Numerik von PDEs - Bepreisung von amerikanischen Optionen. Andreas Peterseil

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1 Numerik von PDEs - Bepreisung von amerikanischen Optionen Andreas Peterseil 9. Februar 01

2 Inhaltsverzeichnis 1 Black-Scholes-Gleichung Begriffsbildungen und Sätze Europäische Call- und Put Optionen Herleitung der Black-Scholes-Gleichung Randbedingungen für die Black-Scholes-Gleichung Preisprozesse der amerikanischen Call/Put-Option Numerische Verfahren zur Lösung der Black-Scholes-Gleichung 10.1 Äquivalenz zur Wärmeleitungsgleichung Grundlagen von Differenzenverfahren Diskretisierung Explizites Verfahren Implizite Verfahren Konsistenz und Stabilität Konsistenz Stabilität Konvergenz Numerische Berechnung des Preises für amerikanische Optionen Das Hindernisproblem Diskretisierung des Hindernisproblems Berechnung amerikanischer Optionen Finite Differenzen Verfahren

3 Abkürzungen Auf einem filtriertem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,F,(F t ) t 0,P) seien: P = {(X t ) t 0 : (X t ) t 0 ist ein progressiv messbarer stochastischer Prozess} L T = {X P : [0,T] X s(ω) dλ(s) < f.s.} Ploc [0,T] = {X P : [0,T] X s(ω) dλ(s) < f.s.} Es sei nun S ein Ito-Prozess mit Driftkoeffizient µ und Diffusionskoeffizient σ. M T (S) = {X P : [0,T] X s(ω)µ(s,ω) dλ(s) <, [0,T] X s(ω)σ(s,ω) dλ(s) < f.s.}

4 Kapitel 1 Black-Scholes-Gleichung 1.1 Begriffsbildungen und Sätze Zuerst definieren wir einige Begriffe, die in dieser Seminararbeit benötigt werden. Zunächst sei an ein paar Begriffe aus der Vorlesung Einführung in Stochastische Prozesse erinnert. Im weiteren Verlauf sei (Ω,F,(F t ) t 0,P) ein filtrierter Wahrscheinlichkeitsraum, wobei (F t ) t 0 eine vollständige, rechtsstetige Filtrierung bezüglich einer Brownschen Bewegung (W t ) t 0 darauf ist Definition. Es sei ξ(t) t 0 ein stochastischer Prozess. Dann heißt ξ(t) t 0 Ito-Prozess, wenn a L T und b Ploc [0,T] T > 0 existieren, sodass ξ(t) = ξ(0)+ t 0 a(s)ds+ t 0 b(s) dw(s) f.s. (1.1) t 0 gilt. Dabei heißen a und b Ito-Koeffizienten von ξ. Genauer ist a der Driftkoeffizient von ξ und b der Diffusionskoeffizient von ξ. Eine Beziehung in der Form von (1.1) wird im Folgenden kurz durch dξ(t) = a(t)dt+b(t)dw(t) ausgedrückt Satz (Ito-Formel). Es sei ξ(t) ein Ito-Prozess, mit Driftkoeffizient a und Diffusionskoeffizient b. Weiters sei F(t,x) : R + R R eine Funktion mit stetigen partiellen Ableitungen F t, F x und F xx. Dann ist auch F(t,ξ(t)) t 0 ein Ito Prozess und es gilt df(t,ξ(t)) = (F t (t,ξ(t))+a(t)f x (t,ξ(t))+ 1 F xx(t,ξ(t))b(t) ) dt+f x (t,ξ(t))b(t)dw(t). (1.) Weiters werden wir auch noch einige finanzmathematische Begriffe benötigen Definition. S(t) t [0,T] sei ein N-dimensionaler adaptierter stochastischer Prozess auf dem eingangs erwähnten filtriertem Wahrscheinlichkeitsraum. 3

5 1. Ein N-dimensionaler, bezüglich (F t ) t [0,T] adaptierter stochastischer Prozess H(t) t [0,T] heißt Handelsstrategie.. Der Portfoliowert V H (t) t [0,T] zur Handelsstrategie H(t) t [0,T] is definiert durch V H (t) = N H j (t)s j (t) (1.3) j=1 3. Es sei zusätzlich (S j t) t 0 ein Ito-Prozess mit Driftkoeffizientem µ j und Diffusionskoeffizientem σ j. Die Handelsstrategie H(t) t [0,T] heißt selbstfinanzierend wenn H j M T (S j ) und die Gleichung erfüllt ist. dv H (t) = N H j (t)ds j (t) (1.4) j=1 Gleichung (1.4) bedeutet, dass V H (t) = V H (0)+ N [ t H j (s)µ j (s)ds+ j=1 0 t 0 ] H j (s)σ j (s)dw(s) gilt. Grundlegend ist das Konzept der Arbitragefreiheit, welches durch folgende Definition spezifiziert wird Definition. Eine selbstfinanzierende Handelsstratgie H(t) t [0,T] heißt Arbitragemöglichkeit wenn V H (0) = 0 V H (T) 0 f.s. P(V H (T) > 0) > 0 gilt. Ein Markt S(t) t [0,T] heißt arbitragefrei, wenn es keine Arbitragemöglichkeit gibt. Im folgenden ist S(t) t 0 ein eindimensionaler adaptierter Prozess. Die Grundlage dieser Seminararbeit bildet die Annahme, dass die Aktienkursentwicklung in der Zeit einer geometrischen Brownschen Bewegung folgt. Genauer gesagt basieren unsere Überlegungen darauf, dass der Aktienkursverlauf S(t) (t 0) Lösung der stochastischen Differentialgleichung ds(t) = µs(t)dt + σs(t)dw(t) (1.5) ist. Dabei ist (1.5) eine Kurzschreibweise für S(t) = S(0)+ t 0 µs(s)ds+ t 0 σs(s)dw(s) Die Lösung für den Anfangswert S 0 der stochastischen Differentialgleichung in (1.5) ist gegeben durch ( S(t) = S 0 e µ σ ) t+σw(t) (1.6) 4

