Lösungen - 4. Klasse / 4. Schulstufe

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1 Lösungen - 4. Klasse / 4. Schulstufe 4. Klasse / 4. Schulstufe 1. Peter ist 2 Jahre älter als Jonas. Wenn Peter dreimal so alt sein wird wie er heute ist, wird Jonas viermal so alt wie er heute ist. Wie alt sind Peter und Jonas heute? (A) Peter ist 2 Jahre alt. (B) Jonas ist 3 Jahre alt. (C) Peter ist 4 Jahre alt. (D) Jonas ist 4 Jahre alt. (E) Peter ist 6 Jahre alt. Lösung: Wir prüfen nach und nach alle fünf Antworten. Wenn Peter 2 Jahre alt ist, dann ist Jonas 0 (2 2) Jahre alt. 0 geht aber nicht, daher ist (A) keine Lösung. Wenn Jonas 3 Jahre alt ist, dann ist Peter 5 (3 + 2) Jahre alt. Wenn Peter dreimal so alt sein wird wie er heute ist, wird er 15 (5 mal 3) Jahre alt sein. Bis dann vergehen 10 Jahre (15 5). In 10 Jahren wird Jonas 13 (3 + 10) Jahre alt. Das Vierfache von 3 ist aber 12 und nicht 13. Daher ist (B) keine Lösung. Wenn Peter 4 Jahre alt ist, dann ist Jonas 2 (4 2) Jahre alt. Wenn Peter dreimal so alt sein wird, wie er heute ist, wird er 12 (4 mal 3) Jahre alt sein. Bis dann vergehen 8 Jahre (12 4). In 8 Jahren wird Jonas 10 (2 + 8) Jahre alt. Das Vierfache von 2 ist aber 8 und nicht 10. Daher ist (C) keine Lösung. Wenn Jonas 4 Jahre alt ist, dann ist Peter 6 (4 + 2) Jahre alt. Wenn Peter dreimal so alt sein wird, wie er heute ist, wird er 18 (6 mal 3) Jahre alt sein. Bis dann vergehen 12 Jahre (18 6). In 12 Jahren wird Jonas 16 (4 + 12) Jahre alt. Das Vierfache von 4 ist ebenfalls 16, es stimmt also. Daher ist (D) eine Lösung. Wenn Peter 6 Jahre alt ist, dann ist Jonas 4 (6 2) Jahre alt. Wenn Peter dreimal so alt sein wird, wie er heute ist, wird er 18 (6 mal 3) Jahre alt sein. Bis dann vergehen 12 Jahre (18 6). In 12 Jahren wird Jonas 16 (4 + 12) Jahre alt. Das Vierfache von 4 ist ebenfalls 16, es stimmt also. Daher ist (E) eine Lösung. Die richtige(n) Antwort(en): D, E 2. Aaron schreibt alle zweistelligen Zahlen auf, die durch 2 teilbar sind. Wie viele unterschiedliche Ziffern braucht er dazu insgesamt? Bemerkung: Die Ziffern sind 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9. (A) 4 (B) weniger als 5 (C) 5 (D) mehr als 5 (E) 10 Lösung: Aaron braucht alle 10 Ziffern. Tatsächlich, bereits die zweistelligen Zahlen 10, 32, 54, 76, 98 beinhalten alle 10 Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9. Es gilt: 10 ist mehr als 5. Die richtige(n) Antwort(en): D, E 3. Wie viele Rechtecke lassen sich in dieser Figur insgesamt finden? Bemerkung: Ein Rechteck kann auch aus mehreren kleineren Rechtecken bestehen. (A) 9 (B) 10 (C) 11 (D) 12 (E) 13

2 Lösungen der Aufgaben Lösung: Es gibt genau diese 6 einzelnen Rechtecke: Es gibt genau diese 2 Rechtecke, die aus zwei kleineren Rechtecken bestehen: 2 aus drei kleineren Rechtecken: 1 aus vier kleineren Rechtecken: 1 aus fünf kleineren Rechtecken: 1 aus sechs kleineren Rechtecken: Wir zählen nun alle Teilergebnisse zusammen: = 13. Die richtige(n) Antwort(en): E 4. Lisa trägt in die leeren Quadrate der nebenstehenden Tabelle die Zahlen 1, 2, 3, 4 so ein, dass in jeder Reihe und in jeder Spalte alle vier Zahlen vorkommen. Welche Zahl könnte Lisa in das schraffierte Quadrat eingetragen haben? (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) Jede der vier Zahlen. Lösung: Zunächst füllen wir die linke Spalte aus. Es fehlen noch die Zahlen 1 und 4. Die Zahl 1 darf nicht im obigen Feld stehen (sonst wären zwei 1-er in einer Reihe). Daher kommt die 4 in das Feld oben und die 1 in das Feld unten (siehe Figur 1). Jetzt tragen wir 2, 3 in die erste Reihe von oben ein. Anschließend können wir die rechte Spalte ausfüllen. Dies geht nur wie in Figur 2 (sonst hätten wir zwei 2-er in derselben Reihe). Schließlich vervollständigen wir die

