(no title) Ingo Blechschmidt. 12. Juli 2005

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1 (no title) Ingo Blechschmidt. Juli 5 Inhaltsverzeichnis. Hausaufgaben Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe

2 INHALTSVERZEICHNIS..9. Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe

3 INHALTSVERZEICHNIS Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgabe Hausaufgaben... Hausaufgabe Buch Seite, Aufgabe a Bestimme die Steigung und die Geradengleichung, wenn der Abschnitt t auf der y-achse und ein Punkt P gegeben sind! t = ; P ( ; 5) ; 5 = m ; = m = 6; = m = ; = f : y = ; Buch Seite, Aufgabe 4a Wie lautet die Gleichung der Geraden P Q? Welche Steigung hat sie? Berechne den Neigungswinkel auf, genau! P (; ) ; Q (4; 6) ;

4 INHALTSVERZEICHNIS 4 = m + t; = t = m; 6 = 4m + t; = t = 6 4m; m = ; = t = = ; = f : y = ; arctan 6, 4 } = m = 6 4m; = m = 4; = Buch Seite, Aufgabe 7a Zeige, dass g und g aufeinander senkrecht stehen! } g : y = + ; = m = ; g : y = 7; = m = ; = m m = = ;... Hausaufgabe Zettel, Aufgabe 5 h t () = t + t; t R; D ht = R; a) Zeige, dass alle Graphen der Schar eine gemeinsame Nullstelle haben. t + t = t ( ) = = = N (; ) b) Bestimme den Inhalt der Dreiecksfläche, die von der y-achse und zwei zueinander senkrechten Schargeraden begrenzt ist. l t () = ; t t = A (t) = h t () l t () = = t + t = t + t ; c) Für welches t schließt die Schargerade mit der y-achse einen Winkel von ein? m ht = tan π t = tan π t = tan π t =

5 INHALTSVERZEICHNIS 5... Hausaufgabe Zettel, Aufgabe 58 f t () = t + t + ; D ft = R; t R; a) Für welches t ist der Graph parallel zur Winkelhalbierenden des. Quadranten? Zeichne den Graphen! t = t = b) Für welches t ist der Graph senkrecht zu einer Geraden mit der Gleichung y = +? t = t = c) Welche Graphen der Schar schließen mit der -Achse einen Winkel von 6 ein? t = tan π t = sowie f ± () = ± + 4; d) Bei welchen t-werten sind die Nullstellen vom Ursprung entfernt? d = ± = td + t + td = t + t d = 4t + 4 t (d 4) = 4 t 4 = d 4 t = d 4 d 4 t = ± e) Welche Stellen der -Achse sind keine Nullstellen von Schargeraden? Nullstelle: t + t + = ; = (t) = t + t ; Auflösen nach t: t = 4 4 ; = D t = W = R \ [ ; ] ;

6 INHALTSVERZEICHNIS 6 f) Bestimme die Entfernung d, die die beiden Achsenabschnittpunkte der Geraden zum Parameterwert t = 5 haben. ( P ) t +; ; t Q (; f t ()) = Q ( ; t + ) ; d = P + Q y = = 4 t + + 4t t + 4 = t = + + t t + = = = = 676 = 6 = 5; g) Bestimme die Entfernung der Achsenabschnittpunkte einer Schargeraden allgemein. Siehe f) h) Für welches t beträgt die Entfernung der Achsenschnittpunkte genau 4? 4 = 4 t + + 4t t = 4 t + + 4t + 4 t = 4 t + + 4t t t = 4t t 4 = 4t 4 6t + 4 = 4u 6u + 4 D u = < = L t = {} i) Zeichne die zu t { ; ± 4 ; ± ; ±; ±; ±4} gehörenden Graphen (Anm.: Ich habe für t Werte von bis + mit einer Schrittweite von, genommen).

7 INHALTSVERZEICHNIS Hausaufgabe Zettel, Aufgabe 58g Siehe. Hausaufgabe Hausaufgabe Zettel, Aufgabe 58i Siehe. Hausaufgabe. Zettel, Aufgabe 56 Die Geraden einer Schar haben folgende Eigenschaft: Die Koordinatenachsen und eine Schargerade bestimmen jeweils ein rechtwinkliges Dreieck im ersten Quadranten mit dem Flächeninhalt A = 8. a) Bestimme die Scharfunktionen f t. f t : t + td; a : td;

8 INHALTSVERZEICHNIS 8 t + td = ; = d = ; = b : d; tdd = A; = d = A; = d = At; t t f t : t + At; b) Welche Nullstelle hat f t? Siehe a) (Variable d) c) Bestimme die Schar der Funktionen g t, deren Graphen durch (4; 4) verlaufende Geraden sind; dabei soll G gt auf G ft senkrecht stehen. g t : t + c; 4 + c = 4; = c = 4 4; t t g t : + 4 4; t t f(, ) g(, ) f(, ) g(, ) f(, ) g(, ) Hausaufgabe Buch Seite, Aufgabe 9 Gegeben ist die Geradenschar g k : k y + k = ; k R;

9 INHALTSVERZEICHNIS 9 () Zeige, dass der Punkt P (; ) allen Geraden der Schar gemeinsam ist und daher ein Geradenbüschel vorliegt! k y + k = k + k = = () Zeichne g, g,5, g, g, g und g! 6 5 y(, ) y(.5, ) y(, ) y(, ) y(, ) y(, ) 4 () Welche Gerade durch P wird von der Gleichung g k nicht erfasst? = ; Hausaufgabe Selbstgestellte Aufgabe Gib die betragsfreie Form der Funktion f () = + + an!

