5 Gravitationstheorie

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1 5 Gavitationstheoie Ausgeabeitet von G. Knaup und H. Walitzki 5.1 Gavitationskaft - Gavitationsfeld Die Gundidee zu Gavitationstheoie stammt von Newton ( ): Die Kaft, die einen Apfel fallen lässt, ist die gleiche, die den Mond in eine Bahn um die Ede zwingt, die Ede in eine Bahn um die Sonne usw. In allen ällen ziehen sich Massen einande an. Die Kaft, mit de sie sich anziehen, ist abhängig von de Göße diese Massen und ihem Abstand voneinande. Aus dem Lex Tetia (Actio = Reactio) folgt, dass es sich um eine beideseitige Anziehung handelt, also de Apfel von de Ede und die Ede vom Apfel angezogen wid. Duch Messungen ehielt man: = γ m1m [ N = kg m ] sec 2 (80) γ wid Gavitationskonstante genannt und ist: γ = 6, [Nm 2 kg 2 ] γ = 6, [cm 3 g 1 sec 1 ] Die Gavitationskaft zeigt imme in Richtung des Einheitsvektos ˆ = de ebindungsstecke zwischen beiden Massen (Zentalkaft) und wikt imme anziehend. N = Newton ist die Einheit de Kaft. 12 = γ m 1 m ( 1 2 ) 12 ist die Kaft auf das este Teilchen als Wikung des zweiten Teilchens. Da die Gavitationskaft konsevativ und zental ist, können wi sie als Gadient eine potentiellen Enegie scheiben, die nu vom Betag von 12 abhängt. 12 = U( 12 ) = x y z U( 12 ) = U x U y U z (81) 120

2 Ode umgekeht können wi die potentielle Enegie scheiben als: = 1 2 U 12 = U( 1 2 ) = m 1 m 2 12 d = γ 1 2 (82) Ist die Masse m 2 kein Massenpunkt, sonden ausgedehnt (also aus veschiedenen Massepunkten zusammengesetzt), so addieen sich die Wikungen alle einzelnen Massepunkte auf die Masse m 1 (Supeposition). Man muss also alle einzelnen Käfte aufsummieen. 1 ( ) = n i=1 γ m m i i 3 ( i) (83) m ( ) i m i m 3 m 2 m 1 i 0 Abbildung 58: Ist m 2 eine Masse mit dem olumen und de Dichte ρ, so geht die Summe in ein Integal übe: 1 ( ) = γ m ρ( ) 3 ( )dτ (84) Um die Gavitationskaft unbhängig von de Pobemasse m zu machen, definieen wi als Gavitationsfeld: 121

3 g( ) def = 1 ( ) m (85) g( ) = γ 5.2 Gavitationspotential ρ( ) 3 ( )dτ (86) In einem zentalen und konsevativen Kaftfeld eine Massenveteilung (Massenpunkte ode kontinuielich) hat ein Teilchen de Masse m die potentielle Enegie ode allgemeine: U 1 () = γ m m i i (87) U i () = γ m ρ( ) dτ (88) Analog zum Gavitationsfeld definieen wi als Gavitationspotential potentielle Enegie po Einheitspunktmasse: G() def = U() m = γ ρ( ) dτ (89) 5.3 eldgleichungen Zu Heleitung de eldgleichungen fü das Gavitationsfeld (späte auch fü elektische und magnetische elde) sind zwei fundamentale Integalsätze von Bedeutung: 1. Gauß sche Satz: ü ein beliebiges ektofeld g( ) in einem olumen mit de Obefläche gilt: ( ) g( )d f = = div g()dτ g( )dτ (90) 122

