r, t 2 r,t = r,t 2 d 3 r =
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- Petra Möller
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1 3. Wellenfunktion, Schrödingergleichung und Operatoren Der Zustand eines QM Systemes wird durch eine Wellenfunktion beschrieben. ψ(r,t)=wellenfunktion=zustandsfunktion Die Wahrscheinlichkeitsdichte ein Elektron am Ort r zur Zeit t zu finden ist durch das Betragsquadrat der Wellenfunktion gegen. r, t 2 r,t = r,t 2 d 3 r = * r,t r,t * r,t r,t d 3 r Für eine große Anzahl von gleichartigen Teilchen entspricht w(r,t) einer Intensitätsverteilung -> statistische Interpretation der QM. Die Wellenfunktion kann durch Lösung der Schrödingergleichung erhalten werden. =H = ħ2 r, tu r r,t t 2 m H = Hamiltonoperator (Operator: Funktion -> Funktion) ergibt sich aus der Hamiltonfunktion der klassischen Mechanik. 24
2 Beispiel freies Teilchen in einem großen Volumen V frei = es wirken keine Kräfte -> potentielle Energie U(r)=0 Schrödingergleichung =H = ħ2 t 2m Lösungen sind ebene Wellen: r,t = 0 e i k r t i = ħ2 2 m k 2 ħ = ħ2 k 2 2m Normierung der Wellenfunktion r,t mit Nebenbedingung ħ = ħ k 2 * d 3 r= 0 * e i k r t 0 e i k r t d 3 r= 0 * 0 d 3 r= 0 * 0 d 3 r= 0 * 0 V =1 0 = 1 V Lösung ist also eine ebene Welle mit fester Energie E = ћω und Impuls p = ћk mit Ausbreitungsrichtung k p und Gruppengeschwindigkeit (Teilchengeschwindigkeit) v g k = d d k = ħ k m =v 2m An welchem Ort finden wir das Teilchen? ψ(r,t) 2 = 1/V Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit ist für alle Raumpunkte gleich. 25
3 3.1 Operatoren und Messwerte Impulsoperator: der klassische Impuls p wird durch den QM Impulsoperator p op ersetzt = p 2 op = p op p op p op = ħ i x, y, z = ħ i grad= ħ i ħ i ħ i = ħ2 = ħ 2 = ħ 2 2 x y 2 z 2 Ortsoperator: der klassische Ort r wird durch den QM Ortsoperator r op ersetzt r -> r op = Multiplikation mit r Funktionen U(r) -> U op (r) Multiplikation mit Funktion Index op wird in Zukunft weggelassen! Die Reihenfolge der Operatoren ist im allgemeinen nicht vertauschbar! x p x r,t = x p x r, t = x ħ i x p x x r,t = p x x r,t = ħ i x x r, t = ħ r, t r,t x i x x p x p x x r,t = ħ r, t i 26
4 Eigenwerte von Operatoren entsprechen physikalischen Messwerten Eigenwertgleichung aus der Algebra a 11 a 12 a 21 a 22 x 1 x 2 = x 1 x 2 A x= x QM: Operator Funktion = Zahl Funktion A) Meßwerte des Impulsoperators für eine ebene Welle r,t = 0 e i k r t p op = ħ i grad =p p=ħ k nach de Broglie B) Messwerte des Hamiltonoperators für freies Teilchen H op = ħ2 2 2m = pop 2m 2 p H op = op 2m = ħ2 k 2 2m =E Eigenwerte des Hamiltonoperators sind die möglichen Messwerte der Energie C) allgemein: beliebiger Operator A einer physikalischen Messgröße Eigenwertgleichung A =a Eigenwert a=möglicher Messwert 27
5 3.2 Formale Quantisierung eines physikalischen Systems In der klassischen Hamiltonfunktion H=p 2 /2m+U(r) werden klassische Größen wie Ort und Impuls werden durch Operatoren ersetzt. p ħ i x, y, z = ħ i grad= ħ i E t Durch diese Ersetzung erhalten wir eine lineare partielle DGL für die Wellenfunktion ψ(r,t). =H t Schrödingergleichung Linerare GL: wenn ψ(r,t) eine Lösung ist, dann ist auch a ψ(r,t) Lösung Normierung der Wellenfunktion ψ(r,t) 2 d 3 r= ψ*ψ d 3 r=1 Anmerkung: Die Wahl der klassischen generalisierten Koordinaten für ein gegebenes System ist im allgemeinen nicht eindeutig. Die Reihenfolge von q und p ist in der klassischen Mechanik willkürlich. Der Hamiltonoperator ist damit nicht eindeutig. Die Mehrdeutigkeit verschwindet, wenn die Ersetzungsregeln nur auf kartesische Koordinaten angewandt werden. Zusatzregel pq -> (qp+pq)/2 28
6 3.3 Stationäre (zeitunabhängige) Zustände Wenn der Hamiltonoperator nicht explizit von der Zeit abhängt, kann man von der zeitabhängigen Schrödingergleichung zu einer zeitunabhängigen übergehen. =H = ħ2 r,tu r r,t t 2 m Lösungsansatz: Separation der Variablen Einsetzen in die Schrödingergleichung gibt r,t =e i t r ħe i t r =E e i t r =H e i t r Übrig bleibt der zeitunabhängige Teil der Schrödingergleichung H ψ(r) = E ψ(r) deren Lösung ψ(r) gibt. Die Lösungen ψ(r) heißen stationäre Zustände, da wr, t = * r,t r,t =e i t * r e i t r = * r r =wr zeitunabhängig ist. Stationäre Zustände haben eine feste Energie. Die vollständige zeitabhängige Lösung der Schrödingergleichung ist ψ(r,t) = e -iωt ψ(r) und damit zeitabhängig. 29
7 3.4 Wahrscheinlichkeitsstromdichte t * = * * t t Schrödingergleichung und deren komplex kongugiertes = ħ2 t 2m * r,t t t * = ħ i 2m [ * * ] = ħ2 2 m r,t * Definition der Wahrscheinlichkeitsstromdichte (Achtung =grad ) j r,t = ħ i 2m [ * r,t r,t r,t * r,t] damit kann man eine Kontinuitätsgleichung formulieren t wr,t div j r, t =0 die zeitliche Änderung der Aufenthaltswahrscheinlichkeit in einem bestimmten Volumen ist gleich dem Wahrscheinlichkeitsstrom durch die Oberfläche des Volumens. (Teilchenerhaltung analog zur Ladungsstromdichte der ED) 30
Die Wellenfunktion ψ(r,t) ist eine komplexe skalare Größe, da keine Polarisation wie bei elektromagnetischen Wellen beobachtet wurde.
2. Materiewellen und Wellengleichung für freie Teilchen 2.1 Begriff Wellenfunktion Auf Grund des Wellencharakters der Materie können wir den Zustand eines physikalischen Systemes durch eine Wellenfunktion
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