0. " 2# Für die zugehörige Verteilungsfunktion F(x) ergibt sich dann: F(x) = - PDF">

, dt. $+ f(x) = , - + < x < +, " > 0. " 2# Für die zugehörige Verteilungsfunktion F(x) ergibt sich dann: F(x) =

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download ", dt. $+ f(x) = , - + < x < +, " > 0. " 2# Für die zugehörige Verteilungsfunktion F(x) ergibt sich dann: F(x) ="
0. " 2# Für die zugehörige Verteilungsfunktion F(x) ergibt sich dann: F(x) =.pdf" class="btn bg-purple-seance" href="#" target="_blank" style="margin-top: 10px; display: none;"> Download Document

Transkript

1 Normalverteilung Die Gauß-Verteilung oder Normal-Verteilung ist eine stetige Verteilung, d.h. ihre Zufallsvariablen können beliebige reelle Zahlenwerte annehmen. Wir definieren sie durch die folgende Wahrscheinlichkeitsdichte: % xµ ( f(x) = " # e ' * & " ), - + < x < +, " > 0. Für die zugehörige Verteilungsfunktion F(x) ergibt sich dann: F(x) = " # e % tµ ( x ' * & " ), dt. + Wenn uns die Wahrscheinlichkeit P interessiert, mit der bei einem normalverteilten Zufallsexperiment ein Ereignis auftritt, dessen Zahlenwert im Intervall (a,b] liegt, so müssen wir den Ausdruck bilden: P(a< X" b) = F(b) #F(a) = Anmerkungen % e# & ḇ t#µ ( ' #, ) + * dt # % e# & t#µ ) a ( + - ' * dt = % #, e# & ḇ ( ' a t#µ ) + * dt. Die Dichtefunktion f(x) ist symmetrisch zur Geraden x=µ. Ihr Aussehen erinnert an eine Glocke. Wir sprechen deshalb auch von einer Glockenfunktion. Das Maximum der Dichtefunktion zeigt den Wert der größten Wahrscheinlichkeitsdichte an. Das Maximum liegt im Zentrum der Verteilung bei x=µ. 3 Die Fläche unter der Dichtefunktion ist. 4 Eine Stammfunktion zu f(x) kann nicht berechnet werden. 5 Die beiden einzigen Variabeln in der Normalverteilung sind die Parametergrößen µ und σ. Wir skizzieren einige Kurven, indem wir die Parameter µ und σ verändern und lesen aus den Skizzen die Bedeutung der Parameter für die Normalverteilung ab. Die nachfolgenden Grafiken zeigt zunächst drei Kurven mit dem Mittelwert µ=0 und den drei Standardabweichungen σ=0.5 (schlanke Glockenkurve, blau), σ=(mittlere Glockenkurve, rot) und σ= (flache Glockenkurve, oliv). Je kleiner σ ist, desto schlanker und höher wird der Kurvenverlauf der Wahrscheinlichkeitsdichte. Darunter sind drei Kurven mit σ= und den drei Mittelwerten µ=-, rot, µ=, blau, und µ=.5, violett.. Die Glockenkurven verschieben sich mit den µ - Werten. Für positive µ wandern sie um µ nach rechts, für negative µ- Werte wandern sie nach links. Der Flächeninhalt unter allen Kurven ist immer gleich.

2 39 Wir formulieren nun die wichtige Aussage: Ist eine Zufallsvariable X normalverteilt, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass X irgendeinen Wert zwischen x=a und x=b annimmt, also a<x b gilt, definiert durch: P(a<X"b) = F(b)#F(a) = % e# & t#µ ) ( + ' * b, dt. a

3 40 Bedauerlicherweise können wir dieses Integral nicht elementar auflösen; wir können es aber mit der Substitution u = t "µ # nebst du = dt überführen in eine "normierte" Normalverteilung " mit dem Mittelwert µ=0 und der Varianz σ =: "(#) = # ' e %u du. Normierte Normalverteilung %& Zwischen x und ξ bzw. F(x) und Φ(ξ) gelten die Zusammenhänge: " = x #µ Die Funktion bzw. "(u) = # e% u, % & < u < &, & F(x) = "(#) = " x µ ) ( +. ' % * heißt Dichte der Standardnormalverteilung. Für die Standardnormalverteilung Φ(ξ) existieren Tabellen in der Literatur aus denen wir die Wahrscheinlichkeiten ablesen können. Diese Ergebnisse können wir dann zurück ü- bertragen auf unser nicht normiertes Problem. Beispiele Die Messfehler bei einer Beobachtung seien normalverteilt mit den Parametern µ= und σ=. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P(X 3) einen Zahlenwert X 3 abzulesen bzw. wie groß ist der Zahlenwert der Verteilungsfunktion F(x=3)? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit einen Messwert zu erhalten, der zwischen µ-σ=- und µ+σ=3 liegt? Wir illustrieren zunächst die zugehörige Glockenkurve f(x) und die Verteilung F(x). Die analytischen Ausdrücke unserer Graphen sehen so aus: f(x) = % x( " # # e ' * & ), + < x < +, und F(x) = % t( x " # # e ' * & ), dt. + Bild der Gausskurve f(x) mit µ= und σ=. Die grüne Fläche repräsentiert die Wahr-scheinlichkeit für ein Ergebnis zwischen x=- und x=3.

4 4 Bild der Gauss- Verteilung F(x) mit µ= und σ=. Die Werte der roten Kurve F(x) stellen die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis x dar, mit "# < X x. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ergebnis auftritt, dass zwischen x=- und x=3 liegt, ist durch die grüne Fläche repräsentiert. Unsere Ergebnisse könnten wir auch direkt aus dem Bild zur Gauss-Verteilung F(x) ablesen. Aus dem Bild lesen wir ab: F(3)=0.84; also ist die Wahrscheinlichkeit gleich 84%, eine Zahl x 3 abzulesen. Außerdem ist die Wahrscheinlichkeit gleich 6%, eine Zahl x - abzulesen. Daraus errechnen wir für die Wahrscheinlichkeit einen Messwert abzulesen, der zwischen µ-σ=- und µ+σ =3 liegt: F(3)- F(-)= =0.68 " 3. Offensichtlich müssen wir diese Rechnung aber stets wieder von vorn beginnen, wenn sich die Parameterwerte ändern. Mit der Standard-Normalverteilung besitzen wir nun ein Instrument, das es uns erlaubt, Bild und Tabelle nur einmal erstellen zu müssen, und daraus für alle Parameterwerte µ und σ die jeweiligen Wahrscheinlichkeitsberechnungen herzuleiten. Wir wollen deshalb beispielhaft die obigen Ergebnisse aus der Standardform ablesen. Zunächst transformieren wir zu diesem Anlass die Formeln in die Standardform und rechnen aus, wie sich die Zahlenwerte mit der Substitution u = x " verändern: x = a " u = a #µ % ' x = a = 3 " u a = 3 # u = x # µ = ' & x = b = " u b = ## x = b " u = b #µ ' = # ' =,µ = " ( S = =und µ S = µ + ) # µ, +. = 0 * - Außerdem errechnen wir für die Substitution dx=du und somit insgesamt: "(u) = # e% u, % & < u < &, und "(#) = # % ( e& u du. &' Die Werte von µ und σ in der Standardform sind also stets µ S =0 und σ S =. Außerdem ergibt die Standardform u a = für x=a=3 und u b =0 für x=b=. Daraus rechnen wir folgende Ergebnisse: Φ(u=)=F(x=3)=0.84 und Φ(µ S +σ S =0+=)-Φ(µ S -σ S =0-=-)= =0.68.

