Übungen zu Grundlagen der Theoretischen Informatik

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1 Übungen zu Grundlagen der Theoretischen Informatik INSTITUT FÜR INFORMATIK UNIVERSITÄT KOBLENZ-LANDAU SS 2013 Lösungen 07

2 Übungen GTI SS 2013 Manfred Jackel 2

3 Übungen GTI SS 2013 Manfred Jackel 3

4 Aufgabe 1a Co-Ereichbarkeit S A B Aaa bb ba DD Gb Db Neu 0 = C, E { } wg. C b c,e a b R { } C D E b c aa Ac a b Neu = C, E G 1 { } { } wg. G aee R { } F GC agb cfg Neu = C,E,G F,B 2 { } { } G aee Aa bee wg. B Gb, F GC, R { } Übungen GTI SS 2013 Manfred Jackel 4

5 Aufgabe 1a S Aaa bb Neu = B,C,E,F,G S 3 { } { } A ba DD wg. S bb R B Gb Db C D E b c aa Ac a b Neu5 = B,C,E,F,G,S nutzlos: A,D { } F GC agb cfg G aee Aa bee Übungen GTI SS 2013 Manfred Jackel 5

6 Aufgabe 1a G = ({ S,B,C,E,F,F },{ a,b,c },R,S) S B C E F G bb Gb b c a b GC agb cfg aee bee Übungen GTI SS 2013 Manfred Jackel 6

7 Übungen GTI SS 2013 Manfred Jackel 7

8 Aufgabe 1b Erreichbarkeit G = ({ S,B,C,E,F,F },{ a,b,c },R,S) S bb Neu 0 = S { } B C E Gb b c a b Neu = S B, b 1 wg. S bb { } { } F GC agb cfg Neu = S,B,b G 1 { } { } G aee bee wg. B Gb Übungen GTI SS 2013 Manfred Jackel 8

9 Aufgabe 1b Erreichbarkeit ({ } { } ) G = S,B,C,E,F,G, a,b,c,r,s S B bb Gb Neu = S, B,G, b E,a 2 wg. G { } { } aee C E b c a b Neu3 = S,B,E,G,a,b { } F GC agb cfg G aee bee Übungen GTI SS 2013 Manfred Jackel 9

10 Aufgabe 1b Erreichbarkeit ({ } { } ) G = S,B,E,G, a,b,r,s S B E G bb Gb a b aee bee Übungen GTI SS 2013 Manfred Jackel 10

11 Übungen GTI SS 2013 Manfred Jackel 11

12 Übungen GTI SS 2013 Manfred Jackel 12

13 Aufgabe 2 S aab B A Aa ε B abb ab Alle Symbole sind erreichbar Wegen S S, S aab aaab sind S,A,B,a,b erreichbar Alle Variablen sind co-erreichbar Wegen B ab, A ε, S aab sind S,A,B co-erreichbar Einzige nullbare Variable ist A Übungen GTI SS 2013 Manfred Jackel 13

14 Aufgabe 2 S aab B ab A Aa a B abb ab S A B V V a b V AB B V B a a b AV a a a V BV V V a b a b Elimination von Aε Änderung der rechten Regelseiten zu jeweils einem Terminalsymbol oder beliebig vielen Variablen Übungen GTI SS 2013 Manfred Jackel 14

15 Aufgabe 2 Elimination der Kettenregeln SB S V AB V BV V V V B A B V V a b a AV a a a b V BV V V a b a b a b a b a Keine nutzlosen Symbole! Übungen GTI SS 2013 Manfred Jackel 15

16 Aufgabe 2 Regeln der Form X->YZ S V C V D V V V B A B V V a b a b C AB D BV a a a b a AV a a VD VV a a b b Chomsky Normal Form Übungen GTI SS 2013 Manfred Jackel 16

17 Aufgabe 3 G = ({ S,A,B,C,D,E,F },{ a,b,c,d },R,S) S aabb aac BC BDa 1. Schritt A B C caa b DcF BCa CB A C a ε ccc ABC BCF ε S ist nullbar! Neues Startsymbol S D adb AFc E AaC CEb ab ε F BDc af BCD Übungen GTI SS 2013 Manfred Jackel 17

