Aufgabe G.1: Definitionen, Begriffsbildungen

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1 Aufgabe G.1: Definitionen, Begriffsbildungen a) Der Begriff Dreieck sei definiert. Definieren Sie den Begriff Innenwinkel eines Dreiecks. (2 Punkte) b) Definieren Sie den Begriff Inneres eines Winkels ASB. (2 Punkte) c) Bruce Li definiert: Jedes Viereck, das in der Schnittmenge der Parallelogramme mit den gleichschenkligen Trapezen liegt, heißt Wasabiviereck. Wie heißen die Wasabivierecke üblicherweise? (1 Punkt) d) Definieren Sie den Begriff gleichschenkliges Dreieck über Winkeleigenschaften in Form einer Konventionaldefinition. (3 Punkte) e) Jedes Dreieck ist ein Tangentendreieck. Definieren Sie den Begriff Tangentenviereck. (2 Punkte) PH Heidelberg Fach Mathematik Seite 1(Geometrieteil)

2 Aufgabe G.2: Argumentieren, Begründen, Beweisen a) Handelsübliche Dreiecke zum Zeichnen gibt es in zwei Varianten: gleichschenklig, rechtwinklig und rechtwinklig mit den weiteren Innenwinkeln in den Größen 30 und 60. Aussage I: Ein Drachen ist genau dann ein Sehnenviereck, wenn er ein Quadrat ist. Ist Aussage I wahr oder falsch? Begründen Sie Ihre Antwort. (2 Punkte) b) Es seien g und h zwei verschiedene Geraden, die den Punkt S gemeinsam haben. Beweisen Sie: Es gibt keinen von S verschiedenen Punkt Q, den die beiden Geraden g und h gemeinsam haben.(2 Punkte) c) Es sei P L das Lot vom Punkt P auf die Gerade g. Beweisen Sie: Q g : P Q g. (3 Punkte) PH Heidelberg Fach Mathematik Seite 2(Geometrieteil)

3 Aufgabe G.3: Vierecke G.3.1 Wir gehen von der folgenden Definition aus: Ein Parallelogramm ist ein Viereck mit zwei Paaren paralleler Seiten. Satz P1: Wenn ein Viereck ein Parallelogramm ist, dann halbieren sich seine Diagonalen gegenseitig. a) Fertigen Sie eine Skizze zu Satz P1 an. (1 Punkt) b) Formulieren Sie die Voraussetzung(en) und die Behauptung von Satz P1 unter Verwendung der Bezeichnungen in Ihrer Skizze. (3 Punkte) c) Beweisen Sie Satz P1 auf der Rückseite dieses Blattes. (6 Punkte) PH Heidelberg Fach Mathematik Seite 3(Geometrieteil)

4 G.3.2 a) Die Umkehrung von Satz P1 sei als Satz P2 bezeichnet. Formulieren Sie Satz P2. (1 Punkt) b) Fertigen Sie eine Skizze zu Satz P2 an. (1 Punkt) c) Formulieren Sie die Voraussetzung(en) und die Behauptung von Satz P2 unter Verwendung der Bezeichnungen in Ihrer Skizze. (3 Punkte) d) Beweisen Sie Satz P2 auf der Rückseite dieses Blattes. (6 Punkte) e) Fassen Sie P1 und P2 zu einem Satz zusammen. (1 Punkt) PH Heidelberg Fach Mathematik Seite 4(Geometrieteil)

5 Aufgabe G.4: Beweisen wie die Schüler Es seien ABCD ein Viereck und k ein Kreis mit dem Mittelpunkt M. Die Punkte O, P, Q, R seien die Berührungspunkte der Tangenten AB, BC, CD, DA an k (s. Abbildung 1). Mark behauptet AB + CD = BC + AD und hinterlässt das folgende Beweisfragment. Ergänzen Sie den Beweis von Mark. Abbildung 1 Beweis Nr. Schritt Begründung Pkt. (1) OM = P M = QM = RM 1 (2) AOM = ARM = 90 1 (3) AM = AM 1 (4) RM = OM < AM 3 (5) AMO = AMR 5 (6) AO = AR 2 (7) BO = BP CP = CQ DQ = DR 1 (8) AB + CD = BC + AD 2 Formulieren Sie die Aussage, die Mark bewiesen hat, als allgemeinen Satz. (2 Punkte) PH Heidelberg Fach Mathematik Seite 5(Geometrieteil)