5 4 In der Grafik sieht dies nun so aus: Bild der Standard- Gausskurve f(x) mit µ=0 und σ=. Die grüne Fläche repräsentiert die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis zwischen u=- und u= (bzw. zwischen x=- und x=3). Bild der Standard- Gaussverteilung Φ(u) mit µ=0 und σ=. Die Werte der roten Kurve Φ(u) stellen die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis u dar, mit "# < U u. Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten einer normalverteilten Zufallsvariablen mit dem Instrument der Standardform fassen wir so zusammen: Die Wahrscheinlichkeit, dass die normalverteilte Zufallsvariable X mit dem Mittelwert µ und der Standardabweichung σ einen Wert annimmt, der kleinergleich x ist, lautet: & F(x) = P(X " x) = # x µ ) ( + = #(u), mit u = x µ. ' % * % Die Wahrscheinlichkeit, dass X einen Wert größer x annimmt, ist dann: -F(x)=P(X>x)=-Φ(u). Die Wahrscheinlichkeit, dass die normalverteilte Zufallsvariable X mit dem Mittelwert µ und der Standardabweichung σ einen Wert x mit a<x b annimmt, lautet: & F(b) " F(a) = P(a < X # b) = b "µ ) & ( + " a "µ ) ( + = (u ' % 3 * ' % 3 * b ) " (u a ). u b u a

6 43 Normalverteilungen erhalten ihre besondere Bedeutung auch durch ihre Anwendung auf die Theorie der Messfehler (s. Nachfolgende Kapitel). Zufällige Messfehler, das sind solche, die nicht einer systematischen Abweichung unterworfen sind, besitzen im Regelfall eine Normalverteilung. Für den Wissenschaftler, der Messwerte abliest, stellt sich dabei häufig die Frage, mit welcher Wahrscheinlichkeit Messwerte außerhalb einer vorgegebenen Toleranz liegen. Bei einer einseitigen Abgrenzung nach oben lautet dann die Frage: Wie heißt der noch zu tolerierende Grenzwert x T für den F(x T )=P(X x T )=p ist bzw. wie heißt der entsprechende Standardwert u T mit Φ(u T )=P(U u T )=p T? Zu jedem vorgegebenen Wert von p T existieren Werte x T bzw. u T. Den Grenzwert u T nennen wir die Quantile der Standardnormalverteilung. Solche Werte werden tabellarisch aus der Standard-Normalverteilung abgelesen. In unserem obigen Beispiel ist etwa u T = die Quantile, die den Bereich U u T begrenzt, aus dem wir mit einer Wahrscheinlichkeit von 84% die Zufallsvariablen ablesen. Anmerkung Für große Werte von n können wir die Normalverteilung verwenden, um die Poisson- bzw. die Binomialverteilung anzunähern. Die Binomialverteilung besitzt den Mittelwert µ=n p und die Varianz σ =n p q. Als Näherung setzen wir diese Werte in die Formel für die Dichtefunktion bzw. die Verteilungsfunktion der Gausskurven ein: f B (x) = " # n# p # q e % xn#p ( ' * & n#p#q ) und F B (x) = " #n#p # q x % tn#p ( ' * & n#p#q ), e dt. + Beispiel aus Das Bild zeigt die Gauss- Glockenkurve (grüne Linie), die Binomial- bzw. die Poissonverteilung (gelbe bzw. violette Punkte) und die Beobachtungswerte (grüne Punkte). Die Parameterwerte erhalten wir aus dem Experiment: n=608 und µ " x = Daraus errechnen wir p = µ = und setzen n µ = " für Gauss. Grafische Darstellung zum Beispiel in mit Gausskurve, Binomi- Poissonverteilung und beobachteter relativer Häufigkeit von α-teilchen pro Zeitintervall.

7 44 Als weiteres Beispiel dafür, dass die Binomialverteilung bzw. die Poissonverteilung für große n und kleine Wahrscheinlichkeiten p mit der Gausskurve übereinstimmt zeigt das Bild zum Roulettebeispiel mit n=000 Spielen und dem Einsatz auf eine Zahl: p = 37. Darin sind die Ergebnisse der Binomialverteilung als rote und die der Poissonverteilung als grüne Punkte dargestellt. Die Gausskurve mit µ = n"p = und # 000" 36 = n"p " q = 37 ist als blaue Linie eingezeichnet. Mittelwerte von Zufallszahlen und die Normalverteilung Nachdem wir gelernt haben, wie die Normalverteilung analytisch und grafisch aussieht, und wie man mit ihr rechnet, wollen wir uns abschließend zu diesem Thema mit der Frage befassen, wie man sich den Begriff Wahrscheinlichkeitsdichte: % xµ ( f(x) = " # e ' * & " ), - + < x < +, " > 0, veranschaulichen kann. Zu diesem Zweck lassen wir uns von einem Rechenprogramm zunächst einen Datensatz mit einer Anzahl n, z.b. n=5000, Zufallszahlen zwischen den Grenzen a und b, z.b. a=-0 und b=0, ausdrucken. Wir teilen das Intervall [-0,0] in z.b. 0 Teilintervalle "x i,# i # 0, berechnen die relativen Häufigkeiten und die Summenhäufigkeiten dieser Stichprobenwerte und tragen sie in eine Tabelle ein.

8 45 Klasse i "9 "8 "7 "6 "5 "4 "3 " " Relative Häufigkeit h i Summen " häufigkeit Die Tabelle zeigt uns eine Verteilung an, in der alle 0 Intervalle in etwa gleich viele Zahlen enthalten, nämlich f(x) = 0 " h i # Dies ist natürlich zunächst keine Normalverteilung. Die Grafik zeigt zunächst die experimentellen bzw. theoretischen Werte (Säulen bzw. Linien) und bestätigt, dass unser Zufallsgenerator für die 5000 Zahlen kein Intervall bevorzugt. Wir wiederholen nun den Vorgang, bestimmen aber jede einzelne Zufallszahl nicht direkt, sondern als den Mittelwert von weiteren00 Zufallszahlen. Danach gehen wir so vor: Wir teilen den Bereich [-,], der alle Mittelwerte enthält, in 0 Teilintervalle "x i = 0., # i # 0, berechnen die relativen Häufigkeiten dieser Stichprobenwerte und bilden daraus folgende Werte: Relative Häufigkeit im Intervall "x i = h i = g i # f(x "x i "x { i ) i GaussDichte &Relative Häufigkeit im Intervall "x i = g i ' "x i # f(x i ) ' "x i. Mit dem Grenzwert für "x i # 0 entsteht dann: Wir fassen die Ergebnisse in einer Tabelle zusammen: Relative,% i % 0, h { i = g i " #x i = & f(x)dx =. i= relative Häufigkeiten i= %0 Klasse i ".9 ".7 ".5 ".3 ". "0.9 "0.7 "0.5 "0.3 " Häufigkeit h i g i = h i #x i Außerdem ermitteln wir aus dem Datensatz dessen Mittelwert und Standardabweichung und zeichnen mit diesen beiden empirischen Werten die entsprechende theoretische

