1. Rotation um eine feste Achse

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1 1. Rotation um eine feste Achse Betrachtet wird ein starrer Körper, der sich um eine raumfeste Achse dreht. z ω Das Koordinatensystem wird so gewählt, dass die Drehachse mit der z-achse zusammenfällt. Der Ursprung des Koordinatensystems wird mit A bezeichnet. x A y Prof. Dr. Wandinger 4. Kinetik des starren Körpers Dynamik 4.1-1

2 1. Rotation um eine feste Achse 1.1 Schwerpunktsatz 1.2 Drallsatz 1.3 Massenträgheitsmoment 1.4 Zentrifugalmomente 1.5 Arbeit und Energie 1.6 Massenpunkt und starrer Körper Prof. Dr. Wandinger 4. Kinetik des starren Körpers Dynamik 4.1-2

3 1.1 Schwerpunktsatz Schwerpunktsatz: Am freigeschnittenen Körper greift die resultierende äußere Kraft F und die resultierende Lagerkraft A an. Wie bei einem System von Massenpunkten gilt: m r S =F A A y ω A r S S F x Prof. Dr. Wandinger 4. Kinetik des starren Körpers Dynamik 4.1-3

4 1.1 Schwerpunktsatz Dynamisches Gleichgewicht: Aus dem Schwerpunktsatz folgt: F A m r S =0 Mit r S =a S = r S r S folgt daraus: F A m r S m r S =0 Die Trägheitskraft T= m r S wird durch die Bahnbeschleunigung verursacht. Die Trägheitskraft Z= m r S wird durch die Zentripetalbeschleunigung verursacht. Sie wird als Zentrifugalkraft bezeichnet. Das dynamische Gleichgewicht lautet: F A T Z=0 Prof. Dr. Wandinger 4. Kinetik des starren Körpers Dynamik 4.1-4

5 1.1 Schwerpunktsatz Statische Unwucht: Wenn die Drehachse durch den Schwerpunkt geht, sind wegen r S =0 die Trägheitskräfte null. Die Lagerkräfte sind im Gleichgewicht mit den äußeren Kräften. Bei Körpern, die sich mit großer Winkelgeschwindigkeit drehen, sollte daher der Schwerpunkt auf der Drehachse liegen. Liegt der Schwerpunkt nicht auf der Drehachse, so spricht man von statischer Unwucht. Ist ein Rad statisch ausgewuchtet, so ist es in jeder Lage im statischen Gleichgewicht. Prof. Dr. Wandinger 4. Kinetik des starren Körpers Dynamik 4.1-5

6 1.2 Drallsatz Drall: Aus dem Grenzübergang zu infinitesimalen Massenelementen folgt für den Drall: L A = K r P v P dm Für die Vektoren gilt: z ω dm v P r P =x e x y e y z e z v P =v Px e x v Py e y A r P y x Prof. Dr. Wandinger 4. Kinetik des starren Körpers Dynamik 4.1-6

7 1.2 Drallsatz Das Vektorprodukt berechnet sich zu r P v P = x e x y e y z e z v Px e x v Py e y = x v Py y v Px e z z v Px e y z v Py e x Jeder Massenpunkt bewegt sich auf einer Kreisbahn um die z-achse. Daher gilt für seine Geschwindigkeit: v Px = y, v Py = x Damit berechnet sich der Integrand zu r P v P = x 2 y 2 e z y z e y x z e x Prof. Dr. Wandinger 4. Kinetik des starren Körpers Dynamik 4.1-7

8 1.2 Drallsatz Integration über den Körper ergibt: L A = K x 2 y 2 dm e z K x z dm e x K y z dm e y Definitionen: Massenträgheitsmoment: Deviationsmomente: J z = K J xz = K x 2 y 2 dm= r 2 dm K x z dm, J yz = K y z dm Die Deviationsmomente werden auch als Zentrifugalmomente bezeichnet. Prof. Dr. Wandinger 4. Kinetik des starren Körpers Dynamik 4.1-8

9 1.2 Drallsatz Ergebnis: Bei einer Drehung um die z-achse gilt für die Komponenten des Dralls: L Ax = J xz L Ay = J yz L Az = J z Nur wenn die Deviationsmomente null sind, stimmt die Richtung des Drallvektors mit der Richtung der Drehachse überein. In einem körperfesten System ändern sich J xz, J yz und J z nicht. Der Drallvektor dreht sich mit dem Körper. Prof. Dr. Wandinger 4. Kinetik des starren Körpers Dynamik 4.1-9

