Automaten Sprachen Grammatiken. Allerdings ist auch die folgende Ableitung möglich, weshalb die Grammatik nicht eindeutig ist.

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1 Aufgabe 3: Automaten Sprachen Grammatiken Gegeben ist die folgende Grammatik G = (T, N, S, P) mit T = { a, b, c } N = { U, V, W } S = U P = { U ::= au av V ::= au bv bw W ::= bv cw c } a) Erzeugen Sie fünf gültige Worte der Länge 6. b) Zeigen Sie mit Hilfe eines Ableitungsbaums, dass das Wort abbbcbbc in L(G) enthalten ist. Begründen Sie, dass die Grammatik mehrdeutig ist. c) Charakterisieren Sie die Sprache, die von G erzeugt wird. d) Beweisen Sie, dass die von G erzeugte Sprache regulär ist, indem Sie einen erkennenden Automaten A konstruieren, welcher die Sprache L(G) akzeptiert. e) Der in d) entwickelte endliche Automat ist nichtdeterministisch. Entwickeln Sie einen äquivalenten deterministischen Automaten A mit L(A) = L(A ). Lösung: Lösungen Aufgabe 3: Automaten Sprachen Grammatiken a) aaaabc, abbbbc, abcccc, abcbbc, ababbc, aabbcc, etc. b) U av abv abbv abbbw abbbcw abbbcbv abbbcbbw abbbcbbc. Allerdings ist auch die folgende Ableitung möglich, weshalb die Grammatik nicht eindeutig ist. U av abw abbv abbbw abbbcw abbbcbv abbbcbbw abbbcbbc. c) (1) Die Worte fangen mit a an, haben in der Mitte mind. ein b und hören mit c auf (2) Nach a kommt nur a oder b (3) Nach b kommt nur b, c oder mindestens 2a (4) Nach c kommt nur c oder mindestens 2b d) Ein Automat könnte wie folgt aussehen: a b c a b c U a V W X b e) Die Entwicklung führt über folgende Tabelle: Zustand a b c S U S UV - -

2 S UV S UV S VW - S VW S U S VW S WX S WX - S V S WX S V S U S VW - Der zugehörige Automat hätte folgendes Aussehen: S U a a a a b c S UV b S VW c S WX b b S V

3 Aufgabe 2: Automaten, Sprachen, Grammatiken a) Gegeben ist die Grammatik G = (T, N, S, P) mit T = { müllers, erben, spinnen }, N = { S, A, E }, dem Startsymbol S = S und den Produktionen P = { S ::= AE; A ::= müllers müllers erben; E ::= erben spinnen erben spinnen }. I) Bestimmen Sie die vollständige Sprache L(G), d. h. alle Worte der Sprache. II) Begründen Sie am Beispiel müllers erben spinnen die Mehrdeutigkeit der Grammatik sowohl auf syntaktischer als auch semantischer Ebene. III) Zeigen Sie mit Hilfe eines endlichen Automaten, dass die Sprache regulär ist. Geben Sie auch eine reguläre Grammatik an. b) Gegeben ist folgender nichtdeterministische, endliche Automat A: 0 0 S 0 1 S 2 1 0, S 1 S 3 I) Entwickeln Sie mit Hilfe des aus dem Unterricht bekannten Verfahrens einen äquivalenten, deterministischen, endlichen Automaten. II) Begründen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen: (1) Das Wort gehört zur Sprache L(A). (2) Alle Worte der Sprache L(A) fangen mit dem Zeichen 0 an. (3) Alle Worte der Sprache L(A) enden mit dem Zeichen 0. (4) Für jedes Wort der Sprache L(A) gilt: die Anzahl der 1en ist ungerade. (5) Für jedes Wort der Sprache L(A) gilt: die Anzahl der 0en ist ungerade. 0 c) Gegeben sei die Sprache L = {a n ba n n IN 0 } I) Begründen Sie, dass es keine erzeugende reguläre Grammatik geben kann. II) Entwerfen Sie eine kontextfreie Grammatik G = (T, N, S, P), so dass gilt L(G) = L. III) Zeichnen Sie den Graphen eines Keller-Automaten KA für den gilt: L(KA) = L(G) = L. IV) Entwickeln Sie eine Turingmaschine über dem Bandalphabet Γ = { _, a, b }, welche erkennt, ob ein Eingabewort zur Sprache L gehört. Der Schreiblesekopf steht zu Beginn auf dem ersten Zeichen des Eingabewortes.

4 Aufgabe 2: Automaten Akzeptoren a) Entwerfen Sie jeweils einen akzeptierenden endlichen Automaten A über dem Eingabealphabet Σ = {0, 1}, welcher die folgenden Sprachen L(A) akzeptiert. (1) L(A) = { 01 w 10 w Σ* } (2) L(A) = { w w Σ + und #0 gerade und #1 ungerade } (3) L(A) = { w w Σ + und w ist als Binärzahl durch zwei teilbar } (4) L(A) = { 01 n 0 m 1 n, m IN 0 } b) Gegeben sind die folgenden Akzeptoren über dem Eingabealphabet Σ = {0, 1}. Geben Sie die Menge der Worte an, welche von ihnen akzeptiert wird. (1) (2) 0 z 0 1 z 1 0 z 2 1 z z z 1 0 z z 4 1 z 3 0 z 5 0 z 6 1 0, z 4 z z 8 c) Entwickeln Sie einen Getränkeautomaten, welcher die Flaschensorten Wasser (0,50 ), Cola (1,00 ) und Bier (2,50 ) nach Bedarf ausgeben kann. Der Automat verlange zuerst die Flaschenwahl und akzeptiere anschließend nur passende Bezahlung. Bei Überbezahlung soll das eingeworfene Geld zurückgegeben werden (ein Zustand), bei passender Bezahlung soll das Flaschenfach frei gegeben werden (ein Zustand für alle Sorten zusammen). Der Automat nehme die Münzsorten 0,50, 1,00 und 2,00 an. 0

