Mathematik 2 für Naturwissenschaften

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1 Hans Walser Mathematik 2 für Naturwissenschaften Modul 212 Determinanten Lernumgebung

2 Hans Walser: Modul 212 Determinanten. Lernumgebung ii Modul 212 für die Lehrveranstaltung Mathematik 2 für Naturwissenschaften Sommer 2004 Erstausgabe Sommer 2005 Kleine Ergänzungen Sommer 2006 Fehlerkorrekturen und Ergänzungen. MathType Sommer 2007 Neue Moduleinteilung Frühjahr 2008 Erweiterung Frühjahr 2009 Erweiterung Frühjahr 2010 Erweiterung Frühjahr 2014 Erweiterung last modified: 26. April 2014 Hans Walser Mathematisches Institut Rheinsprung Basel

3 Hans Walser: Modul 212 Determinanten. Lernumgebung iii Inhalt 1 Sehr einfache Matrizen Magische Quadrate Polygonfläche Polygonfläche Spat Determinante Determinante Determinanten Lineare Unabhängigkeit? Lineare Unabhängigkeit? Lineare Unabhängigkeit? Lineare Unabhängigkeit? Linearkombination Determinanten Quadratische Funktionen Quadratische Funktionen Fleißarbeit Gerade und ungerade Permutationen n = n = Determinante Permutationen Determinante Anzahl Multiplikationen Anzahl Multiplikationen Determinanten Türme auf Schachbrett Matrixprodukt und Determinante Determinanten und Inverse... 16

4 Hans Walser: Modul 212 Determinanten. Lernumgebung 1 1 Sehr einfache Matrizen Welches sind die Determinanten der folgenden Matrizen? A 0 = A 1 = A 2 = A 3 = Wie geht es weiter? Was fällt auf? Lässt sich die Vermutung beweisen? Bearbeitung Alle Determinanten haben den Wert 2. Allgemeiner Beweis: ( ) = det det A n n n + 1 n + 2 n + 3 = n n + 3 ( ) ( n + 1) ( n + 2) = n2 + 3n n 2 3n 2 = 2 2 Magische Quadrate a) Die Matrix A ist ein magisches Quadrat Wie groß ist ihre Determinante? A = b) Suchen Sie ein anderes 3 3 -magisches Quadrat und berechnen Sie dessen Determinante. a) 360 b) ±360 3 Polygonfläche Ein Polygon (Vieleck) hat die n Eckpunkte P 1 ( x 1 y 1 ) P 2 ( x 2 y 2 ) P n ( x n y n ). Sein Flächeninhalt kann mit folgender Formel berechnet werden: A Poygon = 1 2 det x 1 x 2 y 1 y 2 + det x 2 x 3 y 2 y 3 + det x 3 x 4 y 3 y det x n 1 x n y n 1 y n + det x n x 1 y n y 1 Warum ist das so? Das Sektordreieck OP i P i+1 (O ist der Ursprung) hat als halbes Parallelogramm das von den Vektoren x i y i und x i+1 y i+1 aufgespannt wird den orientierten Flächeninhalt

5 Hans Walser: Modul 212 Determinanten. Lernumgebung det x i x i+1 y i y. Falls sich Sektordreiecke überlappen wird das automatisch durch i+1 das Vorzeichen des orientierten Flächeninhaltes der Sektordreiecke justiert. 4 Polygonfläche Ein Polygon (Vieleck) hat die n Eckpunkte P 1 ( x 1 y 1 ) P 2 ( x 2 y 2 ) P n ( x n y n ). Sein Flächeninhalt kann mit folgender Formel berechnet werden: A Poygon = 1 2 det x 1 x 2 y 1 y 2 + det x 2 x 3 y 2 y 3 + det x 3 x 4 y 3 y det x n 1 x n y n 1 y n + det x n x 1 y n y 1 Prüfen Sie diese Formel für das Viereck A( 31) B( 15 )C( 4 1) D( 1 4 ) indem Sie den Flächeninhalt a) mit dieser Formel und b) mit einer elementaren Holzhackermethode berechnen. Flächeninhalt = Spat Basteln Sie einen Spat (Parallelepiped). Technik Größe Materialwahl etc. ist frei. (exemplarisch) Aus einer Kartoffel herausschneiden. Vorsicht bei scharfem Küchenmesser! Das folgende Bild zeigt die Abwicklung (das Netz) eines Spates.

