55 Integralsätze in der Ebene

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1 262 IX. Integralsätze 55 Integralsätze in der Ebene 55.1 Wegintegrale skalarer Funktionen. a) Für einen Weg γ C 1 st ([a,b],rn ) und eine stetige Funktion f C((γ)) wird durch γ f ds := γ f(x)ds(x) := b a f(γ(t)) γ(t) dt (1) das Wegintegral von f über γ erklärt. Dies kann ähnlich wie in 54.1 motiviert werden. b) Man hat γ f ds = γf ds; das in (1) definierte Wegintegral ist also von der Orientierung von γ unabhängig. c) Aus der Substitutionsregel ergibt sich sofort γ 1 f ds = γ 2 f ds für äquivalente C 1 st - Wege γ 1 γ 2. d) Die Länge des Weges γ ist nach Satz gegeben durch L(γ) = b a γ(t) dt = γ1ds. (2) 55.2 Kurven. a) Unter einer Kurve in R n verstehen wir bisher die Spur eines stetigen Weges. Im folgenden betrachten wir nur noch spezielle Kurven, über die wir integrieren können. b) Ein injektiver Weg γ : [a,b] R n heißt Jordanweg. Eine Kurve Γ R n heißt Jordankurve, falls ein Jordanweg γ mit Γ = (γ) existiert. γ heißt dann Jordan- Parametrisierung oder Jordan-Parameterdarstellung (JPD) von Γ. c) Es seien γ 1 : [a,b] Γ und γ 2 : [c,d] Γ JPDs der Jordankurve Γ R n. Dann ist α := γ 1 2 γ 1 : [a,b] [c,d] (3) bijektiv und wegen Theorem eine Homöomorphie. Offenbar gilt γ 1 = γ 2 α. d) Ein Weg γ C 1 st ([a,b],rn ) heißt stückweise glatt, wenn für alle (auch einseitigen) Ableitungen stets γ(t) 0 gilt. e) Sind in der Situation von c) γ 1 und γ 2 stückweise glatt, so gilt dies auch für α und α 1 ; folglich gilt γ 2 γ 1 oder γ 2 γ 1. Für eine stückweise glatte Jordankurve Γ R n gibt es also genau zwei Äquivalenzklassen stückweise glatter JPDs; jede dieser Äquivalenzklassen heißt eine Orientierung von Γ. Induziert γ eine dieser Orientierungen, so induziert γ die andere. f) Ein Weg γ : [a,b] R n heißt geschlossener Jordanweg, falls γ [a,b) injektiv ist und γ(b) = γ(a) gilt. Man kann dann γ stetig und periodisch auf R fortsetzen. Eine Kurve Γ R n heißt geschlossene Jordankurve, falls ein geschlossener Jordanweg γ mit Γ = (γ) existiert; γ heißt dann Jordan-Parametrisierung oder Jordan-Parameterdarstellung (JPD) von Γ. Für geschlossene Jordankurven gelten die Aussagen c) e) entsprechend: Wegen der Periodizität der JPDs kann man zunächst einen festen Anfangs- und Endpunkt wählen. Dann zerlegt man geschlossene Jordanwege in eine Summe von zwei nicht geschlossenen Jordanwegen und wendet e) auf diese an.

2 55 Integralsätze in der Ebene 263 g) Unter Kurve verstehen wir im folgenden stets eine stückweise glatte [geschlossene] Jordankurve; Parametrisierungen sind stets stückweise glatte Jordan-Parametrisierungen Kurvenintegrale skalarer Funktionen. a) Für eine Kurve Γ = (γ) R n und f C(Γ) wird durch Γ f ds := Γ f(x)ds(x) := γf(x)ds(x) (4) das Kurvenintegral von f über Γ definiert. b) Nach 55.2e) und 55.1b) hängt die rechte Seite von (4) nicht von der Wahl der JPD γ ab; das Kurvenintegral ist also wohldefiniert. c) Es ist L(Γ) := 1 Γ1ds = L(γ) die Länge der Kurve Γ, und L(Γ) Γf ds ist der Mittelwert der Funktion f über Γ. d) Bis auf endlich viele Punkte x = γ(t) Γ sind die Tangenteneinheitsvektoren t(x) = γ(t) definiert und hängen nur von der Orientierung von Γ ab. Wegen γ(t) = γ(t) γ(t) t(x) folgt für ein Vektorfeld v C(Γ,R n ) γ v(x),dx = b a v(γ(t)), γ(t) dt = Γ v,t ds (5) aus (54.4), (1) und (4). Man beachte, daß bei Änderung der Orientierung γ durch γ und t durch t ersetzt werden. e) Es ist κ r : [ π,π] R 2, κ r (t) = r(cost,sint) JPD der Kreislinie K r um 0. Für f C(K r ) gilt K r f ds = π πf(rcost,rsint)rdt. (6) Weiter ist t(κ r (t)) = ( sint,cost). Für das Vektorfeld v(x,y) := (2x,y) etwa gilt v,t = 2r cost sint+r cost sint = r cost sint, also K r v,t ds = r π πcost sintrdt = 0. In der Tat verschwindet die linke Seite von (5) auch deshalb, weil das Vektorfeld v das Potential g(x,y) = x y2 hat Gebiete mit stückweise glattem Rand. Eine beschränkte offene Menge G R 2 besitzt einen stückweise glatten Rand, Notation: G G st (R 2 ), wenn folgendes gilt: (a) Es ist G = m Γ l eine endliche disjunkte Vereinigung geschlossener Kurven. (b) Zu q G gibt es ein Koordinatensystem (ξ,η) des R 2, in dem q = (0,0) ist, ein offenes Rechteck R := (a,b) (c,d) R 2 mit q = (0,0) R und eine Funktion h Cst 1 ((a,b),r) mit h(a,b) (c,d) und G R = {(ξ,η) R η < h(ξ)} (7) G R = {(ξ,η) R η = h(ξ)}. (8)

