Empirische Wirtschaftsforschung
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- Andreas Baumhauer
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1 Empirische Wirtschaftsforschung Prof. Dr. Bernd Süßmuth Universität Leipzig Institut für Empirische Wirtschaftsforschung Volkswirtschaftslehre, insbesondere Ökonometrie 1
2 4. Basiskonzepte der induktiven Statistik 4.1. Die wichtigsten statistischen Maßzahlen a) Erwartungswert E ( ) p( ) bei diskreten Variablen E ( ) f ( ) d bei stetigen Variablen E() = mit den zugehörigen Häufigkeiten gewichteter Durchschnitt der -Ausprägungen.
3 4.1. Die wichtigsten statistischen Maßzahlen Wesentliche rechnerische Eigenschaft des Erwartungswerts E( konst. ) konst. E( a b) a E( ) b mit a = konst. und b = k onst. wobei konst. einen beliebigen konstanten Wert bezeichnet. 3
4 4.1. Die wichtigsten statistischen Maßzahlen b) Varianz und Standardabweichung Var( ) E E( ) E( ) E( ) E( ) E( ) Wesentliche rechnerische Eigenschaft der Varianz Var 0; Var( konst. ) 0 a b a Var mit a = konst. und b = konst. 4
5 4.1. Die wichtigsten statistischen Maßzahlen c) Gemeinsame Verteilungen E( y) E( ) E( y) Var( y) Var( ) Var( y) Cov(, y), wobei Cov(, y) für die Kovarianz zweier Zufallsvariablen steht. Sie ist definiert als y Cov(, y) E E( ) y E( y). 5
6 4.1. Die wichtigsten statistischen Maßzahlen Wesentliche Eigenschaften der Kovarianz Wenn kleine Werte von einhergehen mit tendenziell niedrigen y-werten: Cov(, y) Korrespondieren große y-werte tendenziell mit niedrigen - Werten: Cov(, y) 0. 0; für voneinander unabhängige Ausprägungen: Cov(, y) 0. 6
7 4.1. Die wichtigsten statistischen Maßzahlen c) Gemeinsame Verteilungen Bsp. unterschiedlich starke Korrelationen: a) = 0; b) = 0,3; c) = 0,6; d) = 0, Korrelationskoeffizient (allg.): (, y) Cov(, y) y ; 6 4 a) 4 b) 1 ρ 1. y c) d) 7
8 4.1. Die wichtigsten statistischen Maßzahlen d) Schiefe Abweichung von Symmetrie-Eigenschaft einer Verteilung Deskriptives Maß der 3. Ordnung 3 3 E( ) f f 1 f() f() f 3 f() links-schief 3 < 0 symmetrisch: 3 = 0 rechts-schief 3 > 0 8
9 4.. Die Normalverteilung (NV) Verteilung einer stetigen Variable mit PDF f ( ) 1 e 1 + 9
10 4.. Die Normalverteilung (NV) Die sechs wesentlichen Eigenschaften der NV 1. NV ist stetig und symmetrisch um. Me = Mo = ar. Mittel. NV erstreckt sich von bis + 3. NV erreicht Maimum (Nullsteigung) am Punkt = 4. NV hat größte Steigung in Inflektionspunkten = misst Abstand vom Zentrum der NV zu 1 Inflektionspunkt 5. NV ist vollkommen spezifiziert durch und 6. NV-Gesamtfläche = 1 Fläche zw. und + = 1/3 10
11 4.3. Transformation auf die Standard-NV (SNV) Für die Standardnormalverteilung (SNV) gilt = 0, = 1 und f ( ) 1 e f(z) % 95% 99% z Dichte (PDF) einer Standardnormalverteilung 11
12 4.3. Transformation auf die Standard-NV (SNV) Fläche unter der halben Standard-NV: N(0,1) z 0,00 0,01 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,010 0,0160 0,0199 0,039 0,079 0,0319 0,0359 0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 0, 0,0793 0,083 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,106 0,1064 0,1130 0,1141 0,3 0,1179 0,117 0,155 0,193 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517 0,4 0,1554 0,1591 0,168 0,1664 0,1700 0,1736 0,177 0,1808 0,1844 0,1879 0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,019 0,054 0,088 0,13 0,157 0,190 0,4 0,6 0,57 0,91 0,34 0,357 0,389 0,4 0,454 0,486 0,517 0,549 0,7 0,580 