6 Hans Walser: Modul 212 Determinanten. Lernumgebung 3 6 Determinante 1 3 a B = 2 a Gesucht ist a so dass det( B) = 45. a 1 = 9 a 2 = 2 Abwicklung 7 Determinante C = 2 a

7 Hans Walser: Modul 212 Determinanten. Lernumgebung 4 Gesucht ist a so dass det( C) = 45. Keine Lösung Matrix C singulär 8 Determinanten Die folgenden Matrizen haben eine regelmäßige Struktur. M 2 = M 3 = M 4 = M 5 = a) Wie sieht die Matrix M n aus? b) det( M n ) =? Bearbeitung a) Für die allgemeine Matrix verwenden wir die Schreibweise: b) Es ist det( M n ) = n! M n = 1 1 n 0!! n!! 0 0 " " # # " " " " " # # " " # !! !! 1 1 Erster Lösungsweg Umformung der Matrix: Wir ersetzen jede Zeile durch die Summe dieser Zeile mit allen unterhalb stehenden Zeilen. Die Determinante ändert sich dabei nicht. Wir erhalten: M * 2 = M * 3 = M * 4 =

8 Hans Walser: Modul 212 Determinanten. Lernumgebung 5 M 5 = M n = n 0 0!! 0 0 n 1 n 1 0!! 0 0 " " # # " " " " " # # " " # !! !! 1 1 Es ergeben sich untere Dreiecksmatrizen. Die Determinante ist das Produkt der Elemente in der Hauptdiagonalen also n!. Zweiter Lösungsweg Umformung der Matrix: Wir subtrahieren von jeder Spalte (außer der letzten) die rechts davon stehende Spalte. Die Determinante ändert sich dabei nicht. Wir erhalten: M * 2 = M 3 = M 4 = M 5 = M n = n 1 n 0!! n 1 2 n!! 0 0 " " # # " " " " " # # " " # !! !! 0 1 Es ergeben sich obere Dreiecksmatrizen. Die Determinante ist das Produkt der Elemente in der Hauptdiagonalen also n!. Dritter Lösungsweg Vollständige Induktion. (I) (II) Verankerung ok. Es sei det( M n ) = n!. Die Matrix M n+1 sieht so aus: M n+1 = 1 n 0!! n!! 0 0 " " # # " " " " " # # " " # !! !! 1 1

9 Hans Walser: Modul 212 Determinanten. Lernumgebung 6 Wir entwickeln nach der ersten Zeile (Laplace): ( ) = +1 det( M n ) ( n)det( M n ) + 0 ±!± 0 = 1+ n ( ) = ( 1+ n)n!= ( n +1)! det M n+1 ( )det M n 9 Lineare Unabhängigkeit? Sind die Vektoren v 1 v 2 v 3 linear unabhängig? a) v 1 1 = 2 3 b) v 1 1 = 2 3 c) v 1 1 = 2 4 a) Linear abhängig b) Linear unabhängig c) Linear abhängig Lineare Unabhängigkeit? Sind die Vektoren v 1 v 2 v 3 linear unabhängig? a) v 1 = b) v 1 1 = a) Linear unabhängig b) Linear unabhängig

10 Hans Walser: Modul 212 Determinanten. Lernumgebung 7 11 Lineare Unabhängigkeit? Sind die Vektoren v 1 v 2 v 3 linear unabhängig? a) v 1 = b) v 1 = a) Linear unabhängig b) Linear abhängig 12 Lineare Unabhängigkeit? Sind die Vektoren v 1 v 2 v 3 linear unabhängig? a) v 1 = π π π b) v 1 = π 2π 3π 4π 5π 6π 7π 8π 9π c) v 1 = π 2 4 8π π d) v 1 = π π π a) Linear abhängig b) Linear abhängig c) Linear abhängig d) Linear unabhängig

11 Hans Walser: Modul 212 Determinanten. Lernumgebung 8 13 Linearkombination e 1 = 1 0 e 2 = 0 1 u = 7 3 v = 2 5 x v -2 e 2 e x 1 u -2 Die Vektoren a) Easy: Stellen Sie jeden der beiden Vektoren u und v als Linearkombination der Vektoren e 1 und e 2 dar. b) Stellen Sie jeden der beiden Vektoren e 1 und e 2 als Linearkombination der Vektoren u und v dar. a) u = 7e 1 3e 2 b) e 1 = 5 u + 3 v v = 2e 1 + 5e 2 e 2 = 2 u + 7 v Lösungsweg Zu b). Es muss: also: e 1 = 1 0 =! x y = 7x + 2y 0 = 3x + 5y Daraus ergibt sich x = 5 41 und y = 3 41 und damit die Linearkombination für e 1.