9 46 Normalverteilung. Der Vergleich dieser Normalverteilung mit den Werten g i zeigt gute Ü- bereinstimmung. Die orangenen Punkte sind die g i Werte zu einer Gesamtheit von 500 Datenpunkten, während die grünen Punkte aus einer Gesamtheit von 0000 Datenpunkten ermittelt wurden. Je größer der Datensatz, umso besser die Übereinstimmung. Nun wurde das Experiment nochmals wiederholt, um die Bedeutung der Standardabweichung für die Normalverteilung zu veranschaulichen. Zu diesem Zweck wurden neben dem Ansatz, jeden einzelnen Mittelwert des Datensatzes aus 00 Zufallszahlen zu bestimmen, auch zwei weitere Ansätze mit 400 bzw. 900 Zufallszahlen pro Mittelwert gemacht. Je höher die Anzahl von Zufallszahlen pro Mittelwert, umso geringer wird die Standardabweichung der Normalverteilungen. Die blaue Kurve zeigt das Ergebnis mit 900 Zufallszahlen pro Mittelwert, die grüne Kurve zeigt die Kurve mit 400 Zufallszahlen pro Mittelwert und die orangene das Ergebnis für 00 Zufallszahlen pro Mittelwert. Die empirischen Maßzahlen zu diesen drei Kurven sind: n x s " Während sich n mit dem Faktor 4 bzw. 9 steigert, reduziert sich s mit den Faktoren 4 = bzw. 9 = 3. Um Statistik und insbesondere die Normalverteilung zu begreifen, wäre es nun zweckmäßig das Experiment zu diesen drei Kurven beliebig häufig zu wiederholen, um zu erkennen, dass sich jedes mal auf verschiedenen Wegen das gleiche Ergebnis ergibt.

$ % + 0 sonst. " p für X =1 $

$ % + 0 sonst.  p für X =1 $ 31 617 Spezielle Verteilungen 6171 Bernoulli Verteilung Wir beschreiben zunächst drei diskrete Verteilungen und beginnen mit einem Zufallsexperiment, indem wir uns für das Eintreffen eines bestimmten Ereignisses

Mehr

Füllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Mean = 500,0029 Std. Dev. = 3,96016 N = 10.000. 485,00 490,00 495,00 500,00 505,00 510,00 515,00 Füllmenge

Füllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Mean = 500,0029 Std. Dev. = 3,96016 N = 10.000. 485,00 490,00 495,00 500,00 505,00 510,00 515,00 Füllmenge 2.4 Stetige Zufallsvariable Beispiel. Abfüllung von 500 Gramm Packungen einer bestimmten Ware auf einer automatischen Abfüllanlage. Die Zufallsvariable X beschreibe die Füllmenge einer zufällig ausgewählten

Mehr

Kapitel 3. Zufallsvariable. Wahrscheinlichkeitsfunktion, Dichte und Verteilungsfunktion. Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung

Kapitel 3. Zufallsvariable. Wahrscheinlichkeitsfunktion, Dichte und Verteilungsfunktion. Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung Kapitel 3 Zufallsvariable Josef Leydold c 2006 Mathematische Methoden III Zufallsvariable 1 / 43 Lernziele Diskrete und stetige Zufallsvariable Wahrscheinlichkeitsfunktion, Dichte und Verteilungsfunktion

Mehr

Übungsrunde 7, Gruppe 2 LVA 107.369, Übungsrunde 7, Gruppe 2, 28.11. Markus Nemetz, markus.nemetz@tuwien.ac.at, TU Wien, 11/2006

Übungsrunde 7, Gruppe 2 LVA 107.369, Übungsrunde 7, Gruppe 2, 28.11. Markus Nemetz, markus.nemetz@tuwien.ac.at, TU Wien, 11/2006 1 3.34 1.1 Angabe Übungsrunde 7, Gruppe 2 LVA 107.369, Übungsrunde 7, Gruppe 2, 28.11. Markus Nemetz, markus.nemetz@tuwien.ac.at, TU Wien, 11/2006 U sei auf dem Intervall (0, 1) uniform verteilt. Zeigen

Mehr

Stetige Standardverteilungen

Stetige Standardverteilungen Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Stetige Standardverteilungen Dr. Thomas Zehrt Inhalt: 1. Die stetige Gleichverteilung 2. Die Normalverteilung (a) Einstimmung (b) Standardisierung

Mehr

Regelmäßigkeit (Erkennen von Mustern und Zusammenhängen) versus Zufall

Regelmäßigkeit (Erkennen von Mustern und Zusammenhängen) versus Zufall Wahrscheinlichkeitstheorie Was will die Sozialwissenschaft damit? Regelmäßigkeit (Erkennen von Mustern und Zusammenhängen) versus Zufall Auch im Alltagsleben arbeiten wir mit Wahrscheinlichkeiten, besteigen

Mehr

Stetige Verteilungen Rechteckverteilung

Stetige Verteilungen Rechteckverteilung Stetige Verteilungen Rechteckverteilung Die Längenabweichungen X produzierter Werkstücke von der Norm seien gleichmäßig verteilt zwischen a = mm und b = 4mm. Die Dichtefunktion lautet also f(x) = für a

Mehr

Motivation. Benötigtes Schulwissen. Übungsaufgaben. Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum 10 Universität Basel. Statistik

Motivation. Benötigtes Schulwissen. Übungsaufgaben. Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum 10 Universität Basel. Statistik Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum 0 Universität Basel Statistik Dr. Thomas Zehrt Ausblick Motivation Wir werfen einen Würfel 000-mal und wir möchten die Wahrscheinlichkeit P bestimmen, dass zwischen

Mehr

Marcus Hudec. Statistik 2 für SoziologInnen. Normalverteilung. Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec. Statistik 2 für SoziologInnen 1 Normalverteilung

Marcus Hudec. Statistik 2 für SoziologInnen. Normalverteilung. Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec. Statistik 2 für SoziologInnen 1 Normalverteilung Statistik 2 für SoziologInnen Normalverteilung Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec Statistik 2 für SoziologInnen 1 Normalverteilung Inhalte Themen dieses Kapitels sind: Das Konzept stetiger Zufallsvariablen Die

Mehr

Zufallsvariablen [random variable]

Zufallsvariablen [random variable] Zufallsvariablen [random variable] Eine Zufallsvariable (Zufallsgröße) X beschreibt (kodiert) die Versuchsausgänge ω Ω mit Hilfe von Zahlen, d.h. X ist eine Funktion X : Ω R ω X(ω) Zufallsvariablen werden

Mehr

Statistik 2 für SoziologInnen. Normalverteilung. Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec. Themen dieses Kapitels sind:

Statistik 2 für SoziologInnen. Normalverteilung. Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec. Themen dieses Kapitels sind: Statistik 2 für SoziologInnen Normalverteilung Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec Statistik 2 für SoziologInnen 1 Normalverteilung Inhalte Themen dieses Kapitels sind: Das Konzept stetiger Zufallsvariablen Die

Mehr

Box-and-Whisker Plot -0,2 0,8 1,8 2,8 3,8 4,8

Box-and-Whisker Plot -0,2 0,8 1,8 2,8 3,8 4,8 . Aufgabe: Für zwei verschiedene Aktien wurde der relative Kurszuwachs (in % beobachtet. Aus den jeweils 20 Quartaldaten ergaben sich die folgenden Box-Plots. Box-and-Whisker Plot Aktie Aktie 2-0,2 0,8,8

Mehr

Das Histogramm ist glockenförmig. Es würde bei mehr als vier Fehlerquellen sich der Glockenform noch besser annähern.

