit wird nicht der üblichen Unterscheidung in Situationen unter Ungewissheit, Unsicherheit, Risiko und Sicherheit gefolgt, weil es damit z. B. nicht möglich ist, ein Entscheidungsproblem einzuordnen, in dem in einigen Teilbereichen Ungewissheit und in anderen eine Situation unter Risiko vorliegt. Vereinfachend wird deshalb in dieser Arbeit nur zwischen Entscheidungen unter Sicherheit und Entscheidungen unter Risiko und Unsicherheit unterschieden. 7

18 ergeben, aber auch aus den Handlungen anderer Individuen resultieren. Wenn Entscheidungen unter Unsicherheit analysiert werden, kommt noch erschwerend hinzu, dass sich die Entscheider in ihrer Wahrnehmung und Einstellung zu Risiken und Unsicherheit unterscheiden. Deshalb sollten für das unsichere Ergebnis einer Handlung nicht einfache Entscheidungskriterien, wie beispielsweise der in der Praxis häufig verwendete Erwartungswert, eingesetzt werden 4. Wenn dieser angewendet wird, kann es zu Fehlentscheidungen kommen, die schon DANIEL BERNOULLI (1954 / 1738) erkannt und mit dem Petersburger Paradoxon verdeutlicht hat. Der Erwartungswert berücksichtigt die Streuung nicht, sodass je nach Risikoeinstellung daraus falsche Entscheidungen resultieren können. Dieses kann exemplarisch anhand eines einfachen Investitionsbeispiels (Tabelle 2.1) gezeigt werden. Der Entscheidungsträger eines Unternehmens überlegt, ob er in eine neue Anlage investieren soll. Er hat eine ungenaue Vorstellung darüber, ob mit hohen oder niedrigen Preisen für sein Produkt zu rechnen ist. Daher wird jeweils eine Wahrscheinlichkeit von 0.5 für einen hohen und niedrigen Preis unterstellt. In der folgenden Tabelle werden die erwarteten Gewinne aufgeführt. Tabelle 2.1: Investitionsentscheidung unter Unsicherheit: Erwarteter Gewinn Preise hoher Preis niedriger Preis Erwartungswert Alternativen (p=0.5) (p=0.5) alte Anlage neue Anlage Wenn der Entscheidungsträger des Unternehmens nach dem Erwartungswert- Kriterium handelt, wird er sich für die Investition in die neue Anlage entscheiden, denn der Erwartungswert des Gewinns für die neue Anlage beträgt 8000 und für die alte Anlage Aber die alte Anlage wird im Gegensatz zur neuen Anlage auch 4 Neben dem Erwartungswert werden in der Praxis häufig auch die klassischen Entscheidungskriterien eingesetzt, die bei Entscheidungen unter Unsicherheit, wenn keine Wahrscheinlichkeiten bestimmt werden können, angewendet werden können. Ausführlich werden diese bei BAMBERG/COENENBERG (2000, 131 ff.) BITZ (1980, 61 ff.) und LAUX (1998, 103 ff.) beschrieben. 8

19 bei niedrigen Preisen einen Gewinn abwerfen. Ein Entscheider, der vorrangig bestrebt ist, einen Konkurs zu vermeiden, wird sich deshalb gegen die Investition entscheiden und nicht nach dem Erwartungswert-Kriterium handeln. Befürworter des Kriteriums argumentieren, dass bei entsprechender Anzahl von Wiederholungen der Erwartungswert des Durchschnittsgewinns sich dem erwarteten Gewinn annähert (LAUX 1998, 145 ff.) und die Streuung abnimmt. Ferner wird diskutiert, ob man an den Durchschnittsgrößen die Entscheidung festmachen sollte. LAUX (1998, 145 ff.) argumentiert, dass es besser sei, sich am Gesamtgewinn zu orientieren. Aber auch dann ist der Erwartungswert kein allgemein gültiges Entscheidungskriterium, da die Standardabweichung des Gesamtgewinns mit der Anzahl der Wiederholungen zunimmt (LAUX 1998, 149). Gegen diese Argumentationen lässt sich außerdem einwenden, dass die Voraussetzung, eine Aktion (Zufallsexperiment) kann unter identischen Bedingungen wiederholt durchgeführt werden, nur selten erfüllt ist. Dass die Risikoeinstellung von Wirtschaftssubjekten von entscheidender Bedeutung für die Analyse von Entscheidungen unter Risiko und Unsicherheit ist, kann durch empirische Untersuchungen belegt werden. Sie zeigt sich in der Bereitschaft der Individuen, Versicherungen abzuschließen, obwohl die erwartete Versicherungsprämie geringer ausfällt als die an die Versicherung zu zahlende Beiträge. In Unternehmen wird teilweise stärker als zur Erzielung des maximalen Erwartungswerts des Gewinns diversifiziert. Andererseits gibt es Spieler, die mit kleinen Beträgen an einer Lotterie teilnehmen und/oder größere Beträge z. B. im Roulette einsetzen; und jeweils ist der Erwartungswert des Spiels kleiner als der Einsatz (BRANDES/ODENING 1992, 195 f). Als risikofreudiger Entscheider kann auch ein Unternehmer gerechnet werden, der bewusst Risiken eingeht und in sein Untenehmen investiert, weil er hohe Preise für seine Produkte erwartet. In all diesen Fällen ist der Erwartungswert als Entscheidungskriterium ungeeignet. In den folgenden Abschnitten werden deshalb alternative Modelle und Ansätze vorgestellt, um Entscheidungen unter Risiko und Unsicherheit zu analysieren. Der Abschnitt beschreibt zunächst die Grundlagen der axiomatisierten, VON NEU- MANN-MORGENSTERNSCHEN Entscheidungstheorie, die im Folgenden meistens Er- 9

