Finanz- und Versicherungsmathematik 1

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Finanz- und Versicherungsmathematik 1"

Transkript

1 Finanz- und Versicherungsmathematik 1 Hansjörg Albrecher Institut für Mathematik B Technische Universität Graz Version: Februar 2006

2 2

3 Inhaltsverzeichnis 1 Elementare Lebensversicherungsmathematik Zinseszins- und Rentenrechnung Effektive Zinsraten Nominelle Zinsraten Kontinuierliche Zahlungen Zins im voraus Ewige Renten Zeitrenten Rückzahlung einer Schuld Die zukünftige Lebensdauer eines x-jährigen Analytische Verteilungen für T Die gestutzte Lebenserwartung Sterbetafeln Einfache Kapitalversicherungen Todesfallversicherungen Erlebensfallversicherungen Gemischte Versicherungen Auszahlung unmittelbar nach dem Ableben Allgemeine Todesfallversicherungen Leibrenten und Kommutationszahlen Vorschüssige lebenslängliche Leibrenten Temporäre vorschüssige Leibrente Lebenslängliche nachschüssige Leibrente Aufgeschobene Leibrente Allgemeine Leibrente Kommutationszahlen Nettoprämien und Berücksichtigung der Kosten Todesfallversicherung mit lebenslänglicher Deckung Temporäre Todesfallversicherung Erlebensfallversicherung Gemischte Versicherung Berücksichtigung der Kosten Das Deckungskapital

4 4 Inhaltsverzeichnis Beispiele Rekursive Betrachtungen Deckungskapital zu einem unterjährigen Zeitpunkt Zur Umwandlung einer Versicherung Das kontinuierliche Modell Das ausreichende Deckungskapital Literatur Übungsaufgaben Risikomodelle Das individuelle Risikomodell Allgemeines Schadenshöhenverteilungen Das kollektive Risikomodell Allgemeines Modelle für die Verteilung von N Schadenshöhenverteilungen Bemerkung zum Individuellen Risikomodell Approximationen für S Die Normalapproximation Die verschobene Gamma-Approximation Die Edgeworth-Approximation Diskrete Schadenshöhen Literatur Übungsaufgaben Prämienkalkulation Nutzentheorie Prämienkalkulationsprinzipien Verteilung des Risikos durch Kooperation Rückversicherung Ein Beispiel Rückversicherung im kollektiven Modell Literatur Übungsaufgaben Das Cramér-Lundberg Modell Das Modell Der Anpassungskoeffizient Martingale und der Anpassungskoeffizient Ruinwahrscheinlichkeit ohne Startkapital Das erste Kapital unter dem Anfangskapital Literatur

5 Inhaltsverzeichnis Übungsaufgaben Optionspreistheorie Das No-Arbitrage-Prinzip Derivative Finanzprodukte Forwards und Futures Optionen Eigenschaften von Optionspreisen Allgemeines Berücksichtigung von Dividenden Handelsstrategien mit Optionen Das binomiale Optionspreismodell Optionspreismodell mit einer Periode Das Cox-Ross-Rubinstein-Binomialmodell Das Black-Scholes-Modell Die Formel von Black-Scholes Herleitung Diskussion Weitere Modelle Marktgleichgewicht und Derivate Marktgleichgewicht Preisbestimmung von Derivaten Literatur Übungsaufgaben Simulationstechniken Die Monte Carlo Methode Allgemeines Anwendungen in der Risikotheorie Quasi-Monte Carlo Methoden Ein Beispiel mit asiatischen Optionen Ein Beispiel mit Zinsraten-Derivaten Literatur A Symbolic Computation 131 A.1 RANDinsure A.1.1 Einführung in RANDinsure A.1.2 Nettoprämien A.2 Versicherungen auf mehrere Leben A.2.1 Der Zustand der verbundenen Leben A.2.2 Der Zustand des letzten Lebens A.2.3 Zumindest n der m Personen sind noch am Leben A.3 Literatur

6 6 Inhaltsverzeichnis B Sterbetafel 141 C Wahrscheinlichkeitstheorie 143 Literaturverzeichnis 149

7 1 Elementare Lebensversicherungsmathematik In der Lebensversicherungsmathematik kommen zwei fundamentale Kalküle zur Anwendung: die Zinsrechnung und die Wahrscheinlichkeitsrechnung. 1.1 Zinseszins- und Rentenrechnung Eine Verzinsung trägt der Tatsache Rechnung, dass der Besitz von Kapital zum jetzigen Zeitpunkt mehr wert ist als der Besitz des selben Geldbetrages zu einem späteren Zeitpunkt ( Kapital arbeitet ). Eine Zinsrate (bzw. ein Zinssatz ) bezieht sich immer auf eine bestimmte Zeiteinheit, beispielsweise spricht man von einer jährlichen Zinsrate von 6%. Die Konversionsperiode ist jenes Zeitintervall, an dessen Ende der Zins zum Kapital gutgeschrieben wird. Falls die Konversionsperiode mit der Zeiteinheit identisch ist, handelt es sich um eine effektive Zinsrate Effektive Zinsraten Sei i eine jährliche effektive, über den gesamten Zeitraum konstante, Zinsrate (andere Möglichkeiten wären etwa stochastische Zinsraten) und betrachten wir einen Fonds, der anfänglich F 0 beträgt, und auf den am Ende des Jahres k ein Betrag r k überwiesen wird (k = 1,...,n). Was ist dann der Stand des Fonds nach n Jahren? Es gilt F k = F k 1 + if k 1 + r k, (k = 1,...,n), (1.1) wobei F k den Stand des Fonds nach k Jahren bezeichnet. Daraus folgt F k (1 + i)f k 1 = r k. 7

8 8 Kapitel 1. Elementare Lebensversicherungsmathematik Wenn wir diese Gleichung mit (1 + i) n k multiplizieren und über k = 1,...,n summieren, dann ergibt sich F n = (1 + i) n F 0 + n (1 + i) n k r k. (1.2) Der Wert des Fonds setzt sich also aus dem aufgezinsten Anfangsstand und den aufgezinsten Einlagen zusammen. Schreibt man (1.1) als F k F k 1 = if k 1 + r k und summiert wieder über k = 1,...,n, so erhält man k=1 F n F 0 = n n if k 1 + r k. k=1 k=1 Der Zuwachs des Fonds besteht also (nicht überraschend) aus dem totalen Zinsertrag plus den Einlagen. Mit der Bezeichnung erhält man aus (1.2) v = i v n F n = F 0 + n v k r k. In dieser Gleichung ist also alles auf den Zeitpunkt 0 bezogen, es handelt sich um den sog. Barwert des Fonds (der Wert des Fonds nach n Jahren bezogen auf den Zeitpunkt 0). v wird der Abzinsungs- bzw. Diskontierungsfaktor genannt Nominelle Zinsraten Falls die Konversionsperiode nicht mit der Zeiteinheit identisch ist, handelt es sich um eine nominelle Zinsrate. k=1 Beispiel 1: Jährlicher Zinssatz 6%, Konversionsperiode 3 Monate (d.h. alle 3 Monate wird Zins 6% 1 = 1.5% gutgeschrieben). Nach einem Jahr ist ein 4 Kapital C somit auf (1.015) 4 C = C angewachsen. Daraus folgt, dass ein jährlicher Zinssatz von 6%, konvertierbar alle 3 Monate, äquivalent ist zu einem effektiven jährlichen Zinssatz von 6.136%. Sei allgemein i ein gegebener jährlicher effektiver Zinssatz und i (m) der nominelle Zinssatz, m-mal pro Jahr konvertierbar, der zu i äquivalent ist. Dann muss gelten: ) m (1 + i(m) = 1 + i m

9 1.1. Zinseszins- und Rentenrechnung 9 bzw. i (m) = m((1 + i) 1 (1 + i) 1 m (1 + i) 0 m 1) =. Der Grenzfall m entspricht stetiger Verzinsung: δ := lim m i(m) = lim h 0 (1 + i) h (1 + i) 0 h δ heißt die zu i gehörige Zinsintensität. Es gilt e δ = 1 + i. 1 m = d dx (1 + i)x x=0 = ln(1 + i) Kontinuierliche Zahlungen Nehmen wir nun an, dass kontinuierliche Zahlungen in einen Fonds stattfinden (mit Zahlungsintensität r(t)) und in diesem Fonds stetige Verzinsung mit Zinsintensität δ(t) (nicht notwendig konstant) erfolgt. Dann gilt für den Zuwachs im Fonds im Intervall dt df(t) = F(t)δ(t)dt + r(t)dt, wobei F(t) den Wert des Fonds zum Zeitpunkt t bezeichnet. Um die Differentialgleichung 1. Ordnung zu lösen, schreibt man sie wie folgt um: Integration über t von 0 bis h ergibt und somit F (t) = F(t)δ(t) + r(t) d [e R ] t 0 δ(s)ds F(t) = e R t 0 δ(s)ds r(t). dt e R h 0 δ(s)ds F(h) F(0) = h 0 e R t 0 δ(s)ds r(t)dt F(h) = e R h h 0 δ(s)ds F(0) + e R h t δ(s)ds r(t)dt. 0 Wieder setzt sich der Fondswert also aus dem aufgezinsten Anfangsstand und den aufgezinsten Einzahlungen zusammen. Falls δ(t) = δ konstant ist, ergeben sich wieder die Auf- und Abzinsungsfaktoren von vorhin.

