Prüfungsklausur Höhere Mathematik II (22. Juli 2006) - Lösungen zum Theorieteil - für MB, EC, TeM, FWK, VT, KGB, BGi, WiW, GtB, Ma, WWT, ESM

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1 Prüfungsklausur Höhere Mathematik II (. Juli 6) für MB, EC, TeM, FWK, VT, KGB, BGi, WiW, GtB, Ma, WWT, ESM - Lösungen zum Theorieteil - Aufgabe 1: In der x-y-ebene seien die Mengen A {(x, y) : x } und B {(x, y) : 1 < x + y < } gegeben. (a) Skizzieren Sie A und B. (b) Geben Sie jeweils mit Begründung an, ob die Mengen offen oder abgeschlossen sind. (c) Ist B einfach zusammenhängend? (Begründung!) (a) (b) A ist abgeschlossen, alle Randpunkte ( x ) gehören zur Menge. B ist offen, besitzt nur innere Punkte, die Randpunkte ( x + y 1, x + y ) gehören nicht zur Menge. (c) B ist nicht einfach zusammenhängend, geschlossene Kurven in B, die um den inneren Randkreis verlaufen, lassen sich nicht auf einen Punkt zusammenziehen, ohne dabei B zu verlassen.

2 Aufgabe : Es sei g(x, y) x + y 4 1. (a) Skizzieren Sie die durch g(x, y) beschriebene Kurve. (b) In welchen Punkten (x, y) läßt sich die Gleichung g(x, y) nicht lokal nach y auflösen? Warum? (a) (b) Die Ellipsen-Gleichung ist nicht lokal nach y auflösbar in Kurvenpunkten g(x, y) x + y 4 1, für die g y(x, y) y gilt (Satz über implizite Funktionen). Einsetzen von y in die Kurvengleichung ergibt x 1 mit den Lösungen x 1, ±1. Zusammen mit y ergibt das die Punkte P 1, (±1, ), in denen die Gleichung lokal nicht nach y auflösbar ist. Das sind gerade die Schnittpunkte der Ellipse mit der x-achse, in denen sie vertikale Tangenten besitzt. Aufgabe 3: Eine Funktion f(x) lasse sich für x < in eine Potenzreihe Geben Sie eine Reihendarstellung für 1 f(x) dx an. a n x n entwickeln. In ihrem Konvergenzbereich lassen sich Potenzreihen gliedweise integrieren. Der Integrationsbereich [; 1] ist Teil des Konvergenzbereiches [ ; ]. Deshalb gilt: 1 ( 1 ) ( 1 ) [ ] x f(x) dx a n x n dx a n x n n+1 1 dx a n n + 1 n n a n n + 1 n n n

3 Aufgabe 4: Welche spezielle Form hat die (trigonometrische) Fourierreihe einer geraden -periodischen Funktion? Die Fourierreihe eine reine Cosinus-Reihe, in der Entwicklung F (x) a + k1 {a k cos kx + b k sin kx} gilt b k, k 1,.... Aufgabe 5: In welchem Fall ist das Vorliegen eines lokalen Maximums der zweimal stetig differenzierbaren Funktion f(x, y) im Punkt (x, y ) garantiert? (Alle angegebenen Ableitungen beziehen sich auf diesen Punkt.) (a) f xx <, f xx f yy (f xy ) > ; (b) f xx <, f xy <, f yy < ; (c) f xx <, f xx f yy (f xy ) > und f x f y ; (d) f xx <, f xx f yy (f xy ) <. Nur (c) liefert notwendige und hinreichende Bedingungen für ein lokales Mamimum. x cos(y + z) Aufgabe 6: Es seien v(x, y, z) x sin(y + z) und f(x, y, z) x cos(y + z). x sin(y + z) (a) Prüfen Sie, ob f eine Potentialfunktion zu v ist. (b) Ermitteln Sie rot grad f. (a) f ist Potentialfunktion, wenn v grad f ist. Das ist erfüllt, denn f x x cos(y + z), f y x ( sin(y + z)), f z x ( sin(y + z)). (b) Weil f Potentialfunktion von v ist, gilt rot grad f. Das entspricht der Integrabilitätsbedingung für Kurvenintegrale. Art.

