6 Lineare Algebra. 6.1 Einführung

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1 6 Lineare Algebra 6.1 Einführung Die lineare Algebra ist für die Wirtschaftswissenschaften von zentraler Bedeutung. Einerseits liefert sie die theoretischen und praktischen Grundlagen für das Lösen linearer Gleichungssysteme. Ferner lassen sich viele ökonomische Phänomene durch sogenannte lineare Modelle beschreiben. Beispiel 6.1 Wir nehmen an, auf einem Markt werden zwei Produkte angeboten, z.b. Wein und Bier. Mit D w bezeichnen wir die Nachfrage nach Wein, D b ist die Nachfrage nach Bier (D: demand). Ferner sei S w und S b das Angebot an Wein und Bier (S: supply). Wir wollen D w = S w sowie D b = S b erreichen. Man (besser gesagt, der Markt) erreicht dieses Gleichgewicht durch eine Anpassung der Preise P w und P b. Wir nehmen an, dass sich Angebot und Nachfrage 1

2 angesichts der Preise P w und P b wie folgt verhalten: D w S w = a 0 + a w P w + a b P b = b 0 + b w P w + b b P b D b = α 0 + α w P w + α b P b S b = β 0 + β w P w + β b P b. Angebot und Nachfrage von Wein (bzw. Bier) wird also nicht nur über den Preis von Wein (bzw. Bier) gesteuert: Der Preis von Wein beeinflusst auch den Preis von Bier: Stellen Sie sich vor, der Weinpreis steigt. Dann steigt die Nachfrage nach Bier (sofern das Volk eine gewisse Menge Alkohol benötigt), was den Bierpreis beeinflusst. Ähnlich hat ein sinkender Bierpreis eine Verringerung des Angebots an Bier zur Folge, deshalb auch eine erhöhte Nachfrage nach Wein. Wir wollen nun die Preise bestimmen, bei denen ein Gleichgewicht zwischen Angebot und Nachfrage herrscht, also 2

3 (a 0 b 0 ) + (a w b w )P w + (a b b b )P b = 0 (α 0 β 0 ) + (α w β w )P w + (α b β b )P b = 0 oder (a w b w )P w + (a b b b )P b = b 0 a 0 (α w β w )P w + (α b β b )P b = β 0 α 0. Wir haben hier ein lineares Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannten (P b und P w ). 3

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6 Allgemein ist ein lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Unbekannten (Variablen) a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = d 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = d 2.. =. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = d m (6.1) Die Information über das Gleichungssystem ist in dem Rechteckschema a 11 a 1n A =.. a m1 a mn sowie enthalten. d = d 1. d m 4

7 Wir nennen A eine m n-matrix und d einen Vektor der Länge m oder einen m-vektor. Man schreibt manchmal auch A = (a ij ) i=1,...,m;j=1,...,n. Einen m-vektor kann man auch als m 1-Matrix auffassen. Wir definieren den m-dimensionalen reellen Vektorraum wie folgt: x 1 R m = {. : x 1,..., x m R} x m d.h. R m besteht aus allen reellen m-vektoren. 5

8 6.2 Operationen mit Vektoren und Matrizen Die Menge aller m n-matrizen über R wird stets mit R (m,n) bezeichnet. Zunächst einmal halten wir fest, wann zwei Matrizen gleich sein sollen: Seien A, B R (m,n), also beide Matrizen haben m Zeilen und n Spalten. Dann heißen A und B gleich, wenn sie komponentenweise gleich sind, d.h. A = B genau dann, wenn a ij = b ij für 1 i m, 1 j n. Entsprechend heißen zwei Vektoren a, b R m gleich, wenn sie komponentenweise gleich sind. 7

9 Wir haben bereits gesehen, dass Matrizen im Zusammenhang mit Gleichungssystemen auftreten. Bevor wir uns dem Lösen von Gleichungssystemen widmen, wollen wir uns die Algebra der Matrizen ein wenig anschauen. Spezielle Matrizen Ist A eine m n-matrix, so hat A m Zeilen und n Spalten. Eine Matrix mit m = n heißt quadratisch. Ist A = (a ij ) i,j=1,...,n quadratisch, so heißen die Einträge a 11, a 22,..., a nn die Diagonaleinträge von A. Beispiel 6.2 A = R (3,3) ist eine quadratische 3 3-Matrix mit den Diagonalelementen 2, 9, 64. 8

10 (i) Eine m n-matrix, deren Komponenten sämtlich Null sind, heißt Nullmatrix und wird mit 0 bezeichnet,also = Ist n = 1, so heißt der entsprechende Vektor Nullvektor, also 0 0 =