10 INHALTSVERZEICHNIS f () = + + = für < ; = für < ; für ; Hausaufgabe Selbstgestellte Aufgabe f () = + = + + = + für ; = + für < ; = = + für < ; = für > ;. f() Hausaufgabe Selbstgestellte Aufgabe

11 INHALTSVERZEICHNIS f () = sgn ( 4) + = 4 + für < ; für = ; = 4 für < < ; 4 für = ; für > ; f() Hausaufgabe Buch Seite, Aufgabe Bestimme die Nullstellen folgender Funktionen: ( b) f () = + = ( + ) = 5 c) ) ( + 5 = ; = 5; = + 5; } f () = ; = f () = u = u; 5u + 4; = u = ; u = 4; = = ; = ; = ; 4 = ; )

12 INHALTSVERZEICHNIS Buch Seite, Aufgabe 6 Wo liegt der Scheitel der Parabel, wo sind die Funktionswerte negativ? e) f () = ( ) ( + ) = + ; = f () = + = ; = = ; = y = f ( ) = 9 ; 4 = S ( ; 9 4) ; D N = ] ; [ ; f) f () = + + = = f () = + ; = = ; = y = ; = S (; ) ; = ; = + ; D N = R \ [ ; + ] ;... Hausaufgabe Blatt, Aufgabe Gegeben ist die Schar der Funktionen f a : f a () = a + ( a) ; R; mit dem Parameter a R und den zugehörigen Graphen G a. a) Zeichne die Graphen G, G und G.

13 INHALTSVERZEICHNIS 4 f(, ) f(/., ) f(, ) f( /., ) f(, ) b) Zeige, dass genau zwei Punkte allen Graphen der Schar angehören. f a () = f a () a + ( a ) = a + ( a ) : = = ; a + a = a + a a ( a ) (a a ) = a + a : (...) = a a a a = P (; ); P (; ); c) Wie muss a gewählt werden, damit G a durch den Punkt P (4; ) geht? Zeichne den zugehörigen Graphen. y P = f a ( P ) = 8a + 4 = a d) Bestimme allgemein für a die Nullstellen von f a. f a () = ; = a + a = ; = = a a ; N( a a ; ); e) Für welchen Wert von a berührt G a die -Achse?

14 INHALTSVERZEICHNIS 4 = a ; a f a () = a + ( a) = a + a = ; a a + a = a a + 4a = a + = +a : = a } =... Hausaufgabe Buch Seite 6, Aufgabe e Untersuche, ohne den Graphen zu zeichnen, die folgenden Funktion auf ihr Monotonieverhalten: f : ; R ; < ;, R ; = f( ) f( ) = = < ; f ist streng monoton fallend.... Hausaufgabe Selbstgestellte Aufgabe f() = 4+ + ; R ;, R; < ; = f( ) f( ) = = ; Hausaufgabe Selbstgestellte Aufgabe f() = ; + ; + y = = y + y = ; = = ± y ; y = y ; y ; = W = [ ; ] ; Infimum ist y =, Supremum ist y =. Maimum ist (; ), Minimum ist ( ; ).

15 INHALTSVERZEICHNIS Hausaufgabe Selbstgestellte Aufgabe Untersuche f auf Symmetrie, Monotonie für und Beschränktheit (Wertemenge)! f() = 4+ + ; Symmetrie f( ) = 4+ + Monotonie, ; < ; = f( ) f( ) = 4+ ( )(4 ) HN < ; smf für ; = f(); Symmetrie zur y-achse Beschränktheit y = 4+ + (...) y + y = 4 + y (y ) = 4 y : (...) = 4 y y = y ; 4 y (...) y 4 y + : y { y und y = y und y ; = W = ]; ] ; = = HN oder

16 INHALTSVERZEICHNIS 6.9 f() Hausaufgabe Zettel, Aufgabe Errate eine Nullstelle und berechne die übrigen: a) f() = + 9 9; = ; = ; = ; b) f() = ; = ; Zettel, Aufgabe c Faktorisiere: f() = 5 + 6; = ; = ; = ; 4 = ; 5 = ; f() = ( ) ( ) ( + ) ( + ) ; Zettel, Aufgabe a Die Graphen der Funktionen f und f schneiden sich an der Stelle =. Bestimme die übrigen Schnittpunkte! In welchem Bereich gilt f () f ()? f () = + 4; f () = a;