4 Aufgabe 7: Gegeben sei das Bereichsintegral f(x, y) dxdy B für den nebenstehend abgebildeten Bereich B (a) Wie lautet das Integral nach Transformation auf Polarkoordinaten (r, ϕ) gemäß x r cos ϕ, y r sin ϕ? (Angabe der Grenzen und des Integranden!) (b) Welche Bedeutung hat der Wert des Integrals, wenn für die Belegungsfunktion gilt (i) f(x, y) über B ; (ii) f(x, y) 1 ; (iii) f(x, y) ρ(x, y), (Flächen-)Dichte einer Massebelegung. (a) Weil der Radius des Innenkreises gleich 1 ist, gilt für den Anstiegswinkel ϕ der oberen Begrenzungsgeraden von B offensichtlich cos ϕ 1 und damit ϕ 3. In Polarkoordinaten x r cos ϕ, y r sin ϕ läßt sich damit der Bereich beschreiben als { B (r, ϕ) : 1 r, ϕ }. 3 Für die Funktionaldeterminante dieser Koordinatentransfomation gilt (bekanntlich) (x, y) (r, ϕ) x r x ϕ y r y ϕ cos ϕ r sin ϕ sin ϕ r cos ϕ r. Damit folgt f(x, y) dxdy f(x(r, ϕ), y(r, ϕ)) r drdϕ 3 f(r cos ϕ, r sin ϕ) r dr dϕ B B r1 ϕ (b) (i) Für f(x, y) über B liefert das Integral das Volumen des Prismas über B, in der Höhe begrenzt durch z f(x, y). (ii) Mit f(x, y) 1 berechnet man den Flächeninhalt des Bereiches B; (iii) Für f(x, y) ρ(x, y) erhält man die Masse des Bereiches B.

5 - Lösungen zum Aufgabenteil - Aufgabe 1: Skizzieren Sie die -periodische Funktion { x, < x < f(x) x +, x mit f(x + k) f(x), k Z. im Intervall x. Prüfen Sie auf Symmetrie und entwickeln Sie f in eine Fourierreihe. Was lässt sich über die punktweise Konvergenz der Fourierreihe aussagen? Bis auf die Sprungstellen x k, k Z, gilt, wie bei ungeraden Funktionen, f( x) f(x). Deshalb ist die Fourierreihe eine reine Sinus-Reihe, in der Entwicklung F (x) a + {a k cos kx + b k sin kx} gilt a k, k, 1,.... b k k1 ( x + ) sin kx dx ( x + ) ( cos kx k ( ) cos k k f(x) F (x) k1, k 1,,... k sin k x ( sin x + sin x k1 sin k x k ) +... ) cos kx dx k } {{ } + sin 3 x 3 f ist stückweise glatt und die Reihe konvergiert daher in den Stetigkeitsstellen x k, k Z, gegen f(x). Für x k, k Z, konvergiert die Reihe gegen des Mittel aus links- und rechtsseitigen Gremzwert von f(x), wird also.

6 Aufgabe : Gegeben sind die Raumkurven 1 + t τ γ(t) sin t 1, t R, µ(τ) 1 τ, τ >. cos t τ (a) Zeigen Sie, daß P (1; 1; 1) Schnittpunkt der Kurven ist. (b) Berechnen Sie die Tangentenvektoren der Kurven γ(t) und µ(τ) in P und weisen Sie nach, daß sich die (Tangenten der) Kurven in P im rechten Winkel schneiden. (c) Berechnen Sie die Masse des Kurvenstückes γ(t), t [; 1], für eine Belegung mit Masse der Dichte ρ(x, y, z) x [(y + 1) + z ]. 1 + t 1 (a) P (1; 1; 1) auf γ(t), wenn sin t 1 1 für ein t R. Das ist für cos t 1 t erfüllt. (Man erhält t z.b. durch Vergleich 1 + t 1 ersten Koordinate, muß aber nachprüfen, daß dadurch auch die anderen Koordinaten zusammenfallen!) τ 1 P (1; 1; 1) auf µ(τ), wenn 1 τ 1 für ein τ >. Das ist für τ 1 τ 1 erfüllt. Damit ist liegt P (1; 1; 1) auf beiden Kurven, ist also ein Schnittpunkt. (b) Die Tangentenvektoren der Kurven sind 1 1 γ(t) cos t, in P speziell γ() 1, sin t und 1 1 µ(τ) τ τ, in P speziell µ(1) 1 1. Wegen γ() µ(1) schneiden sich die (Tangenten der) Kurven in P im rechten Winkel.

