5. Strömungen um Körper: Fluid- und aerodynamische Widerstände 5.1 Allgemeine Aspekte

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1 5. Strömungen um Körper: Fluid- und aerodynamische Widerstände 5.1 Allgemeine Aspekte Das Verständnis von Strömungen um beliebige Körper ist von größter Bedeutung in der allgemeinen Fluid-und Aerodynamik. Letzere findet auch in der Hydraulik Anwendung, z.b. bei der Untersuchung von Windströmungen um Bauwerke (Hochhäuser und große Tal-Brücken) und der da auftretenden Windbelastungen und Kräfte. Solche Kräfte sind letztlich die Manifestation des sogenannten fluid- bzw. aerodynamischen Widerstandes, den grundsätzlich alle von einem realen Fluid umströmten Körper erfahren. Ziel der meisten wissenschaftlichen Untersuchungen und praktischen Anwendungen zur Problematik des fluiddynamischen Widerstandes ist vornehmlich der Versuch, möglichst gering zu machen, was bei meistens vorgegebener Strömung durch geeignete Formgebung des Körpers erzielt werden kann. Die Formgebung von modernen PKW s ist ein typisches Beispiel dafür. Wie sich zeigen wird, ist die Optimierung der Körperform zwecks Minimierung des Widerstandes theoretisch nur in den seltensten Fällen möglich, besonders wenn, wie bei den meisten Fahrzeugen (PKW s, Krafträder, Schiffe, Flugzeuge), diese unter sehr variablen äußeren Strömungsbedingungen funktionieren müssen. Obwohl moderne Computermethoden durch numerische Lösung der sehr komplexen Strömungsdifferentialgleichungen es tlerweile erlauben, die Vielfalt der Strömungskonfigurationen um beliebige Körpern und der dabei auftretenden Widerstände zu berechnen, ist die experimentelle Untersuchung in situ oder im Labor unter Modellbedingungen nach wie vor unumgänglich. Im letzten Fall benutzt man sich bei aerodynamischen Fragestellungen häufig eines Windkanals. Einen solchen besitzt auch der Fachbereich 14 der GhK. Zur Übertragbarkeit von Windkanal Experimenten auf die Natur kommen natürlich die in Kap. 3 gemachten Betrachtungen der Ähnlichkeit von Strömungen zum Tragen. Abb. 5.1: Pkw im Windkanal (VW AG) Abb. 5.: Strömung um Pkw Prof. Dr. rer. nat. M. Koch 5.1

2 5. Widerstandskraft und Auftrieb Betrachtet man einen beliebigen Körper der von einem Fluid schräg angeströmt wird (Abb. 5.3), so erfährt er grundsätzlich eine totale Widerstandskraft F T = F W + F L Abb. 5.3: Strömung um schräg angeströmten Körper F W = Widerstandskraft (engl.: drag) in Richtung der Strömung F L = Auftriebskraft (engl.: lift) senkrecht zur Strömung Der Körper wird dann in Richtung von F T (Resultierende) abgelenkt. Während die Auftriebskraft F L natürlich von Bedeutung bei Flugzeugtragflügeln ist, und daher dort in die Berechnungen als positiv zu berücksichtigenter Faktor voll eingeht (Tragflügeltheorie), ist sie bei regulären erdenen Strömungen eher ein negatives Beiwerk, was i.a. zu vernachlässigen ist. Das Abheben von Rennwagen bei hohen Geschwindigkeiten sollte jedoch klar machen, daß F L auch bei der Optimierung von Fahrzeug- Karosserien möglichst vermieden werden sollte (s. Abb. 5.). Da für die hier besprochenen Anwendungen F L <<, wird praktisch ~F T, und es soll im folgenden nur der fluiddynamische Widerstand in Anströmungsrichtung erörtert werden. 5.3 Druck (Form) widerstand und Reibungs (Flächen) widerstand Es gilt grundsätzlich für den fluiddynamischen Widerstand = F D + F R (5.) F D F R = Druck- oder Formwiderstand = Reibungs- oder Flächenwiderstand a) Der Druckwiderstand F D ergibt sich aus Integration des Fluiddruckes p an der Oberfläche über die Gesamtoberfläche des Körpers: F D = ++ p n da (5.3) A n = Normalenvektor auf Flächenstück da Der Druckwiderstand F D wird deswegen Formwiderstand genannt, weil er vornehmlich durch die räumliche Form eines ausgedehnten Körpers in der Strömung bedingt wird. Um F D berechnen zu können, muß die Druckverteilung von p auf der gesamten Körperoberfläche bekannt sein, was letztlich wieder stark von der Strömungsgeschwindigkeitsverteilung um den Körper abhängt. Die Druckverteilung ist in der Praxis praktisch nie hinreichend bekannt. Abb. 5.4 zeigt eine typische Druckverteilung der Umströmung um einen Flügel. Man beachte die Vorzeichen des Druckes, der an Stellen auch negativ sein kann. Die Summe der Druckvektoren x Flächenstück wäre dann nach Gl. (5.3) die total Resultierende der Druckkraft F D. In dem vorliegenden Fall ergibt sich eine vertikale Komponente, die dann zu dem erwähnten Auftrieb führt. Prof. Dr. rer. nat. M. Koch 5.

