Die Put-Call Symmetrie und deren Anwendung bei der Bewertung von Barriereoptionen

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1 Die Pu-Call Symmerie und deren Anwendung bei der Bewerung von Barriereopionen Maserarbei von Sefanie Tiemann Bereuer: Privadozen Dr. Volker Paulsen Insiu für mahemaische Saisik Fachbereich Mahemaik und Informaik Wesfälische Wilhelms-Universiä Münser

2 Inhalsverzeichnis Einleiung 1 1 Die klassische Pu-Call Symmerie im Black-Scholes Modell mi konsanen Koeffizienen 3 Pu-Call Symmerie 8.1 Finanzmarkmodell 8. Geomerische Pu-Call Symmerie 9.3 Beispiele für Modelle, in denen die geomerische Pu-Call Symmerie gil 3.4 Arihmeische Pu-Call Symmerie 8 3 Bewerung von Barriereopionen Einseiige Barriereopionen 3 3. Zweiseiige Barriereopionen Bewerung bei asymmerischer implizier Volailiäsfunkion Einseiige Barriereopionen Zweiseiige Barriereopionen Fazi 58 Lieraurverzeichnis 60 ii

3 Einleiung Barriereopionen sind beliebe Finanzinsrumene. Sie sind für Invesoren ineressan, die an eine begrenze Veränderung der Kurse glauben. Zum Beispiel zieh ein Invesor, der an einen beschränken Ansieg der Kurse glaub, einen Up-and-ou Call einem Plain Vanilla Call vor, da erserer günsiger is. Da Barriereopionen zu den exoischen Opionen gehören, werden sie außerbörslich gehandel. Für Finanzinsiue, die Barriereopionen verkaufen, sell sich daher die Frage, wie Barriereopionen bewere werden können. Die Schwierigkei hierbei is, dass die unsichere zukünfige Auszahlung einer Barriereopion nich nur vom Kurs des Underlyings zur Fälligkei der Opion abhäng, sondern auch davon, ob der Underlyingkurs vor der Fälligkei eine Schranke der Opion erreich. In der vorliegenden Maserarbei wird die Pu-Call Symmerie vorgesell, mi der man Barriereopionen ohne spezifische Modellannahmen beweren kann. Die klassische Pu- Call Symmerie is eine Gleichung mi skalieren Preisen von Call- und Puopionen mi unerschiedlichen Srikes, wobei das geomerische Miel der Srikes dem Forwardpreis des Underlyings ensprich. Durch eine Verallgemeinerung hiervon wird die geomerische Pu-Call Symmerie definier, mi der man Barriereopionen semisaisch hedgen kann. Die Gliederung sieh wie folg aus. Im ersen Kapiel wird gezeig, dass die klassische Pu-Call Symmerie in einem arbiragefreien Black-Scholes Modell mi konsanen Koeffizienen gil. Dabei wird eine Bedingung (a 0 für den Forwardpreisprozess der Akie verwende, die im zweien Kapiel zur Definiion der geomerischen Pu-Call Symmerie verallgemeiner wird. Im ersen Abschni des zweien Kapiels wird der Aufbau des Finanzmarkmodells dargesell, das der reslichen Arbei zugrundelieg. Im zweien Abschni wird die geomerische Pu-Call Symmerie durch eine verallgemeinere Form von (a 0 für eine beliebige Sopzei 0 τ T definier. Außerdem werden drei zu (a τ äquivalene Bedingungen angegeben. Im drien Abschni werden Beispiele für Modelle angegeben, in denen die geomerische Pu-Call Symmerie gil. Es wird ein Volailiäsmodell mi sochas- 1

4 ischer und lokaler Volailiä berache und es wird die Frage beanwore, wann die geomerische Pu-Call Symmerie in diesem Modell gil. Insbesondere wird in einem Spezialfall gezeig, dass die geomerische Pu-Call Symmerie im Black-Scholes Modell mi zeiabhängigen, deerminisischen Koeffizienen gil. Im vieren Abschni wird mi der arihmeischen Pu-Call Symmerie eine weiere Symmerie im Finanzmark definier und ein Zusammenhang zur geomerischen Pu-Call Symmerie gezeig. Das drie Kapiel befass sich mi der Bewerung von Barriereopionen mihilfe der geomerischen Pu-Call Symmerie. Dazu wird zunächs beispielhaf gezeig, wie man einen Down-and-In Call im Black-Scholes Modell mi konsanen Koeffizienen mihilfe der klassischen Pu-Call Symmerie semisaisch hedgen kann. Im ersen Abschni wird dies für einseiige Barriereopionen im uner.1 beschriebenen Finanzmark verallgemeiner. Außerdem wird gezeig, dass mihilfe der geomerischen Pu-Call Symmerie die Wahrscheinlichkei, dass die Schranke einer einseiigen Barriereopion vor deren Fälligkei erreich wird, mi dem Anfangspreis des T-Bonds und den Anfangspreisen von Plain Vanilla Opionen besimm werden kann. Im drien Abschni wird dargesell, wie man mihilfe eines Hilfsprozesses Barriereopionen semisaisch hedgen kann, wenn die geomerische Pu-Call Symmerie nich für den Underlyingkursprozess gil. Das viere Kapiel fass die Ergebnisse der Arbei zusammen. Hiermi versichere ich, dass ich die vorliegende Maserarbei selbssändig verfass habe und dass ich keine anderen Quellen und Hilfsmiel als die angegebenen benuz habe. Die Sellen der Arbei, die anderen Werken - auch elekronischen Medien - dem Worlau oder Sinn nach ennommen wurden, sind uner Angabe der Quelle kennlich gemach worden. Münser, den