6 wie sich leicht mit Hilfe der Ito-Formel (die Ito-Koeffizienten von W(t) t 0 sind offensichtlich) verifizieren lässt. WeitersseinebendemAktienpreismitPreisprozessS(t) t 0 einrisikolosesassetmitpreisprozessb(t) t 0, charakterisiert durch db(t) = r(t)b(t)dt (1.7) gegeben. Dieses kann zum Beispiel als Bankkontoeinheit interpretiert werden. Die nächste Folgerung(siehe[B, 97]) aus der Arbitragefreiheit eines Marktes werden wir für die Herleitung der Black-Scholes Gleichung brauchen Satz. Es sei k(t) t [0,T] ein adaptierter Prozess und H(t) t [0,T] eine selbstfinanzierende Handelsstrategie, sodass für den Portfoliowert V H gilt dv H (t) = k(t)v H (t)dt (1.8) Dann muss k(t) = r(t) für alle t gelten oder es gibt eine Arbitragemöglichkeit. Nun können wir uns mit der Herleitung der sogenannten Black-Scholes-Gleichung, welche eine partielle Differentialgleichung darstellt, beschäftigen. 1. Europäische Call- und Put Optionen 1..1 Definition. Eine europäische Kaufoption (European call option), mit Ausübungspreis (strike price) K und mit Fälligkeit T ( R + ) (maturity), auf das zugrunde liegende Wertpapier S t 0, ist ein Vertrag, der dem Käufer das Recht, aber nicht die Pflicht, gibt das Wertpapier S zum Zeitpunkt T zum Preis K zu kaufen. Die europäische Kaufoption ist also zum Zeitpunkt T genau dann etwas wert, wenn der Aktienpreis S T zum Zeitpunkt T größer ist als der Ausübungspreis K. In diesem Fall beträgt der Wert genau die Differenz S T K. Im anderen Fall, also S t K, ist die Option wertlos, da ja nicht ausgeübt werden muss. Insgesamt beträgt also die Auszahlung zum Zeitpunk T genau (S T K) + := max{s T K,0}. 1.. Definition. Eine europäische Verkaufsoption (European put option), mit Ausübungspreis (strike price) K und mit Fälligkeit T ( R + ) (maturity), auf das zugrunde liegende Wertpapier S t 0 ist ein Vertrag, der dem Käufer das Recht, aber nicht die Pflicht, gibt das Wertpapier S zum Zeitpunkt T zum Preis K zu verkaufen. Analog zur europäischen Kaufoption erhalten wir für die Auszahlung einer Europäischen Verkaufsoption zum Zeitpunkt T genau (K S T ) +. Wir wollen nun eine partielle Differentialgleichung (PDE), nämlich die Black-Scholes Gleichung, für den arbitragefreien Preisprozess einer europäischen Call- und Put-Option im, durch die jederzeit handelbare Option, erweiterten Finanzmarktmodell herleiten. Zusammenfassend stellen wir folgende Grundannahmen an den Markt (siehe [GJ, 5/53]): Der Markt ist arbitragefrei. Der Wertpapierpreisprozess wird durch (1.5) beschrieben. Die Zinsrate r(t), siehe (1.7), ist konstant. Also r(t) = r R. Diese Zinsrate gilt sowohl für Geldeinlagen als auch für Kredite. 5