17 INHALTSVERZEICHNIS 7 f ( ) = f ( ); = a = 9; = f () = 9; f () = f (); = = 7; f () f (); = R \ ]; 7[ ; Zettel, Aufgabe 4a Wo gilt f() > g()? f() = ; g() = 4 ; f() > g(); = > 4 ; = > ; ; = < ; Hausaufgabe Selbstgestellte Aufgabe f() = ; D f = R \ { ; } ; W f = R \ ] ; ] ; f( ) = = f(); Symmetrie zur y-achse; Bei = und = liegen Unendlichkeitsstellen mit VZW vor. 6 f() 4 4 6

18 INHALTSVERZEICHNIS Hausaufgabe Buch Seite 5, Aufgabe d Bestimme Nullstellen, Unendlichkeitsstellen und erkennbare Symmetrieeigenschaften der Graphen folgender Funktion: f : f() = 6 + = ( )(+) (+)( ) = Nullstellen N(; ); Lochstellen L( ; 5 6 ); Unendlichkeitsstellen Bei = und = mit VZW; Asymptoten = ; = ; y = ; Symmetrie f( + h) f( ; D ( ) f = R \ { ; ; } ; h) = = h 4 h ; Keine Symmetrie zu = ; 5 f y

19 INHALTSVERZEICHNIS 9 Buch Seite 5, Aufgabe k Skizziere im wesentlichen ahand der Nullstellen und Unendlichkeitsstellen den groben Verlauf des Graphen folgender Funktion: f : f() = ( )( )( ) = ( )( )( ) ( )( )( ) = ; D f = R \ {; ; } ; Keine Nullstellen, Lochstellen P (; ), P (; ), P (; ), keine Unendlichkeitsstellen;..9. Hausaufgabe Buch Seite 46, Aufgabe Gib das ν-te Glied der Folge a ν an für: a) a ν = + ν ; ν = 7; = a 7 = + 7 ; b) a ν = ν 5; ν = ; = a = ; Buch Seite 46, Aufgabe Aus den ersten vier Gliedern dieser Folgen lässt sich jeweils ein Bildungsgesetz erraten. Wie lautet der Term für das allgemeine Glied a ν? Beachte, dass es u.u. mehre Möglichkeiten geben kann (Anmerkung von mir: lol wtf es gibt sogar unendlich viele Möglichkeiten, aber mom, ich schreibe kurz alle auf, bin gleich wieder da SCNR). a),,, 4,..., ν b),, 4, 4 5,..., ν ν+ (oder z.b. auch: a ν = ν ν + ν ;) c), 4, 9 4, 6 5,..., ν ν+ (oder z.b. auch: a ν = ν + ν ν ;) d),, 4, 5,..., ν ν+ e),,,,..., ( ) ν+

20 INHALTSVERZEICHNIS... Hausaufgabe Buch Seite 48, Aufgabe Berechne das n-te Glied der nachstehenden geometrischen Folgen: a) a ν = {,, 6,...} ; = a ν = ν ; = a = 768; b) a ν = {,, 7,...} ; = a 5 5 ν = ( ) 6 ν 5 ; = a5 = 59; 65 Buch Seite 48, Aufgabe Von einer geometrischen Zahlenfolge a ν = {a, a, a,...} ist bekannt: a = 4 sowie a 5 = 8. Berechne a und a 6! a ν = a q ν ; = a = = a = 4 = 8 ; q q 4 = q = ; = a = 4 = ; q = a ν = (± ) ν ; = a 6 = 8 ; a 6 = 8 ; aν ; q ν... Hausaufgabe Buch Seite 48, Aufgabe 6 Berechne a) den Luftdruck in 8km und km Meereshöhe. p(8km),4bar; p(km),bar; b) die ungefähre Höhe, in der der mittlere Luftdruck p s = 75mbar beträgt. h 4,km;

21 INHALTSVERZEICHNIS.. 4. Hausaufgabe Buch Seite 5, Aufgabe Eine geometrische Reihe besteht aus zehn Gliedern. Der Anfangswert ist a =, der Quotient ist q =. Wie lautet das. Glied und wie groß ist die Summe aller Glieder? a ν = a q ν = ν ; a = 966; s = a qn q = 5948; Buch Seite 5, Aufgabe Berechne folgende Summen: b) = ( 4) 4 = 975; c) = 4 ( ) [ ( = 8 ) ] = 89; Hausaufgabe Buch Seite 5, Aufgabe d Berechne folgende Summe: = ( 5) 9 5 = ; Hausaufgabe Selbstgestellte Aufgabe 4 Weise nach: lim = ; +, ε R + ; 4 s < ε; ( s + s + ) 4 s < sε + ε; ( sε + ε) s ( ε) + 4 s ε < ; Lösungsformel... s < + 4 ε ; ε