20 wartungsnutzentheorie genannt wird. In Abschnitt werden einige Modifikationen zur Erwartungsnutzentheorie vorgestellt und zwei Konzepte eingeführt, die in der Praxis eine stärkere Verbreitung gefunden haben, nämlich die Erwartungswert- Varianz-(EV)-Analyse und das Prinzip der stochastischen Dominanz. Abschließend werden zwei deskriptive Präferenztheorieansätze, die Prospect-Theorie und die kumulative Prospect-Theorie, beschrieben Grundlagen der Erwartungsnutzentheorie Das in der Ökonomie am häufigsten eingesetzte Entscheidungskriterium ist der VON NEUMANN-MORGENSTERNSCHE Erwartungsnutzen. Als Grundlage der Erwartungsnutzentheorie wird zunächst die Struktur des klassischen Entscheidungsproblems unter Risiko und Unsicherheit eingeführt. Wenn ausgehend von dem Entscheidungsprozess, der in Abschnitt 2.1 dargestellt wurde, unterstellt wird, dass das Problem definiert ist und der Entscheider das Ziel hat, den erwarteten Nutzen zu maximieren, kann das Entscheidungsproblem wie folgt beschrieben werden: (a) Der Akteur oder Entscheider kann aus einer Menge von Akten (Lotterien, Aktionen oder Alternativen) wählen. Ein Akt A setzt sich aus Konsequenzen (Ergebnissen) x i ( i 1,, n) und den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten ( i 1,, n) zusammen. p i (b) Der Entscheider kennt die Konsequenzen x i, die aus dem Akt A resultieren. (c) Er ist in der Lage, den Konsequenzen Wahrscheinlichkeiten p i zuzumessen. Dabei gilt für alle i, p 0 und p 1. i i i (d) Der Akteur kann jede mögliche Konsequenz x i bewerten. Die Bewertung der Konsequenzen erfolgt über eine Nutzenfunktion: V u x ). (2.1) ( i 10

21 Wenn der Entscheider nach den Vollständigkeits-, Transitivitäts-, Stetigkeits- und Unabhängigkeitsaxiomen handelt, wird er die Alternative mit den höchsten erwarteten Nutzen wählen (EISENFÜHR/WEBER 1999, 211 ff., BAMBERG/COENENBERG 2000, 100 ff. und STARMER 2000, 334 f.) Er wird somit die Erwartungsnutzenfunktion V A) p u( x ) (2.2) ( i i i maximieren. Auf das Problem der Informationsbeschaffung wird hier nicht eingegangen, d. h. in dem zugrundeliegenden Modell wird unterstellt, dass der Akteur... vollständige Gewissheit über die Ungewissheit... (SCHNEIDER 1980, l41) besitzt Alternativen zur Erwartungsnutzentheorie Modifikationen der Erwartungsnutzentheorie In empirischen Studien hat sich gezeigt, dass regelmäßig das Unabhängigkeitsaxiom verletzt wird. Einer der Ersten, der solche Effekte empirisch ermitteln konnte, war ALLAIS (1953). Er konnte anhand von Lotterien den common consequence effect und den common ratio effect feststellen. Den common consquence effect hat ALLAIS (1953, 527) durch die folgenden Lotterievergleiche veranschaulicht. Falls Individuen einerseits vor die Wahl gestellt werden, sich zwischen der Lotterie A 1 (100 Mio.; 1) und der Lotterie A 2 (500 Mio., 0.1; 100 Mio., 0.89; 0, 0.01) und andererseits zwischen der Lotterie A 3 (100 Mio., 0.11; 0, 0.89) und der Lotterie A 4 (500 Mio., 0.1; 0, 0.9) zu entscheiden, dann zeigt sich häufig, dass sich die Individuen nicht so verhalten, wie es die Erwartungsnutzentheorie fordert. Nach der Erwartungsnutzentheorie müssten die Individuen sich für A 1 und A 3 oder aber für A 2 und A 4 entscheiden. Häufig ist aber festzustellen, dass die Individuen andere Präferenzen haben und sich für A 1 und A 4 oder aber für A 2 und A 3 entschei- 11