5 Aufgabe 1: Automaten, Grammatiken, Sprachen Gegeben ist die folgende Grammatik G = (N, T, S, P) mit N = {A, B, S, P} T = {aha, dadada, di, ding } S = A P = { A ::= aha aha aha A aha B B ::= dadada C C ::= di D D ::= ding D ding A } a) Geben Sie 4 Worte der Sprache L(G) an. Wie lautet das kürzeste Wort dieser Sprache? b) Welcher der folgenden Worte gehören zur Sprache L(G)? Begründen oder widerlegen Sie mit Hilfe eines Ableitungsbaums: (i) aha aha aha aha (ii) dadada ding (iii) aha aha aha dadada di ding aha (iv) dadada di ding ding dadada (v) dadada di aha c) Zeigen Sie: Der Refrain des bekannten Lieds von Trio Da da da ist Wort dieser Sprache. Falls sie den Text nicht können, hier ist er: aha aha aha dadada di ding ding ding ding dadada di ding ding ding ding aha Begründen Sie, indem Sie einen Ableitungsbaum für dieses Wort konstruieren. d) Begründen Sie: die Sprache L(G) ist regulär. Entwickeln Sie dazu einen endlichen Automaten A mit ε-übergängen, so dass gilt: L(A) = L(G). e) Entwickeln Sie aus dem nichtdeterministischen Automaten A aus Aufgabe d) einen deterministischen Automaten A, welcher die gleiche Sprache akzeptiert, also L(A) = L(A ). Zeichnen Sie auch den Graphen des Automaten. f) Schreiben Sie ein Prolog-Programm, welches erkennt, ob eine Liste, welche eine Aneinanderreihung von Terminalen der obigen Grammatik enthält, ein gültiges Wort der Sprache symbolisiert. teste([aha, aha, aha, dadada, di ding, dadada, di, ding]). sollte yes. ergeben. Lösung: Aufgabe 1: a) aha, aha aha aha aha, dadada di ding, aha aha aha dadada di ding ding aha b) (i) ok (ii) falsch (di ding ware ok) (iii) ok (iv) falsch (nach dadada kommt di) (v) ok c) A aha aha aha A B dadada C di D ding D ding D A B dadada C di D ding D ding D A aha

6 d) aha aha aha ε A ε B dadada C di D ding Y aha ding X e) Zustand aha aha aha aha dadada di ding S AB S AB S X S C S X S C S DAB --- S DAB S AB S X S C --- S DABY S DABY S AB S X S C --- S DABY aha aha aha aha aha aha aha aha aha S AB dadada S C di S DAB ding S DABY aha aha dadada aha dadada ding S X f) a([aha,aha,aha Rest]) :- a(rest). a([aha]). a(rest) :- b(rest). b([dadada Rest]):- c(rest). c([di Rest]):- d(rest). d([ding Rest]):- d(rest). d([ding]). d(rest):- a(rest).

7 Aufgabe 1: Automaten, Grammatiken, Sprachen Der norddeutsche Gruß lässt dem Benutzer viele Möglichkeiten der Aussprache die sogenannte Grußsprache. Die zugrundeliegende Grammatik lautet dabei wie folgt: Die Menge der nichtterminalen Symbole ist {S, T, U, V, W), S ist das Startsymbol. Die terminalen Symbole entsprechen der Menge (Hal, hal, li, le, lo, lö} und die Regeln lauten wie folgt: S ::= T ::= U ::= V ::= W ::= Hal T li U lö V lo W hal T lö V le lo T U ε a) Kapitän Blaubart glaubt, die folgenden Grüße seiner Schiffsmannschaft vernommen zu haben. Begründen Sie, ob er richtig gehört hat, indem Sie für jedes Wort entweder einen Ableitungsbaum angeben oder aber eine Begründung dafür geben, dass es keine Ableitung gibt. 1. Hallo 2. Hallilöle 3. Hallihallohallöle 4. Hallololihallelöle 5. Hallololihallihallölöle b) Der Kapitän ist heiser und möchte sich auf möglichst kurze Äußerungen beschränken. Geben Sie die vier kürzesten Wörter an, die aus der Grammatik abgeleitet werden können. Mit "kürzeste Wörter" sind die Wörter gemeint, welche die kleinste Buchstabenanzahl (nicht Silbenzahl) haben. Begründen Sie, warum es die vier kürzesten sind. c) Auf dem Schiff wird erregt diskutiert, welche der folgenden Aussagen über die Grußsprache richtig sind. Beurteilen Sie die Richtigkeit der Aussagen. 1. Die Anzahl der lo ist ungerade. 2. Jedes Wort enthält mindestens ein lo oder le. 3. Man kann beliebig lange Wörter bilden, in denen keine zwei gleichen Silben (= terminale Symbole) aufeinander folgen. 4. In jedem Wort ist die Anzahl der li kleiner oder gleich der Anzahl der lo. 5. In jedem Wort ist die Anzahl der lö größer oder gleich der Anzahl der le. d) Kapitän Blaubär hat es von einem besonders langen Gruß die Sprache verschlagen und möchte deshalb demnächst seine Grüße von einem Automaten erzeugen lassen. Entwickeln Sie einen endlichen nichtdeterministischen Automaten, der die Grußsprache akzeptiert. e) Überführen Sie den nichtdeterministischen endlichen Automat aus Teilaufgabe d) in einen endlichen deterministischen Automaten. Verwenden Sie dazu das im Unterricht behandelte Verfahren.