3 4. Klasse / 4. Schulstufe Tabelle (siehe Figur 3). Im schraffierten Feld steht die Zahl 1. Wenn wir in Figur 3 die erste Reihe statt 2, 3 mit 3, 2 ausfüllen, erhalten wir die Tabelle von Figur 4. Hier steht die 4 im schraffierten Feld. Anregung: Der geneigte Leser möge dies selbst prüfen Figur 1 Figur Figur 3 Figur 4 Die richtige(n) Antwort(en): A, D 5. Auf dem Tisch liegen vier Spielwürfel. Julia multipliziert die vier Augenzahlen miteinander (also mal rechnen) und erhält 24. Wie viel kann die Summe (also plus rechnen) der vier Augenzahlen betragen? Bemerkungen: Auf den Seitenflächen eines Spielwürfels gibt es die Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6. Die vier Augenzahlen müssen nicht alle unterschiedlich sein. (A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 11 (E) 12 Lösung: In Teil 1 untersuchen wir, wie das Produkt von vier Zahlen 24 ergeben kann. 24 sieht so aus: 24 = Da die vier Zahlen Augenzahlen eines Würfels sind, kommen nur die Zahlen 1, 3, 3, 4, 5 und 6 in Frage. Durch Probieren erhalten wir alle Möglichkeiten, wie man in die vier Kästchen vier Zahlen eintragen kann. Diese sind: 24 = oder 24 = oder 24 = oder 24 = In Teil 2 berechnen wir die einzelnen Summen: Wenn 24 = , dann ist die Summe der vier Zahlen = 12. Beachte: Die Reihenfolge spielt keine Rolle. Z. B. für 24 = ist ebenfalls 12.

4 Lösungen der Aufgaben Wenn 24 = , dann ist die Summe der vier Zahlen = 11. Wenn 24 = , dann ist die Summe der vier Zahlen = 10. Wenn 24 = , dann ist die Summe der vier Zahlen = 9. Die richtige(n) Antwort(en): B, C, D, E 6. Claudius bastelt aus L-Formen aus der linken Figur Treppen. Die rechte Figur zeigt eine fertige 6-stufige Treppe. Claudius bastelt weitere solche Treppen aus L-Formen. Wie viele Stufen können seine gebastelten Treppen haben? L-Form Bemerkung: Claudius kann so viele L-Formen verwenden, wie er will. (A) 7 (B) 9 (C) 12 (D) 13 (E) 16 Lösung: In Teil 1 zeigen wir, dass 9 und 12 Lösungen sind. Dazu geben wir je eine passende Figur an. 9-stufige Treppe 12-stufige Treppe In Teil 2 zeigen wir, dass 7, 13 und 16 keine Lösungen sind. Jede L-Form hat drei Quadrate. Daraus folgt: Feststellung: Die Gesamtzahl der Quadrate in einer aus L-Formen konstruierten Treppe ist teilbar durch 3. Eine 7-stufige Treppe bestünde aus insgesamt = 28 Quadraten. 28 ist aber nicht teilbar durch 3. Daraus folgt, dass Claudius keine 7-stufige Treppe basteln kann. Eine 13-stufige Treppe bestünde aus insgesamt = 91 Quadraten. 91 ist aber nicht teilbar durch 3. Daraus folgt, dass Claudius keine 13-stufige Treppe basteln kann. Eine 16-stufige Treppe bestünde aus = 136 Quadraten. 136 ist aber nicht teilbar durch 3. Daraus folgt, dass Claudius keine 16-stufige Treppe basteln kann. Die richtige(n) Antwort(en): B, C