22 den. Sie zeigen also Präferenzen, die nicht mit der Erwartungsnutzentheorie vereinbar sind. Ein zweiter empirisch häufig festzustellender Effekt ist der common ratio effect. Wenn einerseits zwischen einer sicheren Alternative A 5 (3000, 1) und einer Lotterie A 6 (4000, 0.8; 0, 0.2) sowie andererseits zwischen einer Lotterie A 7 (3000, 0.25; 0, 0.75) und einer Lotterie A 8 (4000, 0.2; 0, 0.8) zu wählen ist, dann, so zeigen auch in diesem Fall empirische Untersuchungen, entscheiden sich die Individuen regelmäßig nicht konform mit der Erwartungsnutzentheorie (STARMER 2000, 337). Bei der ersten Entscheidung wird häufiger die sichere Variante und im zweiten Fall wird regelmäßig die Lotterie A 8 der Lotterie A 7 vorgezogen. Daneben hat es noch andere Beispiele, wie das ELLSBERG-Paradox gegeben, die alle darauf hindeuten, dass das Erwartungsnutzenmodell nicht immer geeignet ist, das Verhalten von einzelnen Entscheidern abzubilden (CAMERER 1995). Als Folge dieser Widersprüche sind viele neue Modelle als Alternativen zur Erwartungsnutzentheorie entwickelt worden. In diesem Abschnitt können allerdings nur einige wichtige vorgestellt werden. Eine wesentlich ausführlichere Darstellung findet sich bei STARMER (2000, 332 ff.). Zunächst werden einige Modifikationen der Erwartungsnutzenfunktion vorgestellt, die ausschließlich den Term der Nutzenfunktion betreffen. Zu diesen Modifikationen ist die verallgemeinerte Erwartungsnutzentheorie von MACHINA (1982) zu zählen. Diese Theorie lässt im Gegensatz zur Erwartungsnutzentheorie nichtlineare Indifferenzkurven zu (STARMER 2000, 342), da sie auf das Unabhängigkeitsaxiom verzichtet und vermeidet so den common consequence und den common ratio effect. Neben dieser Theorie gibt es Ansätze (z. B. CHEW (1983)), die wesentlich stringenter in der Formulierung sind und z. B. nur lineare Indifferenzkurven zulassen, die aber nicht notwendig parallel zueinander verlaufen müssen. Diese Ansätze sind spezielle Fälle der verallgemeinerten Erwartungsnutzentheorie. 12