8 f) Implementieren Sie ein Prolog-Programm, welches erkennt, ob eine Liste, welche eine Aneinanderreihung von Terminalen der obigen Grammatik enthält, ein gültiges Wort der Sprache symbolisiert. Hinweis: teste([hal, li, hal, lo, hal, lö, le]). sollte yes. ergeben. Lösung: Aufgabe 1: a) Im einzelnen (die Ableitungsbäume in Kurznotation): (1) Hallo ist korrekt (S Hal T, T lo W, W ε) (2) Hallilöle ist falsch, da nach li ein hal kommen muss. (3) Hallihallohallöle ist korrekt (S Hal T, T li U, U hal T, T lo W, W U, U hal T, T lö V, V le) (4) Hallololihallelöle ist falsch, da nach hal kein le kommen kann. (5) Hallololihallihallölöle ist korrekt (S Hal T, T lo W, W lo T, T li U, U hal T, T lö V, V lö V, V le) b) Die kürzesten vier Wörter sind wie folgt gegeben: Hallo Hallöle Hallölöle Hallololo Anfangen müssen alle Wörter mit Hal. Um möglichst kurze Wörter zu bilden, muss möglichst schnell der Zustand W oder der Zustand V erreicht werden. Mit li würde man nur über die Produktion U erneut die Produktion T starten überflüssige Länge. Von T ausgehend kann man mit lo direkt den Zustand W erreichen. kürzestes Wort. Mit lö kommt man direkt zu V und endet dann mit le zweitkürzestes Wort. Mit lö kommt man direkt zu V und kann dort mit lö nochmals die Produktion V aufrufen und dann mit le enden drittkürzestes Wort. verwendet man von T ausgehend ein lo, so kann man durch zweimaliges lo wieder den Zustand W erreichen viertkürzestes Wort. Alle anderen Worte mit vier Silben sind länger, da in diesen Worten die Silbe hal auftreten muss. Diese Silbe hat allerdings drei statt zwei Buchstaben, so dass das Wort zeichenanzahlmäßig länger wird. c) Die Aussagen werden wie folgt begründet bzw. widerlegt: (1) Ist falsch, da Hallohallo ein Wort der Sprache ist und eine gerade Anzahl lo besitzt. (2) Ist richtig, da ein Ende der Ableitungsregeln nur über die Produktionsregel W oder V erreicht werden kann. In V endet das Wort auf le. In W endet das Wort zwar auf ε, allerdings gelangt man nur über die Silbe lo in diese Produktionsregel. Damit ist lo auch die letzte Silbe des Wortes. (3) Ist richtig, da Hallohallo...hallo ein Wort der Sprache ist. (4) Ist falsch, da Hallihallihallo ein Wort der Sprache ist und #li > #lo.

9 (5) Ist richtig: Um die Silbe le zu erhalten, muss man zuvor in Produktionsregel V gelangen. Dies gelingt aber nur über lö V, so dass vor dem le (nach welchem das Wort definitiv endet) wenigstens ein lö kommen muss. Mehr als ein lö ist möglich, wie das Wort Hallölöle beweist. d) Ein endlicher nichtdeterministischer Automat hätte dann folgendes Aussehen: U li hal ε S Hal lo T lo W lö V le E lö e) Mit Hilfe des bekannten Verfahrens zur Überführung NFA DFA ergibt sich folgende Zustandsüberführungsfunktion: Zeichen Hal hal li lo lö le Zustand S S S T S T S U S WU S V S U S T S WU S T S T S V S V S E S E Der Graph des Automaten sieht damit wie folgt aus: li S U lo S S Hal S T lo, hal S WU lö S V hal le S E lö f) s([hal Rest]) :- t(rest). t([li Rest]) :- u(rest). t([lo Rest]) :- w(rest). t([lö Rest]) :- v(rest). u([hal Rest]):- t(rest). w([lo Rest]):- t(rest). w([]). w(rest):- u(rest).

10 v([lö Rest]) :- v(rest). v([le]).

11 Aufgabe 2: Automaten Sprachen Auf der Krypto 2007 haben Sie das "Kalle-Blomquist-Chiffrierverfahren" kennen gelernt. Beim Verschlüsseln wird jeder Konsonant verdoppelt und der Buchstabe O dazwischen eingefügt. Das Wort JAMES BOND wird somit verschlüsselt zu JOJAMOMESOS BOBONONDOD. Verzichtet man auf die Gleichheit des zweiten Konsonanten und lässt statt des Füllbuchstabens O einen beliebigen Vokal zu, so wird es noch schwerer, verschlüsselte Nachrichten zu knacken. Das Wort JAMES BOND könnte dann z. B. wie folgt verschlüsselt werden: JONAMATESUW BOLONERDES. a) Verschlüsseln Sie das Wort KALLE BLOMQUIST nach dem erweiterten "Kalle-Blomquist- Chiffrierverfahren. b) Entschlüsseln Sie den Text DOFIE POROLOGIZULEI KESOMIMMOSTIX c) Da im zweiten Verfahren jeweils alle Konsonanten und alle Vokale gleich behandelt werden vereinfachen wir das Alphabet auf k (Konsonant) und v (Vokal). Analysieren Sie, ob das Wort "kvkvkvkkvkvvkvk" ein mit dem "Kalle- Blomquist-Chiffrierverfahren" verschlüsseltes Wort ist. d) Die Sprache L bestehe aus allen mit dem "Kalle-Blomquist-Chiffrierverfahren" verschlüsselten Worten. Konstruieren Sie einen globalen endlichen Automaten, dessen Sprache L(A) = L ist. Geben Sie Ihren Automat als Zustandsgraph und als Tabelle an. e) Geben Sie für die Überprüfung, ob die folgenden Wörter zur Sprache L(A) gehören, die zugehörige Zustandsfolge an und geben Sie begründet an, ob der Automat akzeptiert oder nicht. 1) vkvkkvkvvkvk 2) kvkkvkvk 3) kvkvkvkvkvk f) Entwickeln Sie eine reguläre Grammatik, die genau die gültigen Wörter der Sprache L produziert. g) Der folgende Automat akzeptiert Wörter, welche mit einem anderen Chiffrierverfahren verschlüsselt wurden. Entwickeln Sie einen äquivalenten deterministischen Automaten nach dem aus dem Unterricht bekannten Verfahren. v k A k B v v k C k

