Hochschule Rhein-Main. Sommersemester 2015

Transkript

1 von Vorlesung Hochschule Rhein-Main Sommersemester 2015 Dr. Roland Stamm 4. Mai 2015

2 von Diskontfaktoren: Legt man heute (in t) 1 Einheit bis T an, und erhält dafür in T insgesamt x zurück (mit Zinseszins, keine zwischenzeitlichen Zinszahlungen), so hat umgekehrt 1 Einheit in T heute den Wert P (t, T ) := 1/x. Wir verwenden in der Regel die kontinuierliche Verzinsung für Rechnungen: P (t, T ) = e r(t,t ) δ(t,t ). In der Praxis vorkommende Zinsen sind aber typischerweise einfach verzinst: P (t, T ) = 1/(1 + r(t, T ) δ(t, T )). Die Bewertung per heute ( Barwert ) einer zukünftigen Zahlung Z erfolgt durch Multiplikation mit dem Diskontfaktor für den Zahlungstermin: BW (t) = Z P (t, T ). Bewertung von Zahlungsströmen C i zum Zeitpunkt t i, i = 1,..., n: BW (t) = n C i P (t, t i ). i=1

3 von LIBOR-Raten: Forwardrate: L(t, T ) = 1 P (t, T ) δ(t, T ) P (t, T ) = 1 δ(t, T ) 1 P (t, T ) = 1 + L(t, T ) δ(t, T ). f(t; t 1, t 2 ) = II ( 1 ) P (t, T ) 1 ( ) 1 P (t, t1 ) δ(t 1, t 2 ) P (t, t 2 ) 1. Floating Rate Note (FRN) an einem Fixingtermin t 0 : Π(t 0 ) = N + N s A(t; t 0, t n). Zinsswap zu einem Fixingtermin: ( ) Π(t 0 ) = N 1 P (t 0, t n) + s A var (t 0 ; t 0, t n) c A fix (t 0 ; t 0, t n). Faire Swaprate (Parrate): c = 1 P (t, tn) A fix (t, t 0, t n).

4 von von können verwendet werden, um Zinsrisiken abzusichern ( Hedging ). Darlehensnehmer nehmen gerne variable Darlehen auf, da diese jederzeit kündbar sind. Allerdings wollen sie trotzdem lieber feste Darlehen wegen der Planungssicherheit haben. Deswegen gehen viele Darlehensnehmer mit ihrer Bank gleichzeitig mit dem Kredit ein Swapgeschäft ein, mit dem sie die variablen in feste Zinsen drehen. Aus Sicht der Bank handelt es sich um sogenannte Kundenderivate. Man kann damit auch Zinswetten eingehen (Spekulation). Man kann damit aber auch Darlehen verschleiern (Griechenland, Anfang der 00 er Jahre, mit Goldman Sachs. Derivatebewertungen wurden nicht der Verschuldung zugerechnet.): Beispielsweise kann man am Anfang des Geschäfts einen hohen festen Kupon erhalten, während man später einen hohen Spread auf der variablen Seite zahlt. Das wirkt wie ein Darlehen, bei dem man Anfang einige Tranchen ausgezahlt bekommt, die man später wieder zurückzahlt. Der Swap kann so gestaltet werden, dass er bei Abschluss den Wert 0 hat, der aber sehr schnell den Darlehenswert annimmt, sobald die hohen Fixbeträge geflossen sind.

5 als Bezugsgröße von Abbildung : Wirtschaftswoche vom 02/05/15.

6 von Swap Exposure Exposure ist der Erwartungswert des positiven Marktwertes eines Geschäfts (oder Portfolios), also (für t > 0): E = E(max(P V (t), 0)). Bei der Messung des Kreditrisiko ist es häufig wichtig zu wissen, wie sich das Exposure im Zeitverlauf ändert Payer Swap Receiver Swap Exposure Time / Years Abbildung : Erwarteter positiver Marktwert eines Standardswaps bei flacher Zinskurve.

7 Basisswaps von Ein Tenor-Basisswap oder kurz Basisswap tauscht zwei variable Zahlungsströme in derselben Währung, die verschieden häufig gefixt werden. Dabei wird auf einer Seite typischerweise ein Spread gezahlt (manchmal auch auf beiden). Beide Seiten beziehen sich auf dasselbe Nominal. Beispiel: 3-Monats-EURIBOR +15 gegen 6-Monats-EURIBOR. Das 3-Monats-Bein wird vierteljährlich gefixt und gezahlt, das 6-Monats-Bein halbjährlich. Bewertung: Die Spread-Komponente hat den Wert s A δ (t 0 ; t 0, t n), wobei δ der Tenor (die Periodenlänge) des Beines mit dem Spread ist. Für die reinen variablen Zahlungen gilt jeweils an einem Fixingtermin Π(t 0 ) = 1 P (t 0, t n), d.h. beide Beine haben denselben Wert. Ein Basisswap ohne Spread sollte deshalb an gemeinsamen Fixingterminen den Wert 0 haben. Basisswaps werden entweder über den Spread quotiert, der auf dem Bein mit dem kürzeren Tenor zu zahlen ist (z.b. in USD), oder als Differenz von zwei Zinsswap-Parrates mit den entsprechenden variablen Tenors (z.b. in EUR).

