Allgemeine Kräftesysteme

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1 3 Allgemeine Kräftesysteme Allgemeine Kräftesysteme

2 Allgemeine Kräftesysteme Was ist neu? Zwei Kräfte, die nicht an einem zentralen Punkt angreifen Ist das System im Gleichgewicht? A ja B ja, horizontal C ja, vertikal D nein vote at Allgemeine Kräftesysteme 1

3 wikipedia.org wikipedia.org Charakterisierung von Kräftepaaren Moment Wirkung von Kräftepaar: Drehung des Körpers Charakterisierung der Drehung : (a) Drehsinn und (b) Moment Betrag des Momentes = senkrechter Abstand (h) X Betrag der Kraft (F) Einheit des Momentes: Newton-Meter [Nm] Actio = reactio zu jedem Kräftepaar existiert gleichgroßes Kräftepaar mit entgegengesetzten Drehsinn Anwendungsbeispiele Allgemeine Kräftesysteme 2

4 Gross et al. 1 Charakterisierung von Kräftepaaren Moment Kräftepaar kann beliebig verschoben und rotiert werden (s. vorherige Folie) Resultierendes Kräftepaar 1. durch Verschiebung und Addition der Kräfte 2. durch Berechnung der Einzelmomente und Addition Allgemeine Kräftesysteme 3

5 Gleichgewichtsbedingung für Kräftepaare Resultierendes Moment Gleichgewichtsbedingung Anwendungsbeispiel: System Freikörperbild Aufteilung der Kräfte Allgemeine Kräftesysteme 4

6 Moment einer Einzelkraft Erinnerung Ein Drehmoment (kurz Moment) um einen Punkt A resultiert aus dem Kreuzprodukt von Richtungsvektor zwischen A und dem Kraftangriffspunkt sowie der Kraft selbst. Das Drehmoment entspricht der zeitlichen Ableitung des Drehimpulses mit Einheit [Nm]. Beispiel: Es gehen nur aufeinander senkrechte Komponenten von Abstand und Kraft ein. Das resultierende Moment dreht positiv entgegen dem Uhrzeigersinn um z. A Allgemeine Kräftesysteme 5

7 Gross et al. 1 Moment einer Einzelkraft Reduktion auf Kraft und Moment in/um einen Punkt Wiederholung: Für Starrkörper ändert Translation der Kraft entlang ihrer Wirkungslinie ihre Wirkung nicht Translation der Kraft orthogonal zur Wirkungslinie durch Addition einer Gleichgewichtsgruppe und Moment 1. Addition einer Gleichgewichtsgruppe im betrachteten Punkt 0 (Translation) 2. Kräftepaar durch Moment bzgl. Punktes 0 ersetzen Anmerkung: abhängig vom betrachteten Punkt (anders als Kräftepaar)! Allgemeine Kräftesysteme 6

8 Gross et al. 1 Resultierende ebener Kräftesysteme Reduktion des Kräftesystems bzgl. beliebigen Punktes A 1. Translation der Kräfte in Bezugspunkt (durch Addition von Kräftepaaren Momente) 2. Resultierende Kraft und resultierendes Moment berechnen Anmerkung: abhängig betrachteten Punkt A Allgemeine Kräftesysteme 7

9 Gross et al. 1 Gleichgewichtsbedingungen für ebene Kräftesysteme Gleichgewichtsbedingung: Resultierende Kraft und resultierendes Moment sind Null Anmerkung: Im Allgemeinen ist das Moment abhängig vom Bezugspunkt! Anmerkung: Gleichgewichtsbedingungen invariant bzgl. Bezugspunkt! Allgemeine Kräftesysteme 8

10 Gross et al. 1 Seite 65 Beispiel Freikörperbild Wo (Koordinate x) muss das Gewicht angreifen, damit Gleichgewicht vorliegt? 3 Gleichungen 3 Unbekannte Allgemeine Kräftesysteme 9

11 Beispiel Allgemeine Kräftesysteme 10

12 Beispiel Allgemeine Kräftesysteme 11

13 Gross et al. 1 Seite 65 Beispiel - Fortsetzung Anmerkung: Effizientes Vorgehen: Starte mit Gleichgewichtsbedingung, welche möglichst wenige (eine) Unbekannte enthält; z.b. Momentengleichgewicht für Schnittpunkt von Wirkungslinien Anmerkung: Grafoanalytische Verfahren oftmals effizient Anwendung auf Beispiel: Richtung der Wirkungslinien bekannt nicht parallel Momentengleichgewicht, falls gemeinsamer Schnittpunkt der Wirkungslinien Allgemeine Kräftesysteme 12

14 Gleichgewichtsbedingungen für räumliche Kräftesysteme Resultierende und resultierendes Moment Gleichgewichtsbedingungen oder in Koordinatenschreibweise Anmerkung: 6 unabhängige Gleichgewichtsbedingungen dual zu 6 unabhängigen kinematischen Freiheitsgraden (3 Translationen, 3 Rotationen) Anmerkung: Manchmal sind andere (äquivalente) Gleichgewichtsbedingungen zweckmäßiger (s. ebene Probleme) Allgemeine Kräftesysteme 13

15 Zusammenfassung Kräftepaar: zwei gleich große entgegengesetzte Kräfte auf parallelen Wirkungslinien Kräftepaare nicht weiter reduzierbar Charakterisierung durch Moment (Drehsinn und Betrag=Abstand X Hebelarm) Mathematische Beschreibung des Momentes durch Vektor Moment ist abhängig vom betrachteten Punkt Kräftegruppe reduzierbar auf resultierende Kraft und resultierendes Moment Gleichgewichtsbedingungen (sind invariant bzgl. betrachteten Punktes) Allgemeine Kräftesysteme 14

16 Nachtrag zur Konvention von Richtungen und Einheiten Die mechanischen Grundgesetze gelten unabhängig vom Beobachter, etwa von unserer Wahl des Koordinatensystems (Richtung, Ursprung), der Einheiten, der Orientierung der Auflagerkräfte (durch negatives Vorzeichen kompensiert), usw. Aber: Richtungen, Bezugspunkte, Einheiten usw. sind trotzdem manchmal relevant, etwa für den Austausch in Teamarbeit, Übungs-/Klausuraufgaben, mathematische Formulierung von Gesetzen (z.b. Unterscheidung zwischen Zug und Druck), usw. Allgemeine Kräftesysteme 15