Das Histogramm ist glockenförmig. Es würde bei mehr als vier Fehlerquellen sich der Glockenform noch besser annähern. 10. Stetige Zufallsvariable, Normalverteilung 55 Die in den folgenden Beispielen dargestellten Verteilungen haben ungefähr Glockenform. Sie können durch die sogenannte Normalverteilung oder Gaussverteilung

Mehr

P( X µ c) Var(X) c 2. mit. In der Übung wurde eine alternative, äquivalente Formulierung verwendet: P( X µ < c) 1 Var(X)

P( X µ c) Var(X) c 2. mit. In der Übung wurde eine alternative, äquivalente Formulierung verwendet: P( X µ < c) 1 Var(X) Ich habe eine Frage zur Tschebyschew Ungleichung. In der Aufgabe 4 des Übungsblattes 3 benötigt man ja die Ungleichung. In diesem Falle war der Bereich (0, 20) symmetrisch um den Erwartungswert µ = 5.

Mehr

Standardnormalverteilung

Standardnormalverteilung Standardnormalverteilung 1720 erstmals von Abraham de Moivre beschrieben 1809 und 1816 grundlegende Arbeiten von Carl Friedrich Gauß 1870 von Adolphe Quetelet als "ideales" Histogramm verwendet alternative

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Quantentheorie

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Quantentheorie Physikalische Chemie II: Atombau und chemische Bindung Winter 2013/14 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Quantentheorie Messergebnisse können in der Quantenmechanik ganz prinzipiell nur noch mit einer bestimmten

Mehr

Erwartungswert, Umgebungswahrscheinlichkeiten und die Normalverteilung

Erwartungswert, Umgebungswahrscheinlichkeiten und die Normalverteilung R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 5.05.0 Erwartungswert, Umgebungswahrscheinlichkeiten und die Normalverteilung Erwartungswert binomialverteilter Zufallsgrößen Wird ein Bernoulli- Versuch, bei

Mehr

Güte von Tests. die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art bei der Testentscheidung, nämlich. falsch ist. Darauf haben wir bereits im Kapitel über

Güte von Tests. die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art bei der Testentscheidung, nämlich. falsch ist. Darauf haben wir bereits im Kapitel über Güte von s Grundlegendes zum Konzept der Güte Ableitung der Gütefunktion des Gauss im Einstichprobenproblem Grafische Darstellung der Gütefunktionen des Gauss im Einstichprobenproblem Ableitung der Gütefunktion

Mehr

Übungsaufgaben, Statistik 1

Übungsaufgaben, Statistik 1 Übungsaufgaben, Statistik 1 Kapitel 3: Wahrscheinlichkeiten [ 4 ] 3. Übungswoche Der Spiegel berichtet in Heft 29/2007 von folgender Umfrage vom 3. und 4. Juli 2007:,, Immer wieder werden der Dalai Lama

Mehr

Statistik - Fehlerrechnung - Auswertung von Messungen

Statistik - Fehlerrechnung - Auswertung von Messungen 2013-11-13 Statistik - Fehlerrechnung - Auswertung von Messungen TEIL I Vorbereitungskurs F-Praktikum B (Physik), RWTH Aachen Thomas Hebbeker Literatur Eindimensionaler Fall: Grundbegriffe Wahrscheinlichkeitsverteilungen:

Mehr

Grundlagen der Inferenzstatistik: Was Ihnen nicht erspart bleibt!

Grundlagen der Inferenzstatistik: Was Ihnen nicht erspart bleibt! Grundlagen der Inferenzstatistik: Was Ihnen nicht erspart bleibt! 1 Einführung 2 Wahrscheinlichkeiten kurz gefasst 3 Zufallsvariablen und Verteilungen 4 Theoretische Verteilungen (Wahrscheinlichkeitsfunktion)

Mehr

Skriptum zur Veranstaltung. Quantitative Methoden (Mathematik/Statistik) Teil Induktive Statistik. 1. Version (mehr Draft als Skriptum)

Skriptum zur Veranstaltung. Quantitative Methoden (Mathematik/Statistik) Teil Induktive Statistik. 1. Version (mehr Draft als Skriptum) Skriptum zur Veranstaltung Quantitative Methoden (Mathematik/Statistik) Teil Induktive Statistik 1. Version (mehr Draft als Skriptum) Anmerkungen, Aufzeigen von Tippfehlern und konstruktive Kritik erwünscht!!!

Mehr

Universität Bonn 28. Juli 2010 Fachbereich Rechts- und Wirtschaftswissenschaften Statistische Abteilung Prof. Dr. A. Kneip. KLAUSUR Statistik B

Universität Bonn 28. Juli 2010 Fachbereich Rechts- und Wirtschaftswissenschaften Statistische Abteilung Prof. Dr. A. Kneip. KLAUSUR Statistik B Universität Bonn 28. Juli 2010 Fachbereich Rechts- und Wirtschaftswissenschaften Statistische Abteilung Prof. Dr. A. Kneip Sommersemester 2010 KLAUSUR Statistik B Hinweise zur Bearbeitung: Bei allen Teilaufgaben

Mehr

STETIGE VERTEILUNGEN

STETIGE VERTEILUNGEN STETIGE VERTEILUNGEN. Die Näherungsformel von Moivre Laplace Betrachtet man die Binomialverteilungen Bnp für wachsendes n bei konstantem p, so werden die Histogramme einer binomialverteilten Zufallsvariablen

Mehr

Ein möglicher Unterrichtsgang

Ein möglicher Unterrichtsgang Ein möglicher Unterrichtsgang. Wiederholung: Bernoulli Experiment und Binomialverteilung Da der sichere Umgang mit der Binomialverteilung, auch der Umgang mit dem GTR und den Diagrammen, eine notwendige

Mehr

15.5 Stetige Zufallsvariablen

15.5 Stetige Zufallsvariablen 5.5 Stetige Zufallsvariablen Es gibt auch Zufallsvariable, bei denen jedes Elementarereignis die Wahrscheinlich keit hat. Beispiel: Lebensdauer eines radioaktiven Atoms Die Lebensdauer eines radioaktiven

Mehr

Schleswig-Holsteinische Ergänzung der Musteraufgaben für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015

Schleswig-Holsteinische Ergänzung der Musteraufgaben für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015 ische Ergänzung der für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015 Ministerium für ildung und Wissenschaft des Landes Juni 2013 1 für Aufgabenpool 1 Analysis

Mehr

6. Stochastische Modelle II: Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen, insbesondere Normalverteilungen

6. Stochastische Modelle II: Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen, insbesondere Normalverteilungen 6. Stochastische Modelle II: Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen, insbesondere Normalverteilungen Dr. Antje Kiesel Institut für Angewandte Mathematik WS 2011/2012 Bisher: Diskrete Zufallsvariablen,