5 1 Die klassische Pu-Call Symmerie im Black-Scholes Modell mi konsanen Koeffizienen Die klassische Pu-Call Symmerie is eine Gleichung mi skalieren Preisen von Callund Puopionen mi unerschiedlichen Srikes, wobei das geomerische Miel der Srikes dem Forwardpreis des Underlyings ensprich. Genauer: C(0, K, T = P (0, M 0, T K K M 0 K (1.1 wobei M 0 den Forwardpreis des Underlyings zum Termin T in 0 bezeichne, C(0, K, T den Anfangspreis eines Calls mi Srike K und Fälligkei T und P (0, M 0, T den Anfangspreis eines Pus mi Srike M 0 und Fälligkei T. K K Zum Beispiel bedeue dies, falls der Forwardpreis des Underlyings zum Termin T in Euro beräg, dass ein Call mi Srike 00 Euro denselben Anfangspreis ha wie zwei Pus mi Srike 50 Euro. Es sell sich nun die Frage, welche Bedingungen die Enwicklung des Underlyings erfüllen muss, dami dieser nich offensichliche Zusammenhang zwischen Call- und Pupreisen gil. Im Folgenden wird zunächs gezeig, dass die klassische Pu-Call Symmerie in einem arbiragefreien Black-Scholes Modell mi konsanen Koeffizienen gil. Die Darsellung des Modellaufbaus basier auf 6 in [5] und (1.1 in [4]. Das Black-Scholes Modell mi konsanen Koeffizienen is ein zeiseiges Finanzmarkmodell mi endlichem Handelszeiraum [0, T] und zwei Finanzgüern. Da angenommen wird, dass das Modell arbiragefrei is, exisier ein äquivalenes Maringalmaß P. Das erse Finanzgu (Geldmarkkono is eine fesverzinsliche Anlage mi seiger Verzinsung mi der konsanen Zinsrae r > 0. Bzgl. P erfüll der Preisprozess des Geldmarkkonos (β 0 T die folgende sochasische 3

6 Differenialgleichung: dβ = β rd mi Anfangswer β 0 = 1 Diese wird gelös durch: β = e r für alle 0 T Das zweie Finanzgu (Akie is risikobehafe. Die Quelle des Zufalls erhäl man durch einen eindimensionalen Wiener-Prozess (W 0 T. Die Volailiä wird mi σ > 0 bezeichne. Bzgl. P erfüll der Preisprozess der Akie (S 0 T die folgende sochasische Differenialgleichung: ds = S rd + S σdw mi Anfangswer S 0 = s 0 > 0 Diese wird gelös durch: S = s 0 e r+σw 1 σ für alle 0 T (1. Der Informaionsverlauf is gegeben durch die Wiener-Filraion (F 0 T des Wiener- Prozesses (W 0 T. Es wird angenommen, dass die Akie das Underlying der beracheen Opionen is. Der Forwardpreisprozess der Akie zum Termin T wird mi (M 0 T bezeichne. Es gil: Sei M das Maß definier durch M = S e r(t für alle 0 T (1.3 dm dp F T := M 0. Mi E P bzw. E M wird der Erwarungswer uner P bzw. uner M bezeichne. Eine Möglichkei zu zeigen, dass die klassische Pu-Call Symmerie in einem arbiragefreien Black-Scholes Modell mi konsanen Koeffizienen gil, beseh darin, die Gleichhei (1.1 mihilfe der Black-Scholes Formel (vgl. (6.7 in [5] und der Pu-Call Pariä (vgl. (1.9 in [5] nachzurechnen. Im Folgenden wird allerdings eine andere Möglichkei gewähl, die sich auf allgemeinere Finanzmarkmodelle überragen läss. 4

7 Dazu wird die folgende Behaupung verwende: Behaupung: (a 0 Die Vereilung von M 0 uner P is gleich der Vereilung von M 0 uner M. Beweis: Da M 0 eine Konsane is, is (a 0 äquivalen zu: (a 0 Die Vereilung von uner P is gleich der Vereilung von M 0 uner M. Um (a 0 zu beweisen, wird gezeig, dass (M 0 T bzgl. P die gleiche sochasische Differenialgleichung erfüll wie ( M 0 M 0 T bzgl. M. Mi (1. folg aus (1.3 M = s 0 e r+σw 1 σ r(t e = s 0 e rt e σw 1 σ = M 0 e σw 1 σ für alle 0 T (1.4 Bzgl. P erfüll (M 0 T somi die folgende sochasische Differenialgleichung: dm = M σdw mi Anfangswer M 0 = s 0 e rt (1.5 Da (M 0 T ein Maringal bzgl. P is, gil: dm dp F = E P [ M 0 F ] = 1 M 0 E P [ F ] = M M 0 für alle 0 T Mi (1.4 folg dm dp F = M 0e σw 1 σ M 0 = e σw 1 σ für alle 0 T Nach dem Saz von Cameron, Marin, Girsanov is (W 0 T, definier durch W := W σ für alle 0 T, ein Wiener-Prozess bzgl. M. 5

