Heinz Rapp. Mathematik

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Eva Berger
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1 Heinz Rapp Mathematik

2 Heinz Rapp Mathematik Grundlagen für die Fachschule Technik Mit über 500 Abbildungen 2., überarbeitete Auflage 11 vleweg

3 Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Rapp, Heinz: Mathematik: Grundlagen für die Fachschule Technik/Heinz Rapp. - 2., überarb. Auf!. - Braunschweig; Wiesbaden: Vieweg, 1999 (Viewegs Fachbücher der Technik) ISBN ISBN (ebook) DOI / Auflage , überarbeitete Auflage 1999 Das Werk erschien bisher in 4 Auflagen unter dem Titel Mathematik für die Fachschule Technik im selben Verlag. Alle Rechte vorbehalten Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbh, Braunschweig/Wiesbaden, 1999 Der Verlag Vieweg ist ein Unternehmen der Bertelsmann Fachinformation GmbH. Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Technische Redaktion: Hartmut Kühn von Burgsdorff Gedruckt auf säurefreiem Papier ISBN

4 v Vorwort Das vorliegende Buch ist für die Fachschule konzipiert und damit auf die Belange der Praxis abgestimmt. Inhaltlich umfaßt es den Lehrstoff der Mathematik für Fachschulen der Technik, ist aber in seinen wesentlichen Zügen so gehalten, daß es auch in anderen Schularten verwendet werden kann, die zu einem mittleren Bildungsabschluß (mittlere Reife, Fachschulreife) führen. Der didaktische Grundgedanke war es, grundlegende Kenntnisse anwendungsorientiert zu vermitteln, ohne dabei die angemessene begriffliche und mathematische Sorgfalt außer acht zu lassen. Mit der vorliegenden Neubearbeitung des Werkes wird ein Lehrbuch der Mathematik vorgestellt, das den Veränderungen der neuen Lehrpläne an den Fachschulen Rechnung trägt. Neu aufgenommen wurde das Gebiet der Komplexen Rechnung. Die knappe Darstellung in zweispaltiger Ausführung, bei denen der erklärende Text der praktischen Ausführung mathematischer Berechnungen gegenübergestellt wird, erleichert das schnelle und gründliche Einarbeiten in das Stoffgebiet. Zahlreiche durchgerechnete Aufgabenbeispiele mit Lösungsgang ermöglichen es dem Benutzer, sein Können und Wissen selbst zu überprüfen und geben damit einen Anreiz, auch die etwas schwierigen Anwendungsaufgaben anzugehen. In besonderer Weise eignet sich das Buch deshalb auch zum Selbststudium. Mit der vorliegenden Auflage war es möglich, Druckfehler der ersten Auflage zu beheben. Allen aufmerksamen Lesern sei an dieser Stelle gedankt. Mein besonderer Dank gilt meinem Sohn J. Matthias Rapp, der mich durch seine Mitarbeit an diesem Buch unterstützt hat. Für Hinweise und Anregungen, die zur Verbesserung des Buches führen, bin ich auch in Zukunft stets dankbar. Stuttgart, im Dezember 1998 Heinz Rapp

5 VI In haltsverzeich n is 1 Mathematische Begriffe und Schreibweisen Zahlen ZahlendarsteIlung auf der Zahlengeraden Mengen Aufzählende Mengenschreibweise Beschreibende Mengenschreibweise Mengendiagramme Beziehungen zwischen Mengen (Mengenrelationen) Mengenverknüpfungen (Mengenoperationen) Gesetze der Mengenverknüpfung Intervallschreibweisen Symbole der Logik Rechnen mit Termen Addition und Subtraktion Multiplikation und Division Produkte mit negativen Zahlen Multiplikation mit Null (Nullprodukt) Multiplikation mit Summentermen Binomische Formeln Quotienten aus positiven und negativen Zahlen Rechnen mit Bruchtermen Lineare Gleichungen Äquivalenz von Aussageformen Lösungsverfahren für lineare Gleichungen Einfache lineare Gleichungen Bruchgleichungen Gleichungen mit Formvariablen Verhältnisgleichungen (Proportionen) Textliche Gleichungen Allgemeine textliche Gleichungen Mischungsaufgaben Bewegungsaufgaben Behälteraufgaben Arbeitsaufgaben... 70

6 VII 4 Funktionen 1. Grades Der Funktionsbegriff Darstellung von Funktionen Funktionsdarstellung im Koordinatensystem Das rechtwinklige Koordinatensystem Das Polarkoordinatensystem Lineare Funktionen der Technik Die lineare Funktion x M mx Die Funktion 1. Grades mit der Funktionsgleichung y = mx + b Graphische Darstellung linearer Zusammenhänge Systeme linearer Gleichungen Graphisches Lösungsverfahren von Gleichungssystemen Rechnerische Lösungsverfahren von Gleichungssystemen Das Gleichsetzungsverfahren Das Einsetzungsverfahren Das Additionsverfahren Das Determinantenverfahren Gleichungssyteme mit Bruchtermen Lösungsverfahren tür Gleichungsysteme mit drei Variablen Textautgaben mit zwei Variablen Mischungsautgaben Bewegungsautgaben Behälterautgaben Potenzen Potenzbegriff Potenzgesetze Addition und Subtraktion von Potenzen Multiplikation von Potenzen Division von Potenzen Potenzieren von Potenzen Erweiterung des Potenzbegriffes Besondere Potenzen (Zehnerpotenzen) Potenzen von Binomen Wurzeln Wurzelbegritf Quadratwurzeln Der allgemeine Wurzelbegriff

