Einführung in Kompressionstechniken

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1 Einführung in Kompressionstechniken W. Kowarschick 7. Februar 997. November 9 W. Kowarschick

2 Motivation Dateigrößen Text Vektorgraphiken Rasterbilder Tomographien Telephon CD-Stereo Bildfolgen VD7 VD7 KByte/Seite KByte/Seite ( Objekte) MByte/Seite MByte/Aufnahme 8 KByte/sec = 8 MByte/h 7 KByte/sec = 6 MByte/h PAL (TrueColor):. MByte/sec = GByte/h.. Bilder: TByte (. CD-Roms).. Bilder komprimiert: 6 GByte (7 CD-Roms) W. Kowarschick

3 Datenkompression: Was ist das? nicht-redundant redundant relevant irrelevant Multimediaobjekt Abbildung : Redundanz und Irrelevanz W. Kowarschick

4 Ziel der Datenkompression: Multimediaobjekte so zu transformieren, daß der redundante Anteil möglichst gering ist geringerer Platzbedarf, geringere Übertragungskosten Falls das nicht reicht: irrelevanten Anteil auch noch entfernen verlustfreie Kompression (lossless compression): nur der redundante Anteil wird entfernt verlustbehaftete Kompression (lossy compression): auch der irrelevante Anteil wird entfernt ( Datenverlust) W. Kowarschick

5 Formale(re) Definition Gegeben: Datenformate: M, M K Funktionen (Algorithmen): K : M M K, D : M K M K heißt Kompressionsfunktion und D Dekompressionsfunktion, falls folgendes gilt:. Für (fast) alle m M gilt: K(m) < m, besser: K(m) m. Für alle m M gilt: D(K(m)) m Man spricht von einer verlustfreien Kompression, falls sogar immer die Gleichheit gilt: D(K(m)) = m Die Betragsfunktion bezeichnet die Größe eines Datenobjekts. bedeutet sehr viel kleiner als. W. Kowarschick

6 Verlustfreie Kompressionsverfahren, Entropiekodierung Entropie Größe des Nachrichtengehalts einer nach statistischen Gesetzen gesteuerten Nachrichtenquelle (Definition laut Fremdwörterduden) Claude E. Shannon (98): Mathematische Definition der Entropie von Zufallsexperimenten Einzelexperiment ˆ= Zeichen, Wert Folge von Experimenten ˆ= Zeichenfolge, Datenstrom W. Kowarschick 6

7 Ein Ereignis, daß mit großer Wahrscheinlichkeit eintritt, liefert keinen großen Informationsgewinn, umgekehrt schon. log(x) Abbildung : Selbstinformation i(a) Die Selbstinformation liefert die Anzahl der Bits, die im Durchschnitt mindestens notwendig sind, um ein Ereignis zu codieren. W. Kowarschick 7

8 Selbstinformation A sei Ergebnis eines Zufallsexperiments (z. B. ein Zeichen oder Wert) P (A) sei die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von A ( P (A) ) Dann heißt i(a) = log x (P (A)) Selbstinformation von A. Hierbei ist x die Größe einer Informationseinheit (z. B., Bits: x = ). Entropie Die durchschnittliche Anzahl der Bits pro Zeichen (bei optimaler Codierung) heißt Entropie des Zufallsexperiments. W. Kowarschick 8

9 Ziel der Entropiekompression: möglichst viel redundante Information zu entfernen, d. h., möglichst nur Entropie (Informationsgehalt) zu speichern Shannons Ergebnisse zeigen: Es gibt (für ein gegebenen Zeichenvorrat ) eine untere Schranke für verlustfrei Kompression. Diese ist berechenbar oder zumindest abschätzbar. W. Kowarschick 9

10 Lauflängenkodierung (runlength encoding, RLE) Einfachste Form der Kodierung: Wiederholungen werden effizient kodiert Vermeidung direkter Redundanz Vorgehen:. Sonderzeichen festlegen (z.b.!, besser: selten benutzter Bytewert). Zeichenfolge kodieren längere Folgen des Zeichens x durch x!<n> kodiert n [, 9] durch ein Byte darstellbar! durch!! kodieren W. Kowarschick

11 Beispiele AAAAABBCCCCCCCCCD (Länge 7) RLE: A!BBC!9D (Länge 9) Achtung: A!B!! (Länge ) RLE: A!!B!!!! (Länge 8) Spezielle Verfahren, falls nur ein oder wenige Zeichen häufig vorkommen (JPEG viele Nullen) W. Kowarschick

12 Huffman-Kodierung berücksichtigt statistische Wahrscheinlichkeit, mit der bestimmte Zeichen in einem Datenstrom vorkommen Grundidee: Länge eines kodierten Zeichens Selbstinformation des Zeichens Beispiel: Morse-Code W. Kowarschick

13 Wetter Binär- Wahrschein- Huffman- Selbstcode lichkeit Code information (A) (P (A)) ( log (P (A))) wolkenlos /. Wolken /8. Regen /6. Schnee /6. Binärcode: Bits/Zeichen Huffman-Code: =, 7 Bits/Zeichen Entropie: =, 86 (Bits/Zeichen) W. Kowarschick

14 Eigenschaften eines Huffman-Codes:. Zeichen häufig Code sehr kurz. Folge von Huffman-Zeichen ist eindeutig dekodierbar ˆ=... ˆ= wolkenlos Wolken Regen wolkenlos aber: Zeichen und nicht eindeutig dekodierbar. Länge eines kodierten Textes nahe bei Optimum. Mindestens ein Bit pro Zeichen Beachte: Es gibt auch Kodierungen mit weniger als Bit/Zeichen: RLE:!8 ˆ= 8 Nullen,6 Bits/Zeichen JPEG: Entropiekodierung = Huffman + RLE (viele Nullen) W. Kowarschick

