5.3 Typen und Klassifikation affiner Abbildungen

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1 53 Typen und Klassifikation affiner Abbildungen Definition 531 Sei A ein AR und Aff(A) die Gruppe der Affinitäten von A τ Aff(A) heißt Translation falls p, q A gilt: pτ(p) = qτ(q) Der dann von der Wahl p A unabhängige Vektor t = pτ(p) V A wird Translationsvektor der Translation τ genannt Satz 532 Sei A ein AR, α Aff(A) Dann sind äquivalent: (i) α ist eine Translation; (ii) p, q A: pq = α(p)α(q); (iii) Für die zu α gehörige lineare Abbildung α End K (V A ) gilt: α = id Definition 533 Sei A ein AR, α : A A eine affine Abbildung p A heißt Fixpunkt von α falls α(p) = p Fix(α) = {p A α(p) = p} bezeichnet die Menge der Fixpunkte von α Satz 534 Sei A ein AR, α Aff(A), p A Dann existiert eine eindeutig bestimmte Translation τ und ein eindeutig bestimmtes β Aff(A) mit β(p) = p und α = τ β Korollar 535 Sei A ein AR mit dim A = n < und KS (p 0,, p n ) Sei τ Aff(A) eine Translation mit Translationsvektor t = n i=1 t ip 0 p i Sei q A mit Koordinaten x 1,, x n in obigem KS, dh p 0 q = n i=1 x ip 0 p i Dann sind die Koordinaten von τ(q) in obigem KS gegeben durch x i + t i, 1 i n, dh p 0 τ(q) = n i=1 (x i + t i ) p 0 p i Es gilt insbesondere: MP P (τ) = I n t 1 t m Definition 536 Sei A ein euklidisch-affiner oder unitär-affiner Raum α Aff(A) heißt Isometrie (oder Kongruenz) falls sich der Abstand zweier Punkte unter Anwendung von α nicht ändert: p, q A gilt pq = α(p)α(q) Bemerkung und Definition 537 Sei A ein euklidisch-affiner oder unitäraffiner Raum (i) Jede Translation τ Aff(A) ist eine Isometrie 1

2 (ii) Sind α, β Aff(A) Isometrien, so sind auch α β und α 1 Isometrien Insbesondere bilden die Isometrien von A eine Untergruppe von Aff(A) genannt Isometriegruppe von A (oder Kongruenzgruppe von A), in Zeichen Iso(A) Satz 538 Sei A ein euklidisch-affiner oder unitär-affiner Raum, und sei α Aff(A) Dann gilt: α Iso(A) genau dann wenn die zu α gehörige lineare Abbildung α : V A V A eine orthogonale bzw unitäre Abbildung ist Definition und Satz 539 Sei A ein euklidisch-affiner oder unitär-affiner Raum α Aff(A) heißt Ähnlichkeit oder Similarität falls es ein c R, c > 0 gibt sodass für alle p, q A gilt: α(p)α(q) = c pq c heißt dann Ähnlichkeitsfaktor oder Similaritätsfaktor von α Es gilt: (i) Isometrien sind genau die Ähnlichkeiten mit Ähnlichkeitsfaktor 1 (ii) Die Menge der Ähnlichkeiten bezeichnen wir mit Sim(A) = {α Aff(A) α ist eine Ähnlichkeit Sim(A) ist eine Untergruppe von Aff(A) welche ihrerseits Iso(A) enthält: Iso(A) Sim(A) Aff(A) (iii) α Aff(A) ist eine Ähnlichkeit genau dann wenn es eine orthogonale bzw unitäre Abbildung β : V A V A und ein λ R, λ > 0 gibt mit α = λ β Bemerkung und Definition 5310 (1) Sei A ein euklidisch-affiner oder unitäraffiner Raum mit dim A = n < Im euklidischen Fall ist also der Grundkörper K = R, im unitären Fall K = C Ein KS P : (p 0,, p n ) in A nennt man kartesisch falls die Basis P : p 0 p n,, p 0 p n von V A eine Orthonormalbasis ist (bzgl des auf V A gegebenen Skalarprodukts) Sei nun α Aff(A), und sei T GL n (K) die zu α : V A V A gehörige Darstellungsmatrix bzgl der Basis P : T = M P P ( α), wobei wir annehmen, das (p 0,, p n ) ein kartesisches KS in A ist und P wie oben die dazugehörige ONB von V A Dann gilt: (i) α Aff(A) ist eine Isometrie genau dann wenn es eine orthogonale (im Fall K = R) bzw unitäre (im Fall K = C) Matrix T GL n (K) gibt mit T = M P P ( α) 2