10 10 Kapitel 1. Elementare Lebensversicherungsmathematik Zins im voraus Bis jetzt wurde immer angenommen, dass der Zins am Ende der jeweiligen Konversionsperiode gutgeschrieben wird. Oft ist es jedoch nützlich, dass der Zins bereits am Anfang der jeweiligen Konversionsperiode bezahlt wird. Sei d die jährliche effektive Vorauszinsrate. Ein Investor, der ein Kapital C investiert, erhält also den Zins von dc bereits am Anfang des Jahres und das ursprüngliche Kapital am Schluss des Jahres. Der Investor kann nun den Zins dc wieder investieren und erhält dafür den Zinseszins d 2 C am Anfang des Jahres plus eine Zahlung dc am Schluss des Jahres usw. Dieser Investor wird also am Schluss des Jahres C + dc + d 2 C +... = 1 1 d C erhalten. Falls i die äquivalente effektive Zinsrate im üblichen Sinne ist, muss somit gelten d = i i + 1. Falls also ein Kapital von 1 investiert wird, so ist d der diskontierte Wert des am Jahresende bezahlten Zinses i ( abgezinster Wert des Zinses ). Sei jetzt d (m) die äquivalente nominelle Vorauszinsrate, falls die Verzinsung m- mal jährlich stattfindet. Für ein Kapital C erhält ein Investor dann den Zins d (m) C zu Beginn und das Kapital C am Ende des m-tel Jahres. Gleichheit der m Aufzinsfaktoren für ein m-tel Jahr ergibt daher 1 1 d(m) m = 1 + i(m) m = (1 + i)1/m bzw. d (m) = m(1 (1 + i) 1/m ) = i(m) 1 + i(m) m und daraus ergibt sich eine einfache Beziehung zwischen i (m) und d (m) : Insbesondere folgt daraus für m 1 d = 1 (m) m + 1 i (m). (1.3) lim m d(m) = lim m i(m) = δ. Bei stetige Verzinsung wird also der Unterschied zwischen Vorausverzinsung und nachschüssiger Verzinsung hinfällig (was zu erwarten war).

11 1.1. Zinseszins- und Rentenrechnung Ewige Renten Betrachten wir als Beipiel einer ewigen Rente (engl. perpetuity) jährliche Zahlungen der Höhe 1. Falls die erste Zahlung zum Zeitpunkt 0 stattfindet, spricht man von einer vorschüssigen Rente. Ihr Barwert (d.h. Wert zum Zeitpunkt 0) wird mit ä bezeichnet. Es ist also ä = 1 + v + v = 1 1 v = 1 d. Findet die erste Zahlung erst am Ende des ersten Jahres (d.h. zum Zeitpunkt 1) statt, so handelt es sich um eine nachschüssige Rente. Ihr Barwert wird durch a symbolisiert und ist gegeben durch a = v + v = v 1 v = 1 i. Nun betrachten wir noch unterjährige ewige Renten, wo Zahlungen in der Höhe von 1/m in regelmäßigen Abständen (m mal pro Jahr) stattfinden. Der Barwert einer vorschüssigen unterjährigen ewigen Rente ist dann ä (m) = 1 m + 1 m v 1 1 m + m v 2 1 m +... = m 1 1 v 1 m = 1 d (m). (1.4) Dementsprechend ist der Barwert einer nachschüssigen unterjährigen ewigen Rente gegeben durch a (m) = 1 m v 1 1 m + m v 2 1 m +... = m v 1 m 1 v 1 m = 1 m((1 + i) 1 m 1) = 1 i (m). (1.5) Mit (1.4) und (1.5) lässt sich nun Formel (1.3) interpretieren: Da sich die vorund nachschüssigen Renten lediglich um die Zahlung 1/m im Zeitpunkt 0 unterscheiden, unterscheiden sich deren Barwerte um 1/m. Analog zu oben folgt nun noch für den Barwert einer kontinuierlichen ewigen Rente mit konstanter Intensität r(t) 1 ā = 0 e δt dt = 1 δ. ā stellt natürlich den Grenzwert für m von (1.4) und (1.5) dar Zeitrenten In der Praxis sind zeitlich befristete Renten natürlich häufiger als ewige Renten. Sei n die Dauer der Rente (gemessen in Jahren). Dann folgt für den Barwert einer vorschüssigen Zeitrente ä n = 1 + v v n 1.

12 12 Kapitel 1. Elementare Lebensversicherungsmathematik Indem man diese Rente als Differenz zweier ewiger Renten betrachtet, wobei die eine zum Zeitpunkt 0 und die andere zur Zeit n beginnt, erhält man ä n = ä v n ä = 1 vn. (1.6) d Analog folgt mit den Formeln aus dem vorigen Abschnitt a n = 1 vn, ä (m) = 1 vn und a (m) = 1 vn. i n d (m) n i (m) Die Dauer n ist bei ä n und a n ganzzahlig, während sie bei ä (m) n Vielfaches von 1/m ist. und a (m) n Bei Zeitrenten interessiert man sich auch für den Schlusswert, also den Wert der Zahlungen am Ende der Dauer n. Dieser ergibt sich natürlich sofort aus dem jeweiligen Barwert und dem Aufzinsungsfaktor (1 + i) n zu und s n = (1 + i)n 1, s d n = (1 + i)n 1 i s (m) = (1 + i)n 1, s (m) = (1 + i)n 1. n d (m) n i (m) Rückzahlung einer Schuld Sei S eine Schuld zum Zeitpunkt 0, die durch Zahlungen r 1,...,r n am Ende der Jahre 1,..., n getilgt wird. Der Barwert dieser Zahlungen soll also S sein: ein S = vr 1 + v 2 r v n r n. (1.7) Für die Restschuld S k, die bleibt, nachdem die Zahlung r k getätigt wird, gilt bzw. anders geschrieben S k = (1 + i)s k 1 r k, k = 1,...,n (1.8) r k = is k 1 + (S k 1 S k ). Jede Zahlung setzt sich also aus zwei Komponenten zusammen, der Verzinsung der Restschuld des Vorjahres und der Amortisation der Restschuld. Vergleicht man (1.8) mit (1.1), so sieht man, dass die beiden Gleichungen äquivalent sind, wenn man F k = S k setzt. Man kann also alle Resultate von vorne übernehmen, z.b. die Darstellung k S k = (1 + i) k S (1 + i) k h r h, k = 1,...,n. (1.9) h=1 Insbesondere ist wegen (1.7) S n = 0. (1.9) nennt man die retrospektive Darstellung der Restschuld, im Gegensatz zur prospektiven Darstellung S k = vr k+1 + v 2 r k v n k r n.

13 1.2. Die zukünftige Lebensdauer eines x-jährigen Die zukünftige Lebensdauer eines x-jährigen Wir betrachten nun eine bestimmte Person mit Alter x. Ihre zukünftige Lebensdauer wird mit T(x) bezeichnet (diese Person wird also beim Tode das Alter x+t haben). Die Größe T ist eine Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion G(t) = (T t). In der Folge wird die Verteilung von T als bekannt und als stetig vorausgesetzt; es gilt dann für die Dichte g(t) = G (t) g(t)dt = (t T t + dt). Folgende Notationen sind international üblich: tq x = G(t) ist die t-jährige Sterbewahrscheinlichkeit eines x-jährigen. Analog ist tp x = 1 G(t) die t-jährige Überlebenswahrscheinlichkeit des x-jährigen. Ferner ist s tq x = (s T s + t) = G(s + t) G(s) = s+t q x s q x die Wahrscheinlichkeit, dass der x-jährige die nächsten s Jahre überleben und dann innerhalb der nächsten t Jahre sterben wird. Die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass der x-jährige nach Erreichen des Alters x+s weitere t Jahre leben wird (gegeben dass er dieses Alter erreicht), ist gegeben durch 1 G(s + t) tp x+s = (T > s + t T > s) =. 1 G(s) Analog ist tq x+s = (T s + t T > s) = s t q x sp x die t-jährige Sterbewahrscheinlichkeit im Moment, wo der x-jährige das Alter x + s erreicht hat. Die Lebenserwartung eines x-jährigen wird üblicherweise mit dem Symbol e x bezeichnet und ist gegeben durch e x = E(T) = 0 tg(t) dt = 0 [1 G(t)]dt = 0 tp x dt. Außerdem sind noch die Abkürzungen p x := 1 p x und q x := 1 q x sowie s q x := s 1 q x üblich.

14 14 Kapitel 1. Elementare Lebensversicherungsmathematik Die Sterblichkeitsintensität des x-jährigen im Alter x + t ist definiert als µ x+t = g(t) 1 G(t) = d dt ln[1 G(t)] = d dt ln( tp x ). (1.10) Somit ergibt sich ein alternativer Ausdruck für die Wahrscheinlichkeit, dass ein x-jähriger zwischen den Zeitpunkten t und t + dt sterben wird: (t < T < t + dt) = t p x µ x+t dt Analytische Verteilungen für T Das Postulieren einer analytischen Verteilungsfunktion für die zukünftige Lebensdauer T ist nicht wirklich realistisch, jedoch liefert es oft brauchbare Modelle für Demonstrationszwecke. Wir wollen hier einige solche analytische Verteilungen (jeweils benannt nach dem Erfinder) betrachten: DeMoivre: (1724) ω... oberstes Alter. T ist dann gleichverteilt auf dem Intervall [0, ω x], d.h. g(t) = 1 für 0 < t < ω x ω x und Gompertz: (1824) µ x+t = 1 ω x t für 0 < t < ω x. µ x+t = Bc x+t t > 0 mit Konstanten B > 0, c > 1, d.h. hier wird exponentielles Wachstum von µ x+t postuliert (ist der Realität besser angepasst und braucht nicht die Annahme eines obersten Alters). Makeham: (1860) Weibull: (1939) mit Parametern k > 0, n > 0. µ x+t = A + Bc x+t t > 0. µ x+t = k(x + t) n, t > 0