23 Ähnliche Ansätze, die einen eher psychologischen Hintergrund haben wie die Regret-Theorie von BELL (1982), seien hier nur erwähnt. Dieses Modell kann empirisch sich zeigende Verhaltensweisen von Individuen wie Verletzungen des Unabhängigkeitsaxioms und Präferenzumkehrungen gut abbilden. Es weist aber auch gewisse Schwächen auf. So verletzt es die Monotonieeigenschaft, die Transitivitätseigenschaft und lässt eindeutige Präferenzen zwischen stochastisch gleichen Akten zu (STARMER 2000, 357). Daneben gibt es weitere Theorieansätze, wie z. B. die quadratische Nutzentheorie. Das zugehörige Modell lässt Indifferenzkurven zu, die vom Konkaven zum Konvexen und umgekehrt wechseln können. Diese Modelle mit unterschiedlichen Funktionsformen basieren auf einer modifizierten Variante der Erwartungsnutzentheorie, zeigen aber nicht die empirischen Schwächen, die das Erwartungsnutzenmodell aufweist. Neben Modifikationen der Erwartungsnutzenfunktion gibt es noch Modifikationen der Erwartungsnutzentheorie, die die Wahrscheinlichkeiten betreffen. Nach STAR- MER (2000, 346) neigen Wirtschaftssubjekte dazu, objektive Wahrscheinlichkeiten nicht richtig wahrzunehmen oder aber subjektiv zu gewichten. Diese Wahrscheinlichkeiten sind dann personenspezifisch und subjektiv. Für diesen Fall liegt eine Modellklasse vor, die durch eine Gewichtungsfunktion für die objektiven Wahrscheinlichkeiten charakterisiert ist (STARMER 2000, 346). Diese Modellklasse kann durch Gleichung (2.3) beschrieben werden: V ( i i i A) w u( x ). (2.3) Der Term w kann als eine Gewichtung für den Term u x ) interpretiert werden. In i ( i der Variante der subjektiven Erwartungsnutzentheorie wird für w i eine Wahrscheinlichkeitsgewichtungsfunktion p ) eingeführt. Diese transformiert die Wahrschein- ( i lichkeiten der jeweiligen Ergebnisse in Gewichte. Damit können die objektiven Wahrscheinlichkeiten nichtlinear transformiert werden. Die funktionale Form dieses 13

24 Ansatzes kann für die subjektive Erwartungsnutzentheorie (SAVAGE, 1954) durch Gleichung (2.4) beschrieben werden: V A) ( p ) u( x ). (2.4) ( i i i Dieser Modellansatz kann die Monotonieeigenschaft stochastisch verletzen (FISH- BURN 1978). Es hat daher Bestrebungen gegeben, für die Wahrscheinlichkeiten eine Gewichtungsfunktion zu formulieren, die die Monotonieeigenschaft nicht mehr verletzt. Zu den Ansätzen, die diese Eigenschaft erfüllen, gehören die allgemein anerkannten rangplatzabhängigen Nutzentheorien. Die Grundidee dieses Ansatzes ist, dass die Gewichtung eines Ergebnisses nicht nur von der zugehörigen Wahrscheinlichkeit abhängt, sondern auch von dem Platz abhängt, den das Ergebnis in einer der Größe nach geordneten Reihe aller Ergebnisse einnimmt (SORGER 2000, 124 f.). Es wird zunächst eine Rangordnung der Ergebnisse erzeugt. Die entsprechende Gewichtung kann dann für i 1,, n 1 durch w i p p ) ( p p ) (2.5) ( i n i 1 n und für i =n w n ( pn ) ermittelt werden (STARMER 2000, 347). Damit wird die jeweilige transformierte Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses in Abhängigkeit von seinem Rang (Platz) innerhalb einer der Größe nach geordneten Reihe aller Ergebnisse ermittelt. Der Rang des Ergebnisses bestimmt also die Stärke der Transformation der Wahrscheinlichkeit. Damit wird einerseits die Monotonieeigenschaft gesichert und anderseits kann das ALLAIS-Paradoxon vermieden werden (EISENFÜHR/WEBER 1999, 381 ff.). Allerdings hängen die Aussagen entscheidend von der Form der Gewichtungsfunktion (.) ab. Problematisch ist bei diesem Modell, dass durch eine kleine Änderung einer Konsequenz die Reihenfolge der Ergebnisse beeinflusst werden kann, mit gegebe- 14

25 nenfalls erheblichen Auswirkungen auf die Ermittlung des zugehörigen Entscheidungsgewichts (STARMER 2000, 348) Erwartungswert-Varianz-Analyse In der Praxis werden statt des Erwartungsnutzenmodells und der daraus hervorgegangenen Modifikationen vielfach einfachere Ansätze, wie der Erwartungswert- Varianz-Ansatz verwendet. Dieser Ansatz berücksichtigt neben dem Erwartungswert noch ein Maß für die Streuung. Dieser Ansatz wird nicht nur wegen seiner einfachen Umsetzbarkeit, sondern auch wegen seiner Eigenschaft eingesetzt, dass Funktionen unter bestimmten Verteilungsannahmen bestimmt werden können, die mit der Erwartungsnutzentheorie konform gehen. So zeigt SCHNEEWEIß (1967, 146 ff.), dass die Präferenzfunktion (2.6) im Bereich der Normalverteilungen im Einklang mit der Erwartungsnutzentheorie steht. a u(, ) E( X ) Var( X ), a 0 2 (2.6) Var (X ) ist die Varianz der Zufallsvariablen X und a ein Risikoaversionsparameter. Wenn aber nicht von normalverteilten Zufallsvariablen ausgegangen werden kann, ist diese Präferenzfunktion nicht rational. Kann eine quadratische Nutzenfunktion unterstellt werden, lässt sich die Maximierung der Präferenzfunktion 2 u, ) b E( X ) b ( E( X )) b Var( ) (2.7) ( X mit der Maximierung des Erwartungsnutzens in Einklang bringen (SCHNEEWEIß 1967, S. 95 f.). Die Parameter b 1 und b 2 können beliebig gewählt werden. Diese Funktionsform ist aber wegen der impliziten absoluten Risikoaversionen ökonomisch nur in Teilbereichen sinnvoll. 15