18 Aufgabe 3 G = ({ S,S,A,B,C,D,E,F },{ a,b,c,d },R,S ) S S ε S aabb aac BC BDa A caa b DcF BCa B CB A C a ε C ccc ABC BCF ε D adb AFc E AaC CEb ab ε F BDc af BCD 2. Schritt Nutzlose Symbole Entfernen D,F nicht co-erreichbar E nicht erreichbar Übungen GTI SS 2013 Manfred Jackel 18

19 Aufgabe 3 ({ } { } ) G = S,S,A,B,C, a,b,c,r,s 3. Schritt S S ε S aabb aac BC A caa b BCa B CB A C a ε C ccc ABC ε ε-regeln entfernen S,B,C nullbar C ε Übungen GTI SS 2013 Manfred Jackel 19

20 Aufgabe 3 ({ } { } ) G = S,S,A,B,C, a,b,c,r,s 3. Schritt S S ε S aabb aac BC B A caa b BCa Ba B CB A C a B ε C ccc ABC AB ε-regeln Entfernen S,B,C nullbar C ε Übungen GTI SS 2013 Manfred Jackel 20

21 Aufgabe 3 ({ } { } ) G = S,S,A,B,C, a,b,c,r,s 3.Schritt S S ε S aabb aac BC B aab C ε A caa b BCa Ba Ca a B CB A C a B C ccc ABC AB AC A ε-regeln Entfernen S,B,C nullbar B ε Übungen GTI SS 2013 Manfred Jackel 21

22 Aufgabe 3 ({ } { } ) G = S,A,B,C, a,b,c,r,s 3.Schritt S aabb aac BC B aab C ε S A B C aabb aac BC B aab C caa b BCa Ba Ca a CB A C a B ccc ABC AB AC A ε-regeln Entfernen S,B,C nullbar S ε Übungen GTI SS 2013 Manfred Jackel 22

23 Aufgabe 3 ({ } { } ) 4 G = S,S,A,B,C,V a,v b,v c, a,b,c,r,s S V AV B V AV BC B V AV C ε a b c a b a c a b A V AV b BCV BV CV a V V V c a a a a B CB A C a B C V V V ABC AB AC A a b c c c c 4.Schritt Normalform Übungen GTI SS 2013 Manfred Jackel 23

24 Aufgabe 3 ({ } { } ) 4 G = S,S,A,B,C,V a,v b,v c, a,b,c,r,s S V AV B V AV BC B V AV C ε a b c a b a c a b A V AV b BCV BV CV a V V V c a a a a B CB A C a B C V V V ABC AB AC A a b c c c c 5.Schritt Kettenproduktionen entfernen S A B C * * * * A, B,C { } { } A, B,C { } A { } Übungen GTI SS 2013 Manfred Jackel 24

25 Aufgabe 3 = ({ } { } ) a b c G 5 S,A,B,C,V,V,V, a,b,c,r 4,S S V AV B V AV BC CB V AV BCV BV CV V V V ABC AB AC V AV a b ε a b c a b a c c a a a a c c c a b A VcAV a BCV a BV a CV a a b B CB VcAV a BCV a BV a CV a VcV cv c ABC AB AC VcAV a b a C V V V ABC AB AC V AV BCV BV CV a b V V V a b c c c c c a a a a Übungen GTI SS 2013 Manfred Jackel 25

26 Aufgabe 3 ({ } { } ) a b c G 6 = S,A,B,C,V,V,V,H,I,J,K,L,M,N,O, a,b,,r 5,S S V H V J BC CB V K BL BV CV V V V AM AB AC V N a b ε a a c a a c c c a A VcK MV a BV a CV a a b B CB VcK a MV a BV a CV a VcO AM AB AC VcN a b a C V O AM AB AC V K MV BV CV a b Va a Vb b Vc c H AI I J K c c a a a VB b AV AV c a L CVa M BC N AVb O VV c c Übungen GTI SS 2013 Manfred Jackel 26