12 f) Implementieren Sie die fehlenden Methoden des Parsers, der die Korrektheit eines Füllwortes erkennt. Siehe Anlage: Klasse TParser. ANLAGE I: PARSER ZU AUFGABE 2 interface type TSymbol = (schub, bi, dub, du, ahhhhh, fehler); TParser = class private function NextToken(var s: String): TSymbol; function V(var token: TSymbol; var s: String): boolean; function U(var token: TSymbol; var s: String): boolean; function T(var token: TSymbol; var s: String): boolean; function S(var token: TSymbol; var s: String): boolean; public function parse(wort: String): boolean; implementation function TParser.NextToken(var s: String): TSymbol; begin if ((length(s)>=5)) and (copy(s,1,5) = 'schub') then begin delete(s,1,5); result:= schub; end else if ((length(s)>=2)) and (copy(s,1,2) = 'bi') then begin delete(s,1,2); result:= bi; end else if ((length(s)>=3)) and (copy(s,1,3) = 'dub') then begin delete(s,1,3); result:= dub; end else if ((length(s)>=2)) and (copy(s,1,2) = 'du') then begin delete(s,1,2); result:= du; end else if ((length(s)>=6)) and (copy(s,1,6) = 'ahhhhh') then begin delete(s,1,6); result:= ahhhhh; end else result:= fehler; function TParser.V(var token: TSymbol; var s: String): boolean; begin // hier Code ergänzen function TParser.U(var token: TSymbol; var s: String): boolean; begin // hier Code ergänzen

13 function TParser.T(var token: TSymbol; var s: String): boolean; begin // hier Code ergänzen function TParser.S(var token: TSymbol; var s: String): boolean; begin // hier Code ergänzen function TParser.parse(wort: String): boolean; var token: TSymbol; begin token:= NextToken(wort); result:= S(token, wort); Lösung: Aufgabe 2: a) KEXALEXLEXE BEXLEXOMEXQEXUISEXTEX b) DIE POLIZEI KOMMT c) Das Wort setzt sich zusammen aus: kvk v kvk kvk v v kvk, also ist das Ursprungswort kkkvvk gewesen. d) Automat als Tabelle: k v S 0 (final) S 1 S 0 S 1 S F S 2 S 2 S 0 S F S F S F S F e) 1) S 0 v S 0 k S 1 v S 2 k S 0 k S 1 v S 2 k S 0 v S 0 v S 0 k S 1 v S 2 k S 0 (akzeptierender Endzustand) 2) S 0 k S 1 v S 2 k S 0 k S 1 v S 2 k S 0 v S 0 k S 1 (kein Endzustand) 3) S 0 k S 1 v S 2 k S 0 v S 0 k S 1 v S 2 k S 0 v S 0 k S 1 v S 2 k S 0 (akzeptierender Endzustand) f) G=(N,T,S,P) mit N={A,B,C}, T = {k,v,ε}, S = A und P = { A::= va kb ε B::= vc C::= ka } g) Es resultiert die folgende Tabelle: v k S A (initial) S BC S A S BC (final) S B S AC S B (final) S AC S AC S BC S AC

14 Aufgabe 2: Grammatiken Sprachen Automaten Ein oftmals in Songtexten verwendetes Füllwort ist "Schubbidubbidu" oder "Schubidubbiduahhhhh". Die folgende Grammatik erzeugt solche Füllwörter für Songwriter oder welche, die es noch werden wollen, damit diese sich nicht ständig neue Aneinanderreihungen von Schubbi's und dubbi's ausdenken müssen. Gegeben ist die Grammatik G = (N, T, S, P) mit N = {S, T, U, V), T = (schub, bi, dub, du, ahhhhh, ε} und S = S und P = {S ::= schub T T ::= bi U schub T U ::= dub T V T V ::= du V ahhhhh ε }