26 Gegen den Erwartungswert-Varianz-Ansatz wird außerdem eingewendet, dass er gegen das Dominanzprinzip verstoßen kann 5 und höhere Momente einer Dichtefunktion nicht berücksichtigt. Ferner wird ein Entscheider, wenn er anhand des Erwartungswert-Varianz-Ansatzes die beste Alternative auswählt, nicht hinreichend zwischen links- oder rechtsschiefen Dichtefunktionen und solchen mit unterschiedlicher Wölbung differenzieren können (ODENING 1994, 116 f.). Weil der Erwartungswert-Varianz-Ansatz relativ leicht für die Anwendung umgesetzt werden kann, wird dieser trotz dieser erheblichen Einschränkungen statt des Erwartungsnutzenmodells auch im Rahmen der Kapitalmarkttheorie eingesetzt Stochastische Dominanz Bei einigen Entscheidungsproblemen unter Unsicherheit kann das Konzept der stochastischen Dominanz eine Alternative zum Erwartungsnutzen-Modell sein. Bei diesem Konzept werden i. d. R. zwei Grade von stochastischer Dominanz unterschieden. Man spricht von stochastischer Dominanz ersten Grades, wenn sich die Verteilungsfunktion F j eines Aktes A j mit derjenigen des Aktes A i nicht schneidet und F j rechts von F i liegt (BRANDES et al. 1997, 303). Ein Entscheider wird bei einer monoton steigenden Nutzenfunktion unabhängig von seiner Risikoeinstellung den stochastisch dominanten Akt wählen. So wird der Akt A 2 dem Akt A 1 in Abbildung 2.1a vorgezogen. Eine Entscheidung wird schwieriger, wenn sich die Verteilungsfunktionen schneiden (Abbildung 2.1b und c) (BRANDES et al. 1997, 302 ff.). 5 Der Zusammenhang zwischen Entscheidungskriterien und dem Dominanzprinzip wird von LAUX (1998, 156 ff.) ausführlich für die verschiedenen Risikoeinstellungen beschrieben. 16

27 Abbildung 2.1: Verteilungsfunktionen und stochastische Dominanz In einigen Fällen kann dann das Konzept der stochastischen Dominanz 2. Grades zur Entscheidungsfindung dienen. Von stochastischer Dominanz zweiten Grades spricht man, wenn bei sich schneidenden Verteilungsfunktionen die untere Fläche A zwischen den Kurven nicht kleiner ist als die obere B. Dieses ist in Abbildung 2.1b zu sehen, wo sich die beiden Verteilungen A 3 und A 4 schneiden. In diesem Fall wird ein risikoaverser Entscheider i. d. R. Akt A 4 wählen (HANF 1986, 98 ff.). Es kann aber eine Situation eintreten, wie sie in Abbildung 2.1c zu sehen ist. Hier ist die obere Fläche D größer ist als die untere Fläche C, wenn die beiden Alternativen A 5 und A 6 miteinander verglichen werden. Dann ist das Konzept der stochastischen 17

