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1 3. Wellenfunktion, Schrödingergleichung und Operatoren Der Zustand eines QM Systemes wird durch eine Wellenfunktion beschrieben. ψ(r,t)=wellenfunktion=zustandsfunktion Die Wahrscheinlichkeitsdichte ein Elektron am Ort r zur Zeit t zu finden ist durch das Betragsquadrat der Wellenfunktion gegen. r, t 2 r,t = r,t 2 d 3 r = * r,t r,t * r,t r,t d 3 r Für eine große Anzahl von gleichartigen Teilchen entspricht w(r,t) einer Intensitätsverteilung -> statistische Interpretation der QM. Die Wellenfunktion kann durch Lösung der Schrödingergleichung erhalten werden. =H = ħ2 r, tu r r,t t 2 m H = Hamiltonoperator (Operator: Funktion -> Funktion) ergibt sich aus der Hamiltonfunktion der klassischen Mechanik. 24

2 Beispiel freies Teilchen in einem großen Volumen V frei = es wirken keine Kräfte -> potentielle Energie U(r)=0 Schrödingergleichung =H = ħ2 t 2m Lösungen sind ebene Wellen: r,t = 0 e i k r t i = ħ2 2 m k 2 ħ = ħ2 k 2 2m Normierung der Wellenfunktion r,t mit Nebenbedingung ħ = ħ k 2 * d 3 r= 0 * e i k r t 0 e i k r t d 3 r= 0 * 0 d 3 r= 0 * 0 d 3 r= 0 * 0 V =1 0 = 1 V Lösung ist also eine ebene Welle mit fester Energie E = ћω und Impuls p = ћk mit Ausbreitungsrichtung k p und Gruppengeschwindigkeit (Teilchengeschwindigkeit) v g k = d d k = ħ k m =v 2m An welchem Ort finden wir das Teilchen? ψ(r,t) 2 = 1/V Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit ist für alle Raumpunkte gleich. 25

3 3.1 Operatoren und Messwerte Impulsoperator: der klassische Impuls p wird durch den QM Impulsoperator p op ersetzt = p 2 op = p op p op p op = ħ i x, y, z = ħ i grad= ħ i ħ i ħ i = ħ2 = ħ 2 = ħ 2 2 x y 2 z 2 Ortsoperator: der klassische Ort r wird durch den QM Ortsoperator r op ersetzt r -> r op = Multiplikation mit r Funktionen U(r) -> U op (r) Multiplikation mit Funktion Index op wird in Zukunft weggelassen! Die Reihenfolge der Operatoren ist im allgemeinen nicht vertauschbar! x p x r,t = x p x r, t = x ħ i x p x x r,t = p x x r,t = ħ i x x r, t = ħ r, t r,t x i x x p x p x x r,t = ħ r, t i 26

4 Eigenwerte von Operatoren entsprechen physikalischen Messwerten Eigenwertgleichung aus der Algebra a 11 a 12 a 21 a 22 x 1 x 2 = x 1 x 2 A x= x QM: Operator Funktion = Zahl Funktion A) Meßwerte des Impulsoperators für eine ebene Welle r,t = 0 e i k r t p op = ħ i grad =p p=ħ k nach de Broglie B) Messwerte des Hamiltonoperators für freies Teilchen H op = ħ2 2 2m = pop 2m 2 p H op = op 2m = ħ2 k 2 2m =E Eigenwerte des Hamiltonoperators sind die möglichen Messwerte der Energie C) allgemein: beliebiger Operator A einer physikalischen Messgröße Eigenwertgleichung A =a Eigenwert a=möglicher Messwert 27

5 3.2 Formale Quantisierung eines physikalischen Systems In der klassischen Hamiltonfunktion H=p 2 /2m+U(r) werden klassische Größen wie Ort und Impuls werden durch Operatoren ersetzt. p ħ i x, y, z = ħ i grad= ħ i E t Durch diese Ersetzung erhalten wir eine lineare partielle DGL für die Wellenfunktion ψ(r,t). =H t Schrödingergleichung Linerare GL: wenn ψ(r,t) eine Lösung ist, dann ist auch a ψ(r,t) Lösung Normierung der Wellenfunktion ψ(r,t) 2 d 3 r= ψ*ψ d 3 r=1 Anmerkung: Die Wahl der klassischen generalisierten Koordinaten für ein gegebenes System ist im allgemeinen nicht eindeutig. Die Reihenfolge von q und p ist in der klassischen Mechanik willkürlich. Der Hamiltonoperator ist damit nicht eindeutig. Die Mehrdeutigkeit verschwindet, wenn die Ersetzungsregeln nur auf kartesische Koordinaten angewandt werden. Zusatzregel pq -> (qp+pq)/2 28

6 3.3 Stationäre (zeitunabhängige) Zustände Wenn der Hamiltonoperator nicht explizit von der Zeit abhängt, kann man von der zeitabhängigen Schrödingergleichung zu einer zeitunabhängigen übergehen. =H = ħ2 r,tu r r,t t 2 m Lösungsansatz: Separation der Variablen Einsetzen in die Schrödingergleichung gibt r,t =e i t r ħe i t r =E e i t r =H e i t r Übrig bleibt der zeitunabhängige Teil der Schrödingergleichung H ψ(r) = E ψ(r) deren Lösung ψ(r) gibt. Die Lösungen ψ(r) heißen stationäre Zustände, da wr, t = * r,t r,t =e i t * r e i t r = * r r =wr zeitunabhängig ist. Stationäre Zustände haben eine feste Energie. Die vollständige zeitabhängige Lösung der Schrödingergleichung ist ψ(r,t) = e -iωt ψ(r) und damit zeitabhängig. 29

7 3.4 Wahrscheinlichkeitsstromdichte t * = * * t t Schrödingergleichung und deren komplex kongugiertes = ħ2 t 2m * r,t t t * = ħ i 2m [ * * ] = ħ2 2 m r,t * Definition der Wahrscheinlichkeitsstromdichte (Achtung =grad ) j r,t = ħ i 2m [ * r,t r,t r,t * r,t] damit kann man eine Kontinuitätsgleichung formulieren t wr,t div j r, t =0 die zeitliche Änderung der Aufenthaltswahrscheinlichkeit in einem bestimmten Volumen ist gleich dem Wahrscheinlichkeitsstrom durch die Oberfläche des Volumens. (Teilchenerhaltung analog zur Ladungsstromdichte der ED) 30

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