11 (ii) Eine n n-matrix A, deren sämtliche Nicht-Diagonalelemente, also die Einträge a ij mit i j, gleich Null sind, heißt Diagonalmatrix. Die Matrix hat also die Form a a A = a n 1 n a n n Zur Abkürzung schreiben wir auch A = diag(a 1 1, a 2 2,..., a n n ). 10

12 (iii) Die n n-diagonalmatrix, deren Diagonalelemente alle gleich 1 sind, heißt Einheitsmatrix (n-ter Ordnung) und wird mit I n bezeichnet, also I n = diag(1, 1,..., 1) =

13 Die Spalten der Einheitsmatrix sind die Einheitsvektoren in R n. Der i-te Einheitsvektor e i ist der Vektor, dessen i-te Komponente 1 ist und dessen andere Komponenten alle 0 sind. Also 0. 0 e i = mit dem Eintrag 1 in der i-ten Zeile. 12

14 (iv) Eine quadratische Matrix, deren sämtliche Komponenten oberhalb (bzw. unterhalb) der Diagonalen gleich Null sind, heißt untere (bzw. obere) Dreiecksmatrix. Also hat eine untere Dreiecksmatrix die Gestalt (L: lower) L = l l 2 1 l l n 1 1 l n 1 2 l n 1 n 1 0 l n 1 l n 2 l n n 1 l n n bzw. eine obere Dreiecksmatrix die Gestalt (U: upper) U = u 1 1 u 1 2 u 1 n 1 u n n 0 u 2 2 u 2 n 1 u 2 n u n 1 n 1 u n 1 n u n n 13

15 Eine nicht notwendig quadratische Matrix A = (a ij ) heißt obere Dreiecksmatrix wenn a ij = 0 für alle i > j gilt. Nachdem wir nun einige spezielle Matrizen eingeführt haben, wollen wir einige Operationen auf der Menge der Matrizen erklären. Sei A eine m n-matrix. Durch Vertauschen der Zeilen und Spalten von A erhalten wir eine n m-matrix A (Sprechweise: A transponiert), die sogenannte transponierte Matrix zu A. Für A = a 1 1 a 1 2 a 1 j a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 j a 2 n.... a i 1 a i 2 a i j a i n.... a m 1 a m 2 a m j a m n 14

16 a 1 1 a 2 1 a i 1 a m 1 a 1 2 a 2 2 a i 2 a m 2 ist A =.... a 1 j a 2 j a i j a m j..... a 1 n a 2 n a i n a m n Es gilt stets (A ) = A. Beispiel 6.3 Für die 3 4-Matrix A = ist A die 4 3-Matrix mit A =

17 Wir kommen nun zur Addition von Matrizen. Weil Vektoren spezielle Matrizen sind, gelten dieselben Regeln auch für Vektoren. Addition Zwei Matrizen A, B R (m,n) werden addiert, indem komponentenweise addiert wird, d.h. für A = (a i j ) und B = (b i j ) ist A + B = a b 1 1 a b 1 2 a 1 n + b 1 n a b 2 1 a b 2 2 a 2 n + b 2 n... a m 1 + b m 1 a m 2 + b m 2 a m n + b m n Entsprechend ist die Differenzmatrix A B durch komponentenweise Subtraktion definiert. Es werden nur Matrizen mit gleicher Anzahl von Zeilen und Spalten addiert oder subtrahiert!. 16

18 Insbesondere werden zwei Vektoren x, y R n addiert bzw. subtrahiert, indem sie koordinatenweise addiert bzw. subtrahiert werden, d.h. x 1 y 1 x 1 ± y 1 x ± y = x 2. ± y 2. = x 2 ± y 2.. x n y n x n + y n 17

19 Multiplikation mit einem Skalar Sei A eine m n-matrix, und sei λ R. Die Matrix A wird mit dem Skalar λ multipliziert, indem jede Komponente von A mit λ multipliziert wird, d.h. für A = (a i j ) ist λ A = λa 1 1 λa 1 2 λa 1 n λa 2 1 λa 2 2 λa 2 n... λa m 1 λa m 2 λa m n. Entsprechend wird ein Vektor x R n mit einem Skalar λ R multipliziert, indem jede Koordinate von x mit λ multipliziert wird, d.h. x 1 λ x 1 λ x = λ x 2. = λ x 2.. x n λ x n 18