8 Bzgl. M erfüll (M 0 T somi die folgende sochasische Differenialgleichung: dm = M σdw + M σ d mi Anfangswer M 0 = s 0 e rt Anwenden der Iô-Formel liefer: d M 0 = M 0 dm M M + 1 M 0 d M M 3 = M 0 M M σdw M 0 M M σ d + M 0 M M 3 σ d = M 0 M σdw Definiere W := W für alle 0 T Dann is (W 0 T ein Wiener-Prozess bzgl. M und ( M 0 M 0 T erfüll die folgende sochasische Differenialgleichung bzgl. M: d M 0 M = M 0 M σdw mi Anfangswer M 0 = s 0 e rt (1.6 Somi erfüll (M 0 T bzgl. P die gleiche sochasische Differenialgleichung wie ( M 0 M 0 T bzgl. M (vgl. (1.5 und (1.6. Da die Zinsrae r deerminisisch is, is das Forwardmaringalmaß zum Termin T P T gleich dem äquivalenen Maringalmaß P. Somi gil: C(0, K, T = e rt E P T (S T K + = e rt E P (S T K + und Wegen (1.3 gil: P (0, M 0 K, T = e rt E P T ( M 0 K S T + = e rt E P ( M 0 K S T + = S T Um zu beweisen, dass (1.1 gil, bleib folglich zu zeigen: E P ( K + = K M 0 E P ( M 0 K + 6

9 Anwenden von (a 0 liefer: E P ( K + = E M ( M 0 K + = E P [( M 0 K + M 0 ] = K M 0 E P ( M 0 K + Somi gil die klassische Pu-Call Symmerie in einem arbiragefreien Black-Scholes Modell mi konsanen Koeffizienen. Der Beweis zeig, dass die Güligkei von Behaupung (a 0 enscheidend dafür is, dass die klassische Pu-Call Symmerie gil. Im nächsen Kapiel wird diese Beobachung verallgemeiner. Zum einen wird ein allgemeineres Finanzmarkmodell berache. Zum anderen wird in Behaupung (a 0 der Zeipunk 0 durch eine beliebige Sopzei 0 τ T ersez. 7

10 Pu-Call Symmerie Die Ausführungen in diesem Kapiel basieren auf [1] und [3]..1 Finanzmarkmodell In diesem Abschni wird der Aufbau des Finanzmarkmodells dargesell, das der reslichen Maserarbei zugrundelieg. Es wird ein zeiseiges Modell mi zwei Finanzgüern berache. Dem Modell lieg ein vollsändiger Wahrscheinlichkeisraum (Ω, F, P zugrunde. Der Handelszeiraum wird als endlich vorausgesez, d.h. es exisier ein 0 < T <, so dass das Inervall [0, T] den Handelszeiraum definier. Das erse Finanzgu is ein T-Bond mi Preisprozess (B(, T 0 T. Dieser Preisprozess dien als Numéraire. Der Preisprozess des zweien Finanzgus wird mi (S 0 T bezeichne und als posiiv vorausgesez. Der Informaionsverlauf is gegeben durch eine rechsseiig seige Filraion (F 0 T, wobei F 0 alle P-Nullmengen von F enhäl. Der Forwardpreisprozess des zweien Finanzgus zum Termin T wird mi (M 0 T bezeichne. Es gil: M = S B(, T für alle 0 T Es wird angenommen, dass P das Forwardmaringalmaß zum Termin T is. Dann is (M 0 T bzgl. P ein posiives Maringal. Mi (M 0 T werden zwei weiere Maße definier. Sei M das Maß definier durch dm dp F T := M 0 8

11 und sei H das Maß definier durch dh dp F T := MT E P. Mi E P bzw. E M bzw. E H wird der bedinge Erwarungswer gegeben F uner dem Maß P bzw. M bzw. H bezeichne. Die regulär bedinge Wahrscheinlichkei gegeben F uner dem Maß P bzw. M bzw. H wird mi P bzw. M bzw. H bezeichne.. Geomerische Pu-Call Symmerie In diesem Abschni wird mi der verallgemeineren Bedingung (a τ die geomerische Pu-Call Symmerie im oben beschriebenen Finanzmark definier. Außerdem werden drei zu (a τ äquivalene Bedingungen angegeben. Definiion.1 (geomerische Pu-Call Symmerie: Sei 0 τ T eine beliebige Sopzei. Dann gil die geomerische Pu-Call Symmerie (gp CS τ für ((M τ T, (F τ T, P, falls die folgende Bedingung erfüll is: (a τ Die regulär bedinge Vereilung von M τ gegeben F τ uner P is gleich der regulär bedingen Vereilung von M τ gegeben F τ uner M. Die zu (a τ äquivalene Bedingung (b τ besag, dass die implizie Volailiä von bzgl. P im Zeipunk τ symmerisch in x := log( K M τ is. Dazu muss zunächs geklär werden, was der Begriff implizie Volailiä bedeue. Allgemein verseh man uner der implizien Volailiä diejenige Volailiä σ, so dass der Markpreis eines Calls dem im Black-Scholes Modell mi dieser Volailiä berechneen Preis des Calls ensprich. Dies wird nun auf die vorliegende Siuaion überragen. Berache wird ein Call mi Srike K und Fälligkei T. Der Markpreis des Calls in 0 τ < T soll in diesem Fall der Modellpreis im uner.1 beschriebenen Finanzmark sein, d.h. C M (τ, K, T = B(τ, T Eτ P ( K + 9