7 Es erfolgen keine Dividendenzahlungen auf den Basiswert. Der Markt ist friktionslos (keine Transaktionskosten, Gebühren, usw.) und liquide. Der Basiswert kann kontinuierlich gehandelt werden, ist beliebig teilbar und auch Leerverkäufe sind erlaubt. Alle betrachteten stochastischen Prozesse sind stetig Herleitung der Black-Scholes-Gleichung Wir gehen bei der Herleitung wie in [D, 46 ff] vor. Es sei nun F(t,S) die Auszahlung einer Option abhängig vom Zeitpunkt t und vom Aktienpreis zum Zeitpunkt t. Setzen wir für F(t,S) voraus, dass es die Voraussetzungen der Ito-Formel erfüllt, erhalten wir mit Hilfe von (1.) df = ( F t +µs F S + 1 ) σ S F S dt+σs F dw. (1.9) S NundefinierenwireineHandelsstrategie(H B,H S,H V )imerweitertenfinanzmarktmodell(b t 0,S t 0,F t 0 ) durch ( ) ( H B (t),h S (t),h F (t) := β(t), F(t,S(t)) ), 1, (1.10) S wobei mit β(t) erreicht werden soll, dass diese Handelsstrategie selbstfinanzierend wird. Mit dieser selbstfinanzierenden Handelsstrategie erhalten wir für den Portfoliowert V H (t) dv H (t) = dv(t,s(t))+ F(t,S(t)) ds(t) + β(t)db(t) (1.11) S Mit Hilfe von (1.9),(1.5) und (1.7) erhalten wir somit ( F dv H = t +µs F S F S µs } {{ } =0 ( F = t + 1 σ S F S βrb + 1 ) σ S F S βrb ( dt+ σs F ) S +σs F dw = S } {{ } =0 ) dt = 1 ( F V H (t) t + 1 σ S F S βrb ) V H (t)dt Also fällt für V H insbesondere der Diffusionsterm weg. Weiters lässt sich nun aufgrund der vorausgesetzten Arbitragefreiheit Satz anwenden und wir erhalten, wegen der vorausgesetzten konstanten Zinsrate r ( F V H r = t + 1 ) σ S F S βrb. (1.1) Andererseits erhalten wir für V H r nach Definition von V H V H r = rf +r F S +rβb. (1.13) S Durch Kombination von (1.1) und (1.13) erhalten wir für F die Black Scholes Gleichung F t (t,s)+ 1 σ S F S (t,s)+r F (t,s)s rf(t,s) = 0. (1.14) S 6

8 1.. Randbedingungen für die Black-Scholes-Gleichung Nun wollen wir auch Randbedingungen für (1.14) für die speziellen Fälle einer europäischen Call- und europäischen Put-Option herleiten. Der Preisprozess einer Call-Option sei mit C(t, S) bezeichnet, jener der Put-Option mit P(t,S). Offensichtlich ist die Randbedingung zum Zeitpunkt T C(T,S) = (S K) + P(T,S) = (K S) + (1.15) (1.16) GibteseinenZeitpunktt,sodassS(t ) = 0gilt,folgt,daS(t)einergeometrischenBrownschenBewegung folgt, dass S(t) = 0 für t t (vgl. (1.6)). Insbesondere muss aus Arbitragegründen C(t,0) = 0 (1.17) gelten. Weiters ist es plausibel, dass für große S der Wert einer Put-Option sehr gering sein wird. Dies motiviert die Randbedingung P(t,S) = 0 für S (1.18) Aufgrund der Call-Put-Parität S+P C = Ke r(t t) (siehe z.b. [GJ, 1]) ergeben sich außerdem noch die Randbedingungen P(t,0) = Ke r(t t) S C(t,S) Ke r(t t) für S Zusammenfassend erhalten wir also nun für den Wert einer europäischen Option das Randwertproblem: Black-Scholes-Gleichung für europäische Optionen ( F t (t,s)+ 1 σ S F S (t,s)+r F (t,s)s rf(t,s) = 0 S (1.19) mit den Randbedingungen europäische Put-Option europäische Call-Option F(T,S) = (K S) + F(T,S) = (S K) + F(t,0) = Ke r(t t) F(t,0) = 0 F(t,S) = 0 für S S C(t,S) Ke r(t t) für S 1.3 Preisprozesse der amerikanischen Call/Put-Option Definition. Eine amerikanische Kaufoption (American call option), mit Ausübungspreis (strike price) K und mit Fälligkeit T ( R + ) (maturity), auf das zugrunde liegende Wertpapier S t 0 ist ein Vertrag, der dem Käufer das Recht, aber nicht die Pflicht, gibt das Wertpapier S zu einem beliebigen Zeitpunkt t [0,T] zum Preis K zu kaufen. 7