15 a) Tony Mono, ein begnadeter Musiker und Produzent bei 1Live, hat sich einige Füll- Wörter ausgedacht, ist sich aber nicht sicher, ob diese auch zur definierten Sprache gehören. Begründen Sie mithilfe eines Ableitungsbaums, welche der folgenden Füll-Worte zur Sprache L(G) gehören und welche nicht. 1. schubbidududu 2. schubdubbiduahhhhh 3. schubschubbiduahhhhh 4. schwabschwabbidubbidudu 5. schubbidubschubbischubschubbidubbiduduahhhhh b) Tony sucht für die Schlussphase eines Liedes ein möglichst kurzes Füll-Wort. Geben Sie fünf Wörter an, die aus 4 Terminalen bestehen und aus der Grammatik abgeleitet werden können. Zeigen Sie mithilfe eines Ableitungsbaums, dass die Wörter zur Sprache L/G) gehören. Geben Sie vier Worte an, die aus weniger als 4 Terminalen bestehen. c) Tony Mono kann sich die Grammatik nicht so gut merken und würde die Gesetzmäßigkeiten der Sprache lieber umgangssprachlich formulieren. Beurteilen Sie die Richtigkeit der folgenden Aussagen. 1. Die Anzahl der schub ist ungerade. 2. Jedes Wort enthält mindestens ein bi. 3. Man kann beliebig lange Wörter bilden, in denen keine zwei gleichen Silben (= terminale Symbole) aufeinander folgen. 4. In jedem Wort ist die Anzahl der dub kleiner der Anzahl der bi. d) Tony ein von Natur aus minimalistisch veranlagter Mensch möchte die Richtigkeit der Füll-Worte nicht mehr selbst nachweisen, sondern er will einen Automaten, der diese Arbeit für ihn übernimmt. Entwerfen Sie einen endlichen nichtdeterministischen Automaten, der die Füllwort- Sprache akzeptiert. e) Überführen Sie den nichtdeterministischen endlichen Automat aus Teilaufgabe d) in einen endlichen deterministischen Automaten. Verwenden Sie dazu das im Unterricht behandelte Verfahren. Lösung: Aufgabe 2: a) 1. S => schub T => schub bi U => schub bi V => schub bi du V => schub bi du du V => schub bi du du du V => schub bi du du du => ist in L(G) 2. S => schub T => Fehler, da aus T kein dub werden kann. 3. S => schub T => schub schub T => schub schub bi U => schub schub bi V => schub schub bi du V schub schub bi du ahhhhh => ist in L(G) 4. S => Fehler, da aus S kein schwab werden kann. 5. S => schub T => schub bi U => schub bi dub T => schub bi dub schub T => schub bi

16 dub schub bi U => schub bi dub schub bi T => schub bi dub schub bi schub T => schub bi dub schub bi schub schub T => schub bi dub schub bi schub schub bi U => schub bi dub schub bi schub schub bi dub T => schub bi dub schub bi schub schub bi dub bi U => schub bi dub schub bi schub schub bi dub bi V => schub bi dub schub bi schub schub bi dub bi du V => schub bi dub schub bi schub schub bi dub bi du du V => schub bi dub schub bi schub schub bi dub bi du du ahhhhh => ist in L(G) b) Worte mit vier Terminalen: schub schub bi du schub schub bi ahhhhh schub schub schub bi schub bi du du schub bi du ahhhhh schub bi bi bi schub bi bi du schub bi bi ahhhhh schub bi dub bi schub bi schub bi Worte mit weniger als vier Terminalen: schub bi schub bi du schub bi bi schub schub bi schub bi ahhhhh c) 1. nein, den schub bi ist Wort der Sprache 2. ja, denn um zu einem Endzustand zu gelangen muss man über U gehen. Hier kommt man aber nur mit einem bi hin. 3. ja, den schub bi schub bi... schub bi ist Wort der Sprache 4. ja, da vor einem dub immer mindestens ein bi kommen muss und nach dub ebenfalls mindestens ein bi kommen muss. d) Ein möglicher NFA: dub, ε schub bi ε ahhhhh S T U V X schub du e) Die Konvertierung zu einem DFA schub bi dub du ahhhhh S T T T TUV TUV T TUV T V X V V X X

17 dub, schub schub bi S T TUV bi schub ahhhhh du X ahhhhh V du f) Eine Implementierung wäre z. B.: function TParser.V(var token: TSymbol; var s: String): boolean; begin case token of du: begin token:= NextToken(s); result:= V(token, s); ahhhhh: begin if s = '' then result:= true else result:= false; else begin if s = '' then result := true else result:= false; function TParser.U(var token: TSymbol; var s: String): boolean; begin case token of dub: begin token:= NextToken(s); result:= T(token, s); du, ahhhhh: result:= V(token, s); bi, schub: result:= T(token, s); else result:= false; function TParser.T(var token: TSymbol; var s: String): boolean; begin case token of bi: begin token:= NextToken(s); result:= U(token, s); schub: begin token:= NextToken(s); result:= T(token, s);

18 else result:= false; function TParser.S(var token: TSymbol; var s: String): boolean; begin if token = Schub then begin token:= NextToken(s); result:= T(token, s) end else result:= false;

19 nicht gewählte Aufgabe: Gegeben ist die Grammatik G = (N, T, S, P) mit N = {X, Y, Z), T = (1, 0, ε} und S = S und P = {X ::= 110 Y 1 Z Y ::= 1 Y ε Z ::= X 10 Z 0 Automaten Grammatiken Sprachen a) Erzeugen Sie vier verschiedene Worte der Sprache L(G). Geben Sie jeweils den Ableitungsbaum an. b) Zeigen Sie: Die Grammatik ist mehrdeutig. c) Begründen Sie: Es gibt keine äquivalente reguläre Grammatik. d) Sei nun die Produktionsregel Y ::= 11 Y 1 0 ε. Konstruieren Sie einen nichtdeterministischen endlichen Automat A, der die Sprache L(G) akzeptiert, d. h. L(A) = L(G). e) Überführen Sie den nichtdeterministischen endlichen Automat A in einen deterministischen endlichen Automat A'. f) Geben Sie eine reguläre Grammatik G' an, welche die Sprache L(G) erzeugt, d. h. L(G) = L(G').