12 Durch Einsezen von x := log( K M τ und da (M 0 T ein Maringal bzgl. P is, erhäl man: C M (τ, K, T = B(τ, T E P τ ( e x E P τ + Nun wird das im ersen Kapiel beschriebene Black-Scholes Modell mi konsanen Koeffizienen berache. Da = S T gil, is der Preis eines Calls mi Srike K und Fälligkei T in τ gegeben durch (vgl. [5], (6.7 Black-Scholes-Formel: C BS (τ, K, T = S τ Φ( log( S τ K σ + (r + σ T τ (T τ Ke r(t τ Φ( log( S τ K σ + (r σ T τ Einsezen des Forwardpreises der Akie zum Termin T in τ (vgl. (1.3 liefer: C BS (τ, K, T = M τ e r(t τ Φ( log( Mτ e r(t τ + (r + σ (T τ K σ T τ Ke r(t τ Φ( log( M τ e r(t τ + (r σ (T τ K σ T τ = M τ e r(t τ Φ( log( M τ σ r(t τ + (r + (T τ K σ T τ Ke r(t τ Φ( log( M τ σ r(t τ + (r (T τ K σ T τ = M τ e r(t τ Φ( log( M τ + σ (T τ K σ T τ Ke r(t τ Φ( log( M τ σ (T τ K σ T τ = M τ e r(t τ Φ( log( M τ K σ T τ + σ T τ Ke r(t τ Φ( log( M τ K σ T τ σ T τ (T τ Durch Einsezen von x := log( K M τ und da (M 0 T man: ein Maringal bzgl. P is, erhäl C BS (τ, K, T = e r(t τ ((Eτ P x Φ( σ T τ + σ T τ e x (Eτ P x Φ( σ T τ σ T τ 10

13 Um eine Unabhängigkei von der Verzinsung zu erreichen, wird sa der Gleichhei der Kassapreise eine Gleichhei der Forwardpreise geforder. Somi is die implizie Volailiä von bzgl. P für 0 τ < T und x R diejenige Volailiä I P, τ (x, so dass die folgende Gleichung gil: Eτ P ( e x Eτ P + = (Eτ P x Φ( I P, τ (x T τ + IP,MT τ (x T τ e x (Eτ P x Φ( I P, τ (x T τ IP,MT τ (x T τ Diese Überlegungen führen zur folgenden allgemeinen Definiion der implizien Volailiä. Definiion. (implizie Volailiä: Für 0 < T is die implizie Volailiä einer inegrierbaren posiiven Zufallsvariablen U bzgl. eines Wahrscheinlichkeismaßes Q für jedes x R definier als das eindeuig besimme (x, so dass wobei κ(x := e x E Q U. E Q (U κ(x + = (E Q UΦ( κ(xφ( Für alle x R wird T (x := 0 gesez. x (x T + I x (x T I Beweis der Exisenz und Eindeuigkei von (x: Dieser Beweis basier auf [6] (vgl. S Q,U Q,U (x T (x T (.1 Bezeichne die linke Seie von Gleichung (.1 mi l( (x und die reche Seie von Gleichung (.1 mi r( (x, d.h. l( (x := E Q (U κ(x + und r( (x := (E Q UΦ( κ(xφ( x (x T + I x (x T I Q,U Q,U (x T (x T 11

14 Für r( (x gil: 1. r( = (x is sreng monoon wachsend in (x, denn: κ(xφ( = (E Q Uφ( ( κ(xφ( = (E Q Uφ( (x r(iq,u (x (x [(EQ UΦ( x (x T I x (x T + I x (x T I x (x T + I x T (I Q,U (x + = (E Q Uφ( x (x T + I Q,U Q,U Q,U Q,U T x (x T + I Q,U Q,U (x T ] (x T (x T (x T (x T (x T T > 0, da U posiive Zufallsvariable, φ > 0 und T > x T ( T (I Q,U (x + x T ( T (I Q,U (x x T ( T (I Q,U (x + ( κ(xφ( x (x T I Q,U (x T Diese Gleichung basier auf [6] (vgl. S Sie gil, da: κ(x = e x E Q U κ(xφ( = e x (E Q Uφ( = (E Q Uφ( x (x T I = e x (E Q 1 U exp( π Q,U x (x T I (x T Q,U x ( (x I T x (x T + I (x T Q,U (x T Q,U (x T 1

15 = e x (E Q 1 U exp( π 4 exp( x (x T = e x (E Q 1 U exp( π = (E Q Uφ( ( x (x T x + (x T x ( (x + I T x (x T + I Q,U (x T Q,U (x T (x T (x T e x + ( IQ,U (x T. lim (x 0 r( (x = (E Q U e x E Q U +, denn: lim = lim (x 0 (x 0 κ(xφ( r( (x (E Q UΦ( x (x T } {{ } +, falls x < 0 0, falls x = 0, falls x > 0 x (x T } {{ } +, falls x < 0 0, falls x = 0 IQ,U (x T } {{ } + IQ,U 0 (x T } {{ } 0, falls x > 0 1, falls x < 0 1, falls x < 0 = (E Q U 1, falls x = 0 κ(x 1, falls x = 0 0, falls x > 0 0, falls x > 0 E Q U e x E Q U, falls x < 0 = 1 (EQ U e 0 E Q U, falls x = 0 0, falls x > 0 = (E Q U e x E Q U + 13

16 3. lim (x r( (x = E Q U, denn: lim = lim (x (x r( (x (E Q x UΦ( (x T } {{ } x κ(xφ( (x T } {{ } 0 = (E Q U 1 κ(x 0 = E Q U 0 IQ,U Für l( (x gil: 4. (E Q U e x E Q U + l( (x E Q U, denn: und (x T } {{ } + IQ,U (x T } {{ } + + (E Q U e x E Q U + = (E Q U e x E Q E Q U + l( (x = E Q (U κ(x + = (E Q (U e x E Q U + Jensensche Ungleichung E Q (U e x E Q U + = E Q (U e x E Q U + = E Q (U κ(x + = l( (x = E Q (U e x E Q U1 {U>e x E Q U} = E Q U1 {U>e x E Q U} ex E Q U1 {U>e x E Q U} = E Q U E Q U1 {U e x E Q U} ex E Q U1 {U>e x E Q U} E Q U Da der Wer der linken Seie von Gleichung (.1 innerhalb der Grenzwere der rechen 14