28 Dominanz ersten und zweiten Grades nicht mehr geeignet, um zwischen den Alternativen zu diskriminieren. Je nach Höhe der Risikoaversion wird ein Entscheider A5 oder A 6 wählen Prospect-Theorie In vielen empirischen Studien hat sich gezeigt, dass sich Entscheider nicht entsprechend der Erwartungsnutzentheorie verhalten. Die Nobelpreisträger KAHNE- MAN/TVERSKY (1979) konnten in empirischen Arbeiten drei Phänomene feststellen, die nicht im Einklang mit der Erwartungsnutzentheorie stehen. Erstens stellten sie wie schon ALLAIS fest, dass Individuen bei mehreren Alternativen die sichere Alternative vorziehen (certainty effect). Zweitens konnten sie zeigen, dass das Risikoverhalten der Menschen sich bei Gewinnen und Verlusten unterscheidet. Während die Individuen sich bei Gewinnen risikoavers verhalten, zeigt sich häufig ein risikofreudiges Verhalten bei Verlusten (reflection effect). Schließlich ist für die Wahl einer Alternative auch die Art der Darstellung des Ergebnisses entscheidend (isolation effect). Diese drei Phänomene haben KAHNEMAN/TVERSKY (1979) berücksichtigt, als sie die Prospect-Theorie als Alternative zur Erwartungsnutzentheorie formulierten. Diese hat durch die kumulative Prospect-Theorie (TVERSKY/KAHNEMAN (1992) und WAKKER/TVERSKY (1993)) eine Weiterentwicklung erfahren. 18

29 Die Entscheidungsfindung gemäß der Prospect-Theorie kann in zwei Phasen unterschieden werden. In der ersten Phase werden die Prospekte oder Alternativen aufbereitet, d. h. anhand von Heuristiken werden spezielle Festlegungen, Vereinfachungen und Anpassungen vorgenommen 6. In der zweiten Phase werden die aufbereiteten Prospekte in eine besondere Wertfunktion v(x), durch die eine Bewertung der editierten Prospekte erfolgt, übertragen. Die Prospekte werden als Verluste oder Gewinne in Bezug zu einem Referenzpunkt, z. B. dem Status quo, bewertet. Ein häufig festzustellender Verlauf der Wertfunktion, ist in der Abbildung 2.2 dargestellt (KAHNE- MAN/TVERSKY 1979, 279). Abbildung 2.2: Typische Wertfunktion (Prospect-Theorie) 6 Da diese Schritte formal nicht eindeutig festgelegt sind, ist das Ergebnis dieser sogenannten Editing- Phase vom Entscheider abhängig. Unterschiedliche Entscheider können daher bei gleicher Entscheidungssituation nach Abschluss der Editing-Phase zu voneinander abweichenden Ergebnissen kommen (EISENFÜHR/WEBER 1999, 378). 19

30 Die Funktion ist konkav im Bereich der Gewinne. Dagegen wird im Verlustbereich ein konvexer Verlauf angenommen. Absolut gesehen werden Verluste höher bewertet als entsprechende Gewinne. In die zu berechnende Nutzenfunktion geht noch eine Wahrscheinlichkeitsgewichtungsfunktion der Art ein, wie sie in Abbildung 2.3 zu sehen ist 7 MAN/TVERSKY 1979, 283). (KAHNE- Abbildung 2.3: Wahrscheinlichkeitsgewichtungsfunktion (Prospect-Theorie) Der erwartete Nutzen wird dann für eine Alternative A (EP(A)) wie folgt berechnet: EP A) ( p ) v( x ) ( p ) v( ). (2.8) ( x2 In der Arbeit von KAHNEMAN/TVERSKY (1979) hat sich gezeigt, dass die Prospect- Theorie empirisches Entscheidungsverhalten abbilden kann. Allerdings kann der Fall eintreten, dass die stochastische Dominanz einzelner Alternativen indirekt verletzt wird. Außerdem können nicht beliebig viele Konsequenzen der Alternativen abgebildet werden (EISENFÜHR/WEBER 1999, 380 f.). 7 Die Wahrscheinlichkeitsgewichtungsfunktion ist in der Nähe der Endpunkte nicht definiert. 20

31 Hier setzt die kumulative Prospect-Theorie an. Diese überträgt das Konzept der kumulativen Wahrscheinlichkeitsverteilung aus der rangplatzabhängigen Nutzentheorie (vgl. Abschnitt ) auf die Prospect-Theorie, sodass stochastisch dominierte Alternativen nicht mehr vorgezogen werden. Wie bei der rangplatzabhängigen Nutzentheorie werden die Ergebnisse einer Entscheidungsalternative der Größe nach geordnet. Mit dem Referenzpunkt können analog der Prospect-Theorie Gewinne von Verlusten getrennt werden und durch eine Wertfunktion bewertet werden. Der erwartete Nutzen einer Alternative (CPT(A)) kann dann gemäß der folgenden Formel ermittelt werden (EISENFÜHR/WEBER 1999, 384): m n u( xi ) ( pi ) u( xi ) ( pi ). (2.9) i1 im1 CPT ( A) Die Entscheidungsgewichte der positiven p ) und negativen Konsequenzen p ) können nach folgenden Formeln bestimmt werden: ( i i i1 ( pi ) g ( p j ) g ( p j ) (2.10) j1 j1 n n ( pi ) g ( p j ) g ( p j ). (2.11) j1 ji1 ( i Zwei typische umgekehrt s-förmige Wahrscheinlichkeitsgewichtungsfunktionen g(p) finden sich in Abbildung 2.4 (EISENFÜHR/WEBER 1999, 385 und TVERSKY/KAHNEMAN 1992, 313): 21

