20 Statik Die resultierende Kraft im ebenen Kräftesystem

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1 20 Statik Die resultierende Kraft im ebenen Kräftesstem Beispiel zur Resultierenden im allgemeinen Kräftesstem An einem Brückenträger mit der Segmentlänge a=4m greifen die äußeren Kräfte F 1 =F 2 =200kN und F 3 =150kN an. Bestimmen Sie analtisch und grafisch die Resultierende nach Größe, Lage und Richtung sowie den senkrechten Abstand d der Resultierenden vom Pol A und deren Durchgang durch die obere Strebe relativ zum Pol A. F 1 A Lageplan a a a a a a F 2 F 3 30 Kräfteplan: Kraftmaßstab 1cm=50kN, Längenmaßstab 1cm=2m A

2 22 Statik Die resultierende Kraft im ebenen Kräftesstem Beispiel zur Resultierenden im zentralen Kräftesstem Die Kräfte F 1 bis F 4 greifen unter den angegebenen Winkeln an einem gemeinsamen Punkt an. Bestimmen Sie analtisch und grafisch Größe und Richtung der Resultierenden. Lageplan F 2 =500N 30 F 1 =1000N x F 3 =2000N 30 F 4 =1500N Ausgangspunkt Kräfteplan 1cm = 200N Grafische Lösung: F Rx = F R = F R = a R =

3 30 Statik Lagerung von Körpern 7.3 Beispiele zum Freimachen In den nachfolgenden dargestellten Konstruktionen sind in der jeweils rechten Skizze die durch Freimachen entstehenden Lagerreaktionen (Kräfte und/oder Momente) einzutragen! glatter Boden (reibungsfrei)

4 34 Statik Ebene Ssteme im Gleichgewicht Beispiel 1 zum allgemeinen Kräftesstem (3 Kräfte) Der maßstäblich dargestellte Gelenkhebel ist im Gleichgewicht. Die Kraft F und die Reaktionskraft im Lager A sind grafisch zu bestimmen. F 0 =900N Lageplan F A Kräfteplan: 1cm = 200N F 0 grafische Lösung: F = A =

5 Statik Ebene Ssteme im Gleichgewicht Beispiel 2 zum allgemeinen Kräftesstem (4 Kräfte) Auf das Gelenk des maßstäblich gezeichneten Tellerstößels wird eine Kraft von F=100N ausgeübt. Welche Kraft N wirkt von der Nockwelle (nicht dargestellt) auf den Ventilteller und welche Größe haben die Lagerreaktionen in den reibungsfreien Lagern A und B? Die Aufgabe ist grafisch zu lösen. Lageplan F A Ergebnisse der grafischen Lösung: N = A = B B = N Kräfteplan: Maßstab 1cm = 20N F

6 Statik Ebene Ssteme im Gleichgewicht Beispiel zum zentralen Kräftesstem Über eine reibungsfrei gelagerte Seilrolle wird das Gewicht G mit einem Seil S mit konstanter Geschwindigkeit hochgezogen. Die Rolle der dargestellten Stabkonstruktion ist in A gelagert. Zu bestimmen sind analtisch und grafisch die Resultierende der äußeren Kräfte im Lagerpunkt A sowie die Stabkräfte S 1 und S 2. Lageplan 60 S 1 A S S G=5kN Kräfteplan für Gleichgewicht in A, Maßstab 1cm=1kN G Ergebnisse der grafischen Lösung: A = S 1 = S 2 =

7 40 Statik Ebene Ssteme im Gleichgewicht Beispiel zum parallelen Kräftesstem Die dargestellte Konstruktion ist mit einer dreieckförmigen Streckenlast (max. q 0 ) und zusätzlich mit den Gewichten G 1 und G 2 belastet. Für den Gleichgewichtszustand sind die Kraft F und die Reaktionskräfte in den Lagern A, B und C analtisch zu bestimmen. Vor der mathematischen Behandlung der Aufgabenstellung ist das Sstem freizumachen. Lageplan Freischneiden der Teilssteme C q 0 =200N/m Seil A 1,5m 1,5m 3m F G 2 =1000N G 1 = 500N B Seil