17 Seie der Gleichung lieg (s.., 3. und 4. und der Wer der rechen Seie der Gleichung sreng monoon wachsend in (x is (s. 1., exisier ein eindeuig besimmes (x. Bemerkung.3: Es werden die folgenden abkürzenden Schreibweisen verwende: I P := I P, und I M := I M, 1 Bemerkung.4: Die implizie Volailiä Iτ P (x kann auch über Pupreise besimm werden. Sie is diejenige Volailiä Iτ P (x, so dass der Forwardpreis eines Pus im beracheen Finanzmarkmodell dem Forwardpreis eines Pus im Black-Scholes Modell mi Volailiä Iτ P (x ensprich. Für den Beweis von Lemma.8, das im Beweis der Äquivalenz von (a τ und (b τ verwende wird, wird die folgende Aussage basierend auf (3.3 in [3] genuz: Für alle 0 τ < T gil: Eτ P (κ(x + x = κ(xφ( Iτ P (x T τ + IP τ (x T τ (Eτ P x Φ( Iτ P (x T τ IP τ (x T τ (. Beweis: Es gil: Eτ P (κ(x + = Eτ P (κ(x + ( κ(x + = κ(x Eτ P + Eτ P ( κ(x + Def. Iτ P (x x = κ(x(1 Φ( Iτ P (x T τ IP τ (x T τ (Eτ P x (1 Φ( Iτ P (x T τ + IP τ (x T τ 1 Φ(z Φ( z x = κ(xφ( Iτ P (x T τ + IP τ (x T τ (Eτ P x Φ( Iτ P (x T τ IP τ (x T τ 15

18 Für die zu (a τ äquivalene Bedingung (c τ wird der Begriff Auszahlungsfunkion benöig. Definiion.5 (Auszahlungsfunkion: Eine Auszahlungsfunkion is eine nich-negaive Borelfunkion auf R. Beispiel.6: Call: Ein Call mi Srike K, Fälligkei T und Underlyingkurs (M 0 T liefer eine Auszahlung in Höhe von ( K +. Dies ensprich der Auszahlungsfunkion G(m = (m K + für alle m R Pu: Ein Pu mi Srike K, Fälligkei T und Underlyingkurs (M 0 T liefer eine Auszahlung in Höhe von (K +. Dies ensprich der Auszahlungsfunkion G(m = (K m + für alle m R Nun können die drei zu (a τ äquivalenen Bedingungen angegeben werden. Saz.7: Sei 0 τ T eine beliebige Sopzei. Dann sind folgende Bedingungen äquivalen: (a τ Die regulär bedinge Vereilung von M τ gegeben F τ uner P is gleich der regulär bedingen Vereilung von Mτ gegeben F τ uner M. (b τ Für alle x R gil: (c τ Für jede Auszahlungsfunkion G gil: I P τ (x = I P τ ( x E P τ G( = E P τ [ M τ G( M τ ] (d τ Die regulär bedinge Vereilung von X T := log( M τ gegeben F τ uner H is symmerisch. Im Beweis der Äquivalenz von (a τ und (b τ wird das folgende Lemma basierend auf Theorem 4.1 in [3] verwende: Lemma.8: Sei 0 τ < T eine Sopzei. Dann gil für alle x R: 16

19 Eτ M ( 1 1 K + = Eτ M 1 log( EM 1 τ [ ] 1 K [ ]Φ( Iτ P (x T τ + IP τ (x T τ wobei K := κ(x = e x E P τ. Beweis: Für jedes x R gil: 1 log( EM 1 τ [ ] K Φ( 1 K Iτ P (x T τ IP τ (x T τ E M τ ( 1 1 K + = E P τ [( 1 1 K + M 0 ] M 0 M τ M 0 F τ messbar = Eτ P [( M 0 K + ] M τ M 0 1 = Eτ P (K + KM τ (. = K x = log( Eτ P = (M 0 T P Maringal = ( 1 1 x KΦ( KM τ Iτ P (x T τ + IP τ (x T τ 1 (E P x τ Φ( KM τ Iτ P (x T τ IP τ (x T τ 1 Φ( log( K Eτ P M τ Iτ P (x T τ + IP τ (x T τ 1 1 (Eτ P Φ( log( K Eτ P K M τ Iτ P (x T τ IP τ (x T τ 1 log( 1 Mτ 1 K Φ( M τ Iτ P (x T τ + IP τ (x T τ 1 1 log( 1 Mτ 1 K M τ Φ( K M τ Iτ P (x T τ IP τ (x T τ = Eτ M 1 log( EM 1 τ [ ] 1 K [ ]Φ( Iτ P (x T τ + IP τ (x T τ 1 log( EM 1 τ [ ] K Φ( 1 K Iτ P (x T τ IP τ (x T τ 17