Mehr

Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5

Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 PD Dr. Frank Heyde TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 07. Mai 2015 PD Dr. Frank Heyde Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 1 Klassische Wahrscheinlichkeitsdefinition

Mehr

0 für t < für 1 t < für 2 t < für 3 t < für 4 t < 5 1 für t 5

0 für t < für 1 t < für 2 t < für 3 t < für 4 t < 5 1 für t 5 4 Verteilungen und ihre Kennzahlen 1 Kapitel 4: Verteilungen und ihre Kennzahlen A: Beispiele Beispiel 1: Eine diskrete Zufallsvariable X, die nur die Werte 1,, 3, 4, 5 mit positiver Wahrscheinlichkeit

Mehr

Kapitel 12 Stetige Zufallsvariablen Dichtefunktion und Verteilungsfunktion. stetig. Verteilungsfunktion

Kapitel 12 Stetige Zufallsvariablen Dichtefunktion und Verteilungsfunktion. stetig. Verteilungsfunktion Kapitel 12 Stetige Zufallsvariablen 12.1. Dichtefunktion und Verteilungsfunktion stetig Verteilungsfunktion Trägermenge T, also die Menge der möglichen Realisationen, ist durch ein Intervall gegeben Häufig

Mehr

Toleranzberechnung/-Simulation

Toleranzberechnung/-Simulation Summenhäufigkeit zufallsgeneriert Toleranzberechnung/-Simulation Einführung Das Ziel ist es die Auswirkung von vielen Einzeltoleranzen auf ein Funktionsmaß zu ermitteln. Bekanntlich ist das addieren der

Mehr

Klausur: Einführung in die Statistik

Klausur: Einführung in die Statistik 1 Lösungen immer unter die jeweiligen Aufgaben schreiben. Bei Platzmangel auf die Rückseite schreiben (dann Nummer der bearbeiteten Aufgabe mit anmerken!!!). Lösungen, die nicht auf den Aufgabenblättern

Mehr

RUPRECHTS-KARLS-UNIVERSITÄT HEIDELBERG

RUPRECHTS-KARLS-UNIVERSITÄT HEIDELBERG Die Poisson-Verteilung Jianmin Lu RUPRECHTS-KARLS-UNIVERSITÄT HEIDELBERG Ausarbeitung zum Vortrag im Seminar Stochastik (Wintersemester 2008/09, Leitung PD Dr. Gudrun Thäter) Zusammenfassung: In der Wahrscheinlichkeitstheorie

Mehr

Statistische Thermodynamik I Lösungen zur Serie 1

Statistische Thermodynamik I Lösungen zur Serie 1 Statistische Thermodynamik I Lösungen zur Serie Zufallsvariablen, Wahrscheinlichkeitsverteilungen 4. März 2. Zwei Lektoren lesen ein Buch. Lektor A findet 2 Druckfehler, Lektor B nur 5. Von den gefundenen

Mehr

Monte-Carlo Simulation

Monte-Carlo Simulation Monte-Carlo Simulation Sehr häufig hängen wichtige Ergebnisse von unbekannten Werten wesentlich ab, für die man allerhöchstens statistische Daten hat oder für die man ein Modell der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Mehr

13.5 Der zentrale Grenzwertsatz

13.5 Der zentrale Grenzwertsatz 13.5 Der zentrale Grenzwertsatz Satz 56 (Der Zentrale Grenzwertsatz Es seien X 1,...,X n (n N unabhängige, identisch verteilte zufällige Variablen mit µ := EX i ; σ 2 := VarX i. Wir definieren für alle

Mehr

Forschungsstatistik I

Forschungsstatistik I Prof. Dr. G. Meinhardt 2. Stock, Nordflügel R. 02-429 (Persike) R. 02-431 (Meinhardt) Sprechstunde jederzeit nach Vereinbarung Forschungsstatistik I Dr. Malte Persike persike@uni-mainz.de WS 2008/2009

Mehr

Monty Hall-Problem. Wochen 3 und 4: Verteilungen von Zufallsvariablen. Lernziele. Diskrete Verteilungen

Monty Hall-Problem. Wochen 3 und 4: Verteilungen von Zufallsvariablen. Lernziele. Diskrete Verteilungen Monty Hall-Problem Wochen 3 und 4: Verteilungen von Zufallsvariablen US-amerikanische Fernseh-Show Let s make a deal, moderiert von Monty Hall: WBL 15/17, 04.05.2015 Alain Hauser

Mehr

9. Schätzen und Testen bei unbekannter Varianz

9. Schätzen und Testen bei unbekannter Varianz 9. Schätzen und Testen bei unbekannter Varianz Dr. Antje Kiesel Institut für Angewandte Mathematik WS 2011/2012 Schätzen und Testen bei unbekannter Varianz Wenn wir die Standardabweichung σ nicht kennen,

Mehr

Quantilsschätzung als Werkzeug zur VaR-Berechnung

Quantilsschätzung als Werkzeug zur VaR-Berechnung Quantilsschätzung als Werkzeug zur VaR-Berechnung Ralf Lister, Aktuar, lister@actuarial-files.com Zusammenfassung: Zwei Fälle werden betrachtet und die jeweiligen VaR-Werte errechnet. Im ersten Fall wird

Mehr

Forschungsstatistik I

Forschungsstatistik I Prof. Dr. G. Meinhardt. Stock, Nordflügel R. 0-49 (Persike) R. 0- (Meinhardt) Sprechstunde jederzeit nach Vereinbarung Forschungsstatistik I Dr. Malte Persike persike@uni-mainz.de WS 008/009 Fachbereich

Mehr

Beispiel 48. 4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen

Beispiel 48. 4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen 4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen Beispiel 48 Ein Würfel werde zweimal geworfen. X bzw. Y bezeichne die Augenzahl im ersten bzw. zweiten Wurf. Sei Z := X + Y die Summe der gewürfelten Augenzahlen.

Mehr

Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler

Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler Wintersemester 3/4 (.3.4). (a) Für z = + i und z = 3 4i berechne man z z und z z. Die Ergebnisse sind in kartesischer Form anzugeben.

Mehr

5. Spezielle stetige Verteilungen

5. Spezielle stetige Verteilungen 5. Spezielle stetige Verteilungen 5.1 Stetige Gleichverteilung Eine Zufallsvariable X folgt einer stetigen Gleichverteilung mit den Parametern a und b, wenn für die Dichtefunktion von X gilt: f x = 1 für

Mehr

Schleswig-Holsteinische Ergänzung der Musteraufgaben für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015

Schleswig-Holsteinische Ergänzung der Musteraufgaben für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015 ische Ergänzung der für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015 Ministerium für ildung und Wissenschaft des Landes Juni 2013 1 Inhaltsverzeichnis Vorbemerkungen

Mehr

Ausarbeitung des Seminarvortrags zum Thema

Ausarbeitung des Seminarvortrags zum Thema Ausarbeitung des Seminarvortrags zum Thema Anlagepreisbewegung zum Seminar Finanzmathematische Modelle und Simulationen bei Raphael Kruse und Prof. Dr. Wolf-Jürgen Beyn von Imke Meyer im W9/10 Anlagepreisbewegung

Mehr

12 Die Normalverteilung

12 Die Normalverteilung 12 Die Normalverteilung Die Normalverteilung ist eine der wichtigsten Wahrscheinlichkeitsverteilungen in der Praxis, weil aufgrund des sogenannten zentralen Grenzwertsatzes in vielen Situationen angenommen