5 4. Klasse / 4. Schulstufe 7. Die nebenstehende Figur stellt 8 Häuser einer Jugendherberge dar. Ein Lehrer möchte Kinder einer Schulklasse in diesen 8 Häusern so unterbringen, dass folgende Bedingungen gleichzeitig erfüllt werden: I. In jedem Haus wohnt mindestens ein Kind. und II. In jeder Reihe mit drei Häusern (oben, unten, links, rechts) wohnen insgesamt je 13 Kinder. Die Frage: Wie viele Kinder kann man insgesamt in den 8 Häusern unterbringen? (A) 26 (B) 28 (C) 38 (D) 48 (E) 50 Lösung: In Teil 1 zeigen wir, dass 28, 38 und 48 Lösungen sind. Dazu geben wir je ein passendes Beispiel an. 28 Kinder 38 Kinder 48 Kinder In Teil 2 zeigen wir, dass 26 keine Lösung ist. Tatsächlich, sowohl in der unteren als auch in der oberen Reihe müssten genau 13 Kinder untergebracht sein (nach II.). Zusammen wären das schon 26 Kinder. Hinzu kämen aber noch die Kinder, die in den schraffierten Häusern untergebracht werden (laut I. muss in jedem Haus mindestens ein Kind sein). Damit bekämen wir aber mehr als 26 Kinder. Dies zeigt, dass 26 keine Lösung ist. In Teil 3 zeigen wir, dass 50 keine Lösung ist. Tatsächlich, sowohl in der unteren als auch in der oberen Reihe müssten genau 13 Kinder wohnen (II.). Zusammen wären es 26 Kinder. Hinzu kämen noch 24 (50 26) Kinder, die in den schaffierten Häusern wohnen. 24 Kinder verteilt auf die zwei schraffierten Häuser bedeutet: In mindestens einem dieser zwei Häuser müssten mindestens 12 Kinder wohnen. In den Häusern oberhalb und unterhalb von diesem Haus wohnt mindestens noch je ein Kind (nach I.). Damit hätten wir in dieser Spalte mindestens 14 Kinder ( ). Dies zeigt, dass 50 ebenfalls keine Lösung ist. Die richtige(n) Antwort(en): B, C, D 8. In einem See im Wunderland wächst eine Seerose, die in jeder Minute ihre Größe verdoppelt. Nach 30 Minuten hat die Seerose den See vollständig bedeckt. Nach wie vielen Minuten bedeckte die Seerose die Hälfte des Sees? (A) 14 (B) 15 (C) 29 (D) 59 (E) 60

6 Lösungen der Aufgaben Lösung: Die Seerose hat ihre Größe auch in der 30. Minute verdoppelt. Dies bedeutet: Ende der 29. Minute bedeckte sie noch genau die Hälfte des Sees. Die richtige(n) Antwort(en): C 9. Jonas, Fabian und Peter besiegten nach einem langen Kampf einen Drachen mit sieben Köpfen. Anschließend sagten die drei Kämpfer: Jonas: Fabian hat den letzten Kopf des Drachens abgeschnitten. Fabian: Peter hat den letzten Kopf des Drachens abgeschnitten. Peter: Ich habe den letzten Kopf des Drachens abgeschnitten. Allerdings: Nur einer der drei Kämpfer sagt die Wahrheit. Die anderen zwei lügen. Die Frage: Wer hat den letzten Kopf des Drachens abgeschnitten? (A) Jonas (B) Fabian (C) Peter (D) Weder Jonas noch Fabian noch Peter. (E) Keine dieser Antworten. Lösung: Von den drei Kämpfern sagt nur einer die Wahrheit. Wir untersuchen nun, welcher Kämpfer den letzten Kopf des Drachens wohl abgeschnitten hat. 1. Versuch: Jonas war es. Dann haben alle drei gelogen. 2. Versuch: Fabian war es. Dann hat Jonas die Wahrheit gesagt, Fabian und Peter haben gelogen. 3. Versuch: Peter war es. Dann hat Jonas gelogen, Fabian und Peter haben die Wahrheit gesagt. Der einzige Versuch, bei dem genau ein Kämpfer die Wahrheit sagt, ist der 2. Versuch. Also muss es Fabian gewesen sein. Die richtige(n) Antwort(en): B 10. Wie viele dreistellige Zahlen gibt es insgesamt, bei denen sich die Hunderterziffer und die Einerziffer um 2 unterscheiden? (A) 80 (B) 150 (C) 160 (D) 170 (E) 180 Lösung: Wenn die Hunderterziffer um 2 größer ist als die Einerziffer, ergeben sich diese Möglichkeiten: Wenn die Einerziffer um 2 größer ist als die Hunderterziffer, ergeben sich diese Möglichkeiten: In den Kästchen kann jede Ziffer stehen. Beispiel: Wenn die Zehnerziffer 0 ist, entstehen folgende Zahlen: 200, 301, 402, 503, 604, 705, 806, 907, 103, 204, 305, 406, 507, 608 und 709. Das Zusammenzählen ergibt 15 Zahlen. Für jede andere Zehnerziffer gibt es ebenfalls 15 Zahlen. Da es 10 Zehnerziffern gibt, haben wir insgesamt 150 (15 10) dreistellige Zahlen, die die Bedingung erfüllen. Die richtige(n) Antwort(en): B