9 Somit ergibt sich zu jedem Zeitpunkt t [0,T] die Auszahlung (S t K) +. Analog gibt es auch amerikanische Verkaufsoptionen Definition. Eine amerikanische Verkaufsoption (American put option), mit Ausübungspreis (strike price) K und mit Fälligkeit T ( R + ) (maturity), auf das zugrunde liegende Wertpapier S t 0 ist ein Vertrag, der dem Käufer das Recht, aber nicht die Pflicht, gibt das Wertpapier S zu einem beliebigen Zeitpunkt t [0,T] zum Preis K zu verkaufen. Hier ergibt sich die Auszahlung (K S t ) + zum Zeitpunkt t [0,T]. Offensichtlich muss der Wert einer amerikanischen Option zum Zeitpunkt t, größer gleich der Auszahlung zum Zeitpunkt t sein, da sonst, wegen der sofortigen Ausübungsmöglichkeit unmittelbar eine Arbitragemöglichkeit gegeben wäre. Insbesondere müssen, wegen der frühzeitigen Möglichkeit zur Ausübung, die Gedankengänge bei der Herleitung von (1.14) adaptiert werden, um eine PDE für den Preisprozess einer amerikanische Option zu erhalten. Auch hier orientieren wir uns bei der Herleitung des freien Randwertsproblems für amerikanische Optionen an [D], aber auch an [S] und [GJ]. Wir betrachten nun eine amerikanische Put-Option mit Wert P(t,S) zum Zeitpunkt t [0,T]. Ziel ist es nun ein sogenanntes freies Randwertproblem für den Wert P(t, S) herzuleiten. Amerikanische Call- Optionen können ähnlich behandelt werden. Wir betrachten den Wert P(t, S) der Put-Option zu einem festen Zeitpunkt t. Leicht einzusehen ist, dass, wie bereits bemerkt, die Ungleichung P(t,S) (K S) + (1.0) gelten muss. Im Fall S K ist das offensichtlich. Wenn S < K K S > 0 gilt, so würde mit der Ungleichung P(t, S) < (K S) eine Arbitragemöglichkeit zum Zeitpunkt t gegeben sein. Wird nämlich zum Zeitpunkt t eine Put-Option gekauft und diese sofort ausgegeübt bleibt insgesamt ein Gewinn von P +K S > 0. Weiters erhält man durch analoge Überlegungen wie in (1.18) die Randbedingung P(t,S) 0 für S. (1.1) Nun wollen wir herleiten, dass es zu jedem Zeitpunkt t einen Preis S f (t) gibt, sodass sich die Ausübung im Fall S S f (t) lohnt und für S > S f (t) nicht lohnt. Dazu betrachten wir den Wert eines Portfolios, bestehend aus einer Put-Option und einer Aktie, vor und nach dem Ausüben. Wenn sich der Wert verringert, hat sich das Ausüben nicht gelohnt. Wenn dies nicht der Fall ist lohnt sich das Ausüben. Im Fall S K (K S) + = 0 findet keine Ausübung statt, da der Marktpreis des Assets den Strike Price übersteigt. Es sei also im Folgenden S < K. Wir betrachten den Portfoliowert π = P +S. Wenn P > (K S) + gilt folgt π > (K S) + + S = K vor der Ausübung. Nach der Ausübung gilt π = (K S) + +S = K S +S = K. Also lohnt sich die Ausübung nicht. Sobald P = K S gilt lohnt sich die Ausübung, denn dann ist der Porfoliowert vor und nach der Ausübung gleich K. Im Fall S = 0 muss aus Arbitragegründen P(t,S) = K zum Zeitpunkt t gelten. Somit ist die Menge {0 S < K : P(t,S)+S = K} nicht leer. Aufgrund der Stetigkeit von P(t,S) (der Preis soll (klassische) Lösung einer PDE werden) und da für S = K die Gleichung P(t,S)+S = K, aufgrund der Positivität von P, nicht erfüllt sein kann, hat diese Menge insbesondere ein Maximum S f (t). Für S f (t) gilt insbesondere auch P(t,S) = (K S) + = (K S) S S f (1.) P(t,S) erfüllt (1.14) S > S f, (1.3) wobei im letzten Fall die Option gehalten wird, und P(t,S) aufgrund gleicher Argumente wie bei der Herleitung von (1.14), ebendiese PDE erfüllen soll. Weiters wollen wir auch die Stetigkeit von P S (t,s) 8

10 an der Stelle S = S f (t) voraussetzen (kann auch mittels Arbitrageargumenten gefolgert werden, siehe z.b. Abschnitt 7.4. in [C]). Hiermit folgt aufgrund von P S (t,s) = 1 für S < S f(t) die Forderung P S (t,s f(t)) = 1. (1.4) Zusammenfassend ergibt sich also mit Hilfe von (1.0),(1.1),(1.),(1.3),(1.4) und da der Wert zum Fälligkeitszeitpunkt T gleich der Auszahlung sein muss, für den Preisprozess P(t, S) einer amerikanische Put-Option das folgende freie Randwertproblem freies Randwertproblem für die amerikanische Put-Option P t (t,s)+ 1 σ P P S (t,s)+r P (t,s)s rp(t,s) = 0 S für P(t,S) = K S P(T,S) = (K S) + P(t,S) 0 für S P S (t,s f(t)) = 1. S > S f(t) für S S f (t) (Endbedingung) Da wir in unserem Modell gefordert haben, dass keine Dividenenzahlung erfolgt, ist eine analoge Modellierung von amerikanischen Call-Optionen nicht unbedingt sinnvoll, da sich eine vorzeitige Ausübung nicht lohnt (siehe [S, 95]), und somit der Wert gleich jenem einer europäischen Kaufoption ist. Ein kontinuierliches Dividendenmodell lässt sich durchaus in den Black-Scholes-Rahmen einbauen. Der zugrundeliegende Aktienpreisprozess S(t) t 0 würde für δ > 0 ds(t) = (µ δ)s(t)dt+σdw(t) erfüllen. Hierbei modelliert das δ den kontinuierlichen Fluss von Dividendenzahlungen (siehe [S, 78]). Dies führt auf das freie Randwertproblem (man beachte den Einfluss von δ in der Differentialgleichung): freies Randwertproblem für die amerikanische Call-Option C t (t,s)+ 1 σ C C S(t,S)+(r δ) C(t,S)S rc(t,s) = 0 S für C(t,S) = S K C(T,S) = (S K) + C(t,0) = 0 P S (t,s f(t)) = 1. S < S f(t) für S S f (t) (Endbedingung) Insbesondere ist also neben der Funktion P(t,S) bzw. C(t,S) auch der freie Randwert S f (t) gesucht. 9