Mehr

2.2 Binomialverteilung, Hypergeometrische Verteilung, Poissonverteilung

2.2 Binomialverteilung, Hypergeometrische Verteilung, Poissonverteilung 2.2 Binomialverteilung, Hypergeometrische Verteilung, Poissonverteilung Die einfachste Verteilung ist die Gleichverteilung, bei der P(X = x i ) = 1/N gilt, wenn N die Anzahl möglicher Realisierungen von

Mehr

Präsenzübungsaufgaben zur Vorlesung Elementare Sachversicherungsmathematik

Präsenzübungsaufgaben zur Vorlesung Elementare Sachversicherungsmathematik Präsenzübungsaufgaben zur Vorlesung Elementare Sachversicherungsmathematik Dozent: Volker Krätschmer Fakultät für Mathematik, Universität Duisburg-Essen, WS 2012/13 1. Präsenzübung Aufgabe T 1 Sei (Z 1,...,

Mehr

Wahrscheinlichkeit und Statistik: Zusammenfassung

Wahrscheinlichkeit und Statistik: Zusammenfassung HSR Hochschule für Technik Rapperswil Wahrscheinlichkeit und Statistik: Zusammenfassung beinhaltet Teile des Skripts von Herrn Hardy von Lukas Wilhelm lwilhelm.net 12. Januar 2007 Inhaltsverzeichnis 1

Mehr

P n (k) f(k) = 1 σ 2π e ) 2. σ 2π

P n (k) f(k) = 1 σ 2π e ) 2. σ 2π 53 Allgemein gilt der folgende Satz. Satz 6.1 (Lokaler Grenzwertsatz von de Moivre und Laplace) Die Wahrscheinlichkeit P n (k) einer Binomialverteilung (mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p im Einzelexperiment)

Mehr

Analog definiert man das Nichteintreten eines Ereignisses (Misserfolg) als:

Analog definiert man das Nichteintreten eines Ereignisses (Misserfolg) als: 9-9 Die befasst sich mit der Untersuchung, wie wahrscheinlich das Eintreten eines Falles aufgrund bestimmter Voraussetzungen stattfindet. Bis anhin haben wir immer logisch gefolgert: 'Wenn diese Voraussetzung

Mehr

Einführung in die Integralrechnung. Mag. Mone Denninger 13. November 2005

Einführung in die Integralrechnung. Mag. Mone Denninger 13. November 2005 Einführung in die Integralrechnung Mag. Mone Denninger. November 5 INHALTSVERZEICHNIS 8. Klasse Inhaltsverzeichnis Einleitung Berechnung einfacher Stammfunktionen. Integrationsregeln.........................

Mehr

Stochastik. 1. Wahrscheinlichkeitsräume

Stochastik. 1. Wahrscheinlichkeitsräume Stochastik 1. Wahrscheinlichkeitsräume Ein Zufallsexperiment ist ein beliebig oft und gleichartig wiederholbarer Vorgang mit mindestens zwei verschiedenen Ergebnissen, bei dem der Ausgang ungewiß ist.

Mehr

Statistiktraining im Qualitätsmanagement

Statistiktraining im Qualitätsmanagement Gerhard Linß Statistiktraining im Qualitätsmanagement ISBN-0: -446-75- ISBN-: 978--446-75-4 Leserobe Weitere Informationen oder Bestellungen unter htt://www.hanser.de/978--446-75-4 sowie im Buchhandel

Mehr

1 Dichte- und Verteilungsfunktion

1 Dichte- und Verteilungsfunktion Tutorium Yannick Schrör Klausurvorbereitungsaufgaben Statistik Lösungen Yannick.Schroer@rub.de 9.2.26 ID /455 Dichte- und Verteilungsfunktion Ein tüchtiger Professor lässt jährlich 2 Bücher drucken. Die

Mehr

Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 3

Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 3 PD Dr. Frank Heyde TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 3 5. November 2013 Beispiel: Aktiensplit (Aczel & Sounderpandan, Aufg. 14-28) Ein Börsenanalyst

Mehr

Normalverteilung. 1 2πσ. Gauß. 2 e 1 2 ((x µ)2 σ 2 ) Werkzeuge der empirischen Forschung. W. Kössler. Einleitung. Datenbehandlung. Wkt.

Normalverteilung. 1 2πσ. Gauß. 2 e 1 2 ((x µ)2 σ 2 ) Werkzeuge der empirischen Forschung. W. Kössler. Einleitung. Datenbehandlung. Wkt. Normalverteilung Diskrete Stetige f(x) = 1 2πσ 2 e 1 2 ((x µ)2 σ 2 ) Gauß 91 / 169 Normalverteilung Diskrete Stetige Satz: f aus (1) ist Dichte. Beweis: 1. f(x) 0 x R und σ > 0. 2. bleibt z.z. lim F(x)

Mehr

q = 1 p = 0.8 0.2 k 0.8 10 k k = 0, 1,..., 10 1 1 0.8 2 + 10 0.2 0.8 + 10 9 1 2 0.22 1 = 0.8 8 [0.64 + 1.6 + 1.8] = 0.678

q = 1 p = 0.8 0.2 k 0.8 10 k k = 0, 1,..., 10 1 1 0.8 2 + 10 0.2 0.8 + 10 9 1 2 0.22 1 = 0.8 8 [0.64 + 1.6 + 1.8] = 0.678 Lösungsvorschläge zu Blatt 8 X binomialverteilt mit p = 0. und n = 10: a PX = = 10 q = 1 p = 0.8 0. 0.8 10 = 0, 1,..., 10 PX = PX = 0 + PX = 1 + PX = 10 10 = 0. 0 0.8 10 + 0. 1 0.8 9 + 0 1 10 = 0.8 8 [

Mehr

Zufallsgröße X : Ω R X : ω Anzahl der geworfenen K`s

Zufallsgröße X : Ω R X : ω Anzahl der geworfenen K`s X. Zufallsgrößen ================================================================= 10.1 Zufallsgrößen und ihr Erwartungswert --------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mehr

Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen

Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen Universität Karlsruhe (TH) Institut für Statistik und Mathematische Wirtschaftstheorie Wahrscheinlichkeitstheorie Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen Markus Höchstötter Lehrstuhl

Mehr

Definition Sei X eine stetige Z.V. mit Verteilungsfunktion F und Dichte f. Dann heißt E(X) :=

Definition Sei X eine stetige Z.V. mit Verteilungsfunktion F und Dichte f. Dann heißt E(X) := Definition 2.34. Sei X eine stetige Z.V. mit Verteilungsfunktion F und Dichte f. Dann heißt E(X) := x f(x)dx der Erwartungswert von X, sofern dieses Integral existiert. Entsprechend wird die Varianz V(X)

Mehr

Business Value Launch 2006

Business Value Launch 2006 Quantitative Methoden Inferenzstatistik alea iacta est 11.04.2008 Prof. Dr. Walter Hussy und David Tobinski UDE.EDUcation College im Rahmen des dokforums Universität Duisburg-Essen Inferenzstatistik Erläuterung

Mehr

Weiterbildungskurs Stochastik

Weiterbildungskurs Stochastik Hansruedi Künsch Seminar für Statistik Departement Mathematik, ETH Zürich 24. Juni 2009 Inhalt STATISTIK DER BINOMIALVERTEILUNG 1 STATISTIK DER BINOMIALVERTEILUNG 2 Fragestellungen Typische Fragestellungen

Mehr

Teil I Beschreibende Statistik 29

Teil I Beschreibende Statistik 29 Vorwort zur 2. Auflage 15 Vorwort 15 Kapitel 0 Einführung 19 0.1 Methoden und Aufgaben der Statistik............................. 20 0.2 Ablauf statistischer Untersuchungen..............................