4 df M dτ Abbildung 59: dτ = olumenelement; d f = lächenelement (geichtet in Nomalichtung nach außen); ( )... df = Integal übe die läche, die umschließt Mit dem Gauß schen Satz weden die Eigenschaften eines ektofeldes g( ) (z.b. des Gavitationsfeldes) im Innen eines beliebigen olumens mit denen des eldes auf de Obefläche veknüpft. 2. Stokes sche Satz: Gegeben ist eine Kuve c, deen Umlaufsinn bekannt ist. Übe diese Kuve c wid eine läche gelegt, die c als Rand hat. (Man kann sich das vostellen, wie eine Seifenblase kuz vo dem Ablösen von de Dahtschlinge, ode wie ein Schmettelingsnetz, das an einem Dahtbügel befestigt ist.) g( )d ( ) l = ot g( ) df c (e) = ot g( ) = g( ) = ( ) g( ) df (91) (e) g y z g z y g z x g x z g x y g y x Aus dem Stokes schen Satz geht hevo, dass ot gd f unabhängig von de om und de Göße de läche ist und nu vom Rand diese läche abhängt. 123

5 c df M dl Abbildung 60: c... d l = geschlossenes Linienintegal übe die Kuve c; d l = Linienelement von c; (c)... d f = Integal übe die läche mit dem Rand c Satz 1: Es gilt stets fü das Gavitationsfeld: ot g( ) = g( ) = 0 (92) Beweis: Wi möchten diesen Satz auf zwei Aten beweisen. a) Mit Hilfe des Stokes schen Satzes: Abbildung 61: A = E c 124

6 ot g( )d Stokes = g( )d l (e) c Nach (85) ist g( ) = ( ) g( ) = G( ) m Nach (83) ist ( ) = U() g( ) = G( ) Nach (89) ist U() = m G() g( ) = G( ) = g( )d f = c G( )d l = g( )d l c [ ] E G() A da abe A = E ist g( )d f = G( E ) G( A ) = 0 Da dies fü jede Göße und Oientieung de läche gilt, ist auch de Integand ot g( ) = 0. b) Duch Nachechnen: ot g() = ( ) G() = ( )G() = (G() ) 0 = 0 0 y z z y z x x z x y y x Z.B. 1. Zeile: 2 y z G 2 z y G = 0 usw. Da G() = γ ρ( ) dτ, sind alle gemischten zweiten Ableitungen de unktion G stetige unktionen, also auch vetauschba. ot g( ) = 0 q.e.d. Satz: Das Gavitationspotential efüllt die Poisson-Gleichung: 125

7 G() = 4πγ ρ( ) (93) = = 2 x y z 2 = div gad = Laplace-Opeato Beweis: Ein Massepunkt de Masse m i am Ot i hat das Kaftfeld: g i ( ) = γ m i i 3 ( i) Legt man den Uspung des Koodinatensystems in den Massepunkt m i, so ist i = 0: g i ( ) = γ m i 1 = γ m 1 3 i ˆ 2 ^ α df m Abbildung 62: Wi legen um m i ein beliebiges olumen mit de Obefläche mit beliebige om und bilden das Obeflächenintegal: 126

8 g i ( )d f = γm i 1 2 ˆ d f Duch das Skalapodukt ˆ d f = ˆ d f cos α mit α (ˆ, d ˆf), kommt nu de Teil von d f zu Geltung, de paallel zu ˆ steht. Diesen Teil nennen wi d f. Es gilt: d f = df cos α Gleichzeitig ist abe d f = 2 sin ϑ dθdφ (in Polakoodinaten), so folgt: g i ( )d f = γm i = γ m i 2π = 4πγ m i 1 ˆ 2 }{{} n 0 =1 2 sin ϑ dφdϑ }{{} df cos α sin ϑ dϑ = γ m i 2π 2 df ^ α df m Abbildung 63: Wenn m i außehalb de läche liegt, titt mindenstens zwei Mal duch die läche. Da beim Ein- und Austitt de Winkel α einmal stumpf und 127

9 einmal spitz ist, de cos α also abwechselnd positiv ode negativ wid, heben sich die Anteile g( ) d f beim Integieen übe die gesamte läche gegeneinande auf. Also ist: g i ( )df) = 4πγm i g i ( )df = 0 m i innehalb de läche m i außehalb Hat man statt eines einzelnen Massepunktes eine Massenveteilung, so ist m i duch ρ( )dτ zu esetzen: g( )df = γ 4π ρ( )dτ Nach dem Gauß schen Satz ist: γ 4π g( )df = ρ( )dτ = div g( )dτ div g( ) dτ }{{} g ( g( ) + γ 4πρ( ) ) dτ = 0 Da diese Gleichung fü jedes beliebige olumen efüllt ist, muss de Integand stets Null sein. g( ) = div g( ) = 4π cot γρ( ) Da g( ) = G() wa: div G = 4π ρ( ) G = G = 4πγ ρ( ) 128