0,611 0,64 0,673 0,704 0,734 0,764 0,794 0,83 0,85 0,8 0,881 0,910 0,939 0,967 0,995 0,303 0,3051 0,3079 0,3106 0,3133 0,9 0,3159 0,3196 0,31 0,338 0,364 0,389 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389 1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,361 1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,379 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830 1, 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,395 0,3944 0,396 0,6980 0,3997 0,4015 1,3 0,403 0,4049 0,4066 0,408 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,416 0,4177 1,4 0,419 0,407 0,4 0,436 0,451 0,465 0,479 0,49 0,4306 0,4319 1,5 0,433 0,4345 0,4357 0,4370 0,438 0,4394 0,4406 0,4418 0,449 0,4441 1,6 0,445 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,455 0,4535 0,4545 1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,458 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,465 0,4633 1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 1,9 0,4713 0,4719 0,476 0,473 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767,0 0,4773 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,481 0,4817 1
13 Empirische Wirtschaftsforschung Prof. Dr. Bernd Süßmuth 4.3. Transformation auf die Standard-NV (SNV) Transformation einer normalverteilten Variable auf N(0,1) a b b a b ae b a E 0 ) ( ) (! a a Var a b a Var 1 1 ) ( ) (!. 1 b z b a 1
14 Empirische Wirtschaftsforschung Prof. Dr. Bernd Süßmuth 4.3. Transformation auf die Standard-NV (SNV) Aufzeigen, dass Transformationsvorschrift korrekt ist: 0, ) ( E E da ; ) ( E. ) ( E 1; 1 ) ( 1 Var Var q.e.d.
15 4.3. Transformation auf die Standard-NV (SNV) Beispiel ~ N( 5, ) z ~ N(0,1) Flächengleichheit
16 4.3. Transformation auf die Standard-NV (SNV) Beispiel P Pz z z 1 1 z1 und 1 z,. wobei ~ N( 5, ) P( Hier: ; wie hoch ist? z 1 15, ; z 1 P ( 3) P( 3/ z 1) P(1 z 3) 3/ ) 16
17 4.3. Transformation auf die Standard-NV (SNV) Beispiel P ( 3) P( 3/ z 1) P(1 z 3/ ) 0,433 0,3413 0,0919. (Werte aus SNV-Tabelle) 17
18 4.3. Transformation auf die Standard-NV (SNV) Weitere Beispiele P = + 0 0,5 0 0,5 0 0,5 z 0,5 0,1915 0,5 0,6915 = 0 0,5 0 0,5 0 0,5 P 0, 5 z 0,5 0,1915 0,
19 4.3. Transformation auf die Standard-NV (SNV) Drei-Sigma-Regel Wie wahrscheinlich ist, dass eine aus ~ N(, ) gezogene Zufallsgröße innerhalb von oder 3 -Einheiten um liegt? Antwort für Einheiten: 0,4773 = 0,9546 (Werte aus SNV-Tabelle) Antwort für 3 Einheiten: 0,4987 = 0,9974 (Werte aus SNV-Tabelle unseres Ausschnitts) 99,7%: alles, was darüber hinausgeht Ausreißer 19
20 4.3. Transformation auf die Standard-NV (SNV) Drei-Sigma-Regel 99% 99% 1 z 0 z 1 0
21 4.3. Transformation auf die Standard-NV (SNV) a) Wahre und empirische Varianz Tatsächliche Varianz: Empirische Varianz: 1 i n 1 ˆ n 1 i ˆ mit n = # Ausprägungen und n 1 = # Freiheitsgrade (FG), da wir mit 1 aus dem Sample und nicht der Grundgesamtheit bestimmten rechnen, verlieren wir 1 FG. 1
22 4.3. Transformation auf die Standard-NV (SNV) a) Wahre und empirische Varianz Zentraler Grenzwertsatz: Weist eine Zufallsgröße einen (wahren) Mittelwert von und eine Varianz von auf, so nähert sich mit zunehmender Stichprobengröße n die Stichprobenverteilung des Erwartungswerts von einer NV mit Erwartungswert und Varianz /n an. Dies unterstellt allerdings, dass die wahre Varianz bekannt ist. Ist die tatsächliche Varianz nicht bekannt, wird ihre Schätzung, die Stichprobenvarianz, herangezogen.