3 Anmerkung: Für den Fall eines symmetrischen Flügels, oder auch einer Kugel, die längs horizontal angeströmt wird, verlaufen die Stromlinien ebenfalls vollständig symmetrisch, schließen sich also am Ende des Flügels in gleicher Art wie sich vorn an der Spitze (dem Staupunkt) getrennt haben. Im Fall einer idealen Strömung wäre hier der Druckwiderstand =0. Allerdings ergibt sich bei der realen, viskosen Strömung wegen der Grenzschicht auch hier ein geringer Druckwiderstand. b) Der Reibungswiderstand oder Flächenwiderstand F R ergibt sich aus Integration der Newtonschen Schubspannung = µdv/dn, die eine Folge der Haftung (no-slip) Bedingung der Strömungsgeschwindigkeit v an der Oberfläche des Körpers ist, ebenfalls über die Gesamtoberfläche des Körpers: F R = ++ t da (5.4) A t = Tangentialvektor auf Flächenstück da Im Gegensatz zum Druckwiderstand wird der Reibungswiderstand F R hauptsächlich durch die Oberfläche des Körpers bedingt; daher auch der Name Flächenwiderstand. F R läßt sich den Gesetzen der Grenzschichttheorie i.a. genügend genau berechnen. Abb. 5.4: Druck- und Reibungswiderstand eines Körpers Anwendung: Strömung um dünne Platte Qualitativ läßt sich der relative Unterschied zwischen Druck- und Reibungswiderstand an einer dünnen Platte, die (a) längs und (b) senkrecht angeströmt wird, illustrieren nach Tab. 5.1 (s. auch Abb.5.4) Tab. 5.1: Aufteilung des Widerstandes für die Platte bei unterschiedlicher Anströmung Druckwiderstand Reibungswiderstand Gesamtwiderstand (a) Anströmung längs keiner klein klein (b) Anströmung senkrecht groß keiner groß Der große Druckwiderstand für die senkrecht angeströmte Platte ist eine Folge der starken Wirbelbildung im Totwasserbereich hinter der Platte (Abb. 5.5) (Falls Sie einen PKW Stufenheck haben sollten, haben Sie sich schon über die starke Verschmutzung der Heckscheibe geärgert?) Prof. Dr. rer. nat. M. Koch 5.3

4 in Abb. 5.5: Strömung und Wirbelbildung um einen eckigen Körper Abb. 5.6: Umströmung von Körpern (Die Strömung um den sperrigen Körper entspricht in etwa der um eine senkrecht angeströmte Platte) (Bohl, 1986) 5.4 Aspekte der Grenzschichttheorie Erst durch die von Ludwig Prandtl zu Anfang des Jahrhunderts entwickelte Grenzschichttheorie ist man zu einem tieferen Verständnis der physikalischen Prozesse der Umströmung von Körpern und der dabei auftretenden Widerstände gekommen. Ähnlich wie schon bei der realen Rohrströmung erwähnt, geht bei der Umströmung eines Körpers (z.b. Platte) innerhalb eines Übergangsbereiches senkrecht zur Körperoberfläche, der sogenannten Grenzschicht, die Fluid-Geschwindigkeit v vom maximalen Außenwert v der Strömung auf die Haftgeschwindigkeit v=0 auf der Plattenoberfläche zurück. Grundsätzlich muß man unterscheiden zwischen der laminaren und der turbulenten Grenzschicht. Für die Dicke der laminaren Grenzschicht ergibt sich für eine Platte der Länge l aus der Theorie: l ' 3,46 %Re l (5.5a) wobei Re l ' l (5.6) die der laufenden Plattenlänge l (variable) gebildete Re-Zahl ist. Da ergibt sich Prof. Dr. rer. nat. M. Koch 5.4