7 4. Klasse / 4. Schulstufe 11. Anna und Bea wohnen in zwei Häusern, die durch einen geraden Weg verbunden sind. Entlang dieses Weges stehen zwischen den zwei Häusern 30 Blumen (15 Tulpen und 15 Rosen) in einer langen Reihe. Eines Tages ging Anna von ihrem Haus zu Beas Haus und goss im Vorbeigehen der Reihe nach die Blumen an der Straße (sie übersprang keine). Da sie nach der 10. Tulpe kein Wasser mehr hatte, bekamen insgesamt 10 Blumen kein Wasser. Am nächsten Tag ging Bea von ihrem Haus zu Annas Haus und pflückte im Vorbeigehen der Reihe nach die Blumen an der Straße (sie übersprang keine). Nachdem sie die 6. Tulpe gepflückt hatte, war sie mit ihrem Strauß zufrieden und ließ die restlichen Blumen stehen. Die Frage: Wie viele Blumen sind zwischen den zwei Häusern insgesamt stehen geblieben? (A) 18 (B) 19 (C) 20 (D) 24 (E) Keine dieser Antworten. Lösung: Zwischen den zwei Häusern gab es am Anfang 30 ( ) Blumen. Als Anna die Blumen goss, blieben nach der 10. Tulpe (von ihrem Haus aus gezählt) 10 Blumen ohne Wasser, siehe Figur 1. (A steht für Annas, B für Beas Haus.). Die mit Schwarz markierte Tulpe war für Anna die 10-te. Da es insgesamt 15 Tulpen gab, waren unter den 10 ungegossenen Blumen genau 5 Tulpen (15 10). Dies bedeutet: Von Beas Haus aus betrachtet ist die mit Schwarz markierte Tulpe die 6-te. A Figur 1 10 Blumen (darunter 5 Tulpen) B Die letzte Tulpe, die Bea pflückte, war für sie die 6-te, also die mit Schwarz markierte Blume. Wir können nun Figur 1 auch etwas anders darstellen (siehe Figur 2). A Figur 2 gepflückte Blumen B Aus Figur 2 folgt: Die letzte Blume, die Bea pflückte, war die 11-te (10 + 1) von ihrem Haus aus betrachtet. Es sind daher Blumen stehen geblieben. Die richtige(n) Antwort(en): B 12. Wie viele dreistellige Zahlen gibt es insgesamt, bei denen die drei Ziffern zusammengezählt 6 ergeben? (A) 15 (B) 17 (C) 18 (D) 20 (E) 21 Lösung: In Teil 1 finden wir alle Möglichkeiten, wie 6 als Summe von drei Ziffern entstehen kann oder oder oder oder oder oder

8 Lösungen der Aufgaben In Teil 2 bilden wir alle dreistelligen Zahlen mit der gesuchten Eigenschaft. Die sieben Möglichkeiten aus Teil 1 bilden unseren Ansatz. Aus den Ziffern 1; 0; 5 entstehen diese Zahlen: 105; 150; 501; 510, also 4 Zahlen. Aus den Ziffern 1; 1; 4 entstehen diese Zahlen: 114; 141; 411, also 3 Zahlen. Aus den Ziffern 1; 2; 3 entstehen diese Zahlen: 123; 132; 213; 231; 312; 321, also 6 Zahlen. Aus den Ziffern 2; 2; 2 entsteht diese Zahl: 222, also nur 1 Zahl. Aus den Ziffern 2; 0; 4 entstehen diese Zahlen: 204; 240; 402; 420, also 4 Zahlen. Aus den Ziffern 3; 0; 3 entstehen diese Zahlen: 303; 330, also 2 Zahlen. Aus den Ziffern 6; 0; 0 entsteht diese Zahl: 600, also nur 1 Zahl. In Teil 3 zählen wir die Teilergebnisse aus Teil 2 zusammen: = 21. Die richtige(n) Antwort(en): E 13. In einer Reihe stehen 10 Personen. Einige von ihnen sind Ehrliche (sie sagen stets die Wahrheit), andere sind Lügner (sie lügen stets). Eine der 10 Personen ist Martin. Die anderen 9 Personen sagen alle: Zwischen mir und Martin steht genau ein Lügner. Die Frage: Wie viele Lügner können in dieser Reihe insgesamt stehen? Bemerkung: Martin selbst sagt nichts. Vielleicht ist er ein Ehrlicher, vielleicht ein Lügner. (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4 Lösung: In Teil 1 führen wir einige Bezeichnungen und einige Vereinbarungen ein. Bezeichnungen: Martin sei M, die anderen 9 Personen seien P, Q, R, S, T, U, V, W und X. Vereinbarung: Ein Lügner wird fett, ein Ehrlicher wird kursiv geschrieben. Beispiel 1: P bedeutet, dass die Person P ein Lügner ist. Beispiel 2: Q bedeutet, dass die Person Q ein Ehrlicher ist. In Teil 2 zeigen wir, dass 1 eine Lösung ist. Tatsächlich, betrachten wir diese Reihe: M, P, Q, R, S, T, U, V, W, X. Erläuterungen: P muss ein Lügner sein. Denn P sagt auch: Zwischen mir und Martin steht genau ein Lügner. Zwischen P und Martin steht jedoch niemand (ein Lügner auch nicht). Daher ist diese Aussage falsch und damit ist P ein Lügner. Q muss ein Ehrlicher sein. Denn zwischen Q und Martin steht genau ein Lügner, nämlich P. Dies stimmt und damit ist Q ein Ehrlicher. Ähnlich folgt, dass die Personen R, S, T, U, V, W, X alle ebenfalls Ehrliche sein müssen. Es gibt also einen einzigen Lügner, nämlich P. Daher ist 1 eine Lösung. In Teil 3 zeigen wir, dass 2 eine Lösung ist. Betrachten wir dazu diese Reihe: M, P, Q, R, S, T, U, V, W, X.