8 46 Statik Reibung 9.6 Beispiele zur Reibung Beispiel: Reibung in horizontalen und vertikalen Ebenen Die Abbildung zeigt eine Leiter, die an eine Wand gelehnt ist. Belastet ist die Leiter mit einem Gesamtgewicht von G=800N, das in deren Mitte wirkt. Die Haftreibungszahl zwischen Wand und Leiter beträgt µ 0W =0,2. Gesucht ist die mindestens erforderliche Haftreibungszahl µ 0B zwischen Boden und Leiter, damit diese gerade nicht abrutscht. L = 3,6m G 30

9 Statik Reibung Beispiel: Reibung auf der schiefen Ebene Eine Maschine mit einem Gewicht von G=10kN wird mit einem Seil eine Rampe hochgezogen. Die einzelnen Maße sind der Skizze zu entnehmen. Lösen Sie folgende Aufgaben grafisch und analtisch: a) Wie groß ist die Seilkraft F zum Hochziehen für eine Gleitreibungszahl zwischen Maschine und Rampe von µ=0,27? b) Bei welcher Haftreibungszahl µ 0 käme der Körper beim Hochziehen zum Kippen, und wie groß wäre die Kraft F in diesem Fall? Lageplan 15 G 1,5m F 1m 1,35m 25 Kräfteplan a) Kräfteplan b)

10 48 Statik Reibung Fortsetzung zum Beispiel 9.6.2: Freimachen für analtische Lösung Lageplan a) Lageplan b) x

11 64 Festigkeitslehre Biegung Beispiel 1: Schnittlasten beim Träger auf zwei Stützen F 2 =1000N L 1 =0,2m F 1 =500N h=0,2m z x L 2 =0,6m L=1m N Q M bz

12 Festigkeitslehre Biegung Beispiel 2: Schnittlasten beim fest eingespannten Träger z x A F 1 =F 2 =1000N Ges.: N, Q, M bz im Hauptträger L 1 =3m F 1 h=1m α=30 F 2 L 2 =5m N Q M bz

13 Festigkeitslehre Biegung Beispiel 1: Fest eingespannter Träger mit Streckenlast q = const. z x A L Q M bz

14 70 Festigkeitslehre Biegung Beispiel 2: Träger auf 2 Stützen mit Streckenlast q = const. z x A L B Q 0 M bz 0

15 Festigkeitslehre Biegung Beispiel 3: Träger mit dreieckförmiger Streckenlast q 0 z x A L B Q 0 M bz 0

16 Festigkeitslehre Flächenträgheitsmomente Biegespannungen, Beispiel 1 Ein Träger mit den gegebenen Abmessungen wird mit einer Kraft F belastet. Gesucht sind die maximalen Biegespannungen. A F=15kN B a=4m b=2m Q M bz 20 Querschnitt des Trägers S 210 z

17 82 Festigkeitslehre Flächenträgheitsmomente 17.5 Biegespannungen, Beispiel 2 Ein rechteckiger Kastenträger ist mit einer Streckenlast q belastet. Wie groß darf q sein, damit eine zulässige Biegespannung von σ bzul =200N/mm 2 nicht überschritten wird? q A l=5m B Q M bz z

18 102 Festigkeitslehre Zusammengesetzte Beanspruchung Beispiel zur Überlagerung von Biegung und Zug N-Verlauf Q-Verlauf z M b -Verlauf x F L h b Gegeben: F, L, h, b Gesucht: maximale Normalspannung σ, Lage der neutralen Faser

19 Festigkeitslehre Zusammengesetzte Beanspruchung Beispiel zur schiefen Biegung Gegeben ist die skizzierte Rechtecksäule (Hohlprofil), an der oben angebrachten rechteckigen Deckplatte wirkt in einem Eckpunkt die Kraft F. Gesucht sind: a) Biegemomente im Querschnitt der Säule b) Biegespannungsanteile σ und σ z, sowie Normalspannung σ z/d aus Normalkraft c) Spannungsverlauf im Querschnitt der Rechtecksäule, sowie Ort und Größe der maximalen Spannung d) Lage der neutralen Faser F=50kN x H=80 h=60 b=100 B=120 z s z F s