32 Abbildung 2.4: Wahrscheinlichkeitsgewichtungsfunktionen (kumulative Prospect-Theorie) Im Gegensatz zu den Wahrscheinlichkeitsgewichtungsfunktionen der Prospect- Theorie (Abbildung 2.3) gibt es keine Sprungstellen an den Endpunkten. Außerdem ist als weiterer Vorteil gegenüber der Prospect-Theorie hervorzuheben, dass die nicht axiomatische Editing-Phase entfällt. Abschließend lässt sich feststellen, dass es neben der immer noch häufig eingesetzten Erwartungsnutzentheorie eine Reihe von Alternativen gibt, die weniger im Widerspruch zu dem empirisch festzustellenden Verhalten der Individuen stehen. Diese und auch die zuletzt vorgestellten Ansätze, die der Prospect-Theorie zuzuordnen sind, werden allerdings in der Anwendung kaum eingesetzt, weil sie schwer umzusetzen sind. In dieser Arbeit, in der Entscheidungen unter Risiko und Unsicherheit aus der Sicht eines Beobachters untersucht werden sollen, wird deshalb ein Entscheidungsnetzansatz und dazu passende Entscheidungskriterien in Abschnitt 2.5 eingeführt, der als Weiterentwicklung des Erwartungswert-Varianz-Ansatzes zu sehen ist. Der Entscheidungsnetzansatz erlaubt es, neben dem Erwartungswert und der 22

33 Varianz weitere Parameter wie den bedingten Erwartungswert und zusätzliche Varianzparameter zu berechnen, die geeignet sind, zusätzliche Entscheidungshilfen zu geben. 2.3 Zur Interpretation von Wahrscheinlichkeiten Einführung Im Zusammenhang mit Entscheidungen unter Unsicherheit ist es wichtig, den Begriff der Wahrscheinlichkeit und die verschiedenen Interpretationen dieses Begriffs ausführlicher zu behandeln, auch wenn führende Statistiker wie KENDALL und STUART (1963, 180) der Überzeugung sind, dass es für einen Statistiker ein Zeichen von Unreife ist, allzu viel über Wahrscheinlichkeitstheorie zu debattieren. Es wird allgemein anerkannt, dass das mathematische Konzept der Wahrscheinlichkeiten durch die KOLMOGOROFF-Axiome (1933) adäquat beschrieben werden (BUNGE 1988, 46). Aber hinsichtlich der Interpretation des Wahrscheinlichkeitsbegriffs ist gerade auch im Zusammenhang mit singulären Fällen eine lange Diskussion geführt worden. Dabei kristallisierten sich drei wichtige Interpretationsansätze heraus. Neben dem objektivistischen, sind der subjektivistische und schließlich der durch POPPER und BUNGE entwickelte Interpretationsansatz der Verwirklichungstendenz (Propensitäten-Ansatz) hervorzuheben. Diese Ansätze werden im Anschluss an Abschnitt 2.3.2, in dem ein Überblick zur Geschichte der Wahrscheinlichkeitstheorie gegeben wird, in den Abschnitten vorrangig unter dem Aspekt einmaliger Entscheidungsprobleme unter Risiko und Unsicherheit vergleichend diskutiert. Im Gegensatz zu den experimentellen Wissenschaften wie z. B. der Physik und Chemie sind in den Sozial- und Wirtschaftswissenschaften die Voraussetzungen, ein kontrolliertes Experiment wiederholt durchzuführen, selten gegeben. Ökonomische Entscheidungssituationen sind daher oft einmalig und nicht wiederholbar. 23