7 (c) Die Masse des Kurvenstückes γ(t), t [; 1], erhält man über das Kurvenintegral 1. Art mit der Dichte ϱ(x, y, z) x [(y + 1) + z ] als Belegungsfunktion: m ϱ( x) ds 1 ϱ( γ(t)) γ(t) dt γ(t) 1 x(t) [(y(t) + 1) + z(t) ] ẋ(t) + ẏ(t) + ż(t) dt 1 (1 + t) [(sin t 1 + 1) + cos t] 1 + cos t + sin t dt 1 (1 + t) dt 3 [ ] 1 (1 + t) 3 7 3

8 Aufgabe 3: Berechnen Sie für die Funktion zweier Veränderlicher f(x, y) e xy x + y 3 (a) den Anstieg der Funktionsfläche in P (; 1) in Richtung auf Q(4; ) ; (b) die Tangentialebene an die Fläche z f(x, y) im Flächenpunkt (P, f(p )) ; (c) die Tangente an die Niveaulinie f(x, y) in deren Schnittpunkt mit der y-achse. (a) f(x, y) e xy x + y 3 Partielle Ableitungen und Gradient: f x ye xy x, f x (; 1) 1, f y xe xy + 3y, f y (; 1) 3, ( ) 1 grad f(p ) grad f(, 1). 3 ( ) ( ) ( ) ( ) Richtung 4 4 P Q, Einheitsvektor v P Q 1 4. P Q 5 3 Der Anstieg der Funktionsfläche in P (; 1) in Richtung auf Q(4; ) ist gleich dem Wert der Richtungsableitung ( ) ( ) v f(p ) grad f(p ) v ( tan ϑ, ϑ Anstiegswinkel) (b) Tangentialebene: z f(; 1) + f x (; 1)(x ) + f y (; 1)(y + 1) x + 3(y + 1) 3 x + 3y. (c) Schnittpunkt der Kurve f(x, y) mit der y-achse (x!) aus f(, y) e + y 3 y 3 1 y 1. Das ergibt den aus (a) bekannten Punkt P (, 1). Den Tangentenanstieg erhält man durch Differentiation der durch f(x, y) in einer Umgebung von P implizit definierten Funktion y g(x) : g (x) f x f y, speziell in P (, 1) ist g () f x(, 1) f y (, 1) Tangentengleichung: y g() + g ()(x ) x.

9 Aufgabe 4: Bestimmen Sie Lage und Art der relativen Extremwerte von f(x, y) (x y) + x (y 3). f(x, y) (x y) + x (y 3) x 4 x y + y + x y 3x x 4 3x x y + y Ableitungen : f x 4x 3 6x xy f y x + y f xx 1x 6 y f yy f xy f xy x Hesse-Matrix : ( ) 1x 6 y x H f x H f (1x 6 y) 4x Notwendige Bedingungen : (1) 4x 3 6x xy () x + y y x ( ) Mit ( ) y eleminieren aus (1) : 3x 3 6x x 1, x,3 ± y 1, y,3 1 Stationäre Punkte: P 1 (; ), P,3 (±, 1) Hinreichende Bedingungen : H f (; ) 1 < kein Extremum in P 1 ; H f (±, 1) 4 >, f yy > relative Minima in P,3 mit f(±, 1) 3.

