Experimentalphysik II (Kip SS 2007)

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Maximilian Lorenz
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1 Zusatzvorlesungen: Z-1 Ein- und mehrdimensionale ntegration Z-2 Gradient, Divergenz und Rotation Z-3 Gaußscher und Stokesscher ntegralsatz Z-4 Kontinuitätsgleichung Z-5 Elektromagnetische Felder an Grenzflächen Z-6 Berechnung von Magnetfeldern 32

2 Z-4 Kontinuitätsgleichung Z-4.1 Einführung n einem abgeschlossenen System gilt der Satz von der Erhaltung der Gesamtladung: N i= 1 q i = const. + bewegte Ladung q + E U Leiter Beispiel: Paarerzeugung q = q = Wenn an einen Leiter eine Potentialdifferenz angelegt wird, dann bewegen sich die Ladungsträger. Definition und Einheit des Stromes: d = dt C 1 s [ ] =1 = mpere 321

3 Z-4.2 Knotenregel n jedem Knoten einer elektrischen Schaltung gilt die Ladungserhaltung, da sich in einem Leiter die Ladungen gleichmäßig verteilen und es somit nicht zu Ladungsanhäufungen kommen kann. Es gilt also: N i= 1 q = q = const. i n jedem Knoten verschwindet daher die Summe aller N Ströme: N i= 1 Knoten N i Knoten = = i= 1 dq dt i dq = dt N Die Kirchhoffsche Knotenregel ist also eine direkte Konsequenz aus der Ladungserhaltung. Wir werden die Ladungserhaltung jetzt noch allgemeiner formulieren. 322

Z-4.3 Ladungsdichte Bei einer kontinuierlichen Ladungsverteilung integriert man über alle Ladungselemente dq im von der geschlossenen Oberfläche O umschlossenen olumen: n qi i= 1 ( O) dq Mit der

4 Z-4.3 Ladungsdichte Bei einer kontinuierlichen Ladungsverteilung integriert man über alle Ladungselemente dq im von der geschlossenen Oberfläche O umschlossenen olumen: n qi i= 1 ( O) dq Mit der Ladungsdichte ρ ( r ) = dq( r ) d folgt das olumenintegral: dq = ( O) ( O) ρ( r ) d q 1 (O) O Beispiel: Ladungsdichte einer Punktladung (eindimensional) Wir betrachten eine Ladungsdichte (Ladung pro Länge): q 3 q n q 2 für ε ρ( ) =2ε für > ε 323

5 ρ ( ) 2ε Die usdruck für hängt nicht von der ntervalllänge ε ab. Die Ladungsdichte ε + ε Die Ladung ist also im Raumbereich der Länge 2ε konzentriert. Die gesamte im Raum vorhandene Ladung q ges ergibt sich durch ntegration über das olumen (in 1D ist dies eine Länge): + + ε ρ( ) d = d = 2ε = 2ε 2ε ε Für ε ziehen sich die Kurven immer mehr zusammen, wobei aber natürlich die Fläche unter der Kurve konstant bleibt. für ε ρ( ) =2ε für > ε kann daher für ε als Ladungsdichte einer Punktladung interpretiert werden. ρ ( ) 324

6 Dies kann auch mit kontinuierlichen Funktionen, die an einer Stelle einen scharfen Refle haben erreicht werden. δ δ() δ δ( Die δ-funktion (Delta-Funktion) ist eine infinitesimale Nadelfunktion, die am rgument über alle Grenzen wächst und außerhalb, d.h. für, verschwindet. Dabei muss aber immer gelten: ) Die δ-funktion kann als Grenzwert von kontinuierlichen, normalen Funktionen aufgefasst werden. Diese Darstellung ist aber nicht eindeutig. Beispielsweise gilt: 1 ε 1 sin( L) δ ( ) = lim, δ ( ) = lim ε 2 2 π + ε L π 2 1 δ ( ) = lim ep ε 2 2π ε 2ε Für die ntegrale über diese Funktionen ergibt sich jeweils: δ ( ) d = 1 1 ε 1 sin( L) d = d 2 2 π + ε π = ep d 1 2 = 2π ε 2ε 325

7 Z-4.4 Stromdichte j Die Stromdichte ist ein ektor, der in Richtung des Stromflusses zeigt. Der Strom d, der durch eine Fläche d fließt ist gegeben durch: d = j d j (r ) d Dieser Zusammenhang definiert den ektor der Stromdichte. Dabei ist der ektor des Flächenelementes wie vorher beim elektrischen Fluss definiert. Der Gesamtstrom, der durch eine Fläche fließt, lässt sich mit der Stromdichte dann folgendermaßen ausdrücken: = j d Wenn der Strom überall konstant ist und senkrecht durch die Fläche fließt, dann gilt einfach: j = / 326

Z-4.5 Ladungserhaltung im abgeschlossenen olumen Wir betrachten ein abgeschlossenes olumen, in dem sich eine konstante Ladungsmenge befindet, und in das ein Strom hineinfließt.

8 Z-4.5 Ladungserhaltung im abgeschlossenen olumen Wir betrachten ein abgeschlossenes olumen, in dem sich eine konstante Ladungsmenge befindet, und in das ein Strom hineinfließt. Strom j Stromdichte Leiter Die Ladung im olumen ist: = ρ d n das olumen fließt der Strom: = j d Einsetzen für und ergibt: Da die Gesamtladung im abgeschlossenen olumen erhalten bleiben soll, gilt für die Änderung der Ladung im olumen: + = j d + ρ( r, t) d= 327

Wegen des Gaußschen Satzes gilt: j d = ( ) ( ) Da die ntegranden gleich sein müssen, ergibt sich so die Kontinuitätsgleichung für den Zusammenhang zwischen der Strom- und der Ladungsdichte: ρ( r, t)

9 Wegen des Gaußschen Satzes gilt: j d = ( ) ( ) Da die ntegranden gleich sein müssen, ergibt sich so die Kontinuitätsgleichung für den Zusammenhang zwischen der Strom- und der Ladungsdichte: ρ( r, t) j( r, t) + = m Fall der Magnetostatik ( / = ) gilt: j( r) = j d Einsetzen in die letzte Gleichung liefert: ρ( r, t) j( r, t) d + d = ( ) Für inkompressible Flüssigkeiten drückte die Kontinuitätsgleichung die Massenerhaltung aus: p 1 v 1 p 2 v 2 Die Kontinuitätsgleichung besagte hier v 1 1 = 2v2 = Für 3D kompressible Flüssigkeitsströmungen gilt dagegen allgemein: ρ ρ v + = const. 328

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