5 v (5.5b) Aus Gl. (5.5) folgt (Abb. 5.7), daß (a) Die Dicke der Grenzschicht der Wurzel der Plattenlänge ansteigt (b)die Dicke der Grenzschicht ist umgekehrt proportional der Wurzel der Re-Zahl, d.h. ansteigendem Re wird sie dünner (Man vergleiche dies der Rohrströmung) Ähnlich wie bei der Rohrströmung wird bei größer werdender Re-Zahl die anfänglich laminare Strömung bei einer kritischen Re-Zahl Re crit turbulent. Aufgrund der hier vorliegenden Definition von Re (5.5) der laufenden Plattenlänge l ist experimentell gefunden worden: Re crit ~ 3*10 5-3*10 6 Da ergibt sich, daß nach u.u. nach einer Entfernung l a = Re crit * /v (5.7) vom Anfang der Platte die Strömung von laminar nach turbulent umschlägt (Abb. 5.7) Abb. 5.7: Ausbildung einer Grenzschicht über einer Platte. (Man beachte die laminare Untergrenzschicht innerhalb der turbulente Grenzschicht) (Bohl, 1986) Der besondere Vorzug der Grenzschichttheorie ist, daß man komplexe Strömungen um Körper in Prof. Dr. rer. nat. M. Koch 5.5

6 5.5 Praktische Berechnung des fluiddynamischen Widerstandes: der Widerstandsbei (c w )Wert Definition des c w -Wertes Macht man den fluiddynamischen Widerstand geeignet dimensionslos durch Division durch / *v *A erhält man den Widerstandsbei (c w )-Wert c w ' A (5.8) v A = Dichte des Fluids = Anströmgeschwindigkeit = angeströmte Körperfläche = Oberfläche A O bei Platten 9 Stirnfläche A St zur Strömung bei ausgedehnten Körpern (Kugel) Aus Gl. (5.8) folgt die fundamentale Gleichung für den fluiddynamischen Widerstand ' c A (5.9) Zufolge von Gl. (5.1) gilt auch für c w im Prinzip : c wd c wr c w = c wd + c wr (5.10) = Druckwiderstands-Beiwert = Reibungswiderstand-Beiwert Da in der Praxis jedoch meistens nur der Gesamtwiderstand von Interesse ist, gibt man nur c w an c w -Werte für ausgezeichnete Körper Grundsätzlich muß man bei der Betrachtung des c w -Wertes für verschiedene Strömungskörper, ähnlich wie der Widerstandsbeiwert in der Rohrströmung, unterscheiden zwischen (a) laminarer Grenzschichtströmung: c w = f(re) (b) turbulenter Grenzschichtströmung: c w = f(re, k) (k = Sandrauhigkeit der Oberfläche, die wegen der dünnen turbulenten Grenzschicht zum Tragen kommt) Prof. Dr. rer. nat. M. Koch 5.7

7 c w -Werte für die Platte Wie erwähnt, muß man bei der Platte unterscheiden, ob sie (a) längs oder (b) senkrecht angeströmt wird (a) längs angeströmte Platte Man erhält ein dem Moody-Diagramm ähnliches Diagramm (Abb. 5.9) für den c w -Wert (hier c w ~ c wr!!) Abb. 5.9: c w - Werte für die längs angeströmte Platte als Funktion von Re (Bohl,1986) Analytisch ergeben sich für die einzelnen Re-Bereiche noch folgende Formeln: 1) Laminarer Bereich: (Re < Re crit = 3* ) c w ' 1,38 %Re l (5.11a) ) Turbulenter Bereich: (Re > Re crit ~ 10 6 ) (a) hydraulisch glatt c w ' 0,0745 Re 1/5 l (5.11b) Prof. Dr. rer. nat. M. Koch 5.8