10 1.2 Drallsatz Beispiel: Der Schwenkarm dreht sich mit der Winkelgeschwindigkeit ω = 1s -1 um die z-achse. z ω Massenträgheitsmoment: J z =5 kgm 2 Deviationsmomente: L A A x J xz = 7,5 kgm 2, J yz =0 Komponenten des Drallvektors: L Ax = 7,5 kgm 2 /s, L Ay =0 kgm 2 / s L Az =5 kgm 2 / s Prof. Dr. Wandinger 4. Kinetik des starren Körpers Dynamik

11 1.2 Drallsatz Drallsatz: Für ein System von Massenpunkten lautet der Drallsatz: L A =M A Der Drallsatz behält seine Gültigkeit beim Grenzübergang auf ein System aus unendlich vielen unendlich kleinen Massenelementen. Bei einer Drehung um die z-achse bewegt sich jeder Punkt des starren Körpers auf einer Kreisbahn um die z-achse. Dabei ändern sich sein Abstand r von der z-achse sowie seine z-koordinate z nicht. Prof. Dr. Wandinger 4. Kinetik des starren Körpers Dynamik

12 1.2 Drallsatz Für die z-komponente des Dralls gilt daher: L Az =J z =M Az Dabei ist M Az das Moment der äußeren Kräfte um die z-achse. Wenn das Moment der äußeren Kräfte null ist, gilt der Drallerhaltungssatz: J z 2 =J z 1 2 = 1 Prof. Dr. Wandinger 4. Kinetik des starren Körpers Dynamik

13 1.2 Drallsatz Die x- und y- Koordinaten der Punkte des starren Körpers ändern sich bei einer Drehung um die z-achse. Daher ändern sich die Deviationsmomente. Für die Momente um die x- und y-achse folgt aus dem Drallsatz: M Ax = L Ax = J xz J xz M Ay = L Ay = J yz J yz Da sich die Punkte auf einer Kreisbahn um die z-achse bewegen, gilt: ẋ=v Px = y, ẏ=v Py = x Prof. Dr. Wandinger 4. Kinetik des starren Körpers Dynamik

14 1.2 Drallsatz Damit folgt für die zeitliche Änderung der Deviationsmomente: Ergebnis: J xz = K J yz = K ẋ z dm= y z dm= J yz K ẏ z dm= x z dm= J xz K M Ax = J xz 2 J yz M Ay = J yz 2 J xz M Az = J z Prof. Dr. Wandinger 4. Kinetik des starren Körpers Dynamik

15 1.2 Drallsatz Das Moment M Az um die Drehachse verursacht eine Winkelbeschleunigung. Die Momente M Ax und M Ay sind auch bei konstanter Winkelgeschwindigkeit von null verschieden. Sie sind notwendig, um die Drehachse in ihrer Richtung zu halten, wenn die Deviationsmomente nicht null sind. Dieser Effekt wird als dynamische Unwucht bezeichnet. Der Drallsatz stellt eine Beziehung zwischen den am Körper angreifenden Momenten und der Winkelgeschwindigkeit her. Er wird daher auch als Momentensatz bezeichnet. Prof. Dr. Wandinger 4. Kinetik des starren Körpers Dynamik

16 1.2 Drallsatz In einem ortsfesten Koordinatensystem sind die Deviationsmomente zeitlich veränderlich. In einem Koordinatensystem, das sich mit dem Körper dreht, sind die Deviationsmomente zeitlich konstant. Die Komponenten des berechneten Moments beziehen sich dann ebenfalls auf das körperfeste Koordinatensystem. Prof. Dr. Wandinger 4. Kinetik des starren Körpers Dynamik

17 1.2 Drallsatz Beispiel: Der Schwenkarm wird um 90 um die z-achse gedreht. z ω Für 0 t T gilt für den Winkel: t = 4 1 cos t T Winkelgeschwindigkeit: t = t = 2 4T sin t T A x Winkelbeschleunigung: t = 3 4 T 2 cos t T Prof. Dr. Wandinger 4. Kinetik des starren Körpers Dynamik