11 Kapitel Numerische Verfahren zur Lösung der Black-Scholes-Gleichung Ziel dieser Seminararbeit ist es, den Preis einer amerikanischen Option zu berechnen. Um dem Ziel näher zu kommen, beschäftigten wir uns zunächst mit der numerischen Lösung der Black-Scholes-Gleichung..1 Äquivalenz zur Wärmeleitungsgleichung Zuerst wollen wir noch die Äquivalenz von der Black-Scholes Gleichung zur Wärmeleitungsgleichung y τ = y xx (.1) herleiten, um von einer Lösung von (.1) auf eine Lösung von (1.14) schließen zu können. Die Methoden in diesem Kapitel können zwar grundsätzlich auch für die Black-Scholes-Gleichung verwendet werden, allerdings lassen sich diese für die äquivalente Gleichung (.1) wesentlich einfacher durchführen. Um der Übersicht zu dienen wollen wir diese Äquivalenz in Schritten herleiten..1.1 Satz. Ausgehend von (1.14) seien mit K R + Φ : R (0,T σ ) (0,T) R +, α und β definiert durch Φ(x,τ) := ( T τ ) ( ) σ,kex ) =: Φ 1 (x,τ),φ (x,τ) Dann löst y, definiert auf R (0,T σ ) genau dann α := r σ 1 β := r σ. y τ +y xx +αy x +βy = 0 (.) wenn y Φ 1 (1.14) löst. Beweis. Es sei V eine Lösung von (1.14). Definiere y auf R (0,T σ ) durch ( y(x,τ) := V Φ(x,τ) = V T τ σ,kex). 10

12 Dann gilt y τ (x,τ)+y xx (x,τ)+αy x (x,τ)+βy(x,τ) = = ( V t Φ(x,τ) ) ( (VS σ + Φ(x,τ) ) Ke x) +α ( V S Φ(x,τ) ) Ke x +β ( V Φ(x,τ) ) = x = ( V t Φ(x,τ) ) σ +( V SS Φ(x,τ) ) (Ke x ) +(1+α) ( V S Φ(x,τ) ) Ke x +β ( V Φ(x,τ) ) = = ( (Vt σ Φ(x,τ) ) + σ ( VSS Φ(x,τ) ) (Ke x ) +r ( V S Φ(x,τ) ) Ke x r ( V Φ(x,τ) )) = } {{ } =0 =0. Sei nun umgekehrt y Lösung von (.). Für V auf (0,T) R +, definiert durch ( V(t,S) := y ln S ) K, σ (T t) = y Φ 1 (t,s) folgt 0 = y τ +y xx +αy x +βy = ( V Φ) τ +(V Φ) xx +α(v Φ) x +β(v Φ) = = ( ) σ V t Φ+ σ (V SS Φ)Φ +r(v S Φ)Φ r(v Φ). Die letzte Gleichheit folgt hier vollkommen analog zum ersten Teil des Beweises. Da Φ R (0,T σ bijektiv auf (0,T) R + abbildet erfüllt V auch (1.14). ) Mit dem nächsten Theorem sehen wir die Äquivalenz zur Wärmeleitungsgleichung (.1)..1. Satz. Ausgehend von (.) seien mit Ψ : R (0,T σ ) R, γ und δ definiert durch Ψ(x,τ) := e γx+δτ γ := α δ := β α 4. Dann löst y, definiert auf R (0,T σ ) genau dann y τ = y xx (.3) wenn y Ψ (.) löst. Beweis. Es sei y Lösung von (.1). Dann sei V definiert durch V(x,τ) := Ψ(x,τ)y(x,τ) Dann gilt (Ψ 1 bezeichnet den Kehrwert von Ψ 0) 0 =Ψ0 = Ψ ( y xx y τ ) = Ψ ( δψ 1 V Ψ 1 V τ +γ Ψ 1 V γψ 1 V x +Ψ 1 V xx ) = =δv V τ +γ V γv x +V xx = V τ +(γ +δ)v γv x +V xx = = V τ +V xx +αv x +βv. Also ist (.) erfüllt. Ist andererseits (.) durch V erfüllt folgt, mit y := Ψ 1 V, 0 = Ψ 1 0 =Ψ 1( V τ +V xx +αv x +βv ) = =Ψ 1( y τ Ψ yψδ +γ Ψy +γψy x +Ψy xx +αγψy +αψy x +βψy ) = = y τ yδ +γ y +γy x +y xx +αγy +αy x +βy = =y xx y τ +y( δ +γ γ +δ +γ ) +y x (γ γ) = y xx y τ. } {{ } } {{ } =0 =0 11