15 1.2. Die zukünftige Lebensdauer eines x-jährigen Die gestutzte Lebenserwartung Sei K := [T] die ganzzahlig gestutzte zukünftige Lebensdauer des x-jährigen, d.h. (K = k) = (k < T < k + 1) = k p x q x+k (k = 0, 1,...) Der Erwartungswert von K heißt die gestutzte Lebenserwartung und ist gegeben durch e x := (K) = k (K = k) = k k p x q x+k k=1 k=1 bzw. wegen (K k) = (K = k) + (K = k + 1) +... auch durch e x = k=1 (K k) = k=1 kp x. Der Vorteil der gestutzten Lebenserwartung liegt darin, dass diese Formel leichter auszuwerten ist als jene für e x. Sei weiters S = {T }, d.h. T = K + S. S ist stetig verteilt in [0, 1]. Der Erwartungswert von S wird nun zu [S] 1 geschätzt und somit gilt 2 e x e x (1.11) Wichtiger Fall: K, S unabhängig. Dann ist die bedingte Verteilung von S unabhängig von K: (S u K = k) = u q x+k q x+k (1.12) ist dann eine von k unabhängige Verteilungsfunktion H(u), 0 u 1, d.h. uq x+k = H(u)q x+k. Im Spezialfall H(u) = u (Gleichverteilung) ist (1.11) exakt und aus T = K + S erhält man in diesem Fall Var(T) = Var(K) Sterbetafeln Eine Sterbetafel (engl. life table) ist im wesentlichen eine Tabelle von einjährigen Sterbewahrscheinlichkeiten, durch die dann die Verteilung von K definiert ist. Sterbetafeln werden mit statistischen Methoden aus realen Daten erstellt. Sie werden oft für verschiedene Bevölkerungsgruppen konstruiert (z.b. unterschieden nach Geschlecht, Generation, etc.). Eine aus den Jahren stammende Sterbetafel für Österreich kann in Anhang B gefunden werden. Wird bei einer Sterbetafel lediglich nach dem Alter eingestuft, so spricht man

16 16 Kapitel 1. Elementare Lebensversicherungsmathematik von einer Aggregattafel. Sie enthält dann also Werte q x für ganzzahlige x. Daraus können jetzt einige verwandte Größen berechnet werden: p x = 1 q x, kp x = p x p x+1 p x+2 p x+k 1, usw. Um daraus die Verteilung von T zu erhalten, muss man geeignete Annahmen über den Verlauf der unterjährigen Sterbewahrscheinlichkeiten u q x oder der Sterblichkeitsintensitäten µ x+u treffen (x, 0 u 1). Wir betrachten drei Fälle: a) Linearität von u q x : uq x = uq x. Wie wir im letzten Abschnitt gesehen haben, entspricht das dem Fall, wo K und S unabhängig sind und wo S gleichverteilt zwischen 0 und 1 ist. Es gilt hier up x = 1 uq x und µ x+u = q x 1 uq x. b) µ x+u ist konstant: Sei µ x+u := µ x+ 1 = ln p x konstant auf dem Einheitsintervall 0 < u < 1 2 (die letzte Äquivalenz folgt aus (1.10) mit t = 1). In diesem Fall gilt dann Da mit (1.12) up x = exp( uµ x+ 1) = p u x. 2 (S u K = k) = 1 pu x+k 1 p x+k, (1.13) sind die Zufallsvariablen K und S hier also nicht unabhängig. c) Linearität von 1 u q x+u : Daraus folgt und up x = 1 uq x+u = (1 u)q x. p x 1 up x+u = µ x+u = 1 q x 1 (1 u)q x q x 1 (1 u)q x. Auch hier sind S und K im allgemeinen nicht unabhängig. Bei allen drei Methoden hat die Sterblichkeitsintensität Unstetigkeiten an den ganzzahligen Argumenten. Für kleine Sterbewahrscheinlichkeiten ist S bei der zweiten und dritten Methode wenigstens annähernd gleichverteilt und annähernd unabhängig von K (vgl. z.b. (1.13) für q x+k 0).

17 1.3. Einfache Kapitalversicherungen Einfache Kapitalversicherungen Bei einer Kapitalversicherung besteht die vom Versicherer zu erbringende Leistung aus der Bezahlung einer einzelnen Summe, des Kapitals. Zeitpunkt und Höhe der Auszahlung können Funktionen der Zufallsvariablen T sein (sind also selbst Zufallsvariablen). Der Barwert dieses Kapitals sei Z. Dieser Barwert wird aufgrund eines gegebenen technischen Zinsfußes i berechnet. Der erwartete Barwert der Leistung (Z) wird als die sog. Nettoeinmalprämie (NEP) bezeichnet (im Gegensatz zur Bruttoprämie, die Aufwände der Versicherung (wie z.b. Verwaltungskosten) berücksichtigt) Todesfallversicherungen (engl. life insurance) Wir betrachten zuerst lebenslängliche Deckung (engl. whole life): Ein Kapital von 1 sei zahlbar am Ende des Jahres, in dem der Versicherte stirbt. In diesem Fall ist das Kapital also nicht zufällig, sehr wohl aber der Zeitpunkt der Auszahlung (nämlich K + 1). Der Barwert dieser Leistung ist Die Verteilung von Z ist gegeben durch Z = v K+1. (Z = v k+1 ) = (K = k) = k p x q x+k (k = 0, 1,...) Die NEP wird mit dem Symbol A x bezeichnet und ist also gegeben durch Wegen folgt die Rekursionsformel A x = [v K+1 ] = v k+1 kp x q x+k. k=0 [v K+1 ] = v (K = 0) + v [v K K 0] (K > 0) A x = v q x + va x+1 p x. Interpretation: Die NEP im Alter x ist der diskontierte Erwartungswert der NEP im Alter x + 1. Um die Varianz Var(Z) = [Z 2 ] A 2 x auszurechnen, brauchen wir einen Ausdruck für [Z 2 ]. Setzt man v = e δ, so folgt [Z 2 ] = [e 2δ(K+1) ], dies entspricht also der NEP bei Verdopplung der Zinsintensität und kann somit mit dem gleichen Rechenaufwand wie die NEP bestimmt werden.

18 18 Kapitel 1. Elementare Lebensversicherungsmathematik Bei einer temporären Todesfallversicherung (engl. term insurance) der Dauer n wird das Kapital von 1 nur ausbezahlt (am Ende des Jahres, in dem der Tod eintritt), falls der Tod in den ersten n Jahren eintritt. Somit ist v K+1 für K = 0, 1,..., n 1 Z = 0 für K = n, n + 1,... Die NEP wird hier mit A 1 x n bezeichnet und ergibt sich zu n 1 A 1 x n = v k+1 kp x q x+k. k= Erlebensfallversicherungen (engl. pure endowment) Bei einer Dauer von n Jahren wird das Kapital 1 im Erlebensfall (und nichts bei vorzeitigem Ableben) des Versicherten ausbezahlt: 0 für K = 0, 1,...,n 1 Z = v n für K = n, n + 1,... Die mit A x 1 n bezeichnete NEP beträgt in diesem Fall A x 1 n = vn np x Gemischte Versicherungen (engl. endowment) Das Kapital 1 wird am Ende des Todesjahres ausbezahlt, wenn der Tod in den ersten n Jahren stattfindet, und andernfalls nach Ablauf der Dauer n. v K+1 für K = 0, 1,..., n 1 Z = v n für K = n, n + 1,... Es gilt also Z = Z 1 + Z 2, wobei Z 1 eine Ablebens- und Z 2 eine Erlebensversicherung ist. Die NEP beträgt demnach A x n = A 1 x n + A x 1 n Für eine um m Jahre aufgeschobene Versicherung (versichertes Kapital 1, unbegrenzte Dauer) gilt 0 für K = 0, 1,..., m 1 Z = v K+1 für K = m, m + 1,...

19 1.3. Einfache Kapitalversicherungen 19 Die NEP m A x ist hier m A x = m p x v m A x+m = A x A 1 x m Auszahlung unmittelbar nach dem Ableben Bisher wurde angenommen, dass die Auszahlung jeweils am Ende des Todesjahres erfolgt. Wir wollen nun annehmen, dass das Kapital zum Zeitpunkt des Todes, also zur Zeit T, ausbezahlt wird: Für eine lebenslängliche Todesfallversicherung gilt dann und für die entsprechende NEP Ā x = 0 Z = v T v t tp x µ x+t dt. Unter der Annahme a) aus Abschnitt gilt wegen und der Unabhängigkeit von K und S: T = K + S = (K + 1) (1 S) Ā x = [v K+1 ] [(1 + i) 1 S ] = [v K+1 ] 1 0 (1 + i) u du = [v K+1 ] s 1 = i δ A x. Die Berechnung von Āx ist hier also auf einfache Weise auf die Berechnung von A x zurückgeführt. Für eine temporäre Todesfallversicherung gilt entsprechend Ā x n = Ā1 x n + A x 1 n = i δ A1 x n + A x 1 n = A x n Allgemeine Todesfallversicherungen ( i δ 1 ) A 1 x n. Hier kann das versicherte Kapital von Jahr zu Jahr variieren und wird am Ende des Todesjahres ausbezahlt. Sei c j das im j-ten Versicherungsjahr versicherte Kapital, so ist Z = c K+1 v K+1 und die NEP [Z] = c k+1 v k+1 kp x q x+k = c 1 A x + (c 2 c 1 ) 1 A x + (c 3 c 2 ) 2 A x +..., k=0