18 1.2 Drallsatz Im mitrotierenden Koordinatensystem gilt mit J yz = 0 für die Momente: M Ax t = t J xz = 3 4 J xz T cos t 2 T M Ay t = 2 t J xz = 4 16 J sin2 xz T t 2 T M Az t = 3 4 J z T cos t 2 T Zahlenwerte: T =2 s, J z =5kgm 2, J xz = 7,5 kgm 2 Prof. Dr. Wandinger 4. Kinetik des starren Körpers Dynamik

19 1.2 Drallsatz Prof. Dr. Wandinger 4. Kinetik des starren Körpers Dynamik

20 1.2 Drallsatz Prof. Dr. Wandinger 4. Kinetik des starren Körpers Dynamik

21 1.3 Massenträgheitsmoment Definition: Das Massenträgheitsmoment ist definiert durch J a = K r 2 dm Dabei ist r der senkrechte Abstand zur Drehachse. Bei einer Drehung um die z-achse gilt: a r P J z = K r 2 dm= K x 2 y 2 dm Prof. Dr. Wandinger 4. Kinetik des starren Körpers Dynamik

22 1.3 Massenträgheitsmoment Homogener Körper: Bei einem homogenen Körper ist die Dichte ρ konstant. dm= dv J z = K Mit folgt: r 2 dm= V r 2 dv Wenn die Dicke h des homogenen Körpers konstant ist, folgt mit dv =h da: J z = h A r 2 da= h I p Dabei ist r 2 da das polare Flächenträgheitsmoment. I p = A Prof. Dr. Wandinger 4. Kinetik des starren Körpers Dynamik

23 1.3 Massenträgheitsmoment Beispiel: Propeller b S y L Dicke h x Der Koordinatenursprung wird in den Schwerpunkt gelegt. Der Propeller dreht sich um die z-achse. Prof. Dr. Wandinger 4. Kinetik des starren Körpers Dynamik

24 1.3 Massenträgheitsmoment Massenträgheitsmoment: J z = h A L = h L = h b[ x3 3 b2 L x 2 y 2 da= h L [ x2 y=b /2 y y3 3 ]y= b/ 2 x =L 12 x ]x = L [ b /2 b /2 L dx= h L x 2 y 2 dy] dx b x 2 b3 12 dx = h b 2 3 L b2 L Mit der Masse m=2 h b L folgt: J z = 1 3 m L2[ 1 b 2 L 2] 1 3 m L2 für b L =2 3 h b L L2 b2 4 Prof. Dr. Wandinger 4. Kinetik des starren Körpers Dynamik

25 1.3 Massenträgheitsmoment Beispiel: Kreisscheibe y Dicke h da=2 r dr dr R r da x J z = h A =2 h[ r 4 r 2 da=2 h r 3 dr r =R 4 ]r =0 = 1 2 R 0 h R4 = 1 2 m R2 Prof. Dr. Wandinger 4. Kinetik des starren Körpers Dynamik

26 1.3 Massenträgheitsmoment Beispiel: Rechteck y Dicke h J z = h A a/ 2 = h a/ 2 a/ 2 = h a/ 2 x 2 y 2 da = h b[ x3 3 b2 [ b/ 2 x 2 y 2 dy] dx b /2 [ x2 y=b/ 2 y y3 3 ]y= b/ 2 x=a /2 12 x ]x= a / 2 a /2 dx= h a /2 = h b a3 x2 b b b3 12 dx 12 b2 12 a = 1 12 m a2 b 2 a x Prof. Dr. Wandinger 4. Kinetik des starren Körpers Dynamik

27 1.3 Massenträgheitsmoment Satz von Steiner: Massenträgheitsmomente und Deviationsmomente für Achsen durch den Schwerpunkt sind für viele elementare Körper tabelliert. z z S Z S m Sie lassen sich leicht auf parallel in einen anderen Punkt verschobene Achsen umrechnen. x S A X Y x y S y Prof. Dr. Wandinger 4. Kinetik des starren Körpers Dynamik

28 1.3 Massenträgheitsmoment Für die Koordinaten gilt: Daraus folgt: x=x x S, y=y y S, z=z z S x 2 y 2 = X x s 2 Y y s 2 =X 2 2 x S X x S 2 Y 2 2 y S Y y s 2 x z= X x S Z z S =X Z x S Z z S X x S z S y z= Y y S Z z S =Y Z y S Z z S Y y S z S Aus der Definition des Schwerpunkts folgt: K X dm= Y dm=0 K Damit liefert die Integration über den Körper: J Az = K x 2 y 2 dm= K X 2 Y 2 dm x S 2 y S 2 m=j Sz r S 2 m Prof. Dr. Wandinger 4. Kinetik des starren Körpers Dynamik

