Kurvenanpassung durch Regression (3) Ac nichtlineare Regression/Linearisierung -
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- Franka Schmid
- vor 5 Jahren
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1 Kurveapassug durch Regressio (3) Ac ichtlieare Regressio/Liearisierug - Für Probleme, die eie icht lieare ( ud icht polyomiale) Apassugsfuktio ahelege, ist eie direkte Berechug ach der Methode der kleiste Quadrate sehr aufwädig. Zum Beispiel erhielte ma für eie expoetielle Regressio mit f(x) = a e kx folgedes: k x 2 = ( i å i - ) Þ k xi k xi dsq k xi k x y i å i a e e yi a e a xi e dk å SQ y a e dsq = 2 ( - ) (- ) = 0 Ù = 2 ( - ) (- ) = 0 da Also ei icht lieares LGS, was ur mit sehr viel Aufwad zu löse ist! Diese Probleme ka ma i viele Fälle umgehe, idem ma die icht lieare Regressio durch geeigete Umformug auf die lieare Regressio zurückführt ( Liearisierug ). Beispiele für liearisierbare Apassuge sid: () Expoetielle Regressio mit f(x) = a e kx (2) Logarithmische Regressio mit f(x) = a + c l(x) (3) Potez Regressio mit f(x) = a x c (4) Logistische Regressio mit f(x) = c / ( + a e dx ) ; d < 0 (5) Gebroche ratioale Regressio mit f(x) = / (ax + c) bzw. f(x) = x / (ax + c) Amerkug: Bekate Systeme wie GeoGebra oder TI84 oder CASIO Classpad verwede ebefalls die Liearisierug für () bis (3). (4) wird mit eier adere Methode gelöst, (5) gar icht! Die Vorgehesweise besteht i alle Fälle aus 3 Schritte: - Liearisierug, d.h. f(x) i eie lieare Fuktio umwadel, z.b. durch Logarithmiere Achtug: Auch die y-date (evtl. x-date) müsse etspreched umgewadelt werde! - Lieare Regressio auf die agepasste Date awede; Ergebis: Lieare Fuktio - Liearisierug wieder rückgägig mache Dies soll a alle obe ageführte Beispiele demostriert werde. Die verwedete Formel für die Lieare Regressio lautet bekatlich: å ( x - x)( y - y) i i y = m x + b mit m = Ù b = y - m x 2 å( xi - x)
2 ) Expoetiell: f(x) = a e kx Durch Logarithmiere der y i folgt: l[f(x)] = l(a e kx ) = l(a) + k x. Alle y i > 0 vorausgesetzt! Datebeispiel ( y i sid Näherugswerte vo f(x) = 3e 0,2x ) : x y 3,7 4,5 5,4 6,7 l(y),3..,5..,6..,9.. Die Regressio liefert y = 0,96x +,09, also m = 0,96 ud b =,09. I der Regressiosformel muss also k für m ud l(a) für b eigesetzt werde. Somit gilt : a = e b = e,09 = 3,03... Ergebis für die Apassugsfuktio: f(x) = 3,03 e 0,2x 2) Logarithmisch: f(x) = a + c l(x) Hier ist es güstig, die x i zu Logarithmiere ud da die li. Regressio durchzuführe. Alle x i > 0 vorausgesetzt! Das Ergebis y = cx + d ist da zu iterpretiere als f(x) = d + c l(x) : x y 3, 4,3 5, l(x) 0 0,69..,09..,38.. Die Regressio liefert y = 2,967 x +,076 Ergebis für die Apassugsfuktio: f(x) =,02 + 2,97 l(x) 3) Potez: f(x) = a x c Hier ist es güstig, sowohl die x i als auch die y i zu Logarithmiere ud da die li. Regressio durchzuführe. Alle y i, y i > 0 vorausgesetzt! l[f(x)] = l(a x c ) = l(a) + l(x c ) = l(a) + c l(x). Das Ergebis y = g x + h ist da zu iterpretiere als f(x) = e h x g : Datebeispiel ( y i sid Näherugswerte vo f(x) =,5 x 0,5 ) : x y,5 2, 2,6 3 l(x) 0 0,69..,09..,38.. l(y) 0,40.. 0,74.. 0,95..,09.. Die Regressio liefert y = 0,505 x + 0,4022 Ergebis für die Apassugsfuktio: f(x) =,5 x 0,5