22 INHALTSVERZEICHNIS Hausaufgabe Buch Seite 56, Aufgabe Kennzeichne das Verhalten der Funktion f : f() für immer größer werdende -Werte! Skizziere den Graphen! a) f() = 4 ; D + f = R + ; 4 + s < ε; 4 < ε s; b) f() = ; D f = R + ; < ε; s > ; ε f f 5 y Hausaufgabe Buch Seite 59, Aufgabe 5a Bestimme ein s so, dass für alle mit > s gilt: 5 < 5 6 ;... s = ε+ ε = 5;

23 INHALTSVERZEICHNIS Buch Seite 59, Aufgabe 6a Löse die Ungleichung in Aufgabe 5 für > allgemein durch Einsetzen der positiven (als klein zu denkenden) Zahl ε an Stelle von. Bestimme dann: 5 6 lim = 5; Buch Seite 6, Aufgabe b Von welcher Stelle ab gilt gegebenfalls f() > = a? f() > a; + > a; + > a ; > 6 ; Hausaufgabe Bestimme mit Hilfe der Grenzwertsätze die folgenden Grenzwerte! Es liegt jeweils der Definitionsbereich des Terms zugrunde. d) lim ( + ) = ; e) lim (5 ) = 5; f) lim π = ; g) lim = ; h) lim = ; log i) lim = ; k) lim + = ; l) lim ( + ) = ; m) lim = ; n) lim 5 +5 = 5 ; o) lim +5 = 5 ; p) lim = ; q) lim ( 6 7 ) = 4; + +4 r) lim ( + ) = ; + s) lim ( 5 a 5 sin( 5 +a 5 π) ) = ;..8. Hausaufgabe Buch Seite 7, Aufgabe 6

24 INHALTSVERZEICHNIS 4 Bestimme für die Folgen a ν den Grenzwert lim ν a ν nach geeigneter Umformung des Terms: a) lim ν a ν = lim (+ν) ν ν +ν = lim = + = ; ν ν b) lim ν a ν = lim sin π ν ν sin π ν = 6; c) lim a ν = lim ν+ v ν ν ν++ ν = lim + ν = ν + + ν + = ; Buch Seite 7, Aufgabe 9 Bestimme für die Folge a ν den Grenzwert a und ermittle eine natürliche Zahl n so, dass a ν a <, wird für alle ν > n: a) a ν = + ν+ ; lim ν a ν = + = ; n = ; b) a ν = + ( )ν ν ; lim a ν = + = ; ν n = ;..9. Hausaufgabe Selbstgestellte Aufgabe lim f() = lim ±h+h = lim h h + ±h lim f( ± h) = ± ± = ± = lim f(); h + ± h = lim ±h = lim ± h ± ; h + ±h h +... Hausaufgabe Selbstgestellte Aufgabe { für ; f() = für > ; lim = lim f( + h) = lim + h + + h h h h = lim h + h = + = ; h lim = lim f( h) = lim h = = ; h h

25 INHALTSVERZEICHNIS 5... Hausaufgabe Selbstgestellte Aufgabe { + für ; f() = für > ; lim f() = lim = ( ) = ; + + lim f() = lim + = + ( ) = ;.. 4. Hausaufgabe Buch Seite 9, Aufgabe Gegeben ist die Funktion f : ; D f = R; Berechne den Differenzquotienten bzgl. der Stelle = und den zugehörigen Differentialquotienten! m s = + ; m t = ; Buch Seite 9, Aufgabe Gegeben ist die Funktion f : Berechne f ()! f () = lim = lim... = ( ) = = lim = = = ; ; D f = [ ; [ ;.. 5. Hausaufgabe Buch Seite 8, Aufgabe 7 Berechne f () :

26 INHALTSVERZEICHNIS 6 a) f() = 4 ; f () = + 4 ; f () = + 4 = ; b) f() = ( ) = + ; f () = ; f () = = ; c) f() = + + = + + ; f () = + ; f () = + = ; Hausaufgabe Selbstgestellte Aufgaben. f() = 5; f () = 5 = 5 ;. f() = ( + ) = + ; f () = 6 + ;. f() = = = ; f () = = = 4. f() = m n = m+n ; f () = (m + n) m+n ; ; Hausaufgabe Buch Seite 6, Aufgabe 6 Wie lautet die Gleichung der Halbtangente an den Graphen der Funktion f : ; [ ; [ im Punkt P ( ; )? Welche Flächenmaßzahl hat das Dreieck, das die Halbtangente mit den Koordinatenachsen bildet? t : y y P = y + P + = f ( ) = ; y = + = + ; t() = ; t( ) = ; A = = ;