20 20 Kapitel 1. Elementare Lebensversicherungsmathematik denn eine solche Deckung kann aufgefasst werden als eine Kombination von aufgeschobenen Versicherungen mit konstanter Deckung. Ist die Deckung auf n Jahre beschränkt (d.h. c n+1 = c n+2 =... = 0), kann sie auch aufgefasst werden als eine Kombination von temporären sofort beginnenden Versicherungen. So gilt [Z] = c n A 1 x n + (c n 1 c n )A 1 x: n 1 + (c n 2 c n 1 )A 1 x: n Leibrenten und Kommutationszahlen Eine Leibrente ist eine Reihe von Zahlungen, die erfolgen, solange eine bestimmte Person (mit Anfangsalter x) lebt. Eine Leibrente ist also eine Zeitrente, deren Dauer von T abhängt, und somit eine Zufallsvariable. Der Barwert einer Leibrente, der somit auch eine Zufallsvariable ist, wird mit Y bezeichnet; die NEP einer Leibrente ist ihr erwarteter Barwert [Y ]. Leibrenten treten einerseits als Versicherungsleistungen auf, andererseits kann die periodische Bezahlung von Prämien auch als eine Leibrente interpretiert werden (natürlich mit umgekehrtem Vorzeichen) Vorschüssige lebenslängliche Leibrenten Wir betrachten eine vorschüssige lebenslängliche Leibrente, die aus jährlichen Zahlungen von je 1 besteht. Der Barwert dieser Rente ist Y = 1 + v + v v K = ä K+1 = v k I {K k}, (1.14) k=0 wobei I A den Indikator des Ereignisses A bezeichnet. Die NEP ist hier ä x = [Y ] = (K = k)ä k+1 = ä k+1 kp x q x+k (1.15) k=0 k=0 bzw., wenn wir direkt den Erwartungswert des obigen Ausdrucks mit den Indikatoren bilden, ä x = v k kp x. (1.16) k=0 Wir haben also zwei Ausdrücke für die NEP gefunden. (1.15) ist natürlich, wenn man die Rente ganzheitlich auffasst; (1.16) ist naheliegend, wenn man sich die

21 1.4. Leibrenten und Kommutationszahlen 21 Rente als eine Summe von Erlebensfallversicherungen vorstellt. Wegen Formel (1.6) kann man Y hier auch als Y = 1 vk+1 d = 1 Z d schreiben. Der Erwartungswert hiervon ergibt ä x = 1 A x. d Wenn wir diese Identität umschreiben als 1 = d ä x + A x, so kann sie interpretiert werden anhand einer Schuld von 1, welche am Anfang jedes Jahres verzinst wird, verbunden mit einer letzten Zahlung von 1 am Ende des Todesjahres Temporäre vorschüssige Leibrente Bei der entsprechenden temporären vorschüssigen Leibrente mit Dauer n ist Die NEP ergibt sich hier zu ä K+1 für K = 0, 1,..., n 1 Y = ä n für K = n, n + 1,... n 1 n 1 ä x n = ä k+1 kp x q x+k + ä n np x = v k kp x. k=0 k=0 Jetzt ist und somit folgt d.h. Y = 1 Z d ä x n = 1 A x n, d 1 = d ä x n + A x n.

22 22 Kapitel 1. Elementare Lebensversicherungsmathematik Lebenslängliche nachschüssige Leibrente Hier gilt Y = v + v v K = a K und dieser Barwert unterscheidet sich von (1.14) nur um die Konstante 1, woraus für die NEP sofort a x = ä x 1 folgt. Weiters gilt hier 1 = i a x + (1 + i) A x Aufgeschobene Leibrente Bei einer um m Jahre aufgeschobenen Leibrente mit jährlichen Einheitszahlungen gilt 0 für K = 0, 1,..., m 1 Y = v m + v m v K für K = m, m + 1,... Die NEP kann dann aus erhalten werden. m ä x = m p x v m ä x+m = ä x ä x m Allgemeine Leibrente Hiermit ist eine Leibrente gemeint, die Zahlungen r 0, r 1,... zu den Zeitpunkten 0, 1,..., K vorsieht: Y = v k r k I {K k}. Es gilt demnach k=0 [Y ] = Kommutationszahlen v k r k k p x. k=0 Kommutationszahlen sind tabellarisch erfasste Hilfsgrößen. Sei l x die Zahl der Lebenden (einer vorgegebenen Bevölkerungsgruppe), die das Alter x erreichen. Dann ist d x = l x l x+1 die Zahl derer, die zwischen Alter x

23 1.4. Leibrenten und Kommutationszahlen 23 und x + 1 sterben. Wir können also schreiben tp x = l x+t l x q x = d x l x e x = l x l x Wenn wir nun in Formel (1.16) t p x durch l x+t l x ersetzen, so erhalten wir bzw. ä x = l x + vl x+1 + v 2 l x l x l x ä x = l x + vl x+1 + v 2 l x , die sogenannte Äquivalenzgleichung. Sie kann wie folgt interpretiert werden: Wenn man sich vorstellt, dass jede der im Alter x lebenden Personen gegen eine einmalige Prämie von ä x eine Rente vom oben beschriebenen Typ kauft, besagt die Äquivalenzgleichung, dass die Summe aller Prämien (links) gleich dem Barwert aller Leistungen (rechts) ist. Einfaches Erweitern der obigen Gleichung liefert Mit den Notationen gilt dann also die einfache Formel ä x = vx l x + v x+1 l x+1 + v x+2 l x v x l x. D x = v x l x, N x = D x + D x ä x = N x D x. Die Kommutationszahlen D x (die diskontierte Zahl der Lebenden ) und N x liegen in einer Sterbetafel tabellarisch vor und erleichterten vor allem vor den Zeiten leistungsfähiger Computer die Berechnung von ä x wesentlich. Weiters gilt ä x n = N x N x+n D x und a x = N x+1 D x. Im Falle von Kapitalversicherungen werden beispielsweise durch Einführung der Kommutationszahlen C x = v x+1 d x, M x = C x + C x

Zinseszins- und Rentenrechnung

Zinseszins- und Rentenrechnung Zinseszins- und Rentenrechnung 1 Berechnen Sie den Zeitpunkt, an dem sich das Einlagekapital K bei a) jährlicher b) monatlicher c) stetiger Verzinsung verdoppelt hat, wobei i der jährliche nominelle Zinssatz

Mehr

vorschüssige, lebenslängliche Leibrente (whole life annuity-due) Vorschüssige jährliche Zahlungen von 1, solange die versicherte Person am Leben ist.

vorschüssige, lebenslängliche Leibrente (whole life annuity-due) Vorschüssige jährliche Zahlungen von 1, solange die versicherte Person am Leben ist. 4. Leibrenten vorschüssige, lebenslängliche Leibrente (whole life annuity-due) Vorschüssige jährliche Zahlungen von 1, solange die versicherte Person am Leben ist. NEP ä x : Y = 1 + v + v 2 + + v K = ä

Mehr

Deckungskapital. Proseminar Versicherungsmathematik. TU Graz. 11. Dezember 2007

Deckungskapital. Proseminar Versicherungsmathematik. TU Graz. 11. Dezember 2007 Deckungskapital Gülnur Adanç Proseminar Versicherungsmathematik TU Graz 11. Dezember 2007 1 Inhaltsverzeichnis 1 Deckungskapital 2 1.1 Prospektive und Retrospektive Methode.................... 3 1.1.1

Mehr

Kapitalversicherungen

Kapitalversicherungen Kapitalversicherungen Birgit Scharwitzl 10. Dezember 2008 Inhaltsverzeichnis 1 Begriffe und wichtige Definitionen 2 1.1 Prämie................................................... 2 1.2 Gewinnbeteiligung............................................

Mehr

Kapitalversicherungen

Kapitalversicherungen Kapitalversicherungen Sanela Omerovic Proseminar Versicherungsmathematik TU Graz 11. Dezember 2007 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 1 2 Einfache Versicherungsformen 3 2.1 Todesfallversicherungen (Life Insurance)....................

Mehr

Lebensdauer eines x-jährigen

Lebensdauer eines x-jährigen Lebensdauer eines x-jährigen Sabrina Scheriau 20. November 2007, Graz 1 INHALTSVERZEICHNIS 2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 3 2 Sterbewahrscheinlichkeiten 4 2.1 Definition und Ermittlung....................

Mehr

Lebensversicherungsmathematik Prüfungsbeispiele Termine 22.10.2004-25.6.2007 nach Themen geordnet

Lebensversicherungsmathematik Prüfungsbeispiele Termine 22.10.2004-25.6.2007 nach Themen geordnet Lebensversicherungsmathematik Prüfungsbeispiele Termine 22.10.2004-25.6.2007 nach Themen geordnet R. Kainhofer, Inst. f. Wirtschaftsmathematik, FAM, TU Wien Inhaltsverzeichnis 1 Prüfungsbeispiele der schriftlichen

Mehr

III. Grundlagen der Lebensversicherungsmathematik III.5. Deckungskapital für Lebensversicherungsprodukte

III. Grundlagen der Lebensversicherungsmathematik III.5. Deckungskapital für Lebensversicherungsprodukte III. Grundlagen der Lebensversicherungsmathematik III.5. Deckungskapital für Lebensversicherungsprodukte Universität Basel Herbstsemester 2015 Dr. Ruprecht Witzel ruprecht.witzel@aktuariat-witzel.ch www.aktuariat-witzel.ch

Mehr

Klassische Risikomodelle

Klassische Risikomodelle Klassische Risikomodelle Kathrin Sachernegg 15. Jänner 2008 1 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 3 1.1 Begriffserklärung.................................. 3 2 Individuelles Risikomodell 3 2.1 Geschlossenes

Mehr

Finanz- und Versicherungsmathematik

Finanz- und Versicherungsmathematik Finanz- und Versicherungsmathematik Hansjörg Albrecher Institut für Mathematik B Technische Universität Graz Version: Februar 2006 2 Inhaltsverzeichnis 1 Risikomodelle 5 1.1 Das individuelle Risikomodell....................