3 (ii) α Aff(A) ist eine Ähnlichkeit mit Ähnlichkeitsfaktor c R, c > 0, genau dann wenn es eine orthogonale (im Fall K = R) bzw unitäre (im Fall K = C) Matrix T GL n (K) gibt mit ct = M P P ( α) (2) In einem euklidisch-affinen Raum A können wir den Winkel ϕ [0, π] (ohne Orientierung) zwischen 3 Punkten p 0, p 1, p 2 (mit p 1 p 0 p 2 ) definieren mittels ϕ := arccos p 0 p 1, p 0 p 2 p 0 p 1 p 0 p 1, p 0 p 2 = arccos p 0 p 2 p 0 p 1 p 0 p 2 (man vergleiche dies mit 4211) Wir schreiben ϕ = (p 0, p 1, p 2 ): p 2 (p p 1 0, p 1, p 2 ) p 0 Ähnlichkeiten lassen Winkel invariant: für eine Ähnlichkeit α gilt: (p 0, p 1, p 2 ) = (α(p 0 ), α(p 1 ), α(p 2 )) Definition 5311 Seien A und B ARs und α : A A, β : B B affine Abbildungen Wir nennen α konjugiert zu β, in Zeichen α β, falls es eine bijektive affine Abbildung ϕ : A B gibt mit α = ϕ 1 β ϕ Bemerkung (i) Damit α β überhaupt möglich ist, muss natürlich notwendigerweise dim A = dim B gelten (ii) α = ϕ 1 β ϕ bedeutet, dass das folgende Diagramm kommutiert: A α A ϕ B β B Satz 5312 Seien A und B ARs mit dim A = dim B = n <, und seien α : A A, β : B B affine Abbildungen Sei P ein KS auf A und Q ein KS auf B Dann gilt α β genau dann, wenn es C AGL n (K) gibt mit M P P (α) = C 1 M Q Q (β)c ϕ 1 3

4 Ein generelles Ziel ist nun, affine Abbildungen bis auf Konjugation zu klassifizieren Im Wesentlichen entspricht dies dem Problem, ein Koordinatensystem so zu wählen, dass die Darstellungsmatrix einer affinen Abbildung bzgl dieser Basis eine gewisse Normalform annimmt, wobei diese Normalformen die Eigenschaft haben sollen, dass affine Abbildungen genau dann konjugiert sind, wenn ihre Normalformen in gewisser Weise übereinstimmen Dies ist also ganz in Analogie zu unserem früheren Versuch, Normalformen für lineare Abbildungen zu finden (Stichwort: Jordansche Normalform) Wir erinnern uns daran, dass wir dazu bei linearen Abbildungen in der Lage waren, vorausgesetzt, ihre charakteristischen Polynome zerfielen in Linearfaktoren Für affine Abbildungen ist das Problem noch ein bisschen schwieriger Definition 5313 (i) Für einen affinen Raum A definieren wir AEnd(A) := {affine Abbildungen α : A A} Wir nennen die Elemente in AEnd(A) auch affine Endomorphismen von A (ii) Wir nennen zwei Matrizen L 1, L 2 AM n (K) affin ähnlich, in Zeichen L 1 a L 2, wenn es C AGL n (K) gibt mit L 1 = C 1 L 2 C Bemerkung 5314 (i) Konjugation definiert eine Äquivalenzrelation auf AEnd(A) (ii) Affine Ähnlichkeit definiert eine Äquivalenzrelation auf AM n(k) (iii) Falls dim A = n <, α, β AEnd(A), P, Q zwei KS auf A, dann gilt Insbesondere gilt: M P P (α) a M Q Q (α) α β M P P (α) a M Q Q (β) Sind ferner P und Q die zu P bzw Q gehörenden Basen von V A, so gilt: Sind α und β konjugiert dann sind M P P ( α) und M Q ( α) ähnlich zueinander im Sinne von Q 329, dh es gibt D GL n (K) mit M P P ( α) = D 1 M Q ( α)d Die Umkehrung Q gilt ia nicht (iv) Falls dim A = n <, α AEnd(A), dann sind äquivalent: (a) α ist Translation; ( (b) Es gibt ein KS P von A sodass MP P (α) = In S S K n ; ) für ein geeignetes (c) Für jedes KS P von A hat MP P (α) die Gestalt wie in (b) (mit von P abhängigem S) 4