29 1.3 Massenträgheitsmoment Entsprechend folgt für die Deviationsmomente: J Axz = K J Ayz = K x z dm= K y z dm= K Ergebnis: (Satz von Steiner) X Z dm x S z S m=j Sxz x S z S m Y Z dm y S z S m=j Syz y S z S m J Az = J Sz x 2 S y 2 S m J Axz = J Sxz x S z S m J Ayz = J Syz y S z S m Prof. Dr. Wandinger 4. Kinetik des starren Körpers Dynamik

30 1.3 Massenträgheitsmoment Massenpunkte: Da ein Massenpunkt keine Ausdehnung hat, sind sein Massenträgheitsmoment und seine Deviationsmomente bezüglich dem Punkt, an dem er sich befindet, null. Befindet sich der Massenpunkt am Punkt P, so folgt aus dem Satz von Steiner für das Massenträgheitsmoment und die Deviationsmomente bezüglich Punkt A: J Az = x 2 2 P y P m J Axz = x P z P m J Ayz = y P z P m Prof. Dr. Wandinger 4. Kinetik des starren Körpers Dynamik

31 1.3 Massenträgheitsmoment Trägheitsradius: Ein Massenpunkt der Masse m im Abstand i z von der Drehachse hat das gleiche Massenträgheitsmoment wie ein starrer Körper der Masse m, wenn gilt: = m i 2 z =J z i J z z m Der Abstand i z heißt Trägheitsradius. Beispiele: Kreisscheibe: = i R2 z 2 = 2 2 R Rechteck: = i a2 z b 2 12 Prof. Dr. Wandinger 4. Kinetik des starren Körpers Dynamik

32 1.3 Massenträgheitsmoment Zusammengesetzte Körper: Das Massenträgheitsmoment eines aus elementaren Körpern zusammengesetzten Körpers lässt sich durch Addition der Massenträgheitsmomente der einzelnen Körper ermitteln. Dabei können auch Körper subtrahiert werden. Es ist darauf zu achten, dass alle Massenträgheitsmomente mit dem Satz von Steiner auf den gemeinsamen Bezugspunkt umgerechnet werden. Prof. Dr. Wandinger 4. Kinetik des starren Körpers Dynamik

33 1.3 Massenträgheitsmoment Beispiel: Schlagbaum 0,5 0,25 A 0, , ,5 1,5 2,5 0,5 3 Dicke h 1 = 0,2 Dicke h 2 = 0,1 Alle Maße in m Dichte ρ = 2700kg/m 3 Prof. Dr. Wandinger 4. Kinetik des starren Körpers Dynamik

34 1.3 Massenträgheitsmoment Zu berechnen ist das Massenträgheitsmoment des Schlagbaums um den Drehpunkt A. Der Schlagbaum besteht aus dem quaderförmigen Ausgleichsgewicht 1 und der quaderförmigen Schranke 2 mit den beiden kreisförmigen Löchern 3 und 4. Körper 1: Ausgleichsgewicht Masse: m 1 =1m 0,5 m 0,2 m 2700 kg/ m 3 =270 kg Massenträgheitsmoment bezogen auf Schwerpunkt: J S 1 = kg 12 m 2 0,5 2 m 2 =28,13 kgm 2 Massenträgheitsmoment bezogen auf Drehpunkt: J 1 =28,125 kgm 2 0,5 2 m kg=95,63 kgm 2 Prof. Dr. Wandinger 4. Kinetik des starren Körpers Dynamik

35 1.3 Massenträgheitsmoment Körper 2: Schranke ohne Löcher Masse: m 2 =3 m 0,5 m 0,1 m 2700 kg/m 3 =405 kg Massenträgheitsmoment bezogen auf Schwerpunkt: J S 2 = kg 32 m 2 0,5 2 m 2 =312,2 kgm 2 Massenträgheitsmoment bezogen auf Drehpunkt: J 2 =312,2 kgm 2 1,5 0,25 2 m kg=945 kgm 2 Prof. Dr. Wandinger 4. Kinetik des starren Körpers Dynamik