23 4.3. Transformation auf die Standard-NV (SNV) b) Jarque-Bera-Test Annahme einer NV; JB-Test baut auf Merkmale der NV: Schiefe S (Abweichung von der Symmetrie; für NV = 0) Kurtosis K (Wölbung; für NV = 3). n 6 ( K 3) Teststatistik JB S 5, 99 4? (Daumenregelwert) 3
24 Empirische Wirtschaftsforschung Prof. Dr. Bernd Süßmuth 4.3. Transformation auf die Standard-NV (SNV) b) Jarque-Bera-Test mit ) ( ) ( n i i n n i i n S ) ( ) ( n i i n n i i n K (3. Moment); (4. Moment)
25 4.4. Das Testen von Hypothesen a) Testbeschreibung allgemein Für den Schätzer eines Mittel- oder Erwartungswerts einer Verteilung wird eine Statistik mit bekannter Verteilung etwa eine NV unterstellt. Durch die Kenntnis der Verteilung kann die Wahrscheinlichkeit bestimmt werden, dass der Schätzer ˆ unter der Annahme einer bestimmten Hypothese eintritt. a1) Zweiseitiger Test Nullhypothese: Gegenhypothese: H 0 : 0 H 1 : 0 5
26 4.4. Das Testen von Hypothesen Idee des zweiseitigen Tests -seitiger Test mit Sicherheits-/Konfindenzniveau von 0,99 und Signifikanzniveau (SN) von 0,01 (0, ,005 = 0,01); 1% der Fläche liegt in den Rändern. H 0 : z = 0 keine Vorinfo, ob z > oder < 0 0,005 0,99 0,005 SN = Gegenwahrsch. von Konfidenzniveau hier: 1% SN z L 0 z H z Ablehnungsbereich Annahmebereich Ablehnungsbereich 6
27 4.4. Das Testen von Hypothesen Idee des zweiseitigen Tests Drei gängige Signifikanzlevel: 0,005 = 0,01 z =,575 (Ablehnung: 0,005 an beiden Enden) 0,05 = 0,05 z = 1,96 (Ablehnung: 0,05 an beiden Enden) 0,05 = 0,1 z = 1,65 (Ablehnung: 0,05 an beiden Enden) in 1%, 5% oder 10% aller Fälle würden wir H 0 verwerfen, obschon H 0 tatsächlich wahr ist (Fehler 1. Art). 7
28 4.4. Das Testen von Hypothesen Idee des zweiseitigen Tests hier: 5% SN ( ) 1 a a/ a/ 0,95 0,05 0,05-1,96 0 1,96 Vorgehen in Schritten: 1. Schritt: Testgröße z ˆ n 0 ˆ 0 n 8
29 4.4. Das Testen von Hypothesen Idee des zweiseitigen Tests. Schritt: SN festlegen, z.b. P( z z ) P( z z ) L H 0,005 dies ist der Fall für z =, Schritt: Testvorschrift z L ˆ 0 n z :,575 H 0 : = 0 ablehnen! analog für z H z :,
30 4.4. Das Testen von Hypothesen a) Einseitiger Test In manchen Fällen wissen wir a priori, dass 0 nicht kleiner (oder größer) als ein bestimmter Wert für sein kann. Wir betrachten dann nur einen Rand der Verteilung: 0,95 0,05 0 z H z Annahmebereich Ablehnungsbereich 30
31 4.4. Das Testen von Hypothesen a3) Zusammenfassung wichtiger kritischer Werte Sicherheitsniveau Signifikanz-iveau Fläche (beide Ränder) Fläche (ein Rand) Wert in NV-Tabelle z-wert -seitig 99% 1 0,99 = 0,01 0,01 0,01/=0,005 0,5 0,005 = 0,495 ±,575 95% 1 0,95 = 0,05 0,05 0,05/=0,05 0,5 0,05 = 0,475 ±1,960 90% 1 0,90 = 0,10 0,10 0,10/=0,050 0,5 0,050 = 0,450 ±1,645 1-seitig 99% 1 0,99 = 0,01 0,01 0,5 0,01 = 0,490,330 95% 1 0,95 = 0,05 0,05 0,5 0,05 = 0,450 1,645 90% 1 0,90 = 0,10 0,10 0,5 0,10 = 0,400 1,85 31