20 ( 1 1 M τ M τ = Eτ P 1 [ ] = E M 1 M 0 τ [ ] M τ M τ M τ F τ messbar M 0 M 0,M τ = Eτ M 1 [ ] F τ messbar Beweis von Saz.7: 1. Fall: τ < T zu (a τ (b τ : Für alle x R gil I P τ (x = I M τ ( x, denn: E M τ ( 1 e x E M τ 1 + ( = E M τ ( 1 1 K + = Eτ M 1 log( EM 1 τ [ ] 1 K [ ]Φ( Iτ P (x T τ + IP τ (x T τ Lemma.8 ( 1 log( EM τ [ 1 ] K Φ( 1 K Iτ P (x T τ IP τ (x T τ 1 ] log( EM τ [ = Eτ M 1 e x Eτ M [ ]Φ( [ 1 ] Iτ P (x T τ + IP τ (x T τ log( EM τ [ ] e x Eτ M 1 e x Eτ M [ ]Φ( [ 1 ] Iτ P (x T τ IP τ (x T τ = Eτ M 1 x [ ]Φ( Iτ P (x T τ + IP τ (x T τ e x Eτ M 1 x [ ]Φ( Iτ P (x T τ IP τ (x T τ 1 ( e x Eτ M 1 [ ] ( 1 = 1 e x M τ (M 0 T P Maringal = 1 e x E P τ = 1 K Somi gil: (b τ I P τ (x = I M τ (x für alle x R Da I P τ die regulär bedinge Vereilung von M τ gegeben F τ uner P und I M τ die regulär 18

21 bedinge Vereilung von Mτ gegeben F τ uner M besimm, folg: I P τ (x = I M τ (x für alle x R (a τ zu (a τ (c τ : Da M τ F τ -messbar is, is (a τ äquivalen zu: (a τ Die regulär bedinge Vereilung von gegeben F τ uner P is gleich der regulär bedingen Vereilung von M τ gegeben F τ uner M. Es gil: Daraus folg: E P τ [ M τ G( M τ ] = E M τ [ M τ G( M τ M 0 ] M τ M 0 M 0,M τ F τ messbar = E M τ [G( M τ ] Somi gil: (c τ Für jede Auszahlungsfunkion G gil: E P τ G( = E M τ [G( M τ ] (c τ (a τ zu (c τ (d τ : Es gil: und MT Eτ P G( = Eτ H [G( EP M T ]Eτ P [ MT E P ] M τ X T F τ messbar = = log( Mτ = MT E P M T Eτ P [ Mτ E P ]Eτ H [G( MT Mτ ] E P M T Eτ P [ Mτ E P ]Eτ H [G(e X T M τ e X T ] (.3 Eτ P [ G( M τ ] = Eτ H [ G( M τ EP MT ]E P MT τ [ M τ M τ MT E P ] M τ F τ messbar = MT E P M T Eτ P [ Mτ E P ]Eτ H [G( M τ MT M τ ] 19

22 X T = log( Mτ = MT E P M T Eτ P [ Mτ E P ]Eτ H [G(e X T M τ e X T ] (.4 zu (d τ (c τ : (d τ (.3, (.4 (c τ Die regulär bedinge Vereilung von X T gegeben F τ uner H is gleich der regulär bedingen Vereilung von X T gegeben F τ uner H. zu (c τ (d τ : Da eine regulär bedinge Vereilung auf (R, B durch ihre Fourierransformiere eindeuig besimm is, is zu zeigen: Eτ H e ipx T = Eτ H e ipx T für alle p R Für jedes p R gil: und E H τ e ipx T M τ X T =log( Mτ = Eτ H ( M ip T M τ = E P τ [( M τ ip MT E P ] Eτ P [ Mτ 1 MT E P ] F τ messbar = Eτ P [( M ip+ 1 T 1 ] M τ E P Eτ P [ MT E P ] E H τ e ipx T M τ X T =log( Mτ = Eτ H ( M ip T M τ = E P τ [( M τ ip MT E P ] Eτ P [ Mτ 1 MT E P ] F τ messbar = Eτ P [( M ip+ 1 T 1 ] M τ E P Eτ P [ MT E P ] 0

23 Somi bleib zu zeigen: Es gil: Eτ P [( M ip+ 1 T ] = E P τ [( M ip+ 1 T ] M τ M τ Eτ P [( M ip+ 1 T ] = E P τ [Re[( M ip+ 1 ip+ T M 1 T ] + i Im[( ]] M τ M τ M τ = Eτ P [(Re[( M ip+ 1 T ] + ] Eτ P [( Re[( M ip+ 1 T ] + ] M τ M τ + ieτ P [(Im[( M ip+ 1 T ] + ] ieτ P [( Im[( M ip+ 1 T ] + ] M τ M τ (c τ da ( 3 = Eτ P [ (Re[( M τ M τ M τ ip+ 1 + ieτ P [ (Im[( M τ M τ M τ ] + ] Eτ P [ ( Re[( M τ M τ M τ ip+ 1 ip+ 1 ] + ] ieτ P [ ( Im[( M τ M τ M τ ] + ] ip+ 1 ( 4 = Eτ P [ (Re[( M ip+ 1 T Mτ ] + ] Eτ P [ ( Re[( M ip+ 1 T Mτ ] + ] M τ M τ M τ M τ ] + ] + ieτ P [ (Im[( M ip+ 1 T Mτ ] + ] ieτ P [ ( Im[( M ip+ 1 T Mτ ] + ] M τ M τ M τ M τ M τ, > 0 = Eτ P [(Re[( M ip+ 1 T ] + ] Eτ P [( Re[( M ip+ 1 T ] + ] M τ M τ + ieτ P [(Im[( M ip+ 1 T ] + ] ieτ P [( Im[( M ip+ 1 T ] + ] M τ M τ = Eτ P [( M ip+ 1 T ] M τ ( 3 G 1 (m = (Re[( m ip+ 1 ] +, G (m = ( Re[( m ip+ 1 ] +, G 3 (m = (Im[( m ip+ 1 ] + M τ M τ M τ und G 4 (m =( Im[( m ip+ 1 ] + sind Auszahlungsfunkionen. M τ ( 4 ( M τ ip+ 1 M τ = ( M τ ip+ 1 ip M 1 T = ( M τ ip+ M 1 T Mτ = ( M τ. Fall: τ = T (a T Die regulär bedinge Vereilung von = 1 gegeben F T uner P is gleich der 1