36 1.3 Massenträgheitsmoment Körper 3: Loch Masse: m 3 = 0, m 2 0,1 m 2700 kg/ m 3 =13,25 kg Massenträgheitsmoment bezogen auf Schwerpunkt: J S 3 = ,25 kg 0,1252 m 2 =0,10 kgm 2 Massenträgheitsmoment bezogen auf Drehpunkt: J 3 =0,10 kgm 2 1,5 0,25 2 m 2 13,25 kg=20,81 kgm 2 Prof. Dr. Wandinger 4. Kinetik des starren Körpers Dynamik

37 Körper 4: Loch 1.3 Massenträgheitsmoment Masse: m 4 =m 3 =13,25 kg Massenträgheitsmoment bezogen auf Schwerpunkt: J S 4 =J S 3 =0,10 kgm 2 Massenträgheitsmoment bezogen auf Drehpunkt: J 4 =0,10 kgm 2 2,5 0,25 2 m 2 13,25 kg=67,20 kgm 2 Gesamt: J=J 1 J 2 J 3 J 4 J=95,63 kgm kgm 2 20,81 kgm 2 67,20 kgm 2 =952,6 kgm 2 Prof. Dr. Wandinger 4. Kinetik des starren Körpers Dynamik

38 1.4 Zentrifugalmomente Betrachtet wird ein Körper, der sich mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit ω um die z-achse dreht. Dynamisches Gleichgewicht: Die Beschleunigung eines Massenpunktes ist a Px = 2 x, a Py = 2 y Für die Zentrifugalkraft gilt: dz x = a Px dm= 2 x dm, dz y = a Py dm= 2 y dm Prof. Dr. Wandinger 4. Kinetik des starren Körpers Dynamik

39 1.4 Zentrifugalmomente Resultierende Momente: M TAx = z dz y K = 2 z y dm= 2 J yz K z z ω dm dz y M TAy = K = 2 K z dz x z x dm= 2 J xz Dynamisches Gleichgewicht: A y y x dz x x M Ax M TAx =0 : 2 J yz 2 J yz =0 M Ay M TAy =0 : 2 J xz 2 J xz =0 Prof. Dr. Wandinger 4. Kinetik des starren Körpers Dynamik

40 1.4 Zentrifugalmomente Die Fliehkraftmomente versuchen, die Drehachse zu kippen. Um die Drehachse festzuhalten, sind die äußeren Momente nötig. M Ax = M TAx, M Ay = M TAy Im ortsfesten Koordinatensystem hängen diese Momente von der Zeit ab, da die Deviationsmomente von der Zeit abhängen. In einem mitrotierenden körperfesten Koordinatensystem sind die Deviationsmomente zeitlich konstant. Prof. Dr. Wandinger 4. Kinetik des starren Körpers Dynamik

41 1.4 Zentrifugalmomente Symmetrische Körper: Spiegelsymmetrie bezüglich der xy-ebene: z ω Z i Zu jedem Massenelement an der Stelle (x i, y i, z i ) gibt es ein ent- z i sprechendes Massenelement an der Stelle (x i, y i, -z i ). S x i x Die Momente der Fliehkraft um die x- und y-achse heben sich jeweils gegenseitig auf. -z i Z i Daher sind die resultierenden Zentrifugalmomente null. Prof. Dr. Wandinger 4. Kinetik des starren Körpers Dynamik

42 1.4 Zentrifugalmomente Achsensymmetrie bezüglich der z-achse: Bei einer Drehung um 180 um die z-achse wird der Körper auf sich selbst abgebildet. y Z i Zu jedem Massenelement an der Stelle (x i, y i, z i ) gibt es ein ent- -x i y i ω sprechendes Massenelement an der Stelle (-x i, -y i, z i ). x i x -y i Die zugehörigen Zentrifugalkräfte heben sich gegenseitig auf. Z i Daher sind die resultierenden Zentrifugalmomente null. Prof. Dr. Wandinger 4. Kinetik des starren Körpers Dynamik

43 1.4 Zentrifugalmomente Zyklische Symmetrie bezüglich der z-achse: Bei einer Drehung um den Winkel φ um die z-achse wird der Körper auf sich selbst abgebildet. Z i y Z i Die Zentrifugalkräfte an entsprechenden Massenelementen bilden ein zentrales Kraftsystem, das im Gleichgewicht ist. x Die Zentrifugalmomente sind null. Z i Z i Prof. Dr. Wandinger 4. Kinetik des starren Körpers Dynamik

