Fachwerke

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1 1. Fachwerke Ein Fachwerk besteht aus einzelnen Stäben, die in den Knoten gelenkig miteinander verbunden sind. Am Beispiel des Fachwerks lassen sich die einzelnen Berechnungsschritte einer Finite-Elemente-Rechnung gut veranschaulichen

2 1. Fachwerke 1.1 Elementsteifigkeit 1.2 Assemblierung 1.3 Gleichungssystem 1.4 Elementergebnisse 1.5 Schlussfolgerungen 3.1-2

3 1.1 Elementsteifigkeit Das Stabelement: F L F 2 x E u 1 u 2 Der Anfangsknoten hat die Nummer 1 und der Endknoten die Nummer 2, unabhängig davon, welche Nummern die entsprechenden Knoten im Fachwerk haben. Die x E -Achse des Elementkoordinatensystems zeigt von Knoten 1 zu Knoten

4 1.1 Elementsteifigkeit Kräfte und Verschiebungen sind positiv, wenn sie in Richtung der x E -Achse zeigen. Der Stab hat die Länge L, die Querschnittsfläche A und den Elastizitätsmodul E. Steifigkeitsmatrix im Elementkoordinatensystem: Für die Längenänderung des Stabs gilt: L=u 2 u 1 Daraus folgt für die Normalkraft: N =E A Δ L L = E A L ( u 2 u 1 ) 3.1-4

5 1.1 Elementsteifigkeit Für die Kräfte gilt: N 1 2 N F F 2 x E x E F 1 = N, F 2 =N Damit lautet der Zusammenhang zwischen den Verschiebungen und den Kräften an den Knoten: F 1 = E A L u 2 u 1, F 2 = E A L u 2 u

6 1.1 Elementsteifigkeit Diese linearen Beziehungen zwischen Verschiebungen und Kräften lassen sich übersichtlich mit Hilfe von Matrizen schreiben: [ F 1 F 2] = E A L [ 1 Der hochgestellte Index E zeigt an, dass sich die Größen auf ein Stabelement beziehen. Der tiefgestellte Index E zeigt an, dass sich die Größen auf das Elementkoordinatensystem beziehen ] [ u 1 u 2] [ F E ] E = [ k E ] E [u E ] E 3.1-6

7 1.1 Elementsteifigkeit [ F E ] E ist die Matrix der Elementkräfte. [ k E ] E ist die Steifigkeitsmatrix des Stabelements. [u E ] E ist die Matrix der Elementverschiebungen. Die Steifigkeitsmatrix ist symmetrisch: Die Kraft am Knoten 1 infolge einer Verschiebung u am Knoten 2 ist gleich der Kraft am Knoten 2 infolge einer Verschiebung u am Knoten 1. Die Symmetrie der Steifigkeitsmatrix ist eine Folge des Reziprozitätsgesetzes

8 1.1 Elementsteifigkeit Im Elementkoordinatensystem hat das Stabelement 2 Freiheitsgrade, nämlich die Verschiebungen u 1 und u 2, zu denen die Kräfte F 1 und F 2 gehören. Transformation in das Strukturkoordinatensystem: y v u x 3.1-8

9 1.1 Elementsteifigkeit Das Strukturkoordinatensystem ist ein allen Knoten gemeinsames Koordinatensystem. Im Strukturkoordinatensystem hat jeder Knoten 2 Freiheitsgrade, nämlich die Verschiebung u in x-richtung und die Verschiebung v in y-richtung. Für den Einheitsvektor e E des Elementkoordinatensystems gilt: [ e E ]=[ cos sin ] = 1 L [ x 2 x 1 y 2 y 1] y e E 2 mit L= x 2 x 1 2 y 2 y ϕ x 3.1-9

10 1.1 Elementsteifigkeit Die Verschiebungen in Richtung der x E -Achse sind die Projektionen der Verschiebungen auf die Elementachse: u 1 E =e E u 1 = 1 L [ x 2 x 1 y 2 y 1 ] [ u 1 v 1] = x 2 x 1 L u 1 y 2 y 1 L v 1 u 2 E =e E u 2 = 1 L [ x 2 x 1 y 2 y 1 ] [ u 2 v 2] = x 2 x 1 L u 2 y 2 y 1 L v

11 1.1 Elementsteifigkeit In Matrix-Schreibweise lauten die Beziehungen: [ u 1 E E] u 2 = 1 [ x 2 x 1 y 2 y ] L 0 0 x 2 x 1 y 2 y [u1 v 1 2] u 2 v [u E ] E = [T E ] E [ u E ]