20 Anhang: Übungsaufgaben und Formelsammlung 123 zu Ü1 Resultierende - Allgemeines Kräftesstem F 1 =10kN 9m S 45 x 30m F 2 =30kN

21 124 Anhang: Übungsaufgaben und Formelsammlung Ü2 Resultierende mit parallelen Kräften An der in D drehbar gelagerten Quadratscheibe greifen die parallelen Kräfte F B und F C an. Bitte lösen Sie die folgenden Fälle I und II sowohl graphisch als auch analtisch! Fall I; gegeben: F B = F C = 50N Wie groß muss eine vertikale Kraft F A auf die Ecke A sein, damit sich die Scheibe nicht dreht? Fall II; gegeben: F B = 50N In A wirkt jetzt keine Kraft, in B wirkt unverändert F B. Wie groß muss F C (parallel zu F B ) jetzt sein, damit sich die Scheibe nicht dreht?

22 Anhang: Übungsaufgaben und Formelsammlung 125 Ü3 Freimachen Seil 2 G Übungen zur Statik: Freimachen Die in der Skizze dargestellte Krankonstruktion ist freizumachen. Seil 1 F G F

23 Anhang: Übungsaufgaben und Formelsammlung 127 zu Ü4 Gleichgewicht - Allgemeines Kräftesstem G A S S Kraftmaßstab: 1cm = 100N G graphische Lösung: S =..... N; A =..... N

24 128 Anhang: Übungsaufgaben und Formelsammlung zu Ü4 Gleichgewicht - Allgemeines Kräftesstem Kraftmaßstab: 1cm = 10N A F G=100N G B graphische Lösung: F =..... N; A =..... N; B =..... N

25 as M b M b Anhang: Übungsaufgaben und Formelsammlung 135 Ü11 Schnittlastenverlauf I Skizzieren Sie in den Diagrammen qualitativ die Schnittlasten für das gegebene Tragwerk! z x L F L N N Q Q

26 M b M b 136 Anhang: Übungsaufgaben und Formelsammlung zu: Ü11 Schnittlastenverlauf I Skizzieren Sie in den Diagrammen qualitativ die Schnittlasten für das gegebene Tragwerk! L b q60 z x L N N Q Q

27 horägeräger Anhang: Übungsaufgaben und Formelsammlung 137 zu: Ü11 Schnittlastenverlauf I Skizzieren Sie in den Diagrammen qualitativ die Schnittlasten für das gegebene Tragwerk! L N Q a M b Q F c F L/2 N M b

28 2 138 Anhang: Übungsaufgaben und Formelsammlung zu: Ü11 Schnittlastenverlauf I Skizzieren Sie in den Diagrammen qualitativ die Schnittlasten für das gegebene Tragwerk! d) F L N Q M b z

29 AB F 1 F 2 q M b Anhang: Übungsaufgaben und Formelsammlung 139 Ü12 Schnittlastenverlauf II Übungsaufgabe 12.1 Ein beidseitig gelenkig gelagerter Balken wird mit einer Schüttungslast q(x) belastet. q 0 s x L Bestimmen Sie: die mathematischen Funktionen für den Verlauf von Querkraft Q(x) und Biegemoment M b (x), Reaktionskräfte in den Lagerstellen A und B, [q 0 L/ ] maximales Biegemoment M bmax. [q 0 (L/ ] Übungsaufgabe 12.2 Der dargestellte Balken ist mit 2 äußeren Einzelkräften F 1, F 2 und einer Streckenlast q belastet. Bestimmen Sie den Verlauf der Schnittlasten Q und M b, sowie das max. Biegemoment M bmax. [M bmax = -56 knm] z x 2312 Q