Aufgabe 1 Wir werfen einen fairen Würfel einmal und ordnen den Augenzahlen Zufallsgrössen X und Y wie folgt zu:

Transkript

1 Mathematik II für Naturwissenschaften Dr. Christine Zehrt Übung 4 (für Pharma/Geo/Bio/Stat) Uni Basel Besprechung der Lösungen: 26./27. März 2019 in den Übungsstunden Die Geo-Übungsstunde von Stefan ( ) findet ab sofort im Seminarzimmer 4.1 der Physik statt. Wir werfen einen fairen Würfel einmal und ordnen den Augenzahlen Zufallsgrössen X und Y wie folgt zu: ω X Y (a) Bestimmen Sie den Erwartungswert E(X + Y). (b) Sind X und Y stochastisch unabhängig? (c) Berechnen Sie die Varianz Var(X +Y). Ein Würfel wird 5-mal geworfen. Erfolg sei das Werfen der Augenzahl 6. (a) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, bei den 5 Würfen (i) genau 4 Erfolge (ii) höchstens 2 Erfolge (iii) mindestens 3 Erfolge zu erzielen? (b) Wieviele Erfolge kann man auf lange Sicht(bei vielen Wurffolgen mit 5 Würfen) erwarten? (c) Sei X die Zufallsgrösse X = (Anzahl Erfolge bei den 5 Würfen). Berechnen Sie die gesamte Wahrscheinlichkeitsverteilung und stellen Sie diese in einem Balkendiagramm dar. (a) Wir nehmen an, dass die Anzahl der Druckfehler pro Seite eines bestimmten Buches durchschnittlich gleich 0,2 ist. Mit welcher Wahrscheinlichkeit (Annahme einer Poissonverteilung) befinden sich mehr als 2 Fehler auf 10 Seiten? (b) Bei der Herstellung von CDs treten störende Staubteilchen auf. Es wird angenommen, dass die Anzahl der Staubteilchen poissonverteilt ist, mit durchschnittlich 0,05 Staubteilchen pro cm 2. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, auf einer CD von 100cm 2 weniger als 3 Staubteilchen zu finden? Etwa 6% aller freiwilligen Blutspender, welche sich in zufälliger Reihenfolge an einer örtlichen Blutspendeaktion beteiligen, haben Blutgruppe AB.

2 (a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird spätestens der achte Spender Blutgruppe AB aufweisen, das heisst, wird unter den ersten acht mindestens ein AB-Spender sein? (b) Wieviele Spender sollten sich an der Blutspendeaktion beteiligen, damit die Wahrscheinlichkeit für wenigstens einen AB-Spender grösser als 99% ist? Zusatzaufgaben Aufgabe 5 Bei der Produktion von Schoggi-Hasen gehen wir davon aus, dass 2% der Schoggi-Hasen fehlerhaft (d.h. nicht für den Verkauf geeignet) sind. Mit welcher Wahrscheinlichkeit finden wir unter 50 Schoggi-Hasen (a) keinen (b) höchstens 2 fehlerhafte Schoggi-Hasen? Berechnen Sie diese Wahrscheinlichkeiten exakt und mit Hilfe einer Näherung mit der Poissonverteilung. Aufgabe 6 Vladimir Petkovic, der Trainer der Schweizer Fussballnationalmannschaft, hat 23 Spieler zum EM-Qualifikationsspiel vom gegen Dänemark aufgeboten, nämlich 3 Torhüter, 9 Verteidiger, 6 Mittelfeldspieler und 5 Stürmer. Wieviele Möglichkeiten für die Startelf hat er, wenn er mit 4 Verteidigern und 1 oder 2 Stürmern spielen lässt? Aufgabe 7 Sei X eine Zufallsgrösse und a,c reelle Zahlen. Zeigen Sie, dass Var(aX +c) = a 2 Var(X). Aufgabe 8 Zeigen Sie, dass für eine poissonverteilte Zufallsgrösse X gilt V ar(x) = λ.

3 Lösungshinweise (a) Entweder direkt oder E(X +Y) = E(X)+E(Y) gemäss Satz 4.2. (b) Entweder die Definition auf Seite 44 überprüfen oder (falls eine negative Antwort vermutet wird) mit Hilfe von Satz 4.3. (c) Zum Beispiel mit Hilfe von Satz 4.1 (oder darf Satz 4.4(4) benutzt werden?). (a) Analog zum 1. Beispiel auf Seite 51. (b) Gesucht ist der Erwartungswert (vgl. Satz 5.4). (c) Wie für das Beispiel auf den Seiten Poissonverteilung wie die beiden Beispiele auf den Seiten (a) Binomialverteilung (b) Gesucht ist n, so dass P n (k 1) > 0,99. Aufgabe 5 (Zusatzaufgabe) Analog zum Beispiel auf Seite 54. Aufgabe 6 (Zusatzaufgabe) Satz 5.3 mehrmals anwenden. Aufgabe 7 (Zusatzaufgabe) Die Sätze 4.1 und 4.4(1) je zweimal anwenden. Aufgabe 8 (Zusatzaufgabe) Analog zum Beweis von E(X) = λ auf Seite 54. Die Gleichung Var(X) = E(X 2 ) (E(X)) 2 benutzen und an einer Stelle k durch 1+(k 1) ersetzen.