44 1.4 Zentrifugalmomente Für einen Winkel von 180 ergibt sich die Achsensymmetrie. Rotationssymmetrie bezüglich der z-achse: Bei einer Drehung um einen beliebigen Winkel um die z-achse wird der Körper auf sich selbst abgebildet. Die Rotationssymmetrie ist ein Spezialfall der zyklischen Symmetrie. Daher sind die Zentrifugalmomente null. Prof. Dr. Wandinger 4. Kinetik des starren Körpers Dynamik

45 1.4 Zentrifugalmomente Auswuchten: Durch Anbringen von zwei Ausgleichsmassen wird erreicht, dass das Rad statisch und dynamisch ausgewuchtet ist. Die x- und y-koordinaten der beiden Massen werden so bestimmt, dass der Schwerpunkt auf der Drehachse liegt und die beiden Zentrifugalmomente verschwinden. m m z Prof. Dr. Wandinger 4. Kinetik des starren Körpers Dynamik

46 1.5 Arbeit und Energie Arbeit eines Kräftepaares: dφ dr 1 dr 2 dw =F dr 2 F dr 1 dr 1 =L d dr 2 = L a d dw =F a d =M d L a F F W = B AB A M d Für die Leistung gilt: P= dw dt =M d dt =M Prof. Dr. Wandinger 4. Kinetik des starren Körpers Dynamik

47 1.5 Arbeit und Energie Kinetische Energie bei Rotation: Kinetische Energie eines Massenelementes: de K = 1 2 v2 dm v 2 = 2 x 2 y 2 Mit folgt: de K = x 2 y 2 dm Integration über den Körper ergibt die gesamte kinetische Energie: E K = 1 2 K x 2 y 2 dm 2 = 1 2 J z 2 Prof. Dr. Wandinger 4. Kinetik des starren Körpers Dynamik

48 1.5 Arbeit und Energie Arbeitssatz: Bei starren Bindungen verrichten die inneren Kräfte keine Arbeit. Damit folgt aus dem Arbeitssatz für Massenpunktsysteme unmittelbar der Arbeitssatz für einen starren Körper, der um eine feste Achse rotiert: E B K E A K =W AB Prof. Dr. Wandinger 4. Kinetik des starren Körpers Dynamik

49 1.5 Arbeit und Energie Die Differenz zwischen der kinetischen Energie zum Zeitpunkt B und der kinetischen Energie zum Zeitpunkt A ist gleich der während dieser Zeit vom resultierenden Moment der äußeren Kräfte verrichteten Arbeit. Der Arbeitssatz gilt auch für Systeme aus starren Körpern. Dabei ist über die kinetischen Energien aller Körper sowie über die an allen Körpern von den äußeren Kräften verrichteten Arbeiten zu summieren. Prof. Dr. Wandinger 4. Kinetik des starren Körpers Dynamik

50 1.5 Arbeit und Energie Beispiel: Bremse a L F J A ω A r Prof. Dr. Wandinger 4. Kinetik des starren Körpers Dynamik

51 1.5 Arbeit und Energie Die Trommel mit dem Massenträgheitsmoment J A dreht sich mit der Winkelgeschwindigkeit ω 0 um den Punkt A. Sie wird durch einen Bremshebel zum Stillstand gebracht. Am Bremshebel greift die konstante Kraft F an. Der Reibungskoeffizient zwischen Bremse und Trommel ist μ. Nach wie vielen Umdrehungen kommt die Trommel zum Stillstand? Prof. Dr. Wandinger 4. Kinetik des starren Körpers Dynamik

52 1.5 Arbeit und Energie Bremskraft: P a L F R N A R r M P =0: a N L F=0 R= N = L a F N = L a F Prof. Dr. Wandinger 4. Kinetik des starren Körpers Dynamik

53 1.5 Arbeit und Energie Kinetische Energie der Trommel: Bei Bremsbeginn: E 0 K = 1 2 J A 0 2 Am Ende des Bremsvorgangs: E E K =0 Arbeit der äußeren Kräfte: An der Trommel greift die konstante Reibkraft R an. Zugehöriges Bremsmoment: M B =r R Arbeit des Bremsmoments: W 0 E = M B B φ B : während des Bremsvorgangs überstrichener Winkel Prof. Dr. Wandinger 4. Kinetik des starren Körpers Dynamik