3 4) Logistisch : f(x) = g / ( + a e d x ) ; d < 0 Ma bildet l( g / f(x) ) = l(a e dx ) = l(a) + l(e dx ) = l(a) + d x g = Sättigugsgreze (Grezwert der logist.fkt.) muss bekat sei! Amerkug: Bei ubekatem g ka ma eie Probiermethode awede. Ma führt das Verfahre für eie Reihe vo g-werte durch ud wählt dasjeige Ergebis, für das die Summe der quadratische Abweichuge miimal ist. sum((y i - f(x i ))² miimal! Alle y i 0 sowie g / y i > vorausgesetzt! Im folgede Beispiel sei die Sättigugsgreze g = 80. I der Tabelle wird daher auch l(80 / y i ) eigetrage! x y l(80/y - ) 3,24.. 2,9..,6.. 0, ,5.. -, ,5.. Die li. Regressio liefert: y = -0, x + 4,0848 Es gilt da: a = e 4,08857 = 59,6 d = -0, Lösug: f(x) = 80 / ( + 59,43 e -0, x ) Hiweise: Obige Probiermethode (ohe Ketis der Sättigugsgreze ) liefert: c = 80,887 a = 57,784 d = -0,9046 Geogebra / TI84 / CASIO Classpad liefer die beste Approximatio (ohe Ketis der Sättigugsgreze). Allerdigs wird hierbei icht die Liearisierugsmethode verwedet. c = 8,83 a = 45,47 d = -0,850736
4 5.) Gebroche ratioal() : f(x) = / (a x + c) Liearisierug durch Kehrwertbildug der yi! Alle y i 0 vorausgesetzt! / f(x) = ax + c ; ma erhält also sofort eie lieare Fuktio. Datebeispiel ( y i sid Näherugswerte vo f(x) = / (0,5x + 2) ) : x y 0,4 0,33 0,29 0,25 /y 2,5 3,0.. 3,4.. 4 Die Regressio liefert y = 0,498 x + 2,055 Ergebis für die Apassugsfuktio: f(x) = / (0,5 x + 2) 5.2) Gebroche ratioal(2) : f(x) = x / (a x + c) Liearisierug durch Bildug vo xi / yi! Alle x i, y i 0 vorausgesetzt! x / f(x) = a x + c, eie lieare Fuktio Datebeispiel ( y i sid Näherugswerte vo f(x) = x / (0,5x + 2) ) : x y 0,4 0,67 0,86 x/y 2,5 2,9.. 3, Die Regressio liefert y = 0,5003 x +,9925 Ergebis für die Apassugsfuktio: f(x) = = x / (0,5 x + 2)
5 Weitere Beispiele für das Modell gebroche ratioal () : Bsp : Die Lösbarkeit vo Sauerstoff i Wasser hägt uter aderem vo der Wassertemperatur ab. Liter Wasser absorbiert die i der Tabelle agegebee Sauerstoffmege. Gesucht ist eie gebroche ratioale Modellierugsfuktio f. Temperatur i C Sauerstoff i cm³ 0,0489 0,038 0,03 0,026 0,0225 0,02 / y Lösug: f(x) = / (0,56082 * x + 20,87968) Bsp 2: Zu de folgede Date ist eie gebroche ratioale Apassug gesucht: x y 5 2,4,8,2, 0,9 0,7 0,4 0,4 0,4 f(x) = / (ax + c) ud Kehrwertbildug der yi : x y 5 2,4,8,2, 0,9 0,7 0,4 0,4 0,4 /y 0,2 0,47 0,556 0,833 0,909,, ,5 2,5 Die Lieare Regressio zwische x ud /y liefert y 0,2697x + 0,032, was durch ereute Kehrwertbildug zu f(x) = / (0,2697x + 0,032) führt. Dieses Ergebis ist (isbesodere für die Afagswerte) eher schlecht!
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