20 Im folgenden fassen wir einige Rechenregeln für die Addition und skalare Multiplikation von Matrizen zusammen: Seien A, B, C m n-matrizen und seien λ, µ R Skalare. Kommutativgesetz: A + B = B + A Assoziativgesetze: (A + B) + C = A + (B + C) (λµ)a = λ(µa) Distributivgesetze: λ(a + B) = λa + λb (λ + µ)a = λa + µa 19

21 Spezialisierung auf Vektoren liefert dieselben Rechengesetze für Vektoren, d.h. für x, y, z R n und λ, µ R gilt: Kommutativgesetz: x + y = y + x Assoziativgesetze: (x + y) + z = x + (y + z) (λµ)x = λ(µx) Distributivgesetze: λ(x + y) = λx + λy (λ + µ)x = λx + µx. 20

22 Jeder Vektor x R n lässt sich mit Hilfe von Einheitsvektoren zerlegen: x = x 1 x 2. = x 1 e 1 + x 2 e x n e n. x n Wir sagen auch, dass x eine Linearkombination von e 1,..., e n ist. Dazu später mehr. Die Operation des Transponierens ist mit den hier erklärten Rechenoperationen (Addition und Multiplikation mit einem Skalar) verträglich: (A + B) = A + B und (λa) = λ A. 21

23 Es gibt kein Produkt von m-vektoren, das wieder einen m-vektor liefert. Man kann aber sehr wohl ein Skalarprodukt von Vektoren definieren, d.h. das Produkt zweier reeller m-vektoren ist eine reelle Zahl: Skalarprodukt Seien x, y R n. Dann heißt die reelle Zahl x, y = n x i y i i=1 das Skalarprodukt der Vektoren x und y. 22

24 Wir fassen im folgenden einige Eigenschaften des Skalarproduktes zusammen: Seien x, y, z R n und sei λ R. Dann gilt [S1] x, y = y, x. [S2] λ x, y = x, λ y = λ x, y. [S3] x + y, z = x, z + y, z. 23

25 Multiplikation von Matrizen Sei A eine m n-matrix, und sei B eine n k-matrix (beachte: die Anzahl der Spalten von A muss gleich der Anzahl der Zeilen von B sein!). Dann ist das Produkt A B der beiden Matrizen definiert als die m k-matrix C, deren Komponente c i j das Skalarprodukt aus i-ter Zeile von A und j-ter Spalte von B ist, also c i j = n a i p b p j = p=1 a i 1. a i n, b 1 j. b n j. Wir können das Skalarprodukt als ein spezielles Matrixprodukt auffassen. Seien a, b R n zwei Vektoren. Dann ist a eine 1 n-matrix und b eine n 1 Matrix. Somit existiert das Matrixprodukt a b, und es gilt n a b = a j b j = a, b. j=1 24

26 Ferner ist durch die Definition des Produktes zweier Matrizen auch ein Matrix-Vektor-Produkt erklärt, weil ein Vektor ja auch als eine Matrix aufgefasst werden kann. Beispiel 6.4 (1) A = Seien , B = ( ) Dann ist C = A B =

27 (2) Sei A = und b = 4 1 ( ) 1 2 Dann ist A b = Bevor wir einige Rechenregeln für die Matrizenmultiplikation zusammenstellen, einige wichtige Bemerkungen: Auch wenn für zwei Matrizen A und B beide Produkte definiert sind, gilt i.a. A B B A. Falls A B = B A gilt, dann heißen A und B vertauschbar. 26

28 Beispiel 6.5 Es gilt ( ) ( ) ( ) ( ) = = ( ) ( ) Sei A eine m n-matrix, und seien I n, I m die Einheitsmatrizen, dann gilt A I n = A = I m A. Außerdem gilt für die Multiplikation mit Nullmatrizen: Ferner gilt (A B) = B A. A 0 = 0, 0 A = 0. 27

29 Rechenregeln für Matrizen In den folgenden Summen und Produkten seien A, B, C Matrizen, so dass die entsprechenden Summen und Produkte auch existieren. Weiter sei λ R ein Skalar. Assoziativgesetze: Distributivgesetze: (A B) C = A (B C) = A B C λ (A B) = (λ A) B = A (λ B) A (B + C) = A B + A C (A + B) C = A C + B C 28

30 6.3 Lösungen linearer Gleichungssysteme Viele Anwendungsprobleme führen auf die Untersuchung von Matrix- Vektor-Produkten in der folgenden Form: b = A x, wobei A eine m n-matrix x R n ein n-vektor mit den Koordinaten x i, 1 i n, und b R m ein m-vektor mit den Koordinaten b j, 1 j m sind. 29