34 2.3.2 Exkurs zur Geschichte der Wahrscheinlichkeitstheorie Die folgenden Ausführungen orientieren sich an MENGES (1968, 9 ff.) und HARTUNG (1986, 10 ff.). MENGES beginnt seine Geschichte der Wahrscheinlichkeitsrechnung mit GEROLAMO CARDANO ( ). Dieser führte in seinem unveröffentlichten Buchmanuskript Liber de ludo aleae (Buch über das Würfelspiel), das in der Zeit um 1520 entstand, die Gleichmöglichkeitsdefinition, die Additionseigenschaft und das Konzept der mathematischen Erwartung ein. MENGES (1968, 9 f.) hebt die Verdienste von BLAISE PASCAL ( ) und PIERRE DE FERMAT ( ) hervor, welche eine Briefkorrespondenz über Fragen des Glückspiels führten und zu einer Begründung der Wahrscheinlichkeitsrechnung beigetragen haben. Ihre Gedanken wurden von dem Holländer CHRISTIAN HUYGENS ( ) aufgenommen, der als Erster den Begriff der Urne in Zusammenhang mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung brachte und von einer mathematischen Erwartung sprach. Nicht unerwähnt dürfen die besonderen Verdienste der Familie BERNOULLI bleiben. JACOB BERNOULLI ( ), ein Mathematikprofessor, nahm HUYGENS Buch und erweiterte es um Teile der Kombinatorik und um eine Anwendung der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Außerdem geht auf ihn das BERNOULLIsche Theorem zurück. Neben NIKOLAUS BERNOULLI ( ), der großen Anteil an der Publikation der Ergebnisse seines Onkels JAKOB hatte, ist noch DANIEL BERNOULLI ( ) hervorzuheben. Seine wissenschaftliche Leistung liegen in der Entdeckung des Grenznutzenkonzepts und einige Untersuchungen zu Beobachtungsfehlern. Außerdem führte er das Konzept der moralischen Erwartung ein, das in die Entscheidungstheorie als Bernoulli-Nutzen eingegangen ist und als Ausgangspunkt für die VON NEUMANN-MORGENSTERNSCHE Erwartungsnutzentheorie gilt. Schließlich geht auf ihn das Petersburger-Paradoxon zurück. Eine besondere Stellung in der Geschichte der Wahrscheinlichkeitstheorie nimmt auch THOMAS BAYES ( ) ein. Sein Verdienst liegt in der Begründung des nach ihm benannten BAYESSCHEN THEOREMS. 24

35 Bedeutende Wissenschaftler waren ferner SIMEON DENIS POISSON ( ) und CARL FRIEDRICH GAUSS ( ). Während POISSON das Gesetz der großen Zahlen begründet hat, ist GAUSS über die Normalverteilung und die mathematische Formulierung der Methode der kleinsten Quadrate, die in der Regressionsrechnung eingesetzt wird, bekannt geworden. Zur Entwicklung der Wahrscheinlichkeitsrechnung haben die angelsächsische Schule mit so bedeutenden Gelehrten wie KARL PEARSON ( ) und RONALD AYL- MER FISHER ( ) sowie die stärker mathematisch ausgerichtete russische Schule mit ANDREJ NICOLAEVIC KOLMOGOROFF ( ), ANDREJ ANDREJEVIC MARKOFF ( ), ALEXANDER MICHAILOWITSCH LJAPUNOFF ( ) u. a., die dem bedeutenden Mathematiker PAFNUTI LWOWITSCH TSCHEBYSCHEFF ( ) folgten, beigetragen. Zu erwähnen ist noch die Arbeit von ABRAHAM WALD ( ), der die Theorie des Sequenzialtests entwickelte und die VON NEUMANNschen Spieltheorie zur Theorie der statistischen Entscheidungsfunktionen weiterführte und die Aufgaben der Statistik, im Gegensatz zu FISCHER, nicht darauf beschränkt sah, Urteile zu fällen, sondern zusätzlich Entscheidungen zu treffen und Entscheidungshilfen zu geben. Spielund Entscheidungstheorie sind inzwischen wichtige Teilgebiete der Ökonomie geworden, die nicht ohne wahrscheinlichkeitstheoretische Grundlagen auskommen Objektivistische Interpretation Die objektivistische Interpretation des Wahrscheinlichkeitsbegriffs kann wiederum in einen klassischen und einen relativistischen Interpretationsansatz aufgeteilt werden. Die klassische Interpretation geht auf LAPLACE zurück und definiert Wahrscheinlichkeit als den Quotienten aus der Zahl der günstigen Fälle durch die Zahl der gleichmöglichen (gleichwahrscheinlichen) Fälle (POPPER 1984, 107 f.). 25