27 INHALTSVERZEICHNIS 7 Buch Seite 6, Aufgabe 8 Für den Graphen der Funktion f : ; R + ist zu bestimmen: a) Der Neigungswinkel der Tangente im Punkt P ( 4 ;?); t : y y P P = y = y 4 4 = f ( ) = 4 4 ; 4 = 4 + = 4 ; arctan = arctan = π 6 ; b) Die Abszisse jenes Kurvenpunktes Q, für den die Tangente unter α = 6 = π gegen die -Achse geneigt ist. f () = = tan π = ; = ; = ; Hausaufgabe Buch Seite, Aufgabe 7a Wo und unter welchem Winkel schneiden sich die Kurven mit den Gleichungen y = und y = + 7? Wie lauten die Tangentengleichungen in den Schnittpunkten? y = y ; = + 7; 4 = ; = ; S (, 7), S (, ) f (±) = ; f (±) = ± + ; f () = 6; f ( ) = ; ϕ = arctan 6 arctan 7 ; ϕ = arctan arctan ; t, : y = ; y, = ; t, : y = ; y, = ; t, : y = ; y, = ; t, : y = 6; y, = 6 ;

28 INHALTSVERZEICHNIS Hausaufgabe Selbstgestellte Aufgabe Bestimme zur Kurve f : f() = a + b + c die Koeffizenten a, b, c so, dass f durch den Punkt A(, ) geht und die Gerade g() = + 4 in B(, 6) berührt. = 4a + b + c; c = 4a b; 6 = a + b + c = a + b + 4a b; 5 = a b; b = a 5; f () = a + b = ; b = a; a 5 = a; 7 = a; b = ( 7) 5 = 6; c = 4 ( 7) 6 = ; f() = ; Hausaufgabe Selbstgestellte Aufgabe f() = a + b + c + d berührt die Gerade g() = + in A(, ) und hat in B(, 5) eine waagrechte Tangente. f( ) = = a + b c + d; d = + a b + c; f() = 5 = a + b + c + d = a + b + c + + a b + c; 4 = a + c; c = a; f ( ) = = a + b + c = a + b + a; = a + b; b = a; f ( ) = = a b + c = a + + a + a = 4a + 4; 8 = 4a; a = ; b = = ; c = = ; d = + + = 6; f() = + 6;

29 INHALTSVERZEICHNIS 9 y f g t Hausaufgabe Buch Seite 6, Aufgabe Berechne den Neigungswinkel der Tangente der Sinuslinie mit der Gleichung y = sin auf, genau: a) P (,?); c) P (,?); α = arctan cos 4,7 ; α = arctan cos 4,5 ; Buch Seite 6, Aufgabe Für den Graphen der Funktion f : sin ; [, π] sollen die Abszissen jener Kurvenpunkte auf eine Dezimale genau berechnet werden, für die a) die Steigung ist. f () = = cos ; = 6 = π ; = 5 π;

30 INHALTSVERZEICHNIS c) die Tangente parallel ist zur Geraden g : y 6 =. g : y = ; f () = = cos ;,8 5, 4; Hausaufgabe Buch Seite, Aufgabe 7b Welchen Punkt haben die Graphen von f : cos + sin und g : sin cos in [, π] gemeinsam? Man berechne den Schnittwinkel in diesem Punkt! cos +sin = sin cos ; cos = ; cos = ; = π ; P ( π, ); f ( π) = sin π + cos π = + = ; g ( π) = cos π + sin π = + = ; ϕ = arctan arctan( ) 8 ; ϕ = 8 ϕ 7 ; 4 f g t_f t_g y Hausaufgabe Buch Seite, Aufgabe 5

31 INHALTSVERZEICHNIS Gegeben ist die Schar von Funktionen f a : y = a +, wobei der Scharparameter a eine beliebige reele Zahl vertritt. a) Für welche Belegung von a geht die Tangente in P (,?) G fa durch den Ursprung des Koordinatensystems? t a () f() = t a() a + = t a() a + = f a() = a ; t a : t a () = a a + + a = (a ) + a; a = ; a = ; b) Wie lautet die Gleichung der Normalen durch P für beliebige Werte von a? n a () f() = n a() a + = f a() = a ; n a () = a + a = a a 4a + ; a ; a c) Für welche a-werte bilden Tangente und Normale durch P mit der y-achse ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenusenlänge? (Vier Lösungen) 5 t a () = a; n a () = a 4a + ; a n a () t a () = 5; L a =... = { 5, } ; 4 t a () n a () = 5; L a =... = {, 4} ; L a = L a L a = {, 4, 5 4, } ;

32 INHALTSVERZEICHNIS 4 f_(5/4) t_(5/4) n_(5/4) f_ t_ n_ y Hausaufgabe Selbstgestellte Aufgabe f() = ; D f = R; f () = = ( + ) ( ) ; f () > ; ( + ) ( ) > ; f () = ; ( + ) ( ) = ; P (, ); P (, ); f () > ; f steigt. f () < ; f fällt. f () = ; f hat eine waagrechte Tangente. { f () > ; f ist sms; für R \ ], [ ; f () < ; f ist smf; für ], [ ;