Mehr

Präsenzübungsaufgaben zur Vorlesung Elementare Sachversicherungsmathematik

Präsenzübungsaufgaben zur Vorlesung Elementare Sachversicherungsmathematik Präsenzübungsaufgaben zur Vorlesung Elementare Sachversicherungsmathematik Dozent: Volker Krätschmer Fakultät für Mathematik, Universität Duisburg-Essen, WS 2012/13 1. Präsenzübung Aufgabe T 1 Sei (Z 1,...,

Mehr

Im weiteren werden die folgenden Bezeichnungen benutzt: Zinsrechnung

Im weiteren werden die folgenden Bezeichnungen benutzt: Zinsrechnung 4.2 Grundbegriffe der Finanzmathematik Im weiteren werden die folgenden Bezeichnungen benutzt: K 0 Anfangskapital p Zinsfuß pro Zeiteinheit (in %) d = p Zinssatz pro Zeiteinheit 100 q = 1+d Aufzinsungsfaktor

Mehr

Kapitalversicherungen

Kapitalversicherungen 10. Dezember 2008 Inhalt des Vortrags Wichtige Begriffe Warum Lebensversicherungen? Wichtigste Versicherungsformen Inhalt des Vortrags Wichtige Begriffe Warum Lebensversicherungen? Wichtigste Versicherungsformen

Mehr

Zinsen, Zinseszins, Rentenrechnung und Tilgung

Zinsen, Zinseszins, Rentenrechnung und Tilgung Zinsen, Zinseszins, Rentenrechnung und Tilgung 1. Zinsen, Zinseszins 2. Rentenrechnung 3. Tilgung Nevzat Ates, Birgit Jacobs Zinsrechnen mit dem Dreisatz 1 Zinsen Zinsrechnen mit den Formeln Zinseszins

Mehr

6 Berechnung der Kapitalentwicklung auf der Basis der Zinseszinsrechnung

6 Berechnung der Kapitalentwicklung auf der Basis der Zinseszinsrechnung 6 Berechnung der Kaitalentwicklung auf der Basis der Zinseszinsrechnung 61 Wertentwicklung ohne Gut- oder Lastschrift von Zinsen Beisiele: 1 Konstante Produktionszunahme Produktion im 1 Jahr: P 1 Produktion

Mehr

MATHEMATIK UND VERSICHERUNGEN EINE ALLIANZ FÜRS LEBEN. Mitglied im DFG-Forschungszentrum Mathematik für Schlüsseltechnologien

MATHEMATIK UND VERSICHERUNGEN EINE ALLIANZ FÜRS LEBEN. Mitglied im DFG-Forschungszentrum Mathematik für Schlüsseltechnologien MATHEMATIK UND VERSICHERUNGEN EINE ALLIANZ FÜRS LEBEN Teilnehmer: Thomas Benkert Sebastian Flach Wolfgang Schmidt Philip Wanninger Sebastian Schubert Gruppenleiter: Peggy Daume Graf-Münster-Gymnasium Graf-Münster-Gymnasium

Mehr

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wintersemester 2014/15 Hochschule Augsburg Grundlagentest Ungleichungen! Testfrage: Ungleichungen 1 Die Lösungsmenge

Mehr

Unter einer Rente versteht man eine regelmässige und konstante Zahlung.

Unter einer Rente versteht man eine regelmässige und konstante Zahlung. Anwendungen aus der Finanzmathematik a) Periodische Zahlungen: Renten und Leasing Unter einer Rente versteht man eine regelmässige und konstante Zahlung Beispiele: monatliche Krankenkassenprämie, monatliche

Mehr

Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik

Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik Wintersemester 2012/13 Hochschule Augsburg Äquivalenzprinzip der Finanzmathematik Das Äquivalenzprinzip der Finanzmathematik für Vergleich von Zahlungen, welche

Mehr

Mitschrift zur Vorlesung. von Jurgen Behne. Martin R. Elsner

Mitschrift zur Vorlesung. von Jurgen Behne. Martin R. Elsner Mitschrift zur Vorlesung Versicherungsmathematik von Jurgen Behne im Wintersemester 1997/98, Sommersemester 1998 Martin R. Elsner " 4. Januar 1999 Inhaltsverzeichnis A Lebensversicherung 5 I Der Zins als

Mehr

Mathematik 1. Inhaltsverzeichnis. Prof. Dr. K. Melzer. karin.melzer@hs-esslingen.de http://www.hs-esslingen.de/de/mitarbeiter/karin-melzer.

Mathematik 1. Inhaltsverzeichnis. Prof. Dr. K. Melzer. karin.melzer@hs-esslingen.de http://www.hs-esslingen.de/de/mitarbeiter/karin-melzer. Mathematik 1 Prof Dr K Melzer karinmelzer@hs-esslingende http://wwwhs-esslingende/de/mitarbeiter/karin-melzerhtml Inhaltsverzeichnis 1 Finanzmathematik 1 11 Folgen und Reihen 1 111 Folgen allgemein 1 112

Mehr

Finanzmathematik. Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel. Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt

Finanzmathematik. Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel. Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt Finanzmathematik Literatur Gauglhofer, M. und Müller, H.: Mathematik für Ökonomen, Band 1, 17. Auflage,

Mehr

SS 2014 Torsten Schreiber

SS 2014 Torsten Schreiber SS 2014 Torsten Schreiber 221 Diese Lücken sollten nicht auch bei Ihnen vorhanden sein: Wird im Bereich der Rentenrechnung die zugehörige zu Beginn eines Jahres / einer Zeitperiode eingezahlt, so spricht

Mehr

Kapitel 3. Zufallsvariable. Wahrscheinlichkeitsfunktion, Dichte und Verteilungsfunktion. Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung

Kapitel 3. Zufallsvariable. Wahrscheinlichkeitsfunktion, Dichte und Verteilungsfunktion. Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung Kapitel 3 Zufallsvariable Josef Leydold c 2006 Mathematische Methoden III Zufallsvariable 1 / 43 Lernziele Diskrete und stetige Zufallsvariable Wahrscheinlichkeitsfunktion, Dichte und Verteilungsfunktion

Mehr

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA)

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) Wintersemester 2012/13 Hochschule Augsburg : Gliederung 1 Grundlegende 2 Grundlegende 3 Lineare Algebra 4 Lineare Programme 5 Folgen und Reihen 6

Mehr

Inhaltsverzeichnis. Finanzmathe Formelsammlung v.2.3 1

Inhaltsverzeichnis. Finanzmathe Formelsammlung v.2.3 1 Finanzmathe Formelsammlung v.2.3 1 Inhaltsverzeichnis I Zinsrechnung 1 I.1 Jährliche Verzinsung..................................... 1 I.1.1 Einfache Verzinsung................................. 1 I.1.2

Mehr

VERSICHERUNGEN AUF MEHRERE LEBEN. Marta Ja lowiecka. 23 Januar 2009

VERSICHERUNGEN AUF MEHRERE LEBEN. Marta Ja lowiecka. 23 Januar 2009 VERSICHERUNGEN AUF MEHRERE LEBEN Marta Ja lowiecka 23 Januar 2009 1 1 Einführung Im Folgenden werden betrachtet- basierend auf Modellen und Formeln für einfache Versicherungen auf ein Leben- verschiedene

Mehr

n... Laufzeit der Kapitalanlage = Zeit, während der Zinsen zu zahlen sind (oder gezahlt werden) in Zinsperioden (z.b. Jahre)

n... Laufzeit der Kapitalanlage = Zeit, während der Zinsen zu zahlen sind (oder gezahlt werden) in Zinsperioden (z.b. Jahre) 3. Finanzmathematik 3.1. Zinsrechnung 3.1.1. Grundbegriffe K... Kapital (caput - das Haupt) = Betrag, der der Verzinsung unterworfen ist; Geldbetrag (Währung) z... Zinsen = Vergütung (Preis) für das Überlassen

Mehr

Derivatebewertung im Binomialmodell

Derivatebewertung im Binomialmodell Derivatebewertung im Binomialmodell Roland Stamm 27. Juni 2013 Roland Stamm 1 / 24 Agenda 1 Einleitung 2 Binomialmodell mit einer Periode 3 Binomialmodell mit mehreren Perioden 4 Kritische Würdigung und

Mehr

Credit Risk+: Eine Einführung

Credit Risk+: Eine Einführung Credit Risk+: Eine Einführung Volkert Paulsen December 9, 2004 Abstract Credit Risk+ ist neben Credit Metrics ein verbreitetes Kreditrisikomodell, dessen Ursprung in der klassischen Risikotheorie liegt.

Mehr

Skript zur Versicherungsmathematik I und II. Manfred Riedel

Skript zur Versicherungsmathematik I und II. Manfred Riedel Skript zur Versicherungsmathematik I und II Manfred Riedel 2 Inhaltsverzeichnis Einführung 5 1 Zinsrechnung 7 1.1 Fall 1: Zinsperiode Konversionsperiode............. 7 1.2 Fall 2: Zinsperiode > Konversionsperiode.............

Mehr

Anwendungen in der elementaren Zinsrechnung. Kapitalwert zum Zeitpunkt j (nach j Zinsperioden) Bsp. 1. 0 1 2 3 4 Zeitpunkte

Anwendungen in der elementaren Zinsrechnung. Kapitalwert zum Zeitpunkt j (nach j Zinsperioden) Bsp. 1. 0 1 2 3 4 Zeitpunkte Anwendungen in der elementaren Zinsrechnung Zinssatz (Rendite) je Zinsperiode i = p% p= Prozentpunkte Zinsfaktor (Aufzinsungsfaktor) q =1+i Diskontfaktor (Abzinsungsfaktor) v =1/(1 + i) =q 1 Laufzeit n

Mehr

34 5. FINANZMATHEMATIK

34 5. FINANZMATHEMATIK 34 5. FINANZMATHEMATIK 5. Finanzmathematik 5.1. Ein einführendes Beispiel Betrachten wir eine ganz einfache Situation. Wir haben einen Markt, wo es nur erlaubt ist, heute und in einem Monat zu handeln.