8 Basisswaps, Fortsetzung von Abbildung : Basisspreads 3 gegen 6 Monate (EURIBOR) für Laufzeiten von 2, 5 und 10 Jahren.

9 Basisswaps, Fortsetzung von Zusammenhang zwischen den beiden Quotierungen: Seien c δ, c die Parrates für Tenor δ bzw.., und s /δ der Spread auf dem -Bein eines -δ-basisswaps, der den Swap fair macht (Wert 0 bei Abschluss). Wenn wir annehmen, dass die festen beide der beiden Zinsswaps dieselbe Zahlungsfrequenz haben (dies ist üblicherweise der Fall), so gilt per Definition der beiden Spreads: n n (c δ c )A fix 0,n = (fj + s /δ ) j P (t, t j ) δ fj δ δ j P (t, t j ) j=1 j=1 = s /δ A 0,n, oder c δ c = s /δ A 0,n A fix. 0,n Der Quotient der beiden Annuitäten ist sehr nahe bei 1. In erster Näherung sind die beiden Konzepte deshalb identisch.

10 Cross-Currency von Bei Cross-Currency tauschen zwei Parteien Zinszahlungen in verschiedenen Währungen aus. Das Nominal wird dabei auf beiden Seite bei Abschluss so festgelegt, dass es dem Wechselkurs bei Abschluss entspricht. Im Gegensatz zu in einer Währung werden die Nominale bei Start und Ende des Geschäfts ausgetauscht. Beispiel: 3-Monats USD-LIBOR gegen 3-Monats EURIBOR 10. USD-Nominal 1 Million, Wechselkurs bei Abschluss 1, 1 USD/EUR, d.h. EUR-Nominal 0, 91 Millionen. Die Standard-Quotierung von Cross-Currency ist 3-Monats-USD LIBOR gegen einen anderen 3-Monats-LIBOR, mit einem Spread auf dem Nicht-USD-Bein. Es gibt auch einen EUR-Cross-Currency-Markt, bei dem 3-Monats-EURIBOR gegen eine andere Währung getauscht wird. Dann ist der Spread auf der Nicht-EUR-Seite. Die Spreads werden quotiert. Bewertung: Ohne die Spread-Komponente sind beide Beine einfach FRNs in der jeweiligen Währung (Nominal auf beiden Seiten bleibt fest). Diese haben bei Abschluss jeweils den Nominalwert; die Nominale sind per Definition bei Abschluss gleich viel wert. Ein Standard-Cross-Currency Swap sollte also immer einen fairen Spread von 0 haben. Schon vor der Finanzkrise war das nicht so, mit Ausbruch der Krise sind die Spreads noch deutlich gestiegen.

11 von Cross-Currency mit Nominalanpassung Hierbei tauschen die beiden Parteien ebenfalls Zahlungsströme in zwei verschiedenen Währungen aus, und es kommt auch am Anfang und am Ende zu einem Nominaltausch. Allerdings wird der Wechselkurs am Ende jeder Periode angepasst, und dementsprechend wird das Nominal in einer Währung durch Ausgleichszahlungen angepasst. Dies hat den Effekt, dass der Wert des Geschäfts sich nicht so stark von 0 fortentwickelt wie ohne die Ausgleichszahlungen. Damit reduziert diese Variante das Kreditrisiko. Exposure pay EUR, rec GBP pay resetting EUR, rec GBP pay GBP, rec GBP Time / Years Abbildung : Erwartungswert des positiven Marktwerts eines Cross-Currency ohne und mit Ausgleichszahlungen. Im Vergleich dazu ein GBP-Zinsswap.

12 von 1 Angenommen, Sie haben eine Autoversicherung, bei der Sie jährlich 800 EUR Beitrag bezahlen. Sie haben einen Unfall, bei dem ein Schaden von 1500 EUR entsteht. Wenn Sie den Schaden über die Versicherung abwickeln, müssen Sie 300 EUR Selbstbehalt zahlen, und die Beiträge erhöhen sich für zwei Jahre auf 1200 EUR, für weiter zwei Jahre auf 1000 EUR, und für ein weiteres Jahr auf 900 EUR. Ab welchem risikolosen Zinssatz lohnt es sich, den Schaden selbst zu bezahlen? 2 Welche Informationen benötigt man, um das Exposure eines für einen zukünftigen Termin zu bestimmen? 3 Über- oder unterschätzt man mit der Replikationsformel die Forwardrate? Begründen Sie Ihre Aussage.