31 Genauer gilt es A x = = a 1 1 a 1 2 a 1 n x 1 a 2 1 a 2 2 a 2 n x a 1 1 a m 2 a m n x n = x 1 a 1 1 x 1 + a 1 2 x a 1 n x n a 2 1 x 1 + a 2 2 x a 2 n x n. a m 1 x 1 + a m 2 x a m n x n a 1 1 a 2 1. a m 1 + x 2 a 1 2 a 2 2. a m x n a 1 n a 2 n. a m n. 30

32 Oft ist dabei die Matrix A und das Ergebnis b = A x vorgegeben und der Vektor x zu bestimmen. In diesem Abschnitt wollen wir Verfahren kennenlernen, wie wir solche Gleichungssysteme lösen können. A x = b (6.2) Beachten Sie, dass man das Lösen eines linearen Gleichungssystems auch wie folgt interpretieren kann: Man versucht, den Vektor b als Summe der mit den Zahlen x i multiplizierten Spalten der Matrix A zu schreiben. Zunächst einige Bezeichnungen: Das Gleichungssystem (6.2) heißt homogen, falls b = 0 ist, andernfalls inhomogen. Wir nennen das Gleichungssystem A x = 0 das zu A x = b gehörende homogene Gleichungssystem. 31

33 Sei v eine Lösung eines inhomogenen Gleichungssystems Wenn A x = b L h = {x : A x = 0} die Lösungsmenge des zugehörigen homogenen Gleichungssystems ist und L i = {x : A x = b} die Lösung des inhomogenen Systems bezeichnet, so gilt L i = L h + v wobei L h + v die Menge {x + v : x L h } bezeichnet. Mit anderen Worten: Die Lösungsmenge des inhomogenen Gleichungssystems erhält man, indem man eine spezielle Lösung v bestimmt und dazu die Lösungen des homogenen Systems addiert. 32

34 Deshalb beginnen wir mit der Beschreibung eines Lösungsverfahrens für das homogene lineare Gleichungssystem. Lösung des homogenen Systems Wir formen die Matrix A R (m,n) in der homogenen Gleichung A x = 0 mit Hilfe folgender sogenannter elementarer Zeilenumformungen um. Erlaubt sind Vertauschen von Zeilen Addition des λ-fachen von Zeile i zu Zeile j Multiplikation einer Zeile mit λ 0. Zwei Matrizen A und B, die durch elementare Zeilenumformungen auseinander hervorgehen, nennen wir zeilenäquivalent. 33

35 Man kann sich leicht überlegen, dass man die Matrix A durch elementare Zeilenumformungen in eine obere Dreiecksmatrix A transformieren kann, also a 11 a 12 a 13 a 1n 0 a 22 a 23 a 2n..... A = 0 0 a rr a rn Dabei kann man erreichen, dass in den ersten r Zeilen der erste (von links gesehen) Eintrag, z.b. a iji, gerade 1 ist. Beachte, dass j von i abhängt (und nicht unbedingt j = i gilt), deshalb schreiben wir j i. Wir fordern noch j 1 < j 2 <... j r. Die Matrix hat also folgende Form: 34

36 A = a 1,j1 a 2,j2 a 3,j3... a r,jr Wir nennen eine solche Matrix zeilenreduziert. Ferner kann man erreichen, dass die Spalten j 1, j 2,..., j r Einheitsvektoren sind. Wir können also die folgende Form ereichen, die wir zeilenreduzierte Normalform nennen wollen: 35

37 A = Wo hier jeweils nichts steht, soll eine Null stehen, insbesondere können noch einige Nullzeilen vorhanden sein. Es können auch einige Nullen vor der ersten 1, bzw.dem ersten von Null verschiedenen Eintrag a 1j1 in der ersten Zeile stehen (das bedeutet dann j 1 1). Um die Lösungen linearer Gleichungssysteme zu bestimmen, ist es aber nur wichtig, dass man A in eine obere Dreiecksmatrix transformiert mit j 1 < j 2 <... j r. Die zeilenreduzierte Normalform ist nicht unbedingt notwendig. 36

38 Man kann zeigen: Jede Matrix ist zeilenäquivalent zu genau einer Matrix in zeilenreduzierter Normalform, die zeilenreduzierte Form hingegen ist nicht eindeutig. Beispiel 6.6 Die beiden Matrizen ( ) 1 1 A = und B = 0 1 ( ) sind offenbar beide zeilenreduziert. Ferner sind die beiden Matrizen zeilenäquivalent: Man erhält B aus A durch Addition der zweiten Zeile von A. Beide Matrizen sind nicht in zeilenreduzierter Normalform: Die zugehörige zeilenreduzierte Normalform ist die Einheitsmatrix ( )