27 Übungen GTI SS 2013 Manfred Jackel 27

28 Aufgabe 4 { i j i j, } L = ab cd i j ist nicht kontextfrei 1 0 Bew. durch Widerspruch Ang. L 1 kontextfrei. Dann gibt es nach PL ein n>0, so dass jedes Wort z mit z >=n zerlegt werden kann in z=uvwxy mit vx >=1 und vwx <n. Betrachte a n b n c n d n und untersuche Zerlegungen uvwxy 1. Fall: { } * { } *{ } *{ } * v a b c d Dann Teilwörter ab, bc, cd in v oder x { } * { } *{ } *{ } * x a b c d die zu ba, cb, dc aufgepumpt werden: nicht in L. Übungen GTI SS 2013 Manfred Jackel W 28

29 Aufgabe 4a 2. Fall v=ε x 1 Wegen wx <n und Fall 1 gilt: x a x b x c x d { } { } { } { } Dann lässt sich ein einzelnes Zeichen unzulässig aufpumpen. W 3. Fall x =ε v 1 Wegen vw <n und Fall 1 gilt: v a v b v c v d { } { } { } { } Dann lässt sich einzelnes Zeichen unzulässig aufpumpen. W Übungen GTI SS 2013 Manfred Jackel 29

30 Aufgabe 4a 4. Fall v { a } Wegen vwx <n und Fall 1 muss gelten: x a x b In beiden Fällen werden a,b anders aufgepumpt als c,d. W W 5. Fall v { b } + + Wegen vwx <n und Fall 1 muss gelten: x b x { c } + In beiden Fällen werden b,c anders aufgepumpt als a,d. W { } { } Übungen GTI SS 2013 Manfred Jackel 30

31 Aufgabe 4a 6. Fall v { c } + Wegen vwx <n und Fall 1 muss gelten: x c x d In beiden Fällen werden c,d anders aufgepumpt als a,b. W 7. Fall v d + { } { } { } Wegen vwx <n und Fall 1 muss gelten: x { d } + also mehr oder weniger d als b beim Aufpumpen. W + + Übungen GTI SS 2013 Manfred Jackel 31

32 Aufgabe 4b { i j k } L = a b c i, j, k ι< j < k 2 0 nicht kontextfrei Widerspruchsbeweis: Ang. das PL gilt. Dann gibt es n>0 so dass alle Wörter z mit z >=n zerlegt werden können in z=uvwxy mit vwx <n und vx >=1 und uv i wx i z in L 2 für alle i>=0. Betrachte speziell z=a n b n+1 c n+2. * * * Wie bei L 1 überlegt man v, x { a} { b} { c} da sonst Dreher ba, cb beim Aufpumpen entstehen Übungen GTI SS 2013 Manfred Jackel 32

33 Aufgabe 4b 1. Fall: * * 2 2 v, x { a} v, x { b} uv wx w L 2 weil a oder b mindestens um 1 aufgepumpt wird 2. Fall: { } * 0 0 v, x c uv wx w L 2 weil c mindestens um 1 Potenz abnimmt Übungen GTI SS 2013 Manfred Jackel 33

34 Aufgabe 4b 1. Fall: + + { } { } 2 2 v a x b uv wx w L 2 weil b mindestens um 1 aufgepumpt wird 2. Fall: + + { } { } 0 0 v b x c uv wx w L 2 weil c mindestens um 1 Potenz abnimmt 2. Fall: + + v { a} x { c} kommt nicht vor wegen vwx <n Übungen GTI SS 2013 Manfred Jackel 34

35 Aufgabe 4c 3 { i j } L = a b i,j i j 2i j ist kontextfrei! S = ({ S,A,B,C },{ a,b },R,S) S aa aabbbb Cb A aab aa ε B abb abbb ε C acbb Cb ε i> j j i> 2 i< j i < j 2 Übungen GTI SS 2013 Manfred Jackel 35

36 Aufgabe 5 cz, Z 0 0 cx, ε cz, Z 0 0 bz, Z 0 0 bx, X cx, ε cz, Z 0 0 ε, Z0 ε ε, Z0 ε a, Z0 XZ bz, 0 Z0 0 a, X XX bx, X ε, Z ε 0 cx, ε ε, Z ε 0 cz, Z 0 0 Übungen GTI SS 2013 Manfred Jackel 36

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