20 Aufgabe 3: Automaten a) Gegeben ist der folgende Automat: 0,2,4,6,8 1,3,5,7,9 S 0 1,3,5,7,9 0,2,4,6,8 S 1 Geben Sie 5 verschiedene Worte an, die der Automat akzeptiert. Erläutern und begründen Sie, welche Worte der Automat akzeptiert. Entwickeln Sie eine äquivalente Grammatik, die genau die gültigen Worte produziert, welche der Automat akzeptiert. b) Entwickeln Sie einen endlichen Automaten über dem Eingabealphabet Σ = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, der alle "Worte" akzeptiert die durch 5 teilbar sind. c) Gegeben ist der folgende Automat: 2,6 0,4,8 2,6 S 1 0,4,8 0,4,8 S 0 1,3,5,7,9 2,6 1,3,5,7,9 S 2 1,3,5,7,9 Geben Sie für die Abarbeitung der folgenden Eingaben die zugehörige Zustandsfolge an und geben Sie begründet an, ob der Automat akzeptiert oder nicht d) Entwickeln Sie einen endlichen Automaten über dem Eingabealphabet Σ = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, der alle "Worte" akzeptiert die durch 3 teilbar sind. Hinweis: Eine "Wort" ist durch 3 teilbar, wenn die Quersumme durch 3 teilbar ist. Lösung:

21 Lösung Aufgabe 3: a) 0, 4, 88, 1386, Alle Worte, die durch zwei teilbar sind, denn alle geraden Ziffern führen in einen Endzustand. T = { 0, 1,..., 9, ε } N = { A, B } S = A P = { A::= 0A 2A 4A 6A 8A 1B 3B 5B 7B 9b ε B::= 0A 2A 4A 6A 8A 1B 3B 5B 7B 9b } b) Ei möglicher Automat wäre: 0, ,6..9 S 0 0,5 S 1 c) S0 S2 S0 S2 S1 S2 S0 akzeptiert. S0 S2 S2 S1 S2 S2 S0 akzeptiert S0 S2 S1 S2 S0 S2 S1 S2 S0 S2 S1 akzeptiert nicht. d) Ein möglicher Automat wäre: 0,3,6,9 0,3,6,9 1,4,7 S 1 2,5,8 2,5,8 S 0 1,4,7 1,4,7 2,5,8 S 2 0,3,6,9

22 Aufgabe 2: Kellerautomaten kontextfreie Sprachen Turingmaschinen a) Gegeben Sei die Sprache L = { (ab) n (ba) n n IN}. Begründen Sie, dass es keinen endlichen Automaten geben kann, der diese Sprache akzeptiert. Entwickeln Sie anschließend den Graphen eines partiellen Kellerautomaten KA der die Sprache L akzeptiert. Hinweis: Partiell bedeutet, Sie dürfen die Fehlerzustände vernachlässigen. b) Eine Programmiersprache L(G) sei durch folgende kontextfreie Grammatik G(T,N,S,P) definiert: T = { programm, punkt, start, ende, bezeichner, anweisung } N = { PROGRAMM, ANWFOLG, ANWEISUNG } S = PROGRAMM P = { PROGRAMM ::= programm bezeichner ANWFOLG ANWFOLG ::= ANWEISUNG ANWEISUNG punkt ANWFOLG ANWEISUNG ::= anweisung start ANWFOLG ende Dabei soll hier nicht von Interesse sein, wie ein Bezeichner konkret aufgebaut ist. Ebenso ist es hier uninteressant zu wissen, wie eine Anweisung genau aussieht. I) Geben Sie zwei gültige Programme dieser Programmiersprache an. II) Begründen Sie die Aussage: "Es existiert kein endlicher Automat A, der die Sprache L akzeptiert." III) Es existiert ein Kellerautomat KA mit L(KA) = L(G), dessen Eingabealphabet aus den Zeichen Σ = { programm, punkt, start, ende, bezeichner, anweisung } besteht. Erläutern Sie die grundlegende Idee dieses Kellerautomaten, inwiefern der Keller für die Akzeptanz eines gültigen Programms w L(G) wichtig ist. Entwickeln Sie dann den Graphen eines partiellen Kellerautomaten, der gültige Programme akzeptiert, d. h. ohne Angabe von Fehlerzuständen. c) Sei L die Sprache aller "gedoppelten Wörter" L = {w_w w Σ*} mit Σ = {a,b} und sei T eine Turingmaschine über dem Bandalphabet Γ = Σ {_} = {a,b,_} mit L(T) = L. Erläutern Sie eine detaillierte Idee, wie eine akzeptierende Turingmaschine konstruiert werden müsste. d) Im folgenden Sehen Sie die Zustandstabelle einer Turingmaschine. I) Zeichnen Sie den Graphen der Turingmaschine. II) Erläutern Sie am Beispiel des Eingabewortes , was die Turingmaschine leistet.

23 Hinweis: Der Schreib-/Lesekopf steht zu Anfang auf dem ersten Zeichen des Eingabewortes. III) Begründen Sie, warum die Turingmaschine das in II) erläuterte Verhalten aufweist. e) Aus Prolog kennen Sie die Definition einer Liste: Liste = [] oder Liste = [e Liste], wobei e für ein beliebiges Element steht. Entwickeln Sie einen partiellen Kellerautomaten KA, der eine gültige Listendefinition akzeptiert. Das Eingabealphabet bestehe dabei aus: { [, ], e, } Lösung: Aufgabe 2 a) Der Automat müsste die anfänglichen ab's zählen, um diese mit den folgenden ba's zu verrechnen. Da allerdings beliebig viele ab's kommen dürfen, ist ein endlicher Automat unmöglich. b) I) programm bezeichner anweisung programm bezeichner anweisung punkt start start start anweisung ende ende ende II) Da der Automat die theoretisch unendlich vielen öffnenden start-symbole zählen müsste, um anschließend die gleiche Anzahl an ende-symbolen folgen zu lassen, ist ein endlicher Automat nicht möglich. III)