Mehr

RUPRECHTS-KARLS-UNIVERSITÄT HEIDELBERG

RUPRECHTS-KARLS-UNIVERSITÄT HEIDELBERG Die Poisson-Verteilung Jianmin Lu RUPRECHTS-KARLS-UNIVERSITÄT HEIDELBERG Ausarbeitung zum Vortrag im Seminar Stochastik (Wintersemester 2008/09, Leitung PD Dr. Gudrun Thäter) Zusammenfassung: In der Wahrscheinlichkeitstheorie

Mehr

Ausarbeitung des Seminarvortrags zum Thema

Ausarbeitung des Seminarvortrags zum Thema Ausarbeitung des Seminarvortrags zum Thema Anlagepreisbewegung zum Seminar Finanzmathematische Modelle und Simulationen bei Raphael Kruse und Prof. Dr. Wolf-Jürgen Beyn von Imke Meyer im W9/10 Anlagepreisbewegung

Mehr

Rente = laufende Zahlungen, die in regelmäßigen Zeitabschnitten (periodisch) wiederkehren Rentenperiode = Zeitabstand zwischen zwei Rentenzahlungen

Rente = laufende Zahlungen, die in regelmäßigen Zeitabschnitten (periodisch) wiederkehren Rentenperiode = Zeitabstand zwischen zwei Rentenzahlungen 1 3.2. entenrechnung Definition: ente = laufende Zahlungen, die in regelmäßigen Zeitabschnitten (periodisch) wiederkehren entenperiode = Zeitabstand zwischen zwei entenzahlungen Finanzmathematisch sind

Mehr

Finanzmathematik - Grundlagen

Finanzmathematik - Grundlagen Finanzmathematik - Grundlagen Formelsammlung Zugelassene Formelsammlung zur Klausur im Sommersemester 2005 Marco Paatrifon Institut für Statistik und Mathematische Wirtschaftstheorie Zinsrechnung Symbole

Mehr

SS 2014 Torsten Schreiber

SS 2014 Torsten Schreiber SS 2014 Torsten Schreiber 204 Diese Lücken sollten nicht auch bei Ihnen vorhanden sein: Bei der Rentenrechnung geht es um aus einem angesparten Kapital bzw. um um das Kapital aufzubauen, die innerhalb

Mehr

Grundbegriffe Gegenstand der Tilgungsrechnung ist ein von einem Gläubiger (z. B. Bank) an einen Schuldner ausgeliehener Geldbetrag S;

Grundbegriffe Gegenstand der Tilgungsrechnung ist ein von einem Gläubiger (z. B. Bank) an einen Schuldner ausgeliehener Geldbetrag S; 1 5.3. Tilgungsrechnung Grundbegriffe Gegenstand der Tilgungsrechnung ist ein von einem Gläubiger (z. B. Bank) an einen Schuldner ausgeliehener Geldbetrag S; Bezeichnung: S... Schuld, Darlehen, Kredit

Mehr

Verteilungsmodelle. Verteilungsfunktion und Dichte von T

Verteilungsmodelle. Verteilungsfunktion und Dichte von T Verteilungsmodelle Verteilungsfunktion und Dichte von T Survivalfunktion von T Hazardrate von T Beziehungen zwischen F(t), S(t), f(t) und h(t) Vorüberlegung zu Lebensdauerverteilungen Die Exponentialverteilung

Mehr

Finanzwirtschaft. Teil II: Bewertung

Finanzwirtschaft. Teil II: Bewertung Sparpläne und Kreditverträge 1 Finanzwirtschaft Teil II: Bewertung Sparpläne und Kreditverträge Agenda Sparpläne und Kreditverträge 2 Endliche Laufzeit Unendliche Laufzeit Zusammenfassung Sparpläne und

Mehr

3.3. Tilgungsrechnung

3.3. Tilgungsrechnung 3.3. Tilgungsrechnung Grundbegriffe Gegenstand der Tilgungsrechnung ist ein von einem Gläubiger (z. B. Bank) an einen Schuldner ausgeliehener Geldbetrag S; Bezeichnung: S... Schuld, Darlehen, Kredit Es

Mehr

Krankenversicherungsmathematik

Krankenversicherungsmathematik Krankenversicherungsmathematik Florian Peycha 8. Januar 2008 Inhaltsverzeichnis 1 Kopfschaden 1 1.1 Die Methode von Rusam..................... 2 1.2 Altersgruppenbildung....................... 3 1.3 Die

Mehr

Statistische Thermodynamik I Lösungen zur Serie 1

Statistische Thermodynamik I Lösungen zur Serie 1 Statistische Thermodynamik I Lösungen zur Serie Zufallsvariablen, Wahrscheinlichkeitsverteilungen 4. März 2. Zwei Lektoren lesen ein Buch. Lektor A findet 2 Druckfehler, Lektor B nur 5. Von den gefundenen

Mehr

Finanzmathematik mit Excel 1

Finanzmathematik mit Excel 1 Finanzmathematik mit Excel 1 Einfache Zinsrechnung 2 Folgende Begriffe werden benötigt: Begriff Definition Kapital Geldbetrag, der angelegt oder einem anderen überlassen wird. Laufzeit Dauer der Überlassung.

Mehr

13.5 Der zentrale Grenzwertsatz

13.5 Der zentrale Grenzwertsatz 13.5 Der zentrale Grenzwertsatz Satz 56 (Der Zentrale Grenzwertsatz Es seien X 1,...,X n (n N unabhängige, identisch verteilte zufällige Variablen mit µ := EX i ; σ 2 := VarX i. Wir definieren für alle

Mehr

Tilgungsrechnung. (K n + R n = ln. / ln(q) (nachschüssig) + R. / ln(q) (vorschüssig)

Tilgungsrechnung. (K n + R n = ln. / ln(q) (nachschüssig) + R. / ln(q) (vorschüssig) (K n + R n = ln n = ln q 1 K 0 + R q 1 (K n q + R q 1 K 0 q + R q 1 ) / ln(q) (nachschüssig) ) / ln(q) (vorschüssig) Eine einfache Formel, um q aus R,n,K n und K 0 auszurechnen, gibt es nicht. Tilgungsrechnung

Mehr

Codierungstheorie Rudolf Scharlau, SoSe 2006 9

Codierungstheorie Rudolf Scharlau, SoSe 2006 9 Codierungstheorie Rudolf Scharlau, SoSe 2006 9 2 Optimale Codes Optimalität bezieht sich auf eine gegebene Quelle, d.h. eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf den Symbolen s 1,..., s q des Quellalphabets

Mehr

TI-83/92 (G0010a) DERIVE (G0010b nur Teile) Anwendung von geeigneten Funktionen numerische und iterative Methoden anwenden

TI-83/92 (G0010a) DERIVE (G0010b nur Teile) Anwendung von geeigneten Funktionen numerische und iterative Methoden anwenden BspNr: G0010 Themenbereich Finanzmathematik - Rentenrechnung Ziele vorhandene Ausarbeitungen Arbeiten mit geom. Reihen TI-83/92 (G0010a) DERIVE (G0010b nur Teile) Anwendung von geeigneten Funktionen numerische

Mehr

3 Rechnungsgrundlagen in der Lebensversicherungsmathematik

3 Rechnungsgrundlagen in der Lebensversicherungsmathematik 3 Rechnungsgrundlagen in der Lebensversicherungsmathematik 3. Zins Ein- und Auszahlungen fallen zeitlich versetzt an, der VN (Versicherungsnehmer) zahlt die Prämie in der Regel vorschüssig ein, der VU

Mehr

Beispiel 48. 4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen

Beispiel 48. 4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen 4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen Beispiel 48 Ein Würfel werde zweimal geworfen. X bzw. Y bezeichne die Augenzahl im ersten bzw. zweiten Wurf. Sei Z := X + Y die Summe der gewürfelten Augenzahlen.

Mehr

1. Ein allgemeines Lebensversicherungsmodell

1. Ein allgemeines Lebensversicherungsmodell 1. Ein allgemeines Lebensversicherungsmodell 1.1 Einleitung und Fragestellung Betrachtet man die angebotenen Lebensversicherungsprodukte, stellt man unschwer fest, dass sich diese Produkte durch eine grosse

Mehr

Tutorium zur Mathematik (WS 2004/2005) - Finanzmathematik Seite 1

Tutorium zur Mathematik (WS 2004/2005) - Finanzmathematik Seite 1 Tutorium zur Mathematik WS 2004/2005) - Finanzmathematik Seite 1 Finanzmathematik 1.1 Prozentrechnung K Grundwert Basis, Bezugsgröße) p Prozentfuß i Prozentsatz i = p 100 ) Z Prozentwert Z = K i bzw. Z

Mehr

Versicherungstechnik

Versicherungstechnik Operations Research und Wirtschaftsinformatik Prof. Dr. P. Recht // Dipl.-Math. Rolf Wendt DOOR Aufgabe 5 Versicherungstechnik Übungsblatt 2 Abgabe bis zum Dienstag, dem 27.0.205 um 0 Uhr im Kasten 9 Die

Mehr

Rente = laufende Zahlungen, die in regelmäßigen Zeitabschnitten (periodisch) wiederkehren Rentenperiode = Zeitabstand zwischen zwei Rentenzahlungen

Rente = laufende Zahlungen, die in regelmäßigen Zeitabschnitten (periodisch) wiederkehren Rentenperiode = Zeitabstand zwischen zwei Rentenzahlungen 5.2. entenrechnung Definition: ente = laufende Zahlungen, die in regelmäßigen Zeitabschnitten (periodisch) wiederkehren entenperiode = Zeitabstand zwischen zwei entenzahlungen Finanzmathematisch sind zwei