24 regulär bedingen Vereilung von = 1 gegeben F T uner M. (b T Für alle x R gil: (c T Für jede Auszahlungsfunkion G gil: I P T (x = 0 = I P T ( x ET P G( = ET P [ G( M T ] (d T Die regulär bedinge Vereilung von X T := log( = 0 gegeben F T symmerisch. Da (a T (d T allgemeingülige Aussagen sind, sind sie äquivalen. uner H is Bemerkung.9: Aus (c 0 kann man die klassische Pu-Call Symmerie mi der Auszahlungsfunkion G(y = (y K + herleien. Analog kann man auch für jede andere Auszahlungsfunkion G eine Gleichung mi den Anfangspreisen europäischer Claims herleien. Als Beispiel wird die Auszahlungsfunkion G(m = m p berache. Es wird angenommen, dass gp CS 0 für ((M 0 T, (F 0 T, P gil. Dann gil: E P 0 M p T (c 0 = E P 0 [ M 0 ( M 0 p ] = E0 P [ M 1 p T M 1 p 0 ] Da M 0 F 0 -messbar is, folg: B(0, T E P 0 ( M 0 p = B(0, T E P 0 ( M 0 1 p Somi ha ein europäischer Claim mi der Auszahlung ( M 0 p den gleichen Anfangspreis wie ein europäischer Claim mi der Auszahlung ( M 0 1 p.

25 .3 Beispiele für Modelle, in denen die geomerische Pu-Call Symmerie gil In diesem Abschni wird ein Volailiäsmodell mi sochasischer und lokaler Volailiä berache. Für das erse Finanzgu, den T-Bond, wird eine seige Verzinsung mi der zeiabhängigen, deerminisischen Zinsrae r : [0, T ] [0, angenommen, d.h. Sei 0 τ T eine beliebige Sopzei. T B(, T = exp( r s ds für alle 0 T Der Preisprozess des zweien Finanzgus erfülle für τ T die folgende sochasische Differenialgleichung bzgl. P τ ds = S (r d + f(s, V, dw 1, dv = α(s, V, d + β(s, V, dw, wobei (W 1,, W, τ T ein Wiener-Prozess bzgl. P τ is. Für den Forwardpreis des zweien Finanzgus zum Termin T gil: Da die sochasische Differenialgleichung T M = S exp( r s ds für alle τ T ds = S (r d + f(s, V, dw 1, durch gelös wird, gil: M = S τ exp( S = S τ exp( = S τ exp( τ T τ τ r s ds + r s ds + τ r s ds exp( τ f(s, V, dw 1, 1 f(s, V, dw 1, 1 τ f(s, V, dw 1, 1 τ τ f (S, V, d T f (S, V, d exp( τ f (S, V, d r s ds 3

26 = M τ exp( τ f(s, V, dw 1, 1 Bzgl. P τ ha (M τ T somi die folgende Dynamik: τ f (S, V, d für alle τ T dm = M f(s, V, dw 1, Für alle τ T definiere f(m, V, := f(s, V, Dann gil: dm = M f(m, V, dw 1, Für alle τ T definiere Anwenden der Iô-Formel liefer: X := log( M M τ dx = 1 M dm 1 1 M d M = 1 M M f(m, V, dw 1, 1 1 M M f (M, V, d = 1 f (M, V, d + f(m, V, dw 1, Für alle τ T definiere f(x, V, := f(m, V, α(x, V, := α(s, V, β(x, V, := β(s, V, Dann gil: dx = 1 f (X, V, d + f(x, V, dw 1, dv = α(x, V, d + β(x, V, dw, Es sell sich nun die Frage, welche Bedingungen die Funkionen f, α und β erfüllen müssen, dami die geomerische Pu-Call Symmerie für ((M τ T, (F τ T, P gil. 4

27 Saz.10: Gegeben sei das oben beschriebene Volailiäsmodell. Die Funkionen f(x, v,, α(x, v, und β(x, v, seien gerade in x. Die sochasische Differenialgleichung sei schwach eindeuig. dx = 1 f (X, V, d + f(x, V, dw 1, dv = α(x, V, d + β(x, V, dw, (.5 Dann gil gp CS τ für ((M τ T, (F τ T, P. Beweis: Es wird gezeig, dass (a τ erfüll is. Da X T = log( M τ und X T = log( M τ is, is zu zeigen: Die regulär bedinge Vereilung von X T gegeben F τ uner P is gleich der regulär bedingen Vereilung von X T gegeben F τ uner M. Es gil: dm τ dp τ F = M M τ = exp(log( M M τ = exp(x = exp( = exp( 1 Für alle τ T definiere τ τ τ f(x s, V s, s dw 1,s 1 f(x s, V s, s dw 1,s + f (X s, V s, s + 0 ds W M τ 1, := W 1, τ τ τ f (X s, V s, s ds 0 dw,s f(x s, V s, s ds Nach dem Saz von Cameron, Marin, Girsanov is (W M τ 1,, W, τ T ein Wiener-Prozess bzgl. M τ. Somi gil bzgl. M τ : d( X = 1 f (X, V, d f(x, V, dw M τ 1, f (X, V, d 5