33 INHALTSVERZEICHNIS 4 f f y Hausaufgabe Buch Seite 7, Aufgabe 5 Zeige, dass die Funktion f : f() = 4 4 an der einen Nullstelle der Ableitung einen Etremwert hat, an der anderen aber nicht. f () = 4 = ; = ; 4 = ; = ; f () = 4; f () = ; P TEP (, ); f () ; P TIP (, 7);

34 INHALTSVERZEICHNIS 4 5 f f 4 5 y Hausaufgabe Selbstgestellte Aufgabe f() = 4 4 = ( 4) = ( + ) ( ) ; Nullstellen N (, ); N (, ); N (, ); Symmetrie f( ) = 4 4 = f(); Symmetrie zur y-achse Etrema f () = 4 8 = 4 ( ) = 4 ( + ) ( ) = ; f () = 8; = ; f ( ) = f ( ) > ; P TIP (, 4); = ; f ( ) = f () < ; P HOP (, ); = ; f ( ) = f ( ) > ; P TIP (, 4);

35 INHALTSVERZEICHNIS 5 Monotoniebereiche f () = 4 ( + ) ( ) > ; Graph f ist in sms in ], [ ], [ ; f ist in smf in ], [ ], [ ; 8 f f 6 4 y Hausaufgabe Selbstgestellte Aufgabe f() = = 4 5 ( + 5 ) ( 5 Nullstellen N ( 5, ); N (, ); N ( 5, ); Symmetrie f( ) = = f(); Symmetrie zum Ursprung; Etrema und Terassenpunkte f () = = ; = ; = ; = ; f () = 6 + 8; ) ;

36 INHALTSVERZEICHNIS 6 f ( ) = f ( ) = 7 > ; P TIP(, 8 ); f ( ) = f () = ; Vorzeichenanalyse notwendig: f () wechselt das Vorzeichen in der Umgebung von nicht; P TEP (, ); f ( ) = f ( ) = 7 < ; P HOP(, 8 ); 8 6 f f y Selbstgestellte Aufgabe f() = ; D f = R + ; Nullstellen N (, ); N (, ); Symmetrie f ist in R nicht definiert; Keine Symmetrie zur y-achse oder zum Ursprung; Etremum f ( ) = 4 = ; = 4 ; f () wechselt in der Umgebung von das Vorzeichen von nach +; P TIP ( 4, 8 );

37 INHALTSVERZEICHNIS 7 Monotonie f ist in [, 4[ smf, in [ 4, [ sms..4 f f. y Hausaufgabe Selbstgestellte Aufgabe f() = 8; D f = [, 5] ; f ( s ) = 4 s 8 = ; s = ; f( s ) = f() = 8; f( ) = 8 8 ( ) = 4; f(5) = 5 4 = ; W f = [ 8, 4] ;

38 INHALTSVERZEICHNIS 8 5 f 5 y Hausaufgabe Buch Seite 7, Aufgabe Für die Funktion f : f() = + trifft bezüglich des Intervalls I = [, ] die Aussage des Etremwertsatzes zu. Warum? Gib das Maimum und das Minimum an! f ist in I stetig Anwendung des Etremwertsatzes möglich s = ; f( ) = ; f() = 6; P HOP (, 6); P TIP (, ); Buch Seite 8, Aufgabe 5 Hat f in I = [, ] eine Nullstelle? Begründe, warum man den Nullstellensatz anwenden darf bzw. warum nicht! a) f : f() = ; D f = R; f ist in I stetig Anwendung des Nullstellensatzes möglich f( ) = 4; f() = 7;

39 INHALTSVERZEICHNIS 9 Ja, f hat in I eine Nullstelle. b) f : f() = ; D f = R; f ist in I stetig Anwendung des Nullstellensatzes möglich f( ) = ; f() = ; Ja, f hat in I eine Nullstelle Hausaufgabe Selbstgestellte Aufgabe a) 4, 4 +, 4 =,5; b),9 4, 4 = 59,; c) 5,9 6 +, 6 = 6 6,694; Hausaufgabe Buch Seite 59, Aufgabe Welches Krümmungsverhalten zeigt die Funktion f in einer Umgebung der Stelle? a) f : f() = 4 ; = ; f () = 4 6; f () = 6; f ( ) = f ( ) = 6 = 6; f ist an der Stelle linksgekrümmt. b) f : f() = 4; = ; f () = 4; f () = 6; f ( ) = f () = ; f ist an der Stelle linksgekrümmt.