10 Aufgabe 5: (a) Für welches a ist das Kurvenintegral wegunabhängig? γ a cos y v d x mit v(x, y, z) z x sin y yz (b) Bestimmen Sie für das oben berechnete a diejenige Stammfunktion von v, die im Punkt (1,, ) gleich 1 ist. (c) Ermitteln Sie für obiges a den Wert des Integral v d x, wobei die Kurve γ von γ (1,, 1) nach (,, 1) verläuft. (a) v ist definiert und stetig partiell differenzierbar auf R 3. Integrabilitätsbedingung für Kurvenintegrale. Art (im Vektorfeld) rot v i j k x y z a cos y z x sin y yz z + z +! sin y + a sin y Integral ist wegunabhängig, wenn sin y + a sin y (unabhängig von y!), d.b. wenn a 1. Dann existiert eine Stammfunktion f(x, y, z) mit v gradf. (b) Berechnung der Stammfunktion (Ansatzmethode): P cos y f x v Q z x sin y! f y R yz f z 1. f x P f P dx cos y dx x cos y + c(y, z) ( c(y, z) Ansatz für die von y und z abhängige Integrationskonstante).. f y Q x sin y + c y (y, z) z x sin y c(y, z) ( z ) dy yz + d(z) ( d(z) Ansatz für die von z abhängige Integrationskonstante). Zwischenstand: f(x, y, z) x cos y yz + d(z). 3. f z R yz + d (z) yz d(z) dz C. Für die Stammfunktion ergibt sich folglich: f(x, y, z) x cos y yz + C. Speziell für f(1,, ) cos + C! 1 findet man C 1 und die gesuchte spezielle Stammfunktion ist damit f(x, y, z) x cos y yz + 1. (c) (,, 1) v d x f(,, 1) f(1,, 1) cos ( 1) cos + 3. (1,,1)

11 Aufgabe 6: Bestimmen Sie die Masse des Körpers B mit der Dichte ϱ(x, y, z) y z, der von den Flächen x + y 4, z und z x + y begrenzt wird und für den x, y gilt. Der Körper B ist das Prisma über dem Viertelkreis mit dem Radius im 1. Quadranten, bezüglich z begrenzt durch z x + y. Als B in Zylinderkoordinaten x r cos ϕ, y r sin ϕ, z z läßt er sich beschreiben als Normalbereich r, ϕ, z r. Die Funktionaldeterminante für die Transformation von kartesischen in Zylinderkoordinaten ist bekanntlich (x,y,z) r. (r,ϕ,z) Für die gesuchte Masse erhält man damit m ρ(x, y, z) dv yz dx dy dz ( r sin ϕ z) r dr dϕ dz B B B r r sin ϕ z dz dϕ dr r 4 sin ϕ dϕ dr r ϕ z r 4 dr sin ϕ dϕ r ϕ (Produktform) r ϕ [ t 5 5 ] [ cos ϕ ] 3 5. Altenativ kann man hier auch in Kartesischen Koordinaten rechnen mit B { (x, y, z) x, y 4 x, z x + y } als Normalbereich: m x x x y x +y z [ 1 y x + 1 ] 4 x 4 y4 yz dz dy dx dx (4 x )(4 + x ) dx 1 4 x 4 x y y(x + y ) dy dx [ 1 (4 x )x + 1 ] 4 (4 x ) dx (16 x 4 ) dx 1 4 [ 16x 1 ] 5 x5 3 5

12 Aufgabe Z: Zusatzaufgabe Die Funktion F (x) sei gegeben durch F (x) /x /(x) sin(xy) y dy (x ). Berechnen Sie F (x) in einer integralfreien Darstellung (auftretende Integrale sind auszurechnen). F (x) /x /(x) sin xy y dy F (x) /x /(x) /x /(x) x ( ) sin xy dy + ( ) ( ) sin x x y x cos xy dy sin x + sin x x ( x ) sin ( ) x x x [ sin(xy) x ] /x y/(x) + 1 x sin x sin x + 1 x 1 x + 1 x