5 Falls in (b) das KS P durch (p 0,, p n ) gegeben ist, und S = (s i ) K n, so ist der Translationsvektor gegeben durch n i=1 s ip 0 p i (v) Falls dim A = n < (, α ) AEnd(A), und P : (p 0,, p n ) ein KS von T 0 A, dann gilt: MP P (α) = für ein geeignetes T M n (K) genau dann wenn p 0 Fixpunkt von α ist (vi) Sei dim A = n < und seien P, Q zwei KS von A und MQ P (id A) = ( ) T S, die Koordinatenwechselmatrix von P nach Q Es gilt sicher ( T S ) = ( In S ) ( T 0 Gilt ebenfalls für T M n (K) und S K n, dass ( ) ( ) ( ) T S In S = T 0 dann gilt notwendigerweise T = T und S = S ( ) T 0 Die Matrix entspricht hierbei nach (v) einer KS-Transformation vom ( ) KS P zu einem KS P In S, die den Ursprung p 0 festlässt, und die Matrix entspricht hierbei einer Translation ( Verschiebung ) vom KS P zum KS Q (Man vergleiche dies mit 534) (vii) Allgemeiner gilt für affine Matrizen wegen 534 und mit obigen (iv), (v): Sei B AM n (K) gegeben Dann existieren eindeutig bestimmte T M n (K) und S K n mit ( ) ( ) In S T 0 B = Zur Erinnerung: Ist A ein AR und α AEnd(A), so ist die Menge der Fixpunkte von α Fix(A) = {p A α(p) = p} Lemma 5315 Sei A ein AR und α AEnd(A) Dann ist Fix(A) ein AUR von A Satz 5316 Seien A und B ARs, α AEnd(A), β AEnd(B) Angenommen α und β sind konjugiert zueinander, dh es gibt eine bijektive affine Abbildung ϕ : A B mit α = ϕ 1 β ϕ Dann gilt ϕ(fix(α)) = Fix(β) 5 )

6 Insbesondere ist ϕ Fix(α) : Fix(α) Fix(β) eine bijektive affine Abbildung und dim Fix(α) = dim Fix(β) Bemerkung 5317 Sei A ein AR mit dim A = n, P : (p 0,, p n ) ein KS auf A, und sei α AEnd(A) Wir wollen die Fixpunkte von α bestimmen Mit anderen Worten, wir wollen die Koordinaten (bzgl P ) der Punkte q A bestimmen für die α(q) = q Sei zunächst q A ein beliebiger Punkt mir Koordinaten x 1,, x n, dh p 0 q = n i=1 x i p0 p i Seien ferner y 1,, y n die Koordinaten von α(q): p 0 α(q) = n i=1 y i p0 p i ( ) T S Sei ferner MP P (α) = AM n (K) die zu α gehörende Darstellungs- matrix bzgl P Sei X := x 1 x n und Y := y 1 y n Nach 526 gilt dann: Y = T X + S Dies lässt sich nach 527 auch als Matrizenmultiplikation ausdrücken: ( ) ( ) ( ) Y T S X = 1 1 Damit gilt für q A mit Koordinatenvektor X: q ist Fixpunkt T X + S = X (T I n )X = S X ist Lösung des LGS (T I n S) Für endlich-dimensionale ARs liefert dieses Argument zusammen mit 5115 einen neuen Beweis, dass Fix(α) ein AUR ist Außerdem folgt aus 5115 (also eigentlich aus der Theorie der LGS): Falls α einen Fixpunkt hat, dh falls das LGS (T I n S) eine Lösung hat, so gilt: dim Fix(α) = n Rang(T I n ) 6