9 4. Klasse / 4. Schulstufe Der einzige Unterschied zur Reihe aus Teil 2 ist, dass Martin diesmal ein Lügner ist. Die Erläuterungen aus Teil 2 kann man übernehmen. Diesmal gibt es aber 2 Lügner: M und P. Alternativlösung zu Teil 3: P, Q, R, S, T, M, U, V, W, X. Martin ist diesmal ein Ehrlicher. Wie in Teil 2 kann man zeigen, dass T und U Lügner und P, Q, R, S, V, W, X Ehrliche sein müssen. In Teil 4 zeigen wir, dass 3 eine Lösung ist. Betrachten wir dazu diese Reihe: P, Q, R, S, T, M, U, V, W, X. Martin ist also diesmal ein Lügner. Wie in Teil 2 kann man zeigen, dass T und U Lügner und P, Q, R, S, V, W, X Ehrliche sein müssen. Aus Teil 4 folgt, dass nicht mehr als 3 Lügner in der Reihe stehen können. 4 ist damit keine Lösung. 0 ist ebenfalls keine Lösung, denn wer neben Martin steht, muss ein Lügner sein. Aufgabe zur detaillierten Ausarbeitung: Die richtige(n) Antwort(en): B, C, D 14. Übertragt zunächst die nebenstehende Figur aufs Blatt. Tragt anschließend in jedes kleine Quadrat eine der Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ein. In allen drei Reihen, in allen drei Spalten und in der Diagonale erhält man durch Zusammenzählen der eingetragenen Zahlen das gleiche Ergebnis. Wenn ihr mehrere Möglichkeiten findet, die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 wie gewünscht in die Quadrate einzutragen, so zeichnet bitte für jede Möglichkeit eine eigene Figur. Je mehr solche Figuren ihr findet, desto mehr Punkte bekommt ihr. Bemerkungen: Jede der Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 wird genau einmal eingetragen. In jedem Quadrat steht genau eine Zahl. Die Diagonale besteht aus folgenden drei Quadraten: oben links, Mitte und unten rechts. Lösung: Die Summe der acht Zahlen ist = 36. Die gleiche Summe in jeder Reihe (und in jeder Spalte) ist damit 12 (ein Drittel von 36). Durch systematisches Probieren erhalten wir: Figur 1 Figur 2 Figur 3 Figur 4 Bemerkung: Figur 2 entsteht aus Figur 1, indem man zwei Zeilen vertauscht. Figur 4 entsteht aus Figur 3, indem man zwei Spalten vertauscht. Für das Zeichnen von Figur 1 und Figur 2 gibt es 8 Punkte. Wenn jedoch nur

10 Lösungen der Aufgaben eine davon gezeichnet wurde, gibt es dafür 6 Punkte. Für das Zeichnen von Figur 3 und Figur 4 gibt es ebenfalls 8 Punkte. Wenn jedoch nur eine davon gezeichnet wurde, gibt es dafür 6 Punkte. Bei falschen Figuren erfolgt kein Punktabzug. Sie werden einfach nicht gewertet (maximal 16 Punkte).