24 c) Idee: Nimm erstes Zeichen des ersten Wortes, laufe zum zweiten Wort und lösche den Buchstaben darin. Laufe dann wieder zurück zum Anfang des ersten Wortes. Beim Laufen zum zweiten Wort muss man sich merken, welchen Buchstaben man im ersten Wort gelöscht hat, deshalb sind zwei verschiedene "Schleifen" nötig, um an den Anfang des zweiten Wortes zu kommen. d) I) klar bzw. keine Lust ;-) II) Die Turingmaschine addiert binär, d. h wird zu Die Abarbeitung geht über folgende Schritte: E+11 10E+1 1EE+1 1EE+ 1NEE III) Begründung: Z0: ans Ende des Wortes laufen Z1: bei einer 0: Z2: bis zum Ende des ersten Operanden laufen

25 Z3: bis zur ersten Ziffer (0 oder 1) des ersten Operanden laufen und diese durch Buchstabe (N oder E) ersetzen und zu Z0 bei einer 1: Z4: bis zum Ende des ersten Operanden laufen Z5: bis zur ersten Ziffer (0 oder 1) des ersten Operanden laufen. bei einer 0: bei einer 1: Buchstabe E eintragen und zu Z0 Buchstabe N eintragen und Z6: solange die führenden Einsen in 0 umwandeln, bis ein _ kommt. Dort eine 1 eintragen und zu Z0- bei einem +: Z7: alle Buchstaben (N und E) durch Ziffern (0 bzw. 1) ersetzen. e)

26 Aufgabe 1: Automatentheorie Gegeben sei der folgende endliche Automat: a) Geben Sie das Eingabealphabet, die Menge der Zustände, die Menge der Endzustände und den Startzustand an. b) Der Automat diene zur Überprüfung der Gültigkeit von Passwörtern. Dabei entspricht das Eingabezeichen B einem beliebigen Buchstaben (a...z, A...Z), das Eingabezeichen S einem beliebigen Sonderzeichen (#,!, &, %,...) und Z einer beliebigen Ziffer (0...9). Geben Sie zwei Beispiele gültiger Passwörter (also Passwörter, die vom oben abgebildeten Automaten akzeptiert werden) und zwei Beispiele ungültiger Passwörter an. c) Geben Sie für die Abarbeitung der folgenden Eingaben die zugehörige Zustandsfolge an und geben Sie begründet an, ob der Automat akzeptiert oder nicht. Lg#i5ch u#l2g1sch r6d#m d) Begründen Sie anhand des Automaten, dass folgende Regeln für die Gültigkeit von Passwörtern existieren: 1. Das Passwort soll aus mindestens 4 Zeichen bestehen. 2. Das Passwort soll mit mindestens einem Buchstaben beginnen und mit mindestens einem Buchstaben enden. 3. Das Passwort soll mindestens ein Sonderzeichen und eine Ziffer enthalten. 4. Die Anzahl der Sonderzeichen und Ziffern muss gleich groß sein. 5. Sonderzeichen und Ziffern sollen paarweise auftreten, gegebenenfalls mit dazwischenliegenden Buchstaben. Beginnt ein solches Paar mit einem Sonderzeichen, so folgt eine Ziffer, beginnt ein Paar jedoch mit einer Ziffer, so folgt ein Sonderzeichen. e) Begründen Sie, warum es keinen deterministischen endlichen Automaten geben kann, der nur den Regeln 1 bis 4 genügt. f) Sei nun ein gültiges Passwort wie folgt aufgebaut: 1. Ein Passwort besteht nur aus Buchstaben und Ziffern. 1. Ein gültiges Passwort muss mit einem Buchstaben beginnen, danach kann eine beliebig lange Folge von Buchstaben gewählt werden. 2. In einem Passwort ist immer eine Ziffer erforderlich. 3. Das Passwort muss mindestens die Länge 3 haben.

27 Entwickeln Sie einen endlichen Automaten A, der die Sprache aller gültigen Passwörter akzeptiert. Geben Sie anschließend eine äquivalente Grammatik G an, so dass die Sprachen L(G) und L(A) übereinstimmen. Lösung: Aufgabe 1: Automatentheorie a) Σ = {B, S, Z} S = {q0, q1, q6 } F = {q6} s0=q0 b) gültig: co#pu1ern3t#werk oder te1e#on ungültig: #log1n oder p#sc#l c) Lg#i5ch q0->q1->q1->q2->q2->q3->q6->q6 Der Automat akzeptiert, weil er im Endzustand q6 angekommen ist. u#l2g1sch q0->q1->q2->q2->q3->q6->q4->q4->q4->q4 Der Automat hängt in einem nichtfinalen Zustand q4. r6d#m q0->q1->q4->q4->q5->q6 Der Automat akzeptiert im Endzustand q6. d) 1. kürzeste Folge über q0->q1->q2->q3->q6 oder q0->q1->q4->q5->q6 2. von q0 nur mit B nach q1. in q6 nur rein mit B. 3. von q1 nur mit S oder Z raus. Wenn mit S raus, dann aus q2 nur mit Z raus. Wenn mit Z raus, dann aus q4 nur mit S raus. 4. von q1 nach q3 nur mit SB*Z. Von q1 nach q5 nur mit ZB*S. von q3 oder q5 nur mit SB*Z oder ZB*S nach q3 bzw. q5. 5. BSS führt zu keinem Zustand. erst wenn ein Z gelesen, dann kann wieder ein S oder Z kommen. Genauso BZZ führt zu keinem Zustand. e) Automat müsste die Anzahl der S und Z zählen können. Da diese Anzahl aber nicht beschränkt ist, benötigt der Automat unbeschränkt viele Zustände => kein endlicher Automat. f) G = (N, T, S, P) N = {A, B, C, D, E} T = {b, z} S = A P = { A::= bb B::= bb zc C::= bd zd D::= bd zd ε }