Mehr

Zufallsgrößen. Vorlesung Statistik für KW 29.04.2008 Helmut Küchenhoff

Zufallsgrößen. Vorlesung Statistik für KW 29.04.2008 Helmut Küchenhoff Zufallsgrößen 2.5 Zufallsgrößen 2.5.1 Verteilungsfunktion einer Zufallsgröße 2.5.2 Wahrscheinlichkeits- und Dichtefunktion Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten Zufallsgröße Dichtefunktion einer

Mehr

Stetige Verteilungsmodelle

Stetige Verteilungsmodelle Stetige Verteilungsmodelle Worum geht es in diesem Modul? Stetige Verteilungsfunktionen Quantile Dichtefunktion Maßzahlen stetiger Verteilungen Stetige Gleichverteilung Exponentialverteilung Überprüfung

Mehr

B 2. " Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine Leiterplatte akzeptiert wird, 0,93 beträgt. (genauerer Wert: 0,933).!:!!

B 2.  Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine Leiterplatte akzeptiert wird, 0,93 beträgt. (genauerer Wert: 0,933).!:!! Das folgende System besteht aus 4 Schraubenfedern. Die Federn A ; B funktionieren unabhängig von einander. Die Ausfallzeit T (in Monaten) der Federn sei eine weibullverteilte Zufallsvariable mit den folgenden

Mehr

H. Gruber, R. Neumann. Erfolg im Mathe-Abi. Basiswissen Rheinland-Pfalz. Übungsbuch für den Grund- und Leistungskurs mit Tipps und Lösungen

H. Gruber, R. Neumann. Erfolg im Mathe-Abi. Basiswissen Rheinland-Pfalz. Übungsbuch für den Grund- und Leistungskurs mit Tipps und Lösungen H. Gruber, R. Neumann Erfolg im Mathe-Abi Basiswissen Rheinland-Pfalz Übungsbuch für den Grund- und Leistungskurs mit Tipps und Lösungen Vorwort Vorwort Erfolg von Anfang an Dieses Übungsbuch ist auf die

Mehr

Kaplan-Meier-Schätzer

Kaplan-Meier-Schätzer Kaplan-Meier-Schätzer Ausgangssituation Zwei naive Ansätze zur Schätzung der Survivalfunktion Unverzerrte Schätzung der Survivalfunktion Der Kaplan-Meier-Schätzer Standardfehler und Konfidenzintervall

Mehr

Einführung in die Statistik

Einführung in die Statistik Einführung in die Statistik Dr. C.J. Luchsinger 2 Zufallsgrössen Literatur Kapitel 2 * Statistik in Cartoons: Kapitel 4 * Krengel: 3.1 und 3.2 in 3 und (Honours Program) 10 sowie 11.1, 11.2 und 11.3 in

Mehr

Normalverteilung und Dichtefunktionen

Normalverteilung und Dichtefunktionen Normalverteilung und Dichtefunktionen Ac Einführung der Normalverteilung als Approximationsfunktion der Binomialverteilung Da die Binomialverteilung für große n das Aussehen einer Glockenkurve besitzt

Mehr

Übung 1: Wiederholung Wahrscheinlichkeitstheorie

Übung 1: Wiederholung Wahrscheinlichkeitstheorie Übung 1: Wiederholung Wahrscheinlichkeitstheorie Ü1.1 Zufallsvariablen Eine Zufallsvariable ist eine Variable, deren numerischer Wert solange unbekannt ist, bis er beobachtet wird. Der Wert einer Zufallsvariable

Mehr

Verteilungsmodelle. Verteilungsfunktion und Dichte von T

Verteilungsmodelle. Verteilungsfunktion und Dichte von T Verteilungsmodelle Verteilungsfunktion und Dichte von T Survivalfunktion von T Hazardrate von T Beziehungen zwischen F(t), S(t), f(t) und h(t) Vorüberlegung zu Lebensdauerverteilungen Die Exponentialverteilung

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 2005 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis Gruppe I, Aufgabe A

Abiturprüfung Mathematik 2005 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis Gruppe I, Aufgabe A Abiturprüfung Mathematik (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis Gruppe I, Aufgabe A Für jedes a > ist eine Funktion f a definiert durch fa (x) = x (x a) mit x R a Das Schaubild von f

Mehr

Statistik für Informatiker, SS Verteilungen mit Dichte

Statistik für Informatiker, SS Verteilungen mit Dichte 1/39 Statistik für Informatiker, SS 2017 1.1.6 Verteilungen mit Dichte Matthias Birkner http://www.staff.uni-mainz.de/birkner/statinfo17/ 17.5.2017 Zufallsvariablen mit Dichten sind ein kontinuierliches

Mehr

Monte Carlo Methoden in Kreditrisiko-Management

Monte Carlo Methoden in Kreditrisiko-Management Monte Carlo Methoden in Kreditrisiko-Management P Kreditportfolio bestehend aus m Krediten; Verlustfunktion L = n i=1 L i; Die Verluste L i sind unabhängig bedingt durch einen Vektor Z von ökonomischen

Mehr

METHODENLEHRE I WS 2013/14 THOMAS SCHÄFER

METHODENLEHRE I WS 2013/14 THOMAS SCHÄFER METHODENLEHRE I WS 2013/14 THOMAS SCHÄFER DAS THEMA: INFERENZSTATISTIK IV INFERENZSTATISTISCHE AUSSAGEN FÜR ZUSAMMENHÄNGE UND UNTERSCHIEDE Inferenzstatistik für Zusammenhänge Inferenzstatistik für Unterschiede

Mehr

9 Die Normalverteilung

9 Die Normalverteilung 9 Die Normalverteilung Dichte: f(x) = 1 2πσ e (x µ)2 /2σ 2, µ R,σ > 0 9.1 Standard-Normalverteilung µ = 0, σ 2 = 1 ϕ(x) = 1 2π e x2 /2 Dichte Φ(x) = 1 x 2π e t2 /2 dt Verteilungsfunktion 331 W.Kössler,

Mehr

Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung

Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Dr. Jochen Köhler 1 Inhalt der heutigen Vorlesung Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Zusammenfassung der vorherigen Vorlesung Übersicht über Schätzung und

Mehr

Heute. Die Binomialverteilung. Poissonverteilung. Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung

Heute. Die Binomialverteilung. Poissonverteilung. Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung Heute Die Binomialverteilung Poissonverteilung Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung Arbeiten mit Wahrscheinlichkeitsverteilungen Die Binomialverteilung Man werfe eine Münze n

Mehr

Zeigen Sie mittles vollständiger Induktion, dass für jede natürliche Zahl n 1 gilt: k = n (n + 1) 2