54 1.5 Arbeit und Energie Arbeitssatz: E E K E 0 K =W 0 E 1 2 J 2 A 0= M B B B = J 2 A 0 = J 2 A 0 a 2 M B 2r L F Während einer Umdrehung wird ein Winkel von 2π überstrichen. Daher gilt für die Anzahl der Umdrehungen bis zum Stillstand: 2 a N B = B 2 = J A 0 4 r L F Prof. Dr. Wandinger 4. Kinetik des starren Körpers Dynamik

55 1.5 Arbeit und Energie Energieerhaltungssatz: Wenn an einem starren Körper nur konservative Kräfte angreifen, dann gilt: E B K E B P =E A K E A P Der Satz gilt auch für ein System aus starren Körpern, zwischen denen starre Bindungen vorliegen. Dabei ist über kinetischen Energien aller Körper und die potenziellen Energien aller am System angreifenden konservativen Kräfte zu summieren. Prof. Dr. Wandinger 4. Kinetik des starren Körpers Dynamik

56 1.5 Arbeit und Energie Beispiel: Auf einer homogenen Scheibe der Masse m 2 ist ein dehnstarres Seil aufgewickelt. An dem Seil hängt über eine masselose Rolle die Masse m 1. m 2 r Das System ist anfangs in Ruhe. Gesucht ist die Geschwindigkeit der Masse m 1 in Abhängigkeit vom zurückgelegten Weg. m 1 Prof. Dr. Wandinger 4. Kinetik des starren Körpers Dynamik

57 1.5 Arbeit und Energie Der Weg s der Masse m 1 und der Winkel φ der Masse m 2 werden ab der Ruhelage gemessen. Kinetische Energie: m 2 A φ Ruhelage: E 0 K =0 Ausgelenkte Lage: E s K = 1 2 J A m 1 ṡ 2 m 1 Mit J A = 1 gilt: 2 m 2 r 2 E s K = m 2 r 2 2 m 1 ṡ 2 s Prof. Dr. Wandinger 4. Kinetik des starren Körpers Dynamik

58 Arbeit der äußeren Kräfte: 1.5 Arbeit und Energie Die einzige äußere Kraft, die Arbeit verrichtet, ist die Gewichtskraft. Als Bezugspunkt für die Lageenergie wird die Ruhelage gewählt. Dann gilt für die Lageenergie in der Ruhelage und in der ausgelenkten Lage: E G 0 =0, E G s = m 1 g s Kinematik: Die Änderung der freien Seillänge ist gleich der Länge des abgespulten Seils: 2 s=r =2 ṡ r Prof. Dr. Wandinger 4. Kinetik des starren Körpers Dynamik

59 1.5 Arbeit und Energie Energieerhaltungssatz: E s K E s G =E 0 K E 0 G = m 2 r 2 2 m 1 ṡ 2 m 1 g s=0 1 2 m 2r 2 2 ṡ r 2 m 1 ṡ 2 =2 m 1 g s 2 m 2 m 1 ṡ 2 =2 m 1 g s ṡ=v= 2 m 1 g s 2 m 2 m 1 Prof. Dr. Wandinger 4. Kinetik des starren Körpers Dynamik

60 1.6 Massenpunkt und starrer Körper Eindimensionale Bewegung des Massenpunkts Rotierender starrer Körper Weg s Winkel Geschwindigkeit v=ṡ Winkelgeschwindigkeit = Beschleunigung a= v= s Winkelbeschleunigung = Masse m Massenträgheitsmoment J z Kraft F Moment M z Prof. Dr. Wandinger 4. Kinetik des starren Körpers Dynamik

61 1.6 Massenpunkt und starrer Körper Eindimensionale Bewegung des Massenpunkts Rotierender starrer Körper Impuls p=m v Drall L z =J z Impulssatz F=m v Drallsatz M z =J z Kinetische Energie E K = 1 2 m v2 Kinetische Energie E K = 1 2 J z 2 Arbeit dw =F ds Arbeit dw =M z d Leistung P=F v Leistung P=M z Prof. Dr. Wandinger 4. Kinetik des starren Körpers Dynamik

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