10 M a Abbildung 64: a = Radius de homogenen Kugel (ρ = const.) mit de Masse M = ρdτ; = olumen (Kugel) mit dem Radius und dem Mittelpunkt im Mittelpunkt de Massenveteilung 5.4 Beispiele 1. Beispiel: Homogene Kugel mit Radius a (z.b. Ede) Die Poissongleichung lautet: G() = g( ) = +4πγ ρ( ) Da das Poblem kugelsymmetisch ist, ist g nu eine unktion des Abstandes vom Mittelpunkt. Wi legen um die Edkugel ein (Kugel-)olumen mit de Obefläche. Duch Integation übe das olumen folgt g( )dτ = 4πγ ρ( )dτ (94) a) all > a: Da ρ() fü > a gleich Null, egibt das echte Integal: 4πγ ρ( )dτ = 4πγ M Aus dem Gauß schen Satz folgt unte de Beücksichtigung, dass g() bei diesem kugelsymmetischen Poblem imme paallel zu d f (einem lächenstück von ) ist. 129

11 g () df g( )dτ = }{{} g()df }{{} = Gauß g df = g ()4π 2 = 4πγ ρ( )dτ = 4πγ M }{{} (94) g () = γ M 1 2 g ist die Radialkomponente von g(). In diesem all ist g () = ± g(). df = 4π2, da übe die Obefläche de Kugel mit dem Radius integiet wid. b) all < a: Da jetzt übe eine Kugel integiet wid, die kleine ist als die homogene Kugel (z.b. Edkugel), egibt das Integal 4πγ ρ( )dτ = 4πγ 4 3 π3 ρ() = 4πγ 4 3 πa3 ρ() }{{} M 3 a 3 Nach (94) ist: g()dτ = 4πγ ρ( )dτ = 4πγM 3 a 3 und nach dem Gauß schen Satz: g()dτ = }{{} Gauß g () = γ M a 2 a g()d f = g ()4π 2 = 4πγM 3 a 3 Das Gavitationsfeld lässt sich dastellen als Gadient des Potentials: g( ) = G() 130

12 Da g und G nu von abhängen, kann man einfache scheiben: g () = G() Duch Integation diese Gleichung ehält man ü > a ist ü < a ist G() = g ()d ( G() = γm 1 )d = γ M 2 a ( G() = γ M 1 ) d 2 = γ M ( 3 a ) 2 a 2 2. Beispiel: Hohlkugel mit dem Radius a: a ( γ M ) d a 2 a Die Masse de Kugel befindet sich auf eine venachlässigba dünnen Schicht auf de Obefläche (z.b. Weihnachtskugel). Legt man um die Hohlkugel ein (Kugel-)olumen mit dem Radius und de Obefläche = 4π 2, so ist hie wie beim Beispiel 1: a) all > a: g()dτ = }{{} Gauß = }{{} (94) 4πγ g = γ M 1 2 g()df = g () ρ()dτ = 4πγ M df = g ()4π 2 131

13 G() g () a a ~ 1 ~ 1 2 ~ ~ 2 Abbildung 65: b) all < a: Das Kaftfeld in de Kugel ist gleich Null, weil sich die gesamte Masse de Hohlkugel außehalb des olumens befindet. g () = 0 Das Gavitationspotential ehält man auch hie wiede duch Integation nach d: a) all > a: b) all < a: G() = g d = γ M a ( G() = γm 1 ) d a (0) }{{} =0 d = γ M 1 a

14 Tägt man g () und G() gegen auf, so sieht man, dass sich das eld und das Potential de Hohlkugel nu im Beeich < a von de homogenen massegefüllten Kugel untescheiden. G() g () ~ 1 ~ 1 2 Abbildung 66: 133