13 Somit löst y (.1). Bemerkung. Aus den letzten beiden Resultaten folgt, ausgehend von einer Lösung y von (.1), dass γ := σ r σ δ := 8rσ +(σ r) 4σ 4 ( V(S,t) := e γ ln S K +δ(t t)σ / y ln S ) K,(T t)σ / eine Lösung von (1.14) ist. Auch die im freien Randwertproblem für amerikanische Call-Optionen auftretende Differentialgleichung ist äquivalent zur Wärmeleitungsgleichung wie man mittels einer ähnlichen Transformation einsehen kann. Details hierzu sind in [S, 78] zu finden.. Grundlagen von Differenzenverfahren Zur Approximation der Lösung y von (.1) verwenden wir das Verfahren der finiten Differenzen. Hierzu werden Ableitungen durch Differenzenquotienten zur Schrittweite h > 0 angenähert. Dies kann zum Beispiel für eine Funkltion g durch g (x) g(x+h) g(x) h oder g (x) g(x) g(x h) h passieren. Ausgehend von den Approximationen in (.4) kann auch eine Approximation für die zweite Ableitung hergeleitet werden. (.4) g (x) g (x+h) g (x) h g(x+h) g(x) h g(x) g(x h) h h = g(x+h) g(x)+g(x h) h Daraus können nun Approximation für y τ (x,τ) und y xx (x,τ) gewonnen werden. y s τ(x,τ) := y(x,τ +s) y(x,τ) s oder η s τ(x,τ) := y(x,τ) y(x,τ s) s y h xx(x,τ) := y(x+h,τ) y(x,τ)+y(x h,τ) h (.6) Als unmittelbare Folgerung aus dem Satz von Taylor ergibt sich (.5)..1 Satz. Für Ω R offen sei y C 4 (Ω) und [x h,x+h] [t s,t+s] Ω. Dann gilt yττ yτ(x,τ) y s {x} [τ,τ+s] τ (x,τ) s also yτ s = y τ +O(s). Analog gilt ητ s = y τ +O(s) und yxx h = y xx +O(h ). 1

14 Nun wollen wir ein Gitter definieren, auf dessen Punkten wir die Lösung für (.1) approximieren. Prinzipiell suchen wir die Lösung definiert auf R (0,α). Da wir aber nur endlich viele Gitterpunkte haben können, müssen wir uns auf ein Intervall [a, b] für x einschränken. Hierzu seien Randbedingungen y(a,t) = f 1 (t), y(b,t) = f (t) t (0,α) gegeben. Für m,k N sei definiert h := (b a) m s := α k. Dann erhalten wir als Bezeichnungen für unser Gitter τ j := js x i := a+ih y ij := y(x i,τ j ) für j = 0,1,...,k für i = 0,1,...,m MitI mk := {1,...,m 1} {0,...,k 1}suchenwirnunaufdemGitter(x i,τ j ) (i,j) Imk eineapproximation für y..3 Diskretisierung Ausgehend von der Gleichung y τ = y xx ergibt sich nun auf Basis von Satz..1, mit beiden Möglichkeiten in (.5) und (.6), dass gilt y s τ(x i,τ j ) = y h xx(x i,τ j )+O(s+h ) (i,j) {1,...,m 1} {0,...,k 1} (.7) y s τ(x i,τ j ) = η s τ(x i,τ j+1 ) = y h xx(x i,τ j+1 )+O(s+h ) (i,j) {1,...,m 1} {0,...,k 1}. (.8) Durch Multiplikation von (.8) mit θ [0,1], von (.7) mit 1 θ und anschließender Addition der beiden Gleichungen erhält man y i,j+1 y ij s = 1 θ h (y i+1,j y ij +y i 1,j )+ θ h (y i+1,j+1 y ij +y i 1,j+1 )+O(s+h ). (.9) 13

15 Dies motiviert die Gleichung w i,j+1 w ij s = 1 θ h (w i+1,j w ij +w i 1,j )+ θ h (w i+1,j+1 w ij +w i 1,j+1 ), (.10) welche von den Näherungen w ij für y ij erfüllt werden sollen. Mit λ := s h folgen also die Gleichungen λθw i+1,j+1 +(λθ +1)w i,j+1 λθw i 1,j+1 = i {1,...,m 1} (.11) = λ(1 θ)w i+1,j ( λ(1 θ) 1 ) w ij +λ(1 θ)w i 1,j j {0,...,k 1} (.1) Aus den Randbedingungen ergibt sich w j 0 = f 1(τ j ), w j m = f (τ j ), 1 j k w 0 i = y 0 (x i ), 0 i m. Weiters ergeben sich aus (.1) mit den Bezeichnungen w j := (w 1j,...,w m 1,j ) T, sowie A := B := λθ +1 λθ λθ λθ +1 λθ λθ λθ λθ +1 d j := λ(1 θ)w 0j +λθw 0,j λ(1 θ)w mj +λθw m,j+1 λ(1 θ)+1 λ(1 θ) λ(1 θ) λ(1 θ)+1 λ(1 θ) λ(1 θ) λ(1 θ) λ(1 θ)+1 die Gleichungssysteme Aw j+1 = Bw j +d j für 0 j k 1 und w 0 i = y 0 (x i ) für 0 i m (.13) Bemerkung. Das Gleichungssystem in.13 hat eine eindeutige Lösung w j+1. Dies folgt daraus, dass A eine strikt diagonaldominante und somit reguläre Matrix ist (siehe [P, 4])..3.1 Explizites Verfahren Für θ = 0 ist die Matrix A in (.13) die Einheitsmatrix und somit können ausgehend von w 0 alle Vektoren w j rekursiv mittels Matrixmultiplikation berechnet werden. Deswegen nennt man das Differenzenverfahren mit θ = 0 explizites Verfahren. Da hier kein Gleichungssystem gelöst werden muss, erfolgt die Berechnungen der Näherungswerte sehr effizient..3. Implizite Verfahren Für θ > 0 erhalten wir implizite Differenzenverfahren. Der Name rührt daher, dass hier in jedem Schritt zurrekursivenberechnungdesvektors w j+1 einlineares Gleichungssystemgelöst werdenmuss. Fürθ = 1 heißt das Verfahren (voll) implizit und für θ = 1 spricht man vom Crank-Nicolson-Verfahren. 14