3 264 IX. Integralsätze 55.5 Beispiele, Bemerkungen und Definitionen. a) Beispiele für Gebiete mit stückweise glattem Rand sind etwa Kreise, Kreisringe, Ovale, Ellipsen, Dreiecke, Rechtecke oder auch das Innere schlichter Bereiche (vgl. 48.6), die über kompakten Intervallen mittels C 1 st-funktionen definiert sind. b) Die Menge G := K 2 (0)\([ 1,1] {0}) liegt nicht in G st (R 2 ); auf der Randkomponente [ 1, 1] {0} ist Bedingung 55.4(b) nicht erfüllt. c) Man beachte, daß für G G st (R 2 ) die Komponenten von G Jordan-Parametrisierungen mit γ(t) 0 für alle (auch einseitigen) Ableitungen besitzen müssen, auch Nullwinkel zwischen einseitigen Ableitungen sind nicht zugelassen. Diese Einschränkungen sind für die Gültigkeit des Gaußschen Integralsatzes jedoch nicht wirklich notwendig, vgl. Theorem d) Außerhalb endlich vieler Punkte sind die Tangenten an G wohldefiniert. In der Situation von 55.4(b) ist für solche Punkte p G R n(p) := n a (p) := ( h (ξ),1) 1+h (ξ) 2 (9) ein Normalenvektor der Länge 1 an G im Punkte p, und zwar der äußere Normalen(einheits)vektor. Für G G st (R 2 ) ist also auf G außerhalb endlich vieler Punkte das stetige äußere Normalen(einheits)vektorfeld n = n a definiert. e) Für G G st (R 2 ) wird das Kurvenintegral einer Funktion f C( G) über G definiert durch G f ds := m Γ l f ds. (10) Die folgende wichtige Aussage kann als Erweiterung des eindimensionalen Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung interpretiert werden: 55.6 Theorem (Integralsatz von Gauß). Es seien G G st (R 2 ) und v C(G,R 2 ) ein stetiges Vektorfeld mit v G C 1 (G,R 2 ), so daß divv L 1 (G) ist. Dann gilt G divv(x,y)d2 (x,y) = G v,n a ds. (11) 55.7 Spezialfälle. a) Die Bedingungen von Theorem 55.6 sind insbesondere dann erfüllt, wenn v auf einer offenen Umgebung von G definiert und dort C 1 ist. b) Wir geben einen Beweis für diesen Spezialfall über Bereichen, die bzgl. beider Koordinaten schlicht sind, z. B. für Rechtecke oder Kreise. Es gelte also (vgl. (48.6)) G = {(x,y) R 2 a < x < b, ϕ(x) < y < ψ(x)} (12) = {(x,y) R 2 c < y < d, α(y) < x < β(y)} (13) mit C 1 -Funktionen ϕ,ψ,α,β. Mit v := (P,Q) und n a := (n 1,n 2 ) hat man G Q y (x,y)d2 (x,y) = b a ψ(x) ϕ(x) Q y (x,y)dydx = b a (Q(x,ψ(x)) Q(x,ϕ(x)))dx = G Qn 2ds