40 INHALTSVERZEICHNIS 4 Buch Seite 59, Aufgabe Bestimme für die folgende Funktion f : f(); R die - Werte der Etrema und die Wendepunkte (soweit vorhanden) des Graphen. f() = 6 + 5; f ( TIP ) = TIP 6 = ; TIP = ; f () = ; f hat in D f keine Wendepunkte Hausaufgabe Buch Seite 6, Aufgabe a Bestimme Etremwerte und Wendepunkte von G f! Wie lauten die Gleichungen der Kurventangenten, die mit der positiven -Achse einen Winkel von 45 bilden? f : f() = + 6 4; f () = = 4 ( 8) ; f () = 4 = ( 8) ; = 8: f ( ) = Kein VZW; P TEP (8, ); f () = ; P (6, ); P (, 4 ); y 6 = ; y = 6; y 4 = ; y = 6 ;

41 INHALTSVERZEICHNIS 4 f f f y_ y_ y Hausaufgabe Selbstgestellte Aufgabe f() = ; P (, ); f ( ) = = 6; y = 6; y = 6 5; = ; = 5; = = ; Hausaufgabe Buch Seite 6, Aufgabe 4 Gegeben ist f : f() = 7 +. Wo ist f nicht differenzierbar? Zeichne G f und G f in [ 6, 6]! Welche sprunghafte Richtungsänderung erfährt die Tangente beim Überschreiten jener Stellen, an denen die Funktion keine Ableitung hat? Wo ist f() < 7? 4 + = ; = 5; = ; { f ( + ) für < 5 > ; 7 () = ( + ) für ] 5, [ ; 7

42 INHALTSVERZEICHNIS 4 lim 5± f () = ; f ist an 5 nicht diffbar; lim ± f () = ±; f ist an nicht diffbar; Die Richtungsänderung beträgt jeweils 9. ] [ 7 ( + ) < 7; L = 7 +, 7 4 \ { } ; f f 7./4. y Hausaufgabe Selbstgestellte Aufgabe f() = 4 ; D f = R; Nullstellen f() = ; N (, ); N (, ); N (, ); Symmetrie f( ) = ( ) 4 = 4 = f(); Punktsymmetrie zum Ursprung;

43 INHALTSVERZEICHNIS 4 Etrema { f() = ( 4) = 4 für ], ] [, [ ; ( 4) = ( 4) für ], [ ; { f 4 für ], [ ], [ ; () = ( ) 4 für ], [ ; ± ( ) 4 = ; = 4; 4 = = = ; = ; Vorzeichenanalyse von f : = ; Vorzeichenwechsel von f von nach +; P TIP, (, 6 7 ); = ; Vorzeichenwechsel von f von + nach ; P HOP, (, 6 7 ); = ; Vorzeichenwechsel von f von + nach ; P HOP, (, ); 4 = ; Vorzeichenwechsel von f von nach +; P TIP, (, ); Wendepunkte { f für ], [ ], [ ; () = für ], [ ; ± 5 = ; 5 = ; P WEP, (, ); Sowie: P WEP, (, ); P WEP, (, );

44 INHALTSVERZEICHNIS 44 f f Hausaufgabe Selbstgestellte Aufgabe f() = ( ) ; f () = ( ) ( ) = = 4 + 8; f () = ( ) = 4 + 8; Hausaufgabe Bilde für den angegebenen Term f() der Funktion f : f(); D f den Ableitungsterm f ()! Bei welchen Aufgaben stimmt D f nicht mit D f überein? Buch Seite 44, Aufgabe f f() = (sin + cos ) ; D f = R; f () = (sin + cos ) (cos sin ) ; D f = D f ; Buch Seite 44, Aufgabe

45 INHALTSVERZEICHNIS 45 c) f() = d) f() = e) f() = ( + + ) ; D f = R; f () = ( + + ) ( + ) ( + + ) 4 ; D f = D f ; ( sin ) ; D f = R; f ( sin ) cos () = ( sin ) 4 ; D f = D f ; ( + ) 4 ; D f = R + ; f () = 4 ( + ) ; D f = D f; Buch Seite 45, Aufgabe 5e f() = + + ; D f = R; f () = ; D f = D f; Buch Seite 45, Aufgabe 6b f() = + ; D f = R; f () = ; D f = D f; Hausaufgabe Buch Seite 45, Aufgabe 4 Gegegen ist die Funktion ϕ : ϕ() = y = 4 ; D ma ; a) Gib D ma an! 4 ; 4 ; ; D ma = [, ] ;

46 INHALTSVERZEICHNIS 46 b) Differenziere ϕ und bestimme den Differenzierbarkeitsbereich D ϕ! ϕ () = 4 = ; 4 D ϕ = D ma \ {, } = ], [ ; c) Stelle die Gleichung der Normalen in einem beliebigen Punkt P (, y ) des Funktionsgraphen G ϕ auf und zeige, dass sie durch den Ursprung geht! n() ϕ( ) = 4 ϕ ( ) = ; n() = 4 ; n() = 4 = ; Die Normale in einem beliebigen Punkt P (, y ) des Funktionsgraphen G ϕ geht durch den Ursprung; d) Zeichne G ϕ und erkläre das Ergebnis von Teilaufgabe c) geometrisch! Hinweis: Berechne + y! + n() = + ( 4 ) = + 4 = ; Bei ϕ() handelt es sich um einen Halbkreis mit dem Radius ; phi phi n y