15 Weitere Entropieverfahren Verfahren mit Wörterbüchern Wörterbücher enthalten kurze Codes für häufig vorkommende Wörter oder Zeichenfolgen. Verallgemeinerung der Huffman-Codierung Adaptive Verfahren Wahrscheinlichkeitstabellen, Wörterbücher, etc. werden während der Kodierung aufgebaut. Vorteil: Nachteil: bessere Kompression ( Xaver Xanten am Xerox-Kopierer ) zusätzliche Information kostet Zeit und Platz W. Kowarschick

16 Interpolierende Kodierung (predictive coding) Kann ein Wert aus bereits übertragenen Werten berechnet (interpoliert) werden, so muß er nicht mehr gespeichert werden, sondern nur noch die Berechnungsvorschrift. Differenzverfahren Unterscheiden sich aufeinanderfolgende Werte i. Allg. nur wenig (Huffman-Codes von) Differenzen abspeichern Spezialfall der interpolierenden Kodierung W. Kowarschick 6

17 Beispiele Lemple-Ziv-Verfahren: Adaptive Verfahren mit Wörterbüchern LZ77: LZ78, LZW: PKZIP, ZIP, GZIP, ZLIB, LHARC, ARJ etc. COMPRESS, GIF, PostScript etc. Die UNISYS Corporation besitzt Patent für LZW PNG: Verwendung von LZ77-Variante keine patentrechtlichen Probleme und besser als LZW (GIF) W. Kowarschick 7

18 Beispiele (Forts.) (MPEG): Group / Fax: JBIG: DPCM: ADPCM: Speicherung von Differenzbildern z. B. Tagesschau viele Nullen differenzielle RLE-Verfahren interpolierendes adaptives Verfahren (S/W) differential puls code modulation adaptive differential puls code modulation W. Kowarschick 8

19 Verlustbehaftete Kompressionsverfahren Quantisierung Das wesentliche Werkzeug der verlustbehafteten Kompression ist die sogenannte Quantisierung: Alle Werte eines Intervalls werden durch einen Wert repräsentiert. [.,.9], [.,.9],... [hellgrün, grün, dunkelgrün] grün,... W. Kowarschick 9

20 Beispiele PCM: Farbreduktion: Auflösungsreduktion: (down sampling) Analogsignal Folge von Bytes (Digitalisierung) True-Color (6 Mio Farben) High-Color (6 Farben), 6 Farben/Graustufen dpi (Druck) dpi (Drucker) dpi (Bildschirm) Stereo Mono. khz (CD-Rom) 8kHz (Telephon) W. Kowarschick

21 JPEG-Kompression JPEG = Joint Photographic Expert Group (ISO, CCITT, IEC) Ein hybrides Verfahren zur Komprimierung von Bildern: Tranformationskodierung + Quantisierung + Entropiekodierung s S Bildaufbereitung Bildverarbeitung Quantisierung Entropiekodierung Ebenen, Blocks FDCT Q SQ RLE, Huffman Bildaufbereitung Pixel s Bildverarbeitung IDCT S Dequantisierung Q SQ Entropiedekodierung RLE, Huffman W. Kowarschick

22 Die Bildaufbereitung zerlegt Rasterbilder in Ebenen und Blocks. Ebenen: Farbebenen (-, RGB, CMYK, YC b C r ) Kartenebenen (< 6) Blocks: 8x8-Blocks (6 Pixel) werden transformiert, quantisiert, komprimiert W. Kowarschick

23 FDCT: S uv := 7 7 x= y= (x + )uπ C(u) C(v) s xy cos 6 (y + )vπ cos 6 IDCT: s xy := 7 7 u= v= (x + )uπ C(u) C(v) S uv cos 6 (y + )vπ cos 6 x, y [, 7] und u, v [, 7] C(s) = / falls s = ; sonst C(s) = W. Kowarschick

24 u =, v = cos(*pi*(*x+)/6)*cos(*pi*(*y+)/6) u =, v = cos(*pi*(*x+)/6)*cos(*pi*(*y+)/6).667..e W. Kowarschick

25 u =, v = cos(*pi*(*x+)/6)*cos(*pi*(*y+)/6).667..e u = 7, v = 7 cos(7*pi*(*x+)/6)*cos(7*pi*(*y+)/6).667..e W. Kowarschick

26 u =, v = cos(*pi*(*x+)/6)*cos(*pi*(*y+)/6) u = 7, v = cos(7*pi*(*x+)/6)*cos(*pi*(*y+)/6).667..e W. Kowarschick 6

27 u =, v = 7 cos(7*pi*(*x+)/6)*cos(*pi*(*y+)/6).667..e u = 7, v = cos(*pi*(*x+)/6)*cos(7*pi*(*y+)/6).667..e W. Kowarschick 7

28 Der Benutzer steuert die Quantisierung über eine Tabelle Q: Quantisierung: SQ uv := round(s uv /Q uv ) Dequantisierung: S uv := SQ uv Q uv S uv Q uv = SQ uv S uv Q uv Q uv Q uv W. Kowarschick 8

29 Abbildung : Gif (6 Byte) W. Kowarschick 9

30 Abbildung : JPEG (7%, Byte) W. Kowarschick

31 Abbildung : JPEG (%, 68 Byte) W. Kowarschick

32 Abbildung 6: JPEG (%, 7 Byte) W. Kowarschick

33 Fraktale Verfahren Innerhalb eines Bildes werden selbstähnliche Gebiete gesucht. Diese werden nicht gespeichert, sondern nur die notwendigen mathematischen Transformationen. Aufwendige, aber sehr gute Kompression. Beispiel: JPEG W. Kowarschick

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