8 (b) hydraulisch rau 1 c w ' [1,89 % lg(l/k)],5 (5.11c) (b) senkrecht angeströmt Platte Hier ist c w ~c wr, d.h. der gesamte Widerstand wird fast ausschließlich durch den Druckwiderstand bedingt In diesem Fall hängt c w von dem Breiten/Höhenverhältnis ab: Tab. 5.: c w -Werte für die senkrecht angeströmte Platte b/h % Abb.5.10: Senkrecht angeströmte Platte c w 1,1 1,15 1,19 1,9 1,40, Beispiel 5.1: Berechnung der extra Motorleistung beim Aufbringen einer Autodach-Werbeplatte Ein amerikanischer Pizzabäcker bringt zwecks Werbung ein Plastikschild auf dem Dach seines Lieferwagens an. Wie groß ist die extra Motorleistung bei 60 km/h zur Überwindung des Fahrwiderstandes, wenn (a) das Schild in Fahrtrichtung; (b) senkrecht zur Fahrtrichtung angebracht wird? Gegeben: Maße des Schildes: Höhe h =0,6m; Breite b=1,5m; Dichte der Luft = 1, kg/m 3 ; kinematische Viskosität der Luft = 1,5*10-5 m /s (bei 0 o C) Lösung: (a) Schild in Fahrtrichtung: 1) Berechnung der Re-Zahl für die Strömung über das Schild: Re = v * b / ===> v = Fahrgeschwindigkeit = 60 km/h * 1000m/km / (3600s/h) =16,67 m/s b = 1,5 m = kinematische Viskosität der Luft Re = 1,67* 10 6 >~ Re crit (Die Strömung ist leicht turbulent) ) Ertlung von c w : Nach Diagramm 5.8 k ~0 (hydraulisch glatte Platte) ==> c w = 4*10-3 3) Berechnung des fluiddynamischen Widerstandes (Gl. 5.9) = c w * / * v *A = 4*10-3 * 1,/ * 16,67 * (1,5*0,6) = 0,6 N 4) Berechnung der extra Motorleistung P: Prof. Dr. rer. nat. M. Koch 5.9

9 P = * v (Mechanik 1!!!) 3 = c w * / *A * v 3 = Konst. * v (Die benötigte Fahrzeugleistung steigt an dem Kubus der Fahrgeschwindigkeit!!!!!!!!) ===> P = 0,6 * 16,67 = 10J/s = 10W = 0,01kW = 0,01 kw / (0,75 kw/ PS) = 0,013 PS (b) Schild senkrecht zur Fahrtrichtung: 1) Die Re-Zahl ist gleich wie oben ) Ertlung von c w : Nach Tab.5. b/h =,5 ==> c w = 1,16 3) Berechnung des fluiddynamischen Widerstandes (Gl. 5.9) = c w * / * v *A = 1,16 * 1,/ * 16,67 * (1,5*0,6) = 174,1 N 4) Berechnung der extra Motorleistung P: P = * v (Mechanik 1!!!) = 174,1 * 16,67 = 90W =,90kW =,90/0,75 PS = 3,87 PS Die extra Motorleistung P für die senkrecht zur Fahrtrichtung aufgestellte Platte ist N = 3,87 / 0,013 ~ 300 mal so groß wie für die in Fahrtrichtung aufgestellte Platte!!!!!!! : c w -Werte für Scheibe, Kugel und Zylinder Abb zeigt die c w - Werte für Scheibe, Kugel und Zylinder als Funktion von Re (hier gebildet dem Durchmesser d der Scheibe, Kugel und Zylinder). Man beachte das Einbrechen des c w - Wertes im Übergangsbereich wenn die laminare Grenzschicht turbulent wird und die Grenzschichtablösung weiter hin zum Körperende erfolgt. Das Stokesche Gesetz für die Widerstandskraft einer Kugel : Für sehr kleine Re-Zahlen Re <10 (schleichende Strömung) erhält man für die Kugel einen Abfall von c w Re in der Form: c w = 4 /Re und daraus für den fluiddynamischen Widerstandes = c w * / * v *A = 4/Re * / * v *A Prof. Dr. rer. nat. M. Koch 5.10