12 Hans Walser: Modul 212 Determinanten. Lernumgebung 9 14 Determinanten Wie groß sind die Determinanten der folgenden Matrizen? A 0 = Vermutung? Warum ist das so? A 1 = A 2 = Bearbeitung Wir erhalten immer die Determinante null. Die Matrizen sind von der Form: A * = a + 0 a +1 a + 2 a + 3 a + 4 a + 5 a + 6 a + 7 a + 8 Wenn wir zwei Mal die zweite Spalte minus ein Mal die ersten Spalte rechnen ergibt sich die dritte Spalte. 2 a +1 a + 4 a + 7 a + 0 a + 3 a + 6 = a + 2 a + 5 a + 8 Die Spalten sind also linear abhängig. Daher ist die Determinante null. 15 Quadratische Funktionen Sind die drei quadratischen Funktionen linear unabhängig? f ( x) = 3x 2 7x + 12 g( x) = x 2 + x 3 h( x) = 13x 2 25x + 48 Nein. Es ist h x ( ) = 3 f ( x) 4g x ( ). 16 Quadratische Funktionen Sind die drei quadratischen Funktionen

13 Hans Walser: Modul 212 Determinanten. Lernumgebung 10 linear unabhängig? f ( x) = 3x 2 7x + 12 g( x) = x 2 + x 3 h( x) = 13x 2 25x + 47 Ja. Es ist det = Fleißarbeit A = Berechnen Sie det(a) nach folgenden Methoden: a) Entwickeln nach der ersten Zeile b) Umbau zu Dreiecksmatrix > with(linalg): A:=matrix(44[ ]); det(a):=det(a); A := det( A) := 160

14 Hans Walser: Modul 212 Determinanten. Lernumgebung Gerade und ungerade Permutationen 18.1 n = 3 Die Liste zeigt die 6 Permutationen. Grün die geraden rot die ungeraden Permutationen Permutationen Diese lassen sich im Dreieck illustrieren. Wir nummerieren die Dreiecksecken: Nummerierte Dreiecksecken Dann zeichnen wir für jede Permutation einen Vektorzug: Vektorzüge Bei den geraden Permutationen (grün) haben die beiden aufeinander folgenden Vektoren einen Zwischenwinkel von + 2π es geht im positiven Drehsinn herum; bei den ungeraden Permutationen (rot) haben die beiden aufeinander folgenden Vektoren 3 einen Zwischenwinkel von 2π 3 und es geht im negativen Drehsinn herum. Alle grünen Vektorzüge lassen sich durch eine Drehung aufeinander abbilden sie sind also gleich orientiert. Zwischen einen grünen und einem roten Vektorzug braucht es zusätzlich eine Geradenspiegelung n = 4 Die Liste zeigt die 24 Permutationen

15 Hans Walser: Modul 212 Determinanten. Lernumgebung 12 Permutationen Zur Illustration arbeiten wir im Raum mit einem eckennummerierten Tetraeder Tetraeder Dann zeichnen wir für jede Permutation einen Vektorzug: Vektorzüge Bei den geraden Permutationen (grün) verhält sich der jeweilige Vektorzug wie eine Rechtsschraube bei den ungeraden Permutationen wie eine Linksschraube. Wir müssen also nicht mehr die Krümmung sondern die Torsion beachten. Man kann es auch so sehen: Alle grünen Vektorzüge lassen sich durch eine Bewegung aufeinander abbilden sie sind also räumlich gleich orientiert. Wenn wir die drei Vektoren von einem Punkt aus starten bilden sie in der gegebenen Reihenfolge ein Rechts-

16 Hans Walser: Modul 212 Determinanten. Lernumgebung 13 system. Zwischen einem grünen und einem roten Vektorzug braucht es zusätzlich eine Ebenenspiegelung welche die Raumorientierung ändert. 19 Determinante p 0 q 0 0 q 0 p A = q 0 p 0 0 p 0 q Berechnen Sie det(a) nach folgenden Methoden: a) Entwickeln nach der ersten Zeile b) Umbau zu Dreiecksmatrix ( ) 2 det( A) = p 2 q 2 20 Permutationen Es sei A eine beliebige (44)-Matrix und P = Ferner sei B = PA und C = AP. Vergleichen Sie B mit A und C mit A. Bei B sind gegenüber A die Zeilen vertauscht. Neue Reihenfolge (3124). Bei C sind gegenüber A die Spalten vertauscht. Neue Reihenfolge (2314). 21 Determinante A sei eine (nn)-matrix. Wie ändert sich ihre Determinante wenn wir sämtliche Elemente der Matrix mit derselben Zahl λ multiplizieren? Die Determinante ändert um den Faktor λ n. 22 Anzahl Multiplikationen a) Wie viele Multiplikationen bräuchte es um nach unserer Definition die Determinante einer (20 20)-Matrix zu berechnen?