4 Ergebnisse (a) E(X +Y) = 1 6 ( ) = 8 (= 3+5 = E(X)+E(Y)) (b) Nein, X und Y sind nicht stochastisch unabhängig. Mit der Definition: Zum Beispiel ist P(X = 2) = 1 3 und P(Y = 3) = 1 3, aber P((X = 2) und (Y = 3)) = 1 3 P(X = 2) P(Y = 3). Mit Satz 4.3: E(XY) = 19 E(X) E(Y), also sind X und Y stochastisch unabhängig. (Aber Achtung: Wäre E(XY) = E(X) E(Y), dann wären X und Y nicht unbedingt stochastisch unabhängig!) (c) Mit Satz 4.1: Var(X +Y) = E((X +Y) 2 ) (E(X +Y)) 2 = = 18 (Var(X +Y) = = Var(X)+Var(Y) wegen (b).) (a) (i) P 5 (4) = 0,00322 (ii) P 5 (k 2) = 0,9645 (iii) P 5 (k 3) = 1 P 5 (k 2) = 0,0355 (b) E(X) = 5 6 = 0,83 (c) Es gilt P(X = k) = P 5 (k) = ( 5 k )( 1 6 ) k ( ) 5 5 k 6 k P 5 (k) 0,4019 0,4019 0,1608 0,0322 0,0032 0,0001 (a) P(k > 2) = 1 P(k 2) = 0,3233 (mit λ = 2) (b) P(k < 3) = 0,1247 (mit λ = 5) (a) P 8 (k 1) = 1 P 8 (0) = 1 0,94 8 = 0,3904 (mit n = 8, p = 0,06) (b) Mindestens 75 Spender. P n (k 1) = 1 P n (0) > 0,99 P n (0) < 0,01 Mit P n (0) = 0,94 n erhält man die Ungleichung n > ln(0,01) ln(0,94) 74,43.

5 Aufgabe 5 (Zusatzaufgabe) Exakt mit einer Binomialverteilung (n = 50, p = 0,02): (a) P 50 (0) = 0, = 0,3642 (b) P 50 (k 2) = P 50 (0)+P 50 (1)+P 50 (2) = 0, ,02 0, ( 50 2 ) 0,022 0,98 48 = 0,9216 Näherung mit einer Poissonverteilung (λ = np = 1): (a) P(0) = e 1 = 1 e = 0,3679 (b) P(k 2) = P(0)+P(1)+P(2) = e 1 ( ) = 0,9197 Aufgabe 6 (Zusatzaufgabe) ( )( )( )( ) Anzahl Möglichkeiten = Aufgabe 7 (Zusatzaufgabe) ( 5 2 )( )( )( ) = Var(aX +c) = E((aX +c) 2 ) (E(aX +c)) 2 (mit Satz 4.1) = E(a 2 X 2 +2acX +c 2 ) (ae(x)+c) 2 (mit Satz 4.4(1)) = a 2 E(X 2 )+2acE(X)+c 2 a 2 (E(X)) 2 2acE(X) c 2 (mit Satz 4.4(1)) = a 2 (E(X 2 ) (E(X)) 2 ) = a 2 Var(X) (mit Satz 4.1) Aufgabe 8 (Zusatzaufgabe) Es gilt Var(X) = E(X 2 ) (E(X)) 2 = E(X 2 ) λ 2. Weiter finden wir E(X 2 ) = P(k)k 2 = k=0 k=0 λ k k! e λ k 2 = e λ k 2 λ k = e λ λ k! Die Summe können wir nun wie folgt umformen: kλ k 1 = (1+(k 1)) λk 1 (k 1)! k=1 k=1 λ k 1 = + (k 1) λk 1 k=1 k=1 = e λ + (k 1) λk 1 k=2 = e λ λ k 2 +λ (k 2)! Damit folgt k=2 = e λ +λe λ = e λ (1+λ) k=1 E(X 2 ) = e λ λ e λ (1+λ) = λ+λ 2 und wir finden wie gewünscht Var(X) = E(X 2 ) λ 2 = λ+λ 2 λ 2 = λ. k=1 kλ k 1