12 1.1 Elementsteifigkeit Mit Hilfe der Steifigkeitsmatrix können die Kräfte im Elementkoordinatensystem berechnet werden: [ F 1E E] F 2 =[ F E ] E =[ k E ] E [u E ] E Die Kräfte wirken in Richtung der x E -Achse. Daher gilt für die Kräfte im Strukturkoordinatensystem: [ F 1 ]=F 1 E [e E ]= F 1E L [ x 2 x 1 y 2 y 1] = [ F 1 x F 1 y] [ F 2 ]=F 2 E [e E ]= F 2 E L [ x 2 x 1 y 2 y 1] = [ F 2 x F 2 y]

13 1.1 Elementsteifigkeit Die Beziehungen lassen sich zusammenfassen zu [ F 1 x F 1 y y] [ x2 x1 0 1 y = 2 y 1 0 1] [ F 1 E E] F 2 x L 0 x 2 x 1 F 2 F 2 0 y 2 y [ F E ] = [T E T ] E [ F E ] E Im Strukturkoordinatensystem gilt also: [ F E ]=[T E T ] E [ k E ] E [T E ] E [ u E ]

14 1.1 Elementsteifigkeit Im Strukturkoordinatensystem hat das Stabelement die Steifigkeitsmatrix [ k E ]=[T E ] E T [ k E ] E [T E ] E Zwischen den Verschiebungen und den Kräften am Element besteht die Beziehung [ F E ]=[ k E ] [u E ]

15 1.1 Elementsteifigkeit Räumliche Fachwerke: Ein Knotenpunkt im Raum hat die 3 Freiheitsgrade u, v und w. Die Transformationsmatrix vom Strukturkoordinatensystem in das Elementkoordinatensystem lautet [T E ] E = 1 L [ x 2 x 1 y 2 y 1 z 2 z x 2 x 1 y 2 y 1 z 2 z 1] mit L= x 2 x 1 2 y 2 y 1 2 z 2 z 1 2 Die Steifigkeitsmatrix im Elementkoordinatensystem wird genauso berechnet wie beim ebenen Fachwerk

16 1.2 Assemblierung Freiheitsgrade der Gesamtstruktur: Bei einem ebenen Fachwerk hat jeder Knoten zwei Freiheitsgrade, nämlich die Verschiebungen u und v, zu denen die Kräfte F x und F y gehören. y 5 F 6y F 6x v u x

17 1.2 Assemblierung Die Verschiebungen werden in der Verschiebungsmatrix und die Kräfte in der Lastmatrix ]=[ zusammengefasst: F 1 x F 1 y F 2 x y], [ F F 2 y F 7 x F 7 v 1 u 2 [ u]=[u1 7] v 2 u 7 v

18 1.2 Assemblierung Assemblierung: Für jeden Knoten muss das Kräftegleichgewicht erfüllt sein. Am Knoten greifen die Stabkräfte sowie die äußeren Kräfte an. Die Stabkräfte können über die Elementsteifigkeitsmatrizen aus den Verschiebungen berechnet werden. Dazu müssen zunächst die Verschiebungen an den beiden Knoten des Stabelements aus der Verschiebungsmatrix extrahiert werden

19 1.2 Assemblierung Beispiel: Element 2 y v 2 v u 2 u 3 x v 2 v u 3 u

20 1.2 Assemblierung [u ]=[u 2 v u v 3]=[0 0] [ a 2 ] [ u1 v 1 u 2 v 2 u 3 v 7] 3 u 4 v 4 u 5 v 5 u 6 v 6 u 7 v

21 1.2 Assemblierung In Matrix-Schreibweise gilt: [u E ]=[ a E ] [ u ] Nun können die am Stabelement angreifenden Kräfte berechnet werden: [ F E ]=[ k E ] [u E ] Das sind die Kräfte, die die beiden Knoten auf das Stabelement ausüben. Diese Kräfte werden nun zu den Kräften, die die beiden Knoten auf die anderen angeschlossenen Stäbe ausüben, addiert

22 1.2 Assemblierung Beispiel: Element 2 y F 2y F 3y F 2x F 3x x F 2 1y + F 2 2y 1 2 F 2 1x F 2 2x

23 [ F 2 x 2 F 2 y 2 F 3 x ] 2 F 3 y 0 = [ ] [ F 2 1x 2 F 1 y ] 2 F 2 x 2 F 2 y 1.2 Assemblierung In Matrix-Schreibweise gilt für die Kräfte, die die Knoten auf die Stäbe ausüben: [ F S ]= E = E Die Matrix [ a E ] T [ F E ] ist die Steifigkeitsmatrix der Gesamtstruktur. [ a E ] T [ k E ] [ a E ] [ K ]= E [ u ]=[ K ] [ u ] [ a E ] T [ k E ] [ a E ]