47 INHALTSVERZEICHNIS Hausaufgabe Buch Seite 64, Aufgabe c mit W f und Graph Bestimme die Wertemengen der folgenden Funktion mit Hilfe der Etremwerte und des Verhaltens an Unendlichkeitsstellen sowie für ±! f : f() = 4 + ; D f = R; f() für ; f () = (4 + ) 4 ( 4 + ) = ( 4 + ) = 5 + ( 4 + ) Vorzeichenwechselanalyse gibt: f ist sms in ], ] und [, ]; f ist smf in ], [ und ], [; P HOP (, ); P HOP (, ); P TIP (, ); W f = [, ] ; = 4 ( 4 + ) ; f f y

48 INHALTSVERZEICHNIS Hausaufgabe Aufgabe der Test-SA Bestimme die ganzrationale Funktion f dritten Grades, deren Graph im Ursprung einen Wendepunkt hat. Außerdem hat der Graph im Punkt P (, ) eine Tangente, die parallel zur Geraden y = 8 + verläuft. (Kontrolle?) f() = a + b + c + d; f () = a + b + c; f () = 6a + b; I. f() = ; d = ; II. f () = ; b = ; b = ; III. f() = ; 8a + c = 8a 6 4a = ; a = ; IV. f () = 8; a + c = 8; c = 8 a; c = 8 + = 4; f() = + 4; 5 4 f f f y 4 Aufgabe 4 der Test-SA Betrachtet wird die Funktionenschar f t () = t + 5 mit t. a) Für welche Werte des Parameters t besitzen die Funktionen f t keine, genaue eine, zwei waagrechte Tangenten?

49 INHALTSVERZEICHNIS 49 f t() = t = ;, = 6 ± 6 + t ; t 6 + t = ; t = 9; 5 Für t < 9 : Keine waagrechten Tangenten 5 Für t = 9 : Genau eine waagrechte Tangente 5 Für t > 9 : Genau zwei waagrechte Tangenten 5 b) Zeige, dass die Kurven G ft genau einen Wendepunkt W besitzen und bestimme dessen Koordinaten in Abhängigkeit von t. f t ( W (t)) = t W (t) + 6 = ; W (t) = t ; y W (t) = f ( ) t = t t = t + 5 ; t t c) Bestimme die Gleichung der Ortslinie, auf der alle Wendepunkte der Schar liegen. Welcher Punkt dieser Kurve ist kein Wendepunkt der Schar? (Begründung!) W (t) = t ; t = W (t) ; ; y W ( W (t)) = y W () = 5; ; (, ) ist kein Wendepunkt der Schar f t. y f_{ 9/5} f_{ 5} f_{ } y_w

50 INHALTSVERZEICHNIS Hausaufgabe Aufgabe der Test-SA Gegeben: f : f() = ; D f = R \ {} ; a) Bestimme die Monotoniebereiche von f und schließe damit auf die Art und Lage der Etrema von f. f () =... = ( ) ; f ist sms in ], [ und ], [ ; f ist smf in ], [ und ], [ ; P HOP (, ); P TIP (, ); Uendlichkeitsstelle mit VZW bei = ; b) Gegeben ist ferner die Funktion g : g() = +. Berechne lim [f() g()] und deute dieses Ergebnis geometrisch! [ + ] [ ] ( + ) ( ) = lim = lim ( ) f() g() für ; lim g() ist eine Asymptote von f(); [ + ( ) ] ; 4 f g y 4 4 4

51 INHALTSVERZEICHNIS Hausaufgabe Selbstgestellte Aufgabe Einem Kreis mit Radius r soll das Rechteck mit maimalen Flächeninhalt einbeschrieben werden. a + b = r ; a = } r b ; A(b) = 4b r A(b) = a b; b ; A (b ) = 4 r b +4b ( b ) = 4 ( r b 4b r b) ; r b A (b ) = ; r b = b ; b = r = r ; a = r b = r r = r ; Hausaufgabe Buch Seite 77, Aufgabe Gesucht ist eine reelle Zahl, für die die Summe aus Quadrat und Kehrwert so klein wie möglich wird. f() = + ; f () = ; = ; Aber: f hat bei = eine Unendlichkeitsstelle mit VZW!

52 INHALTSVERZEICHNIS 5 4 f y Hausaufgabe Buch Seite 78, Aufgabe 6 Einem geraden Kreiskegel wird ein gerader Kreiszylinder einbeschrieben. Man zeige, dass das Zylindervolumen nicht größer sein kann als 4 des Kegelvolumens. 9 g() = H R ; h = g(r r) = H ( r R) ; v(r) = πr H ( r R) = πr H πr H R ; v (r) = πrh πr H R = ; r = R; v ma = v( R) = 4 9 πr H ( ) = 4 7 πr H; V = πr H; vma V = 4 9 ;