28 Aufgabe 3: Automatentheorie Du kennst bereits den kleinen Informatik-Biber, dem es scheinbar in diesem Winter richtig kalt geworden ist (soooo viel Schnee...). Man könnte ihn auch bibberbibberbibbernderbiber nennen. Oder vielleicht bibbernderbibberbibberbibberbibberbiber? Oder vielleicht doch einfach nur bibberbiber? Egal, all das sollen zumindest gültige Bezeichnungen für unseren kleinen Freund den Biber sein. a) Erstellen Sie auf Grundlage des Eingabealphabets Σ = {bib, ber, er, nd} einen partiellen, deterministischen, endlichen Automaten A, so dass die Sprache L(A) alle gültigen Bezeichnungen für unseren kleinen Biber enthält. Hinweis: Die Sprache L(A) lautet L(A) = { (bibber)* nder (bibber)* biber } b) Begründen oder widerlegen Sie, dass folgende Bezeichnungen für unseren kleinen Freund den Biber von Ihrem Automaten akzeptiert werden: (i) bibberbibbernderbiber (ii) bibberbibberbibberbiber (iii) bibbernderbibberbiber (iv) bibbernderbibbernderbibber c) Gesucht ist ein endlicher Automat A', der nur die Worte der Sprache L'= { (bibber) n nder (bibber) n biber n IN 0 } akzeptiert. Geben Sie einen endlichen Automaten A'an oder begründen Sie, dass es keinen endlichen Automaten gibt, der nur die Worte dieser Sprache akzeptiert. d) Entwickeln Sie eine Grammatik G für die Sprache L'aus Aufgabenteil c, also eine Grammatik für die gilt: L(G) = L'. Hinweis: Wählen Sie für die Menge der Terminalen die Menge T = { bibber, nder, biber }. e) Begründen Sie mithilfe eines Ableitungsbaums oder widerlegen Sie argumentativ, ob die folgenden Worte aus der Sprache L'sind: (i) bibberbibbernderbibberbibberbiber (ii) bibbernderbibberbibberbiber f) Entwerfen Sie einen Kellerautomaten KA der nur die Worte der Sprache L'akzeptiert, also einen Kellerautomaten, für den gilt: L(KA) = L'. g) Gegeben sei die folgende mit dem Turing-Simulator entwickelte Turingmaschine:

29 (i) Stellen Sie die Turingmaschine als Graph dar. (ii) Geben Sie die Belegung des Ausgabebands an, nachdem die Turingmaschine im Endzustand (Zustand Z0) angekommen ist. (iii) Erläutern und begründen Sie den Zweck der Turingmaschine. Lösung: Aufgabe 3: a) ber bib nd S 0 S 1 S 2 S 3 bib er er S 6 er S 5 ber S 4 bib b) (i) S 0 S 1 S 2 S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 (Endzustand) (ii) S 0 S 1 S 2 S 1 S 2 S 1 S 2 S 1 S 6 (Endzustand) (iii) S 0 S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 S 4 S 5 S 6 (Endzustand) (iv) S 0 S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 S 4??? (Fehler) c) Der Automat A'müsste die Anzahl der "bibber" am Anfang zählen können, um nach den Zeichen "nd" und "er" die gleiche Anzahl "bibber" wie zu Anfang folgen lassen zu können. Dafür benötigte der Automat allerdings unbegrenzt viele Zustände, da n IN unbegrenzt groß sein kann. Folglich gibt es keinen endlichen Automaten, der die gesuchte Sprache erzeugt. d) G = (N, T, S, P) mit T = { bibber, nder, biber } N = { A, B } S = A

30 P = { A::= bibber B bibber biber biber B ::= bibber B bibber nder } e) (i) Der Ableitungsbaum sieht wie folgt aus: A bibber B bibber biber bibber B bibber nder (ii) Die Anzahl der "bibber" am Anfang ist von der Anzahl der "bibber" am Ende verschieden. Das Wort gehört nicht zur Sprache. f) [bibber, *]: *,* [bibber, k 0 ]: *,k 0 [bibber, *]: λ [nder, *]: * [biber, k 0 ]: k 0 S 0 S 1 S 6 [biber, k 0 ]: k 0 g) (i) Die Turingmaschine als Graph: * * N b - R i - R b - R S 0 S 1 S 2 S R b - R S 7 - * L S 6 r - R S 5 e - R S 4 b b L i i L e e L r r L * * L b b R i i R e e R r r R * * R (ii) Das Ausgabeband lautet "***" nachdem die Maschine im Endzustand Z 0 angekommen ist. (iii) Die Turingmaschine zählt im Unärsystem, wie oft das Wort "bibber" hintereinander auf dem Eingabeband steht. In den Zuständen Z 0 bis Z 5 wird das vorne stehende erste "bibber" entfernt. Im Zustand Z 6 wird an das Ende des Eingabewortes gelaufen und ein Sternchen "*" geschrieben. Im Zustand Z 7 läuft die Turingmaschine wieder an den Anfang des nun um das erste "bibber" gekürzten Eingabewortes.

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