16 Beispiel. Betrachte das Randwertproblem y τ = y xx auf [0,1], y(x,0) = sinπx, y(0,τ) = y(1,τ) = 0. Die exakte Lösung ist y(x,τ) = e πτ sinπx. Es gilt y(0.,0.5) Mit Hilfe von Matlab erhält man mit dem expliziten Verfahren als Approximationen beispielsweise h s λ i j x i τ j y ij Die erste Wahl der Schrittweite von s liefert einen vernünftigen Wert,wohingegen die zweite Wahl der Schrittweiten offensichtlich zu einem Desaster führt. Dies führt uns auf den Begriff der Stabilität..4 Konsistenz und Stabilität.4.1 Konsistenz Ziel ist es nun zu untersuchen, ob eine gute Lösung zu erwarten ist, beziehungsweise gegebenenfalls Bedingungen für die Schrittweiten h, s anzugeben, unter denen eine gute Lösung zu erwarten ist. Hierfür benötigen wir die Eigenschaften Konsistenz und Stablitität eines solchen Differenzenverfahrens..4.1 Definition. Ein Differenzenverfahren aus dem letzten Abschnitt heißt konsistent von der Ordnung O(s a +h b ) mit a,b > 0, wenn es eine Konstante C > 0 gibt, sodass für hinreichend kleine s,h > 0 gilt wobei max L h,s (y i,j ) C(s a +h b ) (.14) i,j L h,s (y i,j ) = y i,j+1 y ij s 1 θ h (y i+1,j y ij +y i 1,j ) θ h (y i+1,j+1 y ij +y i 1,j+1 ) (.15) Bemerkung. Die Konsistenz ist eine Kenngröße dafür, wie schnell das Residuum, welches durch Einsetzen der exakten Lösung in.10 entsteht, gegen 0 geht, wenn s,h gegen 0 gehen. Wir haben im vorigen Abschnitt schon ein Resultat der Konsistenz des Differenzenverfahrens hergeleitet. Wir erhielten (.9) auf Basis von Satz..1. Zusammenfassend erhalten wir also folgenden Satz..4. Satz. Es sei y wie im letzten Abschnitt und zusätzlich y C 4. Dann ist das diskutierte Differenzenverfahren konsistent von der Ordnung O(s+h ) für alle s,h > 0 und θ [0,1]. Für den Fall θ = 1 lässt sich die Konsistenzordnung noch verbesseren. Dies begründet auch den eigenen Namen des Verfahrens für θ = Satz. Für die Lösung y der Wärmeleitungsgleichung (.1) gelte y C 4. Dann ist das Crank- Nicholson Verfahren konsistent mit der Ordnung O(s +h ). Beweis. Nach dem Satz von Taylor gilt: 15

17 1 s (y(x i,τ j +s) y(x i,τ j )) = y t (x i,τ j )+ s y tt(x i,τ j )+O(s ) und y xx (x i,τ j+1 ) y xx (x i,τ j ) = sy xxt (x i,t j )+O(s ). Damit und wieder mit dem Satz von Taylor folgt: 1 h (y(x i +h,τ j ) y(x i,τ j )+y(x i h,τ j )+y(x i +h,τ j+1 ) y(x i,τ j+1 )+y(x i h,τ j+1 )) = 1 ( yxx (x i,τ j )+O(h )+y xx (x i,τ j+1 )+O(h ) ) = y xx (x i,τ j )+ 1 (y xx(x i,τ j+1 ) y xx (x i,τ j ))+O(h ) = y xx (x i,τ j )+ 1 sy xxt(x i,τ j )+O(s +h ) Insgesamt erhalten wir also für das Residuum L h,s (y i,j ) = y t (x i,τ j )+ s y tt(x i,τ j ) y xx (x i,τ j ) s y xxt(x i,τ j )+O(s +h ) = y t (x i,τ j ) y xx (x i,τ j ) + s ) yt y xx } {{ } ( } {{ } (x t i,τ j )+O(s +h ) = O(s +h ). =0 =0.4. Stabilität Weiters wollen wir nun untersuchen wie sich Rundungsfehler im zuvor beschriebenen Algorithmus fortpflanzen können. Hierzu sei an.13 erinnert und die Vektoren w j für j = 0...k 1 bezeichnen die exakten Lösungen für dieses lineare Gleichungssystem. Bei der Realisation des Algorithmus zur Lösung von.13 werden aber gerundete Werte w j berechnet und als Näherung verwendet. Die Fehlervektoren e j seien durch e j := w j w j definiert. Mit einem Residuum r j werden dann von den gerundeten Werten w j folgende Gleichungen erfüllt Aw j+1 = Bw j +d j +r j j = 0...k 1. (.16) Es ergibt sich für den Fehler e j die Rekursion Ae j+1 = Aw j+1 Aw j+1 = Bw j +d j +r j Bw j d j = Be j +r j (.17) e j+1 = A 1 Be j +A 1 r j. (.18) Wir betrachten den idealisierten Fall, dass r j = 0 j 0. Es entsteht also nur ein Fehler bei bei der Auswertung des Anfangswertes. Nach.18 ergibt sich mit C := A 1 B die Fortpflanzung des Fehlers durch e j = C j e 0. Für ein sogenanntes stabiles Verhalten sollte also ein abklingendes Verhalten dieses Fehlers gegeben sein. Gibt es eine Abbildungsnorm, sodass C < 1 folgt 0 limsup j und somit lim e j R n = limsup j j e j R n = 0. C j e 0 R n limsup j C j e 0 R n = 0 Mit ρ(m) := max{ λ λ C ist Eigenwert von M} und aufgrund des Satzes 16