Mehr

Monte-Carlo Simulation

Monte-Carlo Simulation Monte-Carlo Simulation Sehr häufig hängen wichtige Ergebnisse von unbekannten Werten wesentlich ab, für die man allerhöchstens statistische Daten hat oder für die man ein Modell der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Mehr

Praktische Lebensversicheru ngsmathematik

Praktische Lebensversicheru ngsmathematik Karl MichaelOrtmann Praktische Lebensversicheru ngsmathematik Mit zahlreichen Beispielen, Abbildungen und Anwendungen STUDIUM 11 VIEWEG+ TEUBNER Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1 1.1 Wesen der Versicherung

Mehr

n... Laufzeit der Kapitalanlage = Zeit, während der Zinsen zu zahlen sind (oder gezahlt werden) in Zinsperioden (z.b. Jahre)

n... Laufzeit der Kapitalanlage = Zeit, während der Zinsen zu zahlen sind (oder gezahlt werden) in Zinsperioden (z.b. Jahre) 1 2. Zinsrechnung 2.1. Grundbegriffe K... Kapital (caput das Haupt) = Betrag, der der Verzinsung unterworfen ist; Geldbetrag (Währung) z... Zinsen = Vergütung (Preis) für das Überlassen eines Kapitals

Mehr

SS 2014 Torsten Schreiber

SS 2014 Torsten Schreiber SS 2014 Torsten Schreiber 239 Diese Lücken sollten nicht auch bei Ihnen vorhanden sein: Durch die wird ein Zahlungsstrom beschrieben, der zur Rückführung eines geliehenen Geldbetrags dient. Der zu zahlende

Mehr

Investitionsrechnung. c) Dynamische Investitionsrechnung. II. Annuitätenmethode. Kapitel 75

Investitionsrechnung. c) Dynamische Investitionsrechnung. II. Annuitätenmethode. Kapitel 75 Kapitel 75 Investitionsrechnung c) Dynamische Investitionsrechnung II. Annuitätenmethode Zweck Ermittlung der Bevorzugung einer Investitionsvariante aufgrund des Vergleichs des Überschusses des jährlichen

Mehr

4. Versicherungsangebot

4. Versicherungsangebot 4. Versicherungsangebot Georg Nöldeke Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät, Universität Basel Versicherungsökonomie (FS 11) Versicherungsangebot 1 / 13 1. Einleitung 1.1 Hintergrund In einem grossen Teil

Mehr

Bericht zur Prüfung im Oktober 2003 über Mathematik der Lebensversicherung (Grundwissen)

Bericht zur Prüfung im Oktober 2003 über Mathematik der Lebensversicherung (Grundwissen) Bericht zur Prüfung im Oktober 2003 über Mathematik der Lebensversicherung Grundwissen) Jürgen Strobel Köln) und Hans-Jochen Bartels Mannheim) Am 04.10.2003 wurde in Köln die zehnte Prüfung über Mathematik

Mehr

Überlegungen zur transparenten Gestaltung einer Lebensversicherung

Überlegungen zur transparenten Gestaltung einer Lebensversicherung Überlegungen zur transparenten Gestaltung einer Lebensversicherung 1 Transparenz ist zielorientiert ist kein Selbstzweck hat Grenzen 2 Produkttransparenz Markttransparenz Klarheit über die Leistung Vertragsmacht

Mehr

Prüfung Grundprinzipien der Versicherungs- und Finanzmathematik 2015

Prüfung Grundprinzipien der Versicherungs- und Finanzmathematik 2015 Prüfung Grundprinzipien der Versicherungs- und Finanzmathematik 2015 Aufgabe 1: (20 min) a) Gegeben sei ein einperiodiger State Space-Markt mit zwei Zuständen, der aus zwei Wertpapieren bestehe, einer

Mehr

Finanzierung Kapitel 4: Der Zeitwert des Geldes

Finanzierung Kapitel 4: Der Zeitwert des Geldes Kapitel 4: Der Zeitwert des Geldes von Sommersemester 2010 Grundlegendes zur Investitionstheorie Jedes Investitionsprojekt kann abstrakt als eine zeitliche Verteilung von Cash-Flows betrachtet werden.

Mehr

Übungsserie 6: Rentenrechnung

Übungsserie 6: Rentenrechnung HTWD, Fakultät Informatik/Mathematik Prof. Dr. M. Voigt Wirtschaftsmathematik I Finanzmathematik Mathematik für Wirtschaftsingenieure - Übungsaufgaben Übungsserie 6: Rentenrechnung 1. Gegeben ist eine

Mehr

Lebensversicherungsmathematik

Lebensversicherungsmathematik Lebensversicherungsmathematik Michael Koller Feldstrasse 14 CH-8704 Herrliberg mikoller@math.ethz.ch Michael Koller Version 0.90, 7. Februar 2013 ii Änderungsnachweis: Version Datum Verfasser Änderungen

Mehr

Finanzmathematik. Dr. Bommhardt. Das Vervielfältigen dieses Arbeitsmaterials zu nicht kommerziellen Zwecken ist gestattet. www.bommi2000.

Finanzmathematik. Dr. Bommhardt. Das Vervielfältigen dieses Arbeitsmaterials zu nicht kommerziellen Zwecken ist gestattet. www.bommi2000. Finanzmathematik Dr. Bommhardt. Das Vervielfältigen dieses Arbeitsmaterials zu nicht kommerziellen Zwecken ist gestattet. www.bommi2000.de Das Tilgungsrechnen Für Kredite gibt es drei unterschiedliche

Mehr

Universität Duisburg-Essen

Universität Duisburg-Essen T U T O R I U M S A U F G A B E N z u r I N V E S T I T I O N u n d F I N A N Z I E R U N G Einführung in die Zinsrechnung Zinsen sind die Vergütung für die zeitweise Überlassung von Kapital; sie kommen

Mehr

BONUS MALUS SYSTEME UND MARKOV KETTEN

BONUS MALUS SYSTEME UND MARKOV KETTEN Fakultät Mathematik und Naturwissenschaften, Fachrichtung Mathematik, Institut für Mathematische Stochastik BONUS MALUS SYSTEME UND MARKOV KETTEN Klaus D. Schmidt Ringvorlesung TU Dresden Fakultät MN,

Mehr

Übungsaufgaben zur Einführung in die Finanzmathematik. Dr. Sikandar Siddiqui

Übungsaufgaben zur Einführung in die Finanzmathematik. Dr. Sikandar Siddiqui Übungsaufgaben zur Einführung in die Finanzmathematik Übungsaufgaben Aufgabe 1: A hat B am 1.1.1995 einen Betrag von EUR 65,- geliehen. B verpflichtet sich, den geliehenen Betrag mit 7% einfach zu verzinsen

Mehr

Einführung in einige Teilbereiche der Wirtschaftsmathematik für Studierende des Wirtschaftsingenieurwesens

Einführung in einige Teilbereiche der Wirtschaftsmathematik für Studierende des Wirtschaftsingenieurwesens in einige Teilbereiche der für Studierende des Wirtschaftsingenieurwesens Sommersemester 2013 Hochschule Augsburg Unterjährige Raten und jährliche Verzinsung Aufteilung der Zinsperiode in mehrere gleich

Mehr

Was ist kapitalisieren und wozu wird kapitalisiert?

Was ist kapitalisieren und wozu wird kapitalisiert? Was ist kapitalisieren und wozu wird kapitalisiert? Der Mechanismus kurz erklärt Deckungskapital Kapitalverzehr Zins Rentenarten Zeitrenten: Leibrenten: Nur Zins Zins und Sterblichkeit Aktivitätsrenten:

Mehr

Wirtschaftsmathematik-Klausur vom 04.02.2015 und Finanzmathematik-Klausur vom 27.01.2015

Wirtschaftsmathematik-Klausur vom 04.02.2015 und Finanzmathematik-Klausur vom 27.01.2015 Wirtschaftsmathematik-Klausur vom 04.0.015 und Finanzmathematik-Klausur vom 7.01.015 Bearbeitungszeit: W-Mathe 60 Minuten und F-Mathe 45 Min Aufgabe 1 a) Für die Absatzmenge x in ME) und den Verkaufspreis

Mehr

Nichtlebenversicherungsmathematik Aus welchen Teilen besteht eine Prämie Zufallsrisiko, Parameterrisiko, Risikokapital Risikomasse (VaR, ES) Definition von Kohärenz Zusammengesetze Poisson: S(i) CP, was

Mehr

$ % + 0 sonst. " p für X =1 $

$ % + 0 sonst.  p für X =1 $ 31 617 Spezielle Verteilungen 6171 Bernoulli Verteilung Wir beschreiben zunächst drei diskrete Verteilungen und beginnen mit einem Zufallsexperiment, indem wir uns für das Eintreffen eines bestimmten Ereignisses

Mehr

Voraussetzungen 21.05.2012. Finanzmathematik INVESTITIONSRECHNUNG. Kapitel 4 Investitionen Prof. Dr. Harald Löwe

Voraussetzungen 21.05.2012. Finanzmathematik INVESTITIONSRECHNUNG. Kapitel 4 Investitionen Prof. Dr. Harald Löwe Finanzmathematik Kapitel 4 Investitionen Prof. Dr. Harald Löwe Sommersemester 2012 1. Abschnitt INVESTITIONSRECHNUNG Voraussetzungen Investition als Zahlungsstrom Vom Investor zur leistende Zahlungen (Anschaffungen,

Mehr

Hochschule Rhein-Main. Sommersemester 2015

Hochschule Rhein-Main. Sommersemester 2015 n Vorlesung Hochschule Rhein-Main Sommersemester 2015 Dr. Roland Stamm 18. Mai 2015 n Erinnerung Eine Option ist das Recht (aber nicht die Verpflichtung) ein Produkt S in der Zukunft zu einem heute festgelegten

Mehr

L e b e n s v e r s i c h e r u n g

L e b e n s v e r s i c h e r u n g L e b e n s v e r s i c h e r u n g Was ist eine Lebensversicherung? 1. Unter den Begriff Lebensversicherungen fallen unterschiedlichste Produkte. Manche dienen ausschließlich der Risikoabsicherung, andere

Mehr

Versicherungsmathematik (Lebens- und Pensionsversicherung) Volkert Paulsen

Versicherungsmathematik (Lebens- und Pensionsversicherung) Volkert Paulsen Versicherungsmathematik (Lebens- und Pensionsversicherung) Volkert Paulsen Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 3 2 Einfache Beispiele für Personenversicherungen 7 2.1 Rechnungsgrundlagen..............................