24 1.2 Assemblierung Die Steifigkeitsmatrix der Gesamtstruktur beschreibt eine lineare Beziehung zwischen den Verschiebungen der Knoten und den Kräften, die die Knoten auf die Stäbe ausüben. Die Kräfte, die die Stäbe auf die Knoten ausüben, sind entgegengesetzt gleich groß wie die Kräfte, die die Knoten auf die Stäbe ausüben. Sie müssen im Gleichgewicht mit den äußeren Kräften sein: [ F S ] [ F ]=[0 ] [ F S ]=[ F ] [ K ] [ u]=[ F ]

25 1.3 Gleichungssystem Lagerung: Damit das Fachwerk Kräfte aufnehmen kann, muss es gelagert werden, Die Lagerung muss so beschaffen sein, dass keine Starrkörperbewegungen oder Mechanismen mehr möglich sind. Die Verschiebungen an den Lagern sind null. Damit sind die Verschiebungen an den Lagern bekannt, während die Lagerkräfte unbekannt sind. An den übrigen Freiheitsgraden sind die Verschiebungen unbekannt, während die Kräfte bekannt sind

26 1.3 Gleichungssystem Partitionierung der Matrizen: Die Verschiebungsmatrix [u] wird unterteilt in die Matrix [u s ] mit den Verschiebungen an den Lager-Freiheitsgraden und die Matrix [u f ] mit den übrigen, freien Verschiebungen: [ u ] [ [ u f ] [ u s ] ] Auf die gleiche Weise wird die Lastmatrix unterteilt: [ F ] [ [ F f ] [ F s ] ]

27 1.3 Gleichungssystem Beispiel: y x F1 x F 1 y y] 2 x v [ u 4 F f ]=[u2 [ F f ]=[F y] 4 y F 5 x u 6 F 6 x F 5 v 7], F 7 [ u s ]=[u 1 v 1 u 5 v 5], [ F s ]=[

28 1.3 Gleichungssystem Die Steifigkeitsmatrix wird in vier Teilmatrizen unterteilt: [ K ]=[ [ K ff ] [ K fs ] [ K fs ] T [ K ss ]] Matrix [K ff ] enthält die Elemente der Steifigkeitsmatrix, deren Zeilen und Spalten den freien Freiheitsgraden entsprechen. Matrix [K fs ] enthält die Elemente der Steifigkeitsmatrix, deren Zeilen den freien Freiheitsgraden und deren Spalten den Lager-Freiheitsgraden entsprechen

29 1.3 Gleichungssystem Matrix [K s s ] enthält die Elemente der Steifigkeitsmatrix, deren Zeilen und Spalten den Lager-Freiheitsgraden entsprechen. Damit lautet die Gleichgewichtsbedingung: Bekannt sind die Verschiebungen [u s ]=[0 ] und die äußeren Kräfte [F f ]. Gesucht sind die Verschiebungen [u f ] und die Lagerkräfte [F s ]. [ [ K ff ] [ K fs] ]][ [ K fs ] T [ K ss [ u f ] [ u s ] ] = [ [ F f ] [ F s ] ]

30 1.3 Gleichungssystem Das Gleichungssystem: Aus der Gleichgewichtsbedingung folgen die beiden Gleichungssysteme Durch Lösen des Gleichungssystems können die Verschiebungen [u f ] ermittelt werden. Anschließend lassen sich die Lagerkräfte [F s ] aus berechnen. [ K ff ] [u f ]=[ F f ] und [ K fs ] T [u f ]=[ F s ] [ F s ]=[ K fs ] T [u f ] [ K ff ] [u f ]=[ F f ]

31 1.4 Elementergebnisse Nach dem Lösen des Gleichungssystems sind alle Verschiebungen bekannt. Daraus lassen sich auf Elementebene weitere Ergebnisse berechnen. Elementverschiebungen: Die Verschiebungen der Knoten eines Stabelements im Elementkoordinatensystem berechnen sich zu [ u E] E 1 u 2 = [u E ] E =[T E ] E [ a E ] [u]

32 1.4 Elementergebnisse Dehnungen: Für die Dehnung eines Stabelements gilt: Spannungen: E = u E E 2 u 1 L = 1 L [ 1 1 ] [ E u 1 = [ B E ] [u E ] E Die Spannungen berechnen sich mit dem Materialgesetz aus den Dehnungen: E =E E u 2 E]

33 1.5 Schlussfolgerungen Für Fachwerke ist die Methode der finiten Elemente exakt. Dabei ist zu beachten, dass die Betrachtung eines Tragwerks als Fachwerk bereits eine starke Idealisierung darstellt. Die Methode ist einfach zu programmieren. Entsprechend lassen sich auch Balkenelemente formulieren, die im Rahmen der Balkentheorie exakt sind