18 .4.4 Satz ([P, 113]). Für jede Matrix M R n n oder M C n n gilt für den zugehörigen Spektralradius ρ(m) ρ(m) = inf{ M ist Operatornorm, die von einer Norm auf C n induziert wird}. (.19) ist die Existenz einer solchen Abbildungsnorm äquivalent zu ρ(c) < 1. Gilt andererseits ρ(c) 1, so gibt es ein λ C mit λ 1 und ein x C N 1 \{0} sodass Cx = λx. Dann folgt aber, da C ausschließlich reelle Einträge hat, 0 < x λ j x = λ j x = C j x = C j (Rx+iIx) = C j Rx+iC j Ix C j Rx + C j Ix. (.0) Somit können nicht C j Rx und C j Ix für j gegen 0 konvergieren. Insbesondere gibt es ein y R N 1 (nämlich z.b. entweder Rx oder Ix), sodass C j y nicht gegen 0 konvergiert. Also kann es, um wieder Bezug zu unserem Differenzverfahren herzustellen, passieren dass der Fehler, welcher durch die Auswertung des Anfangswertes ensteht, nicht abklingt, ja womöglich sogar explodiert. Diese Überlegungen motivieren folgende Definition:.4.5 Definition. Das Differenzenverfahren in.13 heißt stabil, wenn gilt. ρ(a 1 B) < 1 (.1) Motiviert durch diese Definition der Stabilität wollen wir nun die Eigenwerte von speziellen Tridiagonalmatrizen, deren Struktur z.b. die Matrizen A, B in.13 haben, untersuchen..4.6 Satz. Es sei a R, b 0 und sgn b = sgn c. Die Matrix M R n n, definiert durch a b 0. M := c a b, 0 c a hat genau die Eigenwerte ( ) c kπ µ k = a+b b cos, k = 1,...,n (.) n+1 mit zugehörigen Eigenvektoren ( (c )1 v k = sin kπ ( c ) b n+1, sin kπ ( c )n b n+1,..., sin nkπ ). (.3) b n+1 17

19 Beweis. Zunächst zeigen wir (Mv k ) l = (µ k v k ) l für l n 1. Mit dem Additionstheorem (x,y R) folgt sinxcosx = sin(x y)+sin(x+y) (.4) (Mv k ) l = cvl 1 k +avl k +bvl+1 k ( c = c sin b)l 1 (l 1)kπ ( c l +a sin b) lkπ ( c = c b)l 1 ( c l c = b b) b c = ( b n+1 ( sin (l 1)kπ +sin (l+1)kπ n+1 n+1 lkπ sin n+1 cos kπ ( c n+1 +a b ) (c b cos kπ n+1 +a b ( c n+1 +b b ) +a )l+1 ) l sin lkπ n+1 ) l sin lkπ n+1 = (µ kv k ) l. sin (l+1)kπ n+1 ( c b) l sin lkπ n+1 Somit bleibt die Gleichheit (Mv k ) l = (µ k v k ) l für l = 1 und l = n zu zeigen. Es folgt wieder mit Hilfe von (.4) und (µ k v k ) 1 = ( a+ bccos kπ n+1 ) (c )1 sin kπ ( c )1 n+1 = a sin kπ kπ +csin b n+1 n+1 cos kπ n+1 b ( c = a sin b)1 kπ n+1 +bc kπ sin b n+1 = avk 1 +bv k = (Mv k ) 1 (µ k v k ) n = ( a+ kπ bccos n+1 ) (c b )n sin nkπ ( c )n n+1 = a sin nkπ ( c )n 1 b n+1 +c sin (n 1)kπ b n+1 = cv k n 1 +av k n = (Mv k ) n Also folgt insgesamt Mv k = µ k v k. Weiters bildet der Kosinus das Intervall (0,π) bijektiv auf ( 1,1) abbildet und wir erhalten tatsächlich n verschiedene Eigenwerte. Somit kann die Matrix M auch höchstens die Eigenwerte (µ k ) k {1,...,n} haben. Das letzte Resultat ist Grundlage für den nächsten Satz, in welchem wir Bedingungen formulieren unter denen das von uns diskutierte Differenzenverfahren stabil im Sinne von (.1) ist..4.7 Satz. Das Differenzenverfahren aus.13 ist stabil, wenn für λ := s h und θ gilt 0 < λ < 1 4θ für 0 θ < 1 (.5) λ > 0 für 1 θ 1 (.6) Beweis. Es sei zuerst θ > 0. Die Matrizen A,B R m 1 m 1 aus.13 stehen offensichtlich in der Beziehung θb +(1 θ)a = I B = 1 θ I (1 θ) A. θ 18

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