Mehr

Zinssätze. Georg Wehowar. 4. Dezember 2007

Zinssätze. Georg Wehowar. 4. Dezember 2007 4. Dezember 2007 Grundlagen der Zinsrechnung Verschiedene Anleihen Forward Rate Agreement Forward Zinsen Allgemeines Allgemeine Grundlagen K 0... Anfangskapital K t... Kapital nach einer Zeitspanne t Z

Mehr

Extremwertverteilungen

Extremwertverteilungen Seminar Statistik Institut für Stochastik 12. Februar 2009 Gliederung 1 Grenzwertwahrscheinlichkeiten 2 3 MDA Fréchet MDA Weibull MDA Gumbel 4 5 6 Darstellung von multivariaten, max-stabilen Verteilungsfunktionen

Mehr

Die Garantie der heute gültigen Berechnungsgrundlagen wirkt sich direkt auf die Höhe der Pension aus:

Die Garantie der heute gültigen Berechnungsgrundlagen wirkt sich direkt auf die Höhe der Pension aus: Herr Thomas Mustermann Dreifaltigkeitsplatz 5 3500 Krems Sie werden betreut von: Günther Schönberger Tel. 02732-9000-9002 guenther.schoenberger@raiffeisenbankkrems.at 31.08.2015 Vielen Dank für Ihr Interesse

Mehr

Preisangabenverordnung (PAngV) Bekanntmachung der Neufassung vom 28. Juli 2000 BGBl. I, S. 1244 ff. In Kraft getreten am 1.

Preisangabenverordnung (PAngV) Bekanntmachung der Neufassung vom 28. Juli 2000 BGBl. I, S. 1244 ff. In Kraft getreten am 1. Preisangabenverordnung (PAngV) Bekanntmachung der Neufassung vom 28. Juli 2000 BGBl. I, S. 44 ff. In Kraft getreten am 1. September 2000 6 Kredite (1) Bei Krediten sind als Preis die Gesamtkosten als jährlicher

Mehr

16 Risiko und Versicherungsmärkte

16 Risiko und Versicherungsmärkte 16 Risiko und Versicherungsmärkte Entscheidungen bei Unsicherheit sind Entscheidungen, die mehrere mögliche Auswirkungen haben. Kauf eines Lotterieloses Kauf einer Aktie Mitnahme eines Regenschirms Abschluss

Mehr

SS 2014 Torsten Schreiber

SS 2014 Torsten Schreiber SS 2014 Torsten Schreiber 193 Diese Lücken sollten nicht auch bei Ihnen vorhanden sein: Bei einer Abschreibung werden eines Gutes während der Nutzungsdauer festgehalten. Diese Beträge stellen dar und dadurch

Mehr

Die 3. Säule und Lebensversicherungspolicen

Die 3. Säule und Lebensversicherungspolicen Die 3. Säule und Lebensversicherungspolicen 1.+2. Säule decken 60% des Einkommens Einkommen und Vermögen sichern - Einkommen und Lebensstandart trotz Erwerbsunfähigkeit, Invalidität oder Unfall erhalten

Mehr

5. Finanzwirtschaft 5.1 Inhalt und Aufgaben

5. Finanzwirtschaft 5.1 Inhalt und Aufgaben 5. Finanzwirtschaft 5.1 Inhalt und Aufgaben Die Funktionalbereiche der Unternehung und die Eingliederung der Finanzwirtschaft: Finanzwirtschaft Beschaffung Produktion Absatz Märkte für Produktionsfaktoren

Mehr

Einführung in die Optionspreisbewertung

Einführung in die Optionspreisbewertung Einführung in die Optionspreisbewertung Bonn, Juni 2011 MAF BN SS 2011 Huong Nguyen Gliederung Einführung Definition der Parameter Zwei Komponente zur Ermittlung der Optionsprämie Callwert-Kurve Wirkungen

Mehr

1 Stochastische Prozesse in stetiger Zeit

1 Stochastische Prozesse in stetiger Zeit 1 Stochastische Prozesse in stetiger Zeit 1.1 Grundlagen Wir betrachten zufällige Prozesse, definiert auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P), welche Werte in einen fest gewählten Zustandsraum annehmen.

Mehr

Kommutationszahlen und Versicherungsbarwerte für Leibrenten 2001/2003

Kommutationszahlen und Versicherungsbarwerte für Leibrenten 2001/2003 Kommutationszahlen und Versicherungsbarwerte für Leibrenten 2001/2003 Tabellen zur jährlich und monatlich vorschüssigen Zahlungsweise Statistisches Bundesamt Impressum Herausgeber: Statistisches Bundesamt

Mehr

Rekursionen (Teschl/Teschl 8.1-8.2)

Rekursionen (Teschl/Teschl 8.1-8.2) Rekursionen (Teschl/Teschl 8.1-8.2) Eine Rekursion kter Ordnung für k N ist eine Folge x 1, x 2, x 3,... deniert durch eine Rekursionsvorschrift x n = f n (x n 1,..., x n k ) für n > k, d. h. jedes Folgenglied

Mehr

Finanzmarktökonometrie: Einführung in die Optionsbewertung Sommersemester 2013

Finanzmarktökonometrie: Einführung in die Optionsbewertung Sommersemester 2013 Finanzmarktökonometrie: Einführung in die Optionsbewertung Sommersemester 2013 Walter Sanddorf-Köhle Foliensatz Nr. 3 1 / 46 Ein Einperiodenmodell Beispiel 5 Betrachtet wird nun ein Wertpapiermarkt mit

Mehr

Notationen. Burkhard Weiss Futures & Optionen Folie 2

Notationen. Burkhard Weiss Futures & Optionen Folie 2 Optionspreismodelle Notationen S t : X: T: t: S T : r: C: P: c: p: s: aktueller Aktienkurs Ausübungspreis (Rest-)laufzeit der Option Bewertungszeitpunkt Aktienkurs bei Verfall risikofreier Zinssatz Preis

Mehr

ERGÄNZENDE BEDINGUNGEN FÜR ANTEILGEBUNDENE LEBENSVERSICHERUNGEN

ERGÄNZENDE BEDINGUNGEN FÜR ANTEILGEBUNDENE LEBENSVERSICHERUNGEN Ausgabe 2014 ERGÄNZENDE BEDINGUNGEN FÜR ANTEILGEBUNDENE LEBENSVERSICHERUNGEN INHALT 1 Begriffe 2 11 Anteilguthaben 2 12 Deckungskapital 2 13 Rückkaufswert 2 14 Umwandlungswerte 2 2 Berechnungsgrundlagen

Mehr

Korrigenda Handbuch der Bewertung

Korrigenda Handbuch der Bewertung Korrigenda Handbuch der Bewertung Kapitel 3 Abschnitt 3.5 Seite(n) 104-109 Titel Der Terminvertrag: Ein Beispiel für den Einsatz von Future Values Änderungen In den Beispielen 21 und 22 ist der Halbjahressatz

Mehr

Inhaltsverzeichnis Einleitung Elementare Finanzmathematik Biometrische Rechnungsgrundlagen

Inhaltsverzeichnis Einleitung Elementare Finanzmathematik Biometrische Rechnungsgrundlagen Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung... 1 1.1 Wesen der Versicherung... 2 1.2 Versicherungssparten... 3 1.3 Formen der Lebensversicherung... 4 1.4 Geschäftsverbindung... 6 1.5 Bedeutung der Lebensversicherung...

Mehr

Füllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Mean = 500,0029 Std. Dev. = 3,96016 N = 10.000. 485,00 490,00 495,00 500,00 505,00 510,00 515,00 Füllmenge

Füllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Mean = 500,0029 Std. Dev. = 3,96016 N = 10.000. 485,00 490,00 495,00 500,00 505,00 510,00 515,00 Füllmenge 2.4 Stetige Zufallsvariable Beispiel. Abfüllung von 500 Gramm Packungen einer bestimmten Ware auf einer automatischen Abfüllanlage. Die Zufallsvariable X beschreibe die Füllmenge einer zufällig ausgewählten

Mehr

Übungsrunde 7, Gruppe 2 LVA 107.369, Übungsrunde 7, Gruppe 2, 28.11. Markus Nemetz, markus.nemetz@tuwien.ac.at, TU Wien, 11/2006

Übungsrunde 7, Gruppe 2 LVA 107.369, Übungsrunde 7, Gruppe 2, 28.11. Markus Nemetz, markus.nemetz@tuwien.ac.at, TU Wien, 11/2006 1 3.34 1.1 Angabe Übungsrunde 7, Gruppe 2 LVA 107.369, Übungsrunde 7, Gruppe 2, 28.11. Markus Nemetz, markus.nemetz@tuwien.ac.at, TU Wien, 11/2006 U sei auf dem Intervall (0, 1) uniform verteilt. Zeigen

Mehr

Mein Geld ist weg, aber ich bin noch da

Mein Geld ist weg, aber ich bin noch da Schwein gehabt? Mein Geld ist weg, aber ich bin noch da Lieber gleich zur lebenslangen Altersversorgung Maßstäbe in Vorsorge seit 1871 rente.lv1871.de Langlebigkeit wird unterschätzt Die Lebenserwartung

Mehr