32 4.4. Das Testen von Hypothesen a4) Definitionen Fehler 1. Art: H 0 ablehnen, obwohl H 0 wahr ist. Es ist möglich, dass wir eine deutlich von Null (für H 0 : = 0) abweichende Teststatistik erhalten, obwohl de facto aber gleich Null ist. In diesem Fall würden wir jedoch schließen, dass 0. Fehler. Art: H 0 annehmen, obwohl H 1 wahr ist. (H 0 falsch ist). 3
33 4.4. Das Testen von Hypothesen Angenommen 0 = 0 und H 0 : = 0. Ein Fehler. Art kann dann auftreten, wenn 0 nahe 0 liegt, aber die Realisation tatsächlich nicht aus Verteilung, sondern aus einer anderen Verteilung, deren Mittelwert A ist, stammt. Unsere Einschätzung [1] [3] Verteilung [] Verteilung 1 (H 0 -Annahme) = 0 (H 0 -Ablehnung) 0 [4] μ 0 Fehler. Art H μ A Fehler 1. Art Tatsächlich zutreffend = 0 OK [1] 0 Fehler. Art [] Wahrscheinlichk. unbekannt Fehler 1. Art [4] Wahrscheinlichkeit: Signifikanzniveau OK [3] 33
34 4.4. Das Testen von Hypothesen a5) Student-t-Verteilung Auch im Rahmen des Testens von Hypothesen müssen wir die tatsächliche Varianz durch eine empirische Varianz approimieren, sofern wir nur über Stichproben- und nicht Gesamtpopulationswerte verfügen. f(t) t (m) a/ a/ 1 a - t c 0 t c t 34
35 4.4. Das Testen von Hypothesen Rechter Rand der kritischen Werte der t-verteilung (DF = m = FG) DF α = 0,05 α = 0,05 α = 0, ,314 1,706 63,657,90 4,303 9,95 3,353 3,18 5,841 4,13,776 4,604 5,015,571 4,03 6 1,943,447 3, ,895,365 3, ,860,306 3, ,833,6 3, ,81,8 3, ,796,01 3, ,78,179 3, ,771,160 3, ,761,145, ,753,131, ,746,10, ,740,110, ,734,101, ,79,093, ,71,080,831 1,717,074, ,714,069, ,711,064, ,708,060, ,706,056, ,703,05, ,701,048, ,699,045, ,697,04, ,684,01, ,676,009, ,671,000, ,667 1,994, ,664 1,990, ,66 1,987, ,660 1,984, ,659 1,98, ,658 1,980,617 1,645 1,960, ,75,086,845 35
36 4.4. Das Testen von Hypothesen Testgröße ˆ 0 ˆ n Testvorschrift (zweiseitig) H : 0 ˆ 0 ˆ ˆ n - 0 tn 1, H 0 ablehnen ˆ ˆ - 0 n tn 1, H 0 annehmen 36
37 4.4. Das Testen von Hypothesen Testvorschrift (einseitig) Analog nur hier: t n1, p-wert Eemplarisch für H : 0 ˆ 0 ˆ ˆ n 0,9 p=0,0065 und t 40;0,05,01 0,95 0,0037 0,0037,9,01 0,01,9 37
38 4.4. Das Testen von Hypothesen b) Grundlegende Schritte zusammengefasst 1. Formulierung von H 0 und H 1. Festlegen, ob ein- /zweiseitiger Test durchzuführen ist 3. Signifikanzniveau (Wahrscheinlichkeit für F.1.A.) wählen 4. Teststatistik, bspw. ( ˆ 0 ) n ˆ ˆ berechnen 5. Kritischen z-wert, bspw. 1,96, bzw. t -Wert ermitteln 6. H 0 ablehnen, wenn Teststatistik > kritischer Wert 38
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