10 Abb. 5.11: c w -Werte für Scheibe, Kugel und Zylinder als Funktion von Re (Zierep, 1979) und Einsetzen von Re= v d / und der zur Strömung hingerichteten Stirnfläche A= d /4 der Kugel ===> = 4 / (v d / ) * / * v * d /4 = 4 / (v d /(µ/ ) ) * / * v * d /4 = 4 / (1/µ) * 1/8 * v * d = 3 µ v d Das Stokesche Gesetz für die Widerstandskraft einer Kugel : ' 6 µv r (5.1) µ = dynamische Viskosität des Fluids v = Fluidgeschwindigkeit r = Radius der Kugel Das Stokesche Gesetz ist von grundlegender Wichtigkeit für viele Naturströmungen, die bei kleinen Re- Zahlen (< 10) ablaufen. Es beschreibt z.b. den hydraulischen Widerstand von Sanden und Sedimenten in vielen Gewässern und Flüssen, und wird zur Berechnung des Geschiebetransportes herangezogen. Prof. Dr. rer. nat. M. Koch 5.11

11 c w -Werte für verschiedene Körperformen 1) Halbkugel offen a) Strömung auf gekrümmte Fläche b) Strömung auf Schnittfläche c w = 1,0 c w =,30 ) Halbkugel geschlossen a) Strömung auf Außenfläche b) Strömung auf Innenfläche c w = 0,34 c w = 1,33 Beispiel 5.: Widerstandskraft und Sinkgeschwindigkeit eines Fallschirmes Um Verletzungen beim Auftreffen auf dem Erdboden auszuschließen, sollte die endgültige Sinkgeschwindigkeit eines runden Fallschirmspringer am Boden v = 6 m/s (~ km/h ) nicht überschreiten. Wie groß muß der Durchmesser d des Fallschirms mindestens sein, wenn der Springer ein Gesamtgewicht von G= 10 kp (kg) (Springer + Ausrüstung) besitzt? Gegeben: Dichte der Luft = 1,15 kg/m 3 Lösung: Da zunehmender Fallgeschwindigkeit der aerodynamische Widerstand ansteigt, wird eine maximale Endgeschwindigkeit v erreicht, wenn Gleichgewicht G = zwischen dem Springergewicht G und der Widerstandskraft besteht Für gilt (Gl. 5.9) ===> = c w * / * v *A = G A = d /4 (Stirnfläche des Fallschirms) c w * / * v * d /4 = G Prof. Dr. rer. nat. M. Koch 5.1

12 ===> d = {G / [ c w * / * v * /4]} 1/ ===> Mit Werten: G c w v =10 kg * 9,81 m/s = 1000 N = 1, kg/m 3 =,30 (offene Halbkugel, innen angeströmt) = 6 m/s d = {1000 / [,30 * 1,15 / * 6 * /4]} 1/ = 5,17 m Der benötigte Durchmesser d des Fallschirms hängt vom Gewicht G des Springers ab!!! Beispiel 5.3: Windwiderstand eines Silos Ein zylinderförmiges Silo von 10 m Höhe und Durchmesser d=3,5m wird von einem Wind v = 8,3 km /h umströmt. Gegeben: Dichte der Luft = 1,15 kg/m 3 ; kinematische Viskosität der Luft = 1,6*10-5 m /s (bei 30 o C) Gesucht: Kippmoment M, das auf die Basis des Silos wirkt? Lösung: v = 8,3 km/h =,306 m/s ===> Re = d/ =,306 * 3,5 / 1,5 * 10-5 = 10 5 ===> aus Diagramm 5.11: c w = 0,35 ===> F D = v A s = 0,35 * 1,15*,306 *,306 / * 10 * 3,5 = 37,8 N und M kipp = F D * h/ = 37,8 *10/ = 189Nm Prof. Dr. rer. nat. M. Koch 5.13

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