6 Platz für weitere Ausführungen PH Heidelberg Fach Mathematik Seite 6(Geometrieteil)

7 Die Axiome der Euklidischen Geometrie Inzidenzaxiome Axiom I.0 Geraden und Ebenen sind Punktmengen. Axiom I.1 (Axiom von der Geraden) Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die die beiden Punkte enthält. Axiom I.2 Zu jeder Geraden gibt es (wenigstens) zwei verschiedene Punkte, die dieser Geraden angehören. Axiom I.3 Es gibt wenigstens 3 paarweise verschiedene Punkte, die nicht kollinear sind. Axiom I.4 Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält. Jede Ebene enthält (wenigstens) einen Punkt. Axiom I.5 Wenn zwei Punkte einer Geraden g in einer Ebene E liegen, so gehört g zu E. Axiom I.6 Wenn zwei Ebenen einen Punkt gemeinsam haben, so haben sie noch mindestens einen weiteren Punkt gemeinsam. Axiom I.7 Es gibt vier paarweise verschiedene Punkte, die nicht komplanar sind. Abstandsaxiome Axiom II.1 (Abstandsaxiom) Zu je zwei Punkten A und B gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl d mit d = 0 A = B. Axiom II.2 Für zwei beliebige Punkte A und B gilt AB = BA. Axiom II/3 (Dreiecksungleichung) Für drei beliebige Punkte A, B und C gilt AB + BC AC. Falls koll (ABC), dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt AB + BC = AC AC + CB = AB BA + AC = BC Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind A, B und C kollinear. Axiome der Anordnung Axiom III.1 (Axiom vom Lineal) Zu jeder nicht negativen reelen Zahl d gibt es auf jedem Strahl p genau einen Punkt, der zum Anfangspunkt von p den Abstand d hat. Axiom III.2 (Das Axiom von Pasch) PH Heidelberg Fach Mathematik Seite 7(Geometrieteil)

8 Gegeben sei ein Dreieck ABC. Ferner sei g eine Gerade, die durch keinen der drei Eckpunkte A, B, C geht. Wenn g eine der drei Seiten des Dreiecks ABC schneidet, dann schneidet g genau eine weitere Seite des Dreiecks ABC. Axiome der Winkelmessung Axiom IV.1 (Winkelmaßaxiom) Zu jedem Winkel α gibt es genau eine reelle Zahl ω zwischen 0 und 180. Axiom IV.2 (Winkelkonstruktionsaxiom) Es sei g SA eine Gerade in der Ebene E. Zu jeder reellen Zahl ω mit 0 < ω < 180 gibt es in jeder der beiden durch g bestimmten Halbebenen der Ebene E genau einen Strahl SB + mit ω = ASB Axiom IV.3 (Winkeladditionsaxiom) Wenn der Punkt P zum Inneren des Winkels ASB gehört, dann gilt ASP + P SB = ASB. Axiom IV.4 (Supplementaxiom) Nebenwinkel sind supplementär. Das Kongruenzaxiom Axiom V (Kongruenzaxiom SWS) Wenn für zwei Dreiecke ABC und DEF die folgenden 3 Kongruenzen AB = DE AC = DF CAB = F DE gelten, dann sind die beiden Dreiecke ABC und DEF kongruent zueinander. Euklidisches Parallelenaxiom Axiom EP Zu jedem Punkt P außerhalb einer Geraden g gibt es höchstens eine Gerade h, die durch P geht und zu g parallel ist. PH Heidelberg Fach Mathematik Seite 8(Geometrieteil)