7 VIII 7.2 Wurzeln als Potenzen mit gebrochenen Hochzahlen Rechnen mit Wurzel- und Potenztermen Quadratische Gleichungen Rechnerische Lösung quadratischer Gleichungen Reinquadratische Gleichungen Gemischtquadratische Gleichungen ohne Absolutglied Gemischtquadratische Gleichungen Lösbarkeit quadratischer Gleichungen, Diskriminante Koeffizientenregel von Vieta Biquadratische Gleichungen Quadratische Gleichungssysteme mit zwei Variablen Textaussagen, die auf quadratische Gleichungen führen Wurzelgleichungen Wurzelgleichungen mit einer Variablen Wurzelgleichungen mit zwei Variablen Ungleichungen Äquivalenzumformungen bei Ungleichungen Einfache lineare Ungleichungen Bruchungleichungen Lineare Ungleichungssysteme Lineares Optimieren Quadratische Funktionen Die allgemeine quadratische Funktion x ~ ax2 + bx + c und ihre graphische Darstellung Die Scheitelform der quadratischen Funktionsgleichung Extremwertaufgaben Aufstellen von Funktionsgleichungen aus Vorgaben Graphische Lösung quadratischer Gleichungen Potenzfunktionen Die Funktionen x ~ xn Achsensymmetrische Parabeln Punktsymmetrische Parabeln Die Funktionen x ~ x- n

8 IX Punktsymmetrische Hyperbeln Achsensymmetrische Hyperbeln Wurzelfunktionen Quadratwurzelfunktionen Wurzelfunktionen höherer Ordnung Analytische Geometrie Länge und Steigung von Strecken Teilpunkte von Strecken Mittelpunkte von Strecken Beliebiger Teilpunkt T einer Strecke Geradengleichungen Punkt-Steigungsform Zwei-Punkte-Form Achsenabschnittsform HESSE-Form der Geradengleichung Winkel zwischen Geraden Winkel zwischen Gerade und x-achse Schnittwinkel zweier Geraden Orthogonale Geraden Kreisgleichungen Mittelpunktsgleichung eines Kreises Allgemeine Kreisgleichung Kreis und Gerade Parabeln und Hyperbeln Brennpunkteigenschaften der Parabel Brennpunkteigenschaften der Hyperbel Exponentialfunktionen Die allgemeine Exponentialfunktion Die e-funktion Logarithmen Logarithmenbegriff Logarithmensysteme Natürliche Logarithmen Zehnerlogarithmen Logarithmengesetze

9 x 19 Logarithmusfunktionen Die allgemeine Logarithmusfunktion Die natürliche Logarithmusfunktion Exponentialgleichungen Koordinatensystem mit logarithmischer Teilung Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck Seitenverhältnisse als Winkelfunktionen Definition der Winkelfunktionen Längen- und Winkel berechnungen Die Sinusfunktion Die Kosinusfunktion Die Tangens- und Kotangensfunktion Vermischte Aufgaben Zusammenhang zwischen den Winkelfunktionen Winkelfunktionen beliebiger Winkel Die Graphen der Winkelfunktionen Die Schaubilder der Sinus- und Kosinusfunktion Die allgemeine Sinusfunktion und ihre graphische Darstellung Die Schaubilder der Tangens- und Kotangensfunktion Winkelfunktionen am schiefwinkligen Dreieck Sinussatz Kosinussatz Flächenberechnung des schiefwinkligen Dreiecks Additionstheoreme Funktionen der doppelten und halben Winkel Goniometrische Gleichungen Flächensätze am rechtwinkligen Dreieck Satz des Pythagoras Kathetensatz (Satz des Euklid) Höhensatz Ähnlichkeit Strahlensätze

10 XI 26.2 Streckenteilung und Mittelwerte Stetige Teilung (Goldener Schnitt) Flächenberechnung Geradlinig begrenzte Flächen Kreisförmig begrenzte Flächen Volumenberechnung Prismatische Körper Pyramidenförmige und kegelförmige Körper Pyramide und Pyramidenstumpf Kegel und Kegelstumpf Kugelförmige Körper Vollkugel Kugelabschnitt (Kugelsegment) Kugelschicht Kugelausschnitt (Kugelsektor) Schiefe Körper Satz des Cavalieri Simpsonsche Regel Oberflächen und Volumina von Rotationskörpern (Guldinsche Regel) Anhang Komplexe Zahlen und Funktionen A 1 Grundbegriffe A2 Darstellungsformen komplexer Zahlen A3 Komplexe Arithmetik A4 Anwendungen der komplexen Rechnung Lösungen Sachwortverzeichnis

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