Zeigen Sie mittles vollständiger Induktion, dass für jede natürliche Zahl n 1 gilt: k = n (n + 1) 2 Aufgabe 1. (5 Punkte) Zeigen Sie mittles vollständiger Induktion, dass für jede natürliche Zahl n 1 gilt: n k = k=1 n (n + 1). 2 Aufgabe 2. (5 Punkte) Bestimmen Sie das folgende Integral mithilfe partieller

Mehr

Von der Binomialverteilung zur Normalverteilung

Von der Binomialverteilung zur Normalverteilung Von der Binomialverteilung zur Normalverteilung Wir interessieren uns für Binomialverteilungen mit grossen Werten für n. Als Beispiele können wir uns das Experiment vorstellen, dass ein idealer Würfel

Mehr

Arbeiten mit Funktionen

Arbeiten mit Funktionen Arbeiten mit Funktionen Wir wählen den Funktioneneditor (Ë W) und geben dort die Funktion f(x) = x³ - x² - 9x + 9 ein. Der TI 92 stellt uns eine Reihe von Funktionsbezeichnern zur Verfügung (y 1 (x), y

Mehr

Protokoll Grundpraktikum I: F7 Statistik und Radioaktivität

Protokoll Grundpraktikum I: F7 Statistik und Radioaktivität Protokoll Grundpraktikum I: F7 Statistik und Radioaktivität Sebastian Pfitzner 13. Mai 013 Durchführung: Sebastian Pfitzner (553983), Anna Andrle (55077) Arbeitsplatz: Platz Betreuer: Michael Große Versuchsdatum:

Mehr

8 Verteilungsfunktionen und Dichten

8 Verteilungsfunktionen und Dichten 8 Verteilungsfunktionen und Dichten 8.1 Satz und Definition (Dichten) Eine Funktion f : R R heißt Dichtefunktion, kurz Dichte, wenn sie (Riemann-) integrierbar ist mit f(t) 0 für alle t R und Setzt man

Mehr

Modellbildung und Simulation

Modellbildung und Simulation Modellbildung und Simulation 5. Vorlesung Wintersemester 2007/2008 Klaus Kasper Value at Risk (VaR) Glossar Portfolio: In der Ökonomie bezeichnet der Begriff Portfolio ein Bündel von Investitionen, das

Mehr

Messtechnik. Gedächnisprotokoll Klausur 2012 24. März 2012. Es wurde die Kapazität von 10 Kondensatoren gleicher Bauart gemessen:

Messtechnik. Gedächnisprotokoll Klausur 2012 24. März 2012. Es wurde die Kapazität von 10 Kondensatoren gleicher Bauart gemessen: Messtechnik Gedächnisprotokoll Klausur 2012 24. März 2012 Dokument erstellt von: mailto:snooozer@gmx.de Aufgaben Es wurde die Kapazität von 10 Kondensatoren gleicher Bauart gemessen: Index k 1 2 3 4 5

Mehr

Statistik mit Excel. für Praktiker: Statistiken aufbereiten und präsentieren HORST-DIETER RADKE. Markt+Technik

Statistik mit Excel. für Praktiker: Statistiken aufbereiten und präsentieren HORST-DIETER RADKE. Markt+Technik Statistik mit Excel für Praktiker: Statistiken aufbereiten und präsentieren HORST-DIETER RADKE Markt+Technik Vorwort Schreiben Sie uns! 13 15 Statistische Untersuchungen 17 Wozu Statistik? 18 Wirtschaftliche

Mehr

Bayern FOS BOS 12 Fachabiturprüfung 2015 Mathematik (Nichttechnische Ausbildungsrichtungen) Analysis A I

Bayern FOS BOS 12 Fachabiturprüfung 2015 Mathematik (Nichttechnische Ausbildungsrichtungen) Analysis A I Bayern FOS BOS Fachabiturprüfung 05 Mathematik (Nichttechnische Ausbildungsrichtungen) Analysis A I.0 Nebenstehende Abbildung zeigt den Graphen G f ' der ersten Ableitungsfunktion einer in ganz 0 definierten

Mehr

Teil III. Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

Teil III. Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Teil III Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 145 Kapitel 7 Grundlagen aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung 7.1 Die Begriffe Zufallsvariable, Messmethode, Experiment Die Abhängigkeit einer Variablen

Mehr

Einführung in die Statistik mit EXCEL und SPSS

Einführung in die Statistik mit EXCEL und SPSS Christine Duller Einführung in die Statistik mit EXCEL und SPSS Ein anwendungsorientiertes Lehr- und Arbeitsbuch Zweite, überarbeitete Auflage Mit 71 Abbildungen und 26 Tabellen Physica-Verlag Ein Unternehmen

Mehr

Statistik mit Excel. für Praktiker: Statistiken aufbereiten und präsentieren HORST-DIETER RADKE

Statistik mit Excel. für Praktiker: Statistiken aufbereiten und präsentieren HORST-DIETER RADKE Statistik mit Excel für Praktiker: Statistiken aufbereiten und präsentieren HORST-DIETER RADKE INHALTS- VERZEICHNIS Vorwort 13 Schreiben Sie uns! 15 1 Statistische Untersuchungen 17 Wozu Statistik? 18

Mehr

Willkommen zur Vorlesung Statistik

Willkommen zur Vorlesung Statistik Willkommen zur Vorlesung Statistik Thema dieser Vorlesung: Maßzahlen für zentrale Tendenz, Streuung und andere Eigenschaften von Verteilungen Prof. Dr. Wolfgang Ludwig-Mayerhofer Universität Siegen Philosophische

Mehr

Stochastische Eingangsprüfung, 17.05.2008

Stochastische Eingangsprüfung, 17.05.2008 Stochastische Eingangsprüfung, 17.5.8 Wir gehen stets von einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) aus. Aufgabe 1 ( Punkte) Sei X : Ω [, ) eine integrierbare Zufallsvariable mit XdP = 1. Sei Q : A R, Q(A)

Mehr

Monte Carlo Simulation (Grundlagen)

Monte Carlo Simulation (Grundlagen) Der Titel des vorliegenden Beitrages wird bei den meisten Lesern vermutlich Assoziationen mit Roulette oder Black Jack hervorrufen. Allerdings haben das heutige Thema und die Spieltische nur den Namen

Mehr

Kapitel VI - Lage- und Streuungsparameter

Kapitel VI - Lage- und Streuungsparameter Universität Karlsruhe (TH) Institut für Statistik und Mathematische Wirtschaftstheorie Wahrscheinlichkeitstheorie Kapitel VI - Lage- und Streuungsparameter Markus Höchstötter Lehrstuhl für Statistik, Ökonometrie

Mehr

Vet. Med. Uni. Budapest 5. Übung Biomathematik 2017

Vet. Med. Uni. Budapest 5. Übung Biomathematik 2017 5. Übung (Normalverteilung) Die Normalverteilung spielt eine sehr wichtige Rolle in den Biowissenschaften, unter anderem auch in der Tiermedizin. Ihre Wichtigkeit beruht an dem sog. zentralen Grenzwertsatz.

Mehr

Computational Finance

Computational Finance Computational Finance Kapitel 2.1: Einführung in die Simulation Prof. Dr. Thorsten Poddig Lehrstuhl für Allgemeine Betriebswirtschaftslehre, insbes. Finanzwirtschaft Universität Bremen Hochschulring 4

Mehr