28 = 1 f (X, V, d f(x, V, dw Mτ 1, f gerade in x = 1 f ( X, V, d f( X, V, dw M τ 1, und dv = α(x, V, d + β(x, V, dw, α und β gerade in x = α( X, V, d + β( X, V, dw, Für alle τ T definiere W Mτ 1, := W Mτ 1, Dann erfüll ( X, V τ T bzgl. M τ die folgende sochasische Differenialgleichung: d( X = 1 f ( X, V, d + f( X, V, dw M τ 1, dv = α( X, V, d + β( X, V, dw, Daraus folg, dass sowohl ((X, V τ T, (W 1,, W, τ T, P τ als auch (( X, V τ T, (W Mτ 1,, W, τ T, M τ die sochasische Differenialgleichung (.5 erfüll. Wegen der schwachen Eindeuigkei von (.5 folg, dass die regulär bedinge Vereilung von X T gegeben F τ uner P gleich der regulär bedingen Vereilung von X T gegeben F τ uner M is, was zu zeigen war. Als Spezialfall wird nun ein Volailiäsmodell mi lokaler Volailiä, aber ohne sochasische Volailiä berache. Der Unerschied zum oben beschriebenen Volailiäsmodell is, dass die Volailiä f(s, V, nur noch vom akuellen Kurs S und der Zei abhäng, d.h. f(s, V, = σ(s,. Bzgl. P τ erfüll (S τ T dann die folgende sochasische Differenialgleichung: ds = S (r d + σ(s, dw wobei (W τ T ein Wiener-Prozess bzgl. P τ is. Für alle τ T definiere σ(x, := σ(s, 6

29 Analog zum obigen Volailiäsmodell ha (X τ T, wobei X := log( M M τ, dann die folgende Dynamik bzgl. P τ : dx = 1 σ (X, d + σ(x, dw Das folgende Korollar beanwore die Frage, wann die geomerische Pu-Call Symmerie im Volailiäsmodell mi lokaler Volailiä gil. Korollar.11: Gegeben sei das oben beschriebene Volailiäsmodell mi lokaler Volailiä. Die Funkion σ(x, sei gerade in x. Die sochasische Differenialgleichung dx = 1 σ (X, d + σ(x, dw sei schwach eindeuig. Dann gil gp CS τ für ((M τ T, (F τ T, P. Beweis: Dies is ein Spezialfall von Saz.10 mi f(x, V, = σ(x, und α(x, V, = β(x, V, = 0. Beispiel.1 (Black-Scholes Modell mi zeiabhängigen, deerminisischen Koeffizienen: Sei 0 τ T eine Sopzei. Der Preisprozess des Geldmarkkonos (β τ T und der Akienpreisprozess (S τ T erfüllen folgende Differenialgleichungen bzgl. P τ : dβ = β r d ds = S (r d + σ dw wobei r : [τ, T ] [0, die Enwicklung der Zinsrae is, σ : [τ, T ] (0, die Enwicklung der Volailiä und (W τ T ein Wiener-Prozess bzgl. P τ. Für alle τ T definiere X := log( M M τ Analog zum obigen Volailiäsmodell ha (X τ T P τ : dann die folgende Dynamik bzgl. dx = 1 σ (d + σ(dw (.6 7

30 Da die Funkion σ(x, = σ( gerade in x is und die Differenialgleichung (.6 schwach eindeuig is, folg aus Korollar.11, dass im Black-Scholes Modell mi zeiabhängigen, deerminisischen Koeffizienen gp CS τ für ((M τ T, (F τ T, P gil..4 Arihmeische Pu-Call Symmerie Man kann im Finanzmark, der in Abschni.1 beschrieben wurde, neben der geomerischen Pu-Call Symmerie eine weiere Symmerie definieren, die arihmeische Pu-Call Symmerie. Definiion.13 (arihmeische Pu-Call Symmerie: Sei 0 τ T eine beliebige Sopzei. Dann gil die arihmeische Pu-Call Symmerie (ap CS τ für ((X τ T, (F τ T, P, falls (X τ T ein (F τ T -adapierer sochasischer Prozess is und die folgende Bedingung erfüll is: (i τ Die regulär bedinge Vereilung von X T X τ gegeben F τ uner P is symmerisch. Zu Bedingung (i τ kann eine äquivalene Bedingung angegeben werden. Saz.14: Sei 0 τ T eine beliebige Sopzei und sei (X τ T ein (F τ T - adapierer sochasischer Prozess. Dann sind folgende Bedingungen äquivalen: (i τ Die regulär bedinge Vereilung von X T X τ gegeben F τ uner P is symmerisch. (ii τ Für jede Auszahlungsfunkion G gil: E P τ G(X T X τ = E P τ G(X τ X T Beweis der Äquivalenz: klar Zwischen der arihmeischen und der geomerischen Pu-Call Symmerie beseh der folgende Zusammenhang. Bemerkung.15: Sei 0 τ T eine beliebige Sopzei. Dann gil: gp CS τ gil für ((M τ T, (F τ T, P 8

31 ap CS τ gil für ((X τ T, (F τ T, H wobei X := log( M M τ für alle τ T Beweis: gp CS τ gil für ((M τ T, (F τ T, P (d τ gil für ((M τ T, (F τ T, P X τ =log( Mτ Mτ =log(1=0 (i τ gil für ((X τ T, (F τ T, H ap CS τ gil für ((X τ T, (F τ T, H 9

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