4 55 Integralsätze in der Ebene 265 aufgrund von Formel (9), und genauso folgt G P x (x,y)d2 (x,y) = d β(y) P c α(y) (x,y)dxdy x = d c (P(α(y),y) P(β(y),y))dy = G P n 1ds Umformulierung. In der Situation des Gaußschen Integralsatzes seien v = (P,Q) und w := D π / 2 v = (Q, P) das um den Winkel π 2 gedrehte Vektorfeld. Dann gelten divw = Q x P y und (14) w,n = Qn 1 Pn 2 = Pt 1 +Qt 2 = v,t mit (15) t := Dπ / 2 n := ( n 2,n 1 ) ; (16) es ist t(p) der um den Winkel + π gedrehte Normalenvektor n(p), also ein Tangenteneinheitsvektor an G. Offenbar liefert t eine Orientierung von G, für die die offe- 2 ne Menge G links umlaufen wird. Faßt man noch v(x,y,z) := (P(x,y),Q(x,y),0) als Vektorfeld über U R R 3 auf, so ist Q P = (rotv) x y 3 die z-komponente der Rotation von v. Damit erhält man die folgende Umformulierung des Gaußschen Integralsatzes: 55.9 Satz (Integralsatz von Green). Es sei G G st (R 2 ), und G sei durch t = Dπ / 2 n a orientiert. Weiter seien v C(G,R 2 ) ein stetiges Vektorfeld mit v G C 1 (G,R 2 ), so daß (rotv) 3 L 1 (G) ist. Dann gilt G (rotv) 3(x,y)d 2 (x,y) = G v,t ds. (17) Veranschaulichung der Operationen Divergenz und Rotation : a) Es sei v C 1 (D,R 2 ) das Geschwindigkeitsfeldeiner inkompressiblen Strömung konstanter Dichte ρ = 1 auf einer offenen Menge D R 2. Für ein Gebiet G G st (R 2 ) mit G D ist dann G v,n a ds der Fluß von v durch den Rand 1 G pro Zeiteinheit, m(g) G v,n a ds also die mittlere Ergiebigkeit von v in G. Ist (G k ) eine Folge von solchen Gebieten in D mit (x 0,y 0 ) G k und (G k ) 0 für ihre Durchmesser, so folgt 1 divv(x 0,y 0 ) = lim k m(g k ) G k divv(x,y)d 2 (x,y) 1 = lim k m(g k ) G v,n a (x,y)ds (18) aufgrund von Theorem 55.6 und der Stetigkeit von div v. Folglich kann divv(x 0,y 0 ) als lokale Ergiebigkeit oder Quellenstärke von v in (x 0,y 0 ) interpretiert werden. b) In der Situation von a) ist G v,t ds die Zirkulation oder Wirbelstärke von v längs G. Aus Satz 55.9 ergibt sich daher ähnlich wie in c), daß (rotv) 3 (x 0,y 0 ) als Wirbelstärke oder -dichte von v in (x 0,y 0 ) interpretiert werden kann. Vektorfelder k=1

5 266 IX. Integralsätze mit (rotv) 3 = 0 sind somit wirbelfrei. c) Für ein Vektorfeld v C((γ),R 2 ) gilt also γ v(x),dx = 0, wenn v auf dem Innengebiet von (γ) C1 und dort wirbelfrei ist, vgl. dazu auch Flächenformel. a) Für das Vektorfeld v(x,y) := ( y,x) gilt (rotv) 3 = 2; für G G st (R 2 ) liefert daher der Greensche Integralsatz sofort die Flächenformel m 2 (G) = 1 2 G ( x,t 2 y,t 1 )ds (19) m bl a l (x l (t) y l (t) y l (t) x l (t))dt, = 1 2 wobei γ l = (x l,y l ) : [a l,b l ] R 2 positiv orientierte JPDs der Randkurven Γ l von G sind. b) Die Randkurve eines vierblättrigen Kleeblatts ist in Polarkoordinaten gegeben durch r(ϕ) = sin2ϕ, π ϕ π. Für das Blatt B im 1. Quadranten hat man also γ(t) = (x(t),y(t)) = (sin2t cost,sin2t sint), 0 t π 2, als JPD von B, und es gilt x(t)ẏ(t) y(t)ẋ(t) = sin2t cost(2cos2t sint+sin2t cost) sin2t sint(2cos2t cost sin2t sint) = sin 2 2t = 1 (1 cos4t), also 2 λ(b) = 1 π / (1 cos4t)dt = π Leibnizsche Sektorformel. a) Es sei G G st (R 2 ) sternförmig bezüglich 0 G, und G = Γ seieinegeschlossene KurvemitJPDγ : I G. Fürt I seiσ(t) = σ[0,γ(t)] die Strecke oder der Fahrstrahlvon 0 G nach γ(t) G, und für t 1 < t 2 [a,b] bezeichne G 12 := G(t 1,t 2 ) das im Zeitraum [t 1,t 2 ] von dem Fahrstrahl überstrichene Gebiet, also das von der Spur des Weges σ(t 1 )+ γ [t1,t 2 ] +( σ(t 2)) berandete Gebiet in G st (R 2 ). b) Für eine Strecke σ : t (x(t),y(t)) = (ct,dt) gilt x(t)ẏ(t) y(t)ẋ(t) = cdt cdt = 0, und daher ergibt sich aus (19) die Leibnizsche Sektorformel λ(g(t 1,t 2 )) = 1 t2 2 t 1 (γ 1 (t) γ 2 (t) γ 2 (t) γ 1 (t))dt. (20) c) Für eine Ellipse γ(t) = (acost,bsint), π t π, folgt aus (20) sofort λ(g(t 1,t 2 )) = 1 t2 2 t 1 (abcos 2 t+absin 2 t)dt = ab (t 2 2 t 1 ). (21) Somit der Fahrstrahl in gleichen Zeiträumen gleiche Flächen überstreicht (2. Keplersches Gesetz der Planetenbewegung).