17 Hans Walser: Modul 212 Determinanten. Lernumgebung 14 b) Angenommen wir könnten in einer Sekunde eine Million Multiplikationen durchführen. Wie lange bräuchten wir allein für alle benötigten Multiplikationen? a) 20! 19 = b) Jahre 23 Anzahl Multiplikationen a) Wie viele Multiplikationen bräuchte es um eine (20 20)-Matrix in eine Dreiecksmatrix umzubauen und anschließend deren Determinante zu berechnen? b) Angenommen wir könnten in einer Sekunde eine Million Multiplikationen durchführen. Wie lange bräuchten wir für alle benötigten Multiplikationen? a) = 2679 b) Sekunden 24 Determinanten Warum sind die Determinanten der folgenden Matrizen Null? A = B = Matrix A: Dritte Spalte = zweimal zweite Spalte minus erste Spalte Matrix B: Zweite Zeile = 16 Mal erste Zeile 25 Türme auf Schachbrett Acht Türme sollen so auf ein Schachbrett gestellt werden dass keiner einen anderen schlagen kann (das heißt in jeder Spalte und in jeder Zeile steht genau ein Turm). Wir denken uns nun die Türme als Einsen und die übrigen Felder mit Nullen besetzt. So erhalten wir eine (88)-Matrix. Die Figur zeigt ein Beispiel.

18 Hans Walser: Modul 212 Determinanten. Lernumgebung 15 Nicht schlagende Türme a) Wie viele solche Matrizen gibt es? b) Wie groß sind deren Determinanten? a) Es gibt 8! = solche Matrizen. b) Die Determinanten sind ±1 je nachdem ob die Matrix durch eine gerade oder eine ungerade Permutation der Spalten aus der Einheitsmatrix hervorgeht. 26 Matrixprodukt und Determinante A = a 11 a 12 a 21 a B = b 11 b b 21 b 22 Zeigen Sie durch explizites Nachrechnen dass: det( AB) = det( A) det( B) Bearbeitung Zunächst ist: Damit erhalten wir: AB = a 11 b 11 + a 12 b 21 a 11 b 12 + a 12 b 22 a 21 b 11 + a 22 b 21 a 21 b 12 + a 22 b 22

19 Hans Walser: Modul 212 Determinanten. Lernumgebung 16 ( )( a 21 b 12 + a 22 b 22 ) ( a 11 b 12 + a 12 b 22 )( a 21 b 11 + a 22 b 21 ) det( AB) = a 11 b 11 + a 12 b 21 = a 11 a 21 b 11 b 12 + a 11 a 22 b 11 b 22 + a 12 a 21 b 12 b 21 + a 12 a 22 b 21 b 22 a 11 a 21 b 11 b 12 a 11 a 22 b 12 b 21 a 12 a 21 b 11 b 22 a 12 a 22 b 21 b 22 = a 11 a 22 b 11 b 22 + a 12 a 21 b 12 b 21 a 11 a 22 b 12 b 21 a 12 a 21 b 11 b 22 ( ) a 12 a 21 ( b 11 b 22 b 12 b 21 ) ( )( b 11 b 22 b 12 b 21 ) = a 11 a 22 b 11 b 22 b 12 b 21 = a 11 a 22 a 12 a 21 = det( A)det( B) 27 Determinanten und Inverse Es sei: A = und B = Berechnen Sie zunächst A 1 B 1 C = AB D = BA und dann: a) det( A) b) det( B) c) det A 1 a) det A c) det A 1 ( ) d) det( B 1 ) e) det C ( ) = 2 b) det( B) = 3 ( ) = 1 2 = 1 det(a) d) det B 1 ( ) = 1 3 = 1 ( ) f) det( D) det(b) e) det( C) = 6 = det( A)det( B) f) det( D) = 6 = det( B)det( A)