39 Es gilt nun: Satz 6.1 Die Lösungsmenge von A x = 0 ist gleich der Lösungsmenge von A x = 0. Dieser Satz ist von grundlegender Bedeutung für das Lösen von linearen Gleichungssystemen, weil Gleichungssysteme, deren Koeffizientenmatrix obere Dreiecksform hat, ganz einfach lösbar sind. Die hier auftretende Zahl r heißt der Rang der Matrix. Die folgenden Beispiele zeigen, dass das zugehörige Gleichungssystem dann n r Freiheitsgrade hat, d.h. man kann n r Variable frei wählen, die anderen sind dann bestimmt. Wir wollen nun ein Verfahren angeben, wie man eine Matrix in zeilenreduzierte Form transformieren kann, wobei man nur elementare Zeilenumformungen benutzt. Dies ist das Gauß sche Eleiminationsverfahren. Es ist kein Problem, die Matrix anschließend in 38

40 zeilenreduzierte Normalform zu überführen. Man spricht dann vom Gauß-Jordan-Verfahren. Wir beschreiben hier nur das Gauß sche Eliminationsverfahren, angewendet auf eine m n-matrix A. (1.) Suche die erste Spalte von A, die ungleich 0 ist. Dies sei die j te Spalte. (2.) Durch (möglicherweise) Zeilenvertauschung erreiche a 1,j 0. (3.) Ziehe die erste Zeile a i,j /a 1,j mal von Zeile i ab (i = 2,..., m). Wir nennen die so konstruierte Matrix A. Dieselben Schritte werden nun auf diejenige Matrix engewendet, die man aus A durch Streichen der ersten Zeile erhält. Man iteriert das Verfahren nun so lange, bis man keine Spalten 0 mehr finden kann. 39

41 Beachten Sie: Zuerst wird die erste Zeile von A fixiert, danach die zweite usw. Der dritte Schritt im obigen Verfahren funktioniert nur, weil a 1,j 0. Beispiel 6.7 Wir betrachten 3x 1 + 2x 2 x 3 = 0 x 2 + x 3 = 0 Wir haben hier zwei Gleichungen mit drei Unbekannten. Wir setzen x 3 = a. Dann ist x 2 = a. Setzen wir nun diese Information in die erste Gleichung ein, so bekommen wir 3x 1 2a a = 0, also x 1 = a. Der Lösungsraum L ist also a L = { a : a R} a 40

42 Wir sagen, der Lösungsraum hat einen Freiheitsgrad; man kann eine Variable frei wählen. Das Gleichungssystem in obigem Beispiel war einfach lösbar, weil die Koeffizientenmatrix ( ) obere Dreiecksform hat. Im allgemeinen sind die Gleichungssysteme natürlich nicht in oberer Dreiecksform gegeben; wir müssen sie erst mittels elementarer Zeilenumformungen umformen: Beispiel 6.8 Wir wollen das homogene lineare Gleichungssystem A x = 0 lösen mit A =

43 Wir dividieren nun die erste Zeile durch 2 und ziehen die so entstandene Zeile von der zweiten und dritten Zeile ab. Das liefert 1 1/ / /2 5 Jetzt können wir die dritte Zeile eliminieren, indem wir die zweite Zeile zur dritten dazuaddieren. Ferner multiplizieren wir die zweite Zeile mit 2/3 und erhalten so 1 1/ / Jetzt können wir noch die zweite Zeile 1/2-mal zur ersten addieren und bekommen 1 0 4/ /

44 Die Matrix ist jetzt in zeilenreduzierter Normalform und der Lösungsraum des homogenen Gleichungssystems ist sofort ablesbar: oder x 3 = a, x 2 = 10 3 a, x 1 = 4 3 a (4/3)a 4b L = { (10/3)a : a R} = { 10b : b R} a 3b Auch hier haben wir wieder einen Freiheitsgrad. Wenn wir keinen Freiheitsgrad haben, so hat das homogene Gleichungssystem nur die Lösung 0. 43

45 Wir halten fest: Ein homogenes lineares Gleichungssystem A x = 0 mit m Gleichungen und n Unbestimmten hat immer mindestens die Lösung 0. Ist r der Rang von A, so hat das System n r Freiheitsgrade. Insbesondere gilt: Ist m < n, so hat das System mehr als nur die Lösung 0, weil dann r m < n ist. Das System wird gelöst, indem man die Matrix A durch elementare Zeilenumformungen in zeilenreduzierte Form überführt (Gauß sches Eliminationsverfahren). 44