Optionspreisbestimmung nach Cox-Ross-Rubinstein

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1 Optionspreisbestimmung nach Cox-Ross-Rubinstein Michael Beer 8. Mai 000 Inhaltsverzeichnis Einführung und Problembeschreibung. Was sind Optionen? Modellspezifikation Exkurs: Martingale Herleitung der Optionspreisformeln 3. Allgemeine Schritte Abdiskontierte Wertschriftenpreise Arbitrage Verteilung der Zufallsvariablen T n 0 n Der Wert von Call- und Put-Optionen Konkrete Anwendung des Modells zur Bestimmung der Optionspreise. 6 Einführung und Problembeschreibung. Was sind Optionen? Im Zusammenhang mit dem Handel auf Finanzmärkten hatten Instrumente zum Management finanzieller Risiken schon seit jeher eine grosse Bedeutung. Termingeschäfte, auch Derivate genannt, sind da ein wichtiger Bestandteil. Sie zeichnen sich dadurch aus, dass der Zeitpunkt eines Vertragsabschlusses nicht mit dem Zeitpunkt der darin vereinbarten Leistung und Gegenleistung durch die Vertragsparteien zusammenfällt. Der Inhaber einer Option, worauf wir hier im Detail eingehen wollen, besitzt beispielsweise das Wahlrecht, eine festgelegte Menge eines bestimmten Guts Basiswert zu einem im Voraus festgelegten Preis Ausübungspreis an einem bestimmten, in der Zukunft liegenden Stichtag Fälligkeitstag zu kaufen resp. zu verkaufen. Kaufsoptionen werden als Call-Optionen, Verkaufsoptionen als Put-Optionen bezeichnet. Man unterscheidet ausserdem zwischen amerikanischen und europäischen Optionen. Letztere können nur am Fälligkeitstag selbst, erstere auch bereits in der Zeitspanne zuvor ausgeübt werden. Für das dem Käufer einer Option abgegebene Wahlrecht verlangt deren Aussteller sog. Schreiber oder Stillhalter eine Prämie, den Optionspreis. Dieser wird von verschiedenen Grössen beeinflusst, so zum Beispiel vom aktuellen Preis und der Volatilität des Basiswerts, der Restlaufzeit der Option, der Höhe des Ausübungspreises sowie vom aktuellen risikolosen Zinssatz.

2 Im Folgenden wollen wir nun ein Modell studieren, welches uns erlaubt, diesen Optionspreis unter Berücksichtigung der erwähnten unabhängigen Variablen quantitativ zu bestimmen.. Modellspezifikation Wir konstruieren unser Modell eines Finanzmarktes auf einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum Ω, F, P. F versehen wir ausserdem mit einer steigenden Folge von σ-unteralgebren F 0,... F, wobei F n die zum Zeitpunkt n verfügbaren Informationen darstellen soll. sei der Fälligkeitszeitpunkt der zu betrachtenden Optionen. Weiter spezifizieren wir unser Modell wie folgt: Als Basiswert betrachten wir eine risikobehaftete Wertschrift Aktie, Obligation o. ä., deren Preis/Kurs zum Zeitpunkt n mit S n bezeichnet werde 0 n. S n ist eine Zufallsvariable mit Werten in R 0, wobei der Preis zum Zeitpunkt 0 in S 0 gegeben sei. Für den Verlauf von S n nehmen wir zunächst an, dass die relative Preisveränderung von einer Periode zur nächsten nur zwei mögliche Werte a oder b annehmen kann: { Sn + a S n+ = S n + b Die möglichen Preisentwicklungen lassen sich somit durch den Raum Ω := { + a, + b} darstellen, wobei jedes Element ω Ω die sukzessiven Werte von Sn+ S n zum Ausdruck bringt. Wir gehen davon aus, dass als Alternativanlage eine risikolose Wertschrift Bundesobligation o. ä. zur Verfügung steht, welche pro Periode den relativen Zins r abwirft. Eine Kapitalanlage K 0 erreicht somit nach n Perioden mit Zinsen und Zinseszinsen den Wert K 0 + r n. Die oben erwähnte Folge F n 0 n von σ-unteralgebren von F definieren wir nun wie folgt: {, Ω} für n = 0, F n := PΩ für n =, σs,... S n für n. Unter σs,... S n ist dabei die kleinste σ-algebra zu verstehen, welche S,... S n messbar macht, S n : Ω i+j=n {S 0 + a i + b j } R 0 Ausserdem soll gelten, dass P {ω} > 0 ω Ω. Wir führen nun für n die Zufallsvariablen T n := für ω = ω,... ω Ω schreiben: P ω = P T = ω,... T = ω Insbesondere gilt hierbei F n = σt,... T n. Sn S n ein und können damit

3 .3 Exkurs: Martingale Für die weiteren Überlegungen benötigen wir das Konzept der Martingale: Sei Ω, F, P ein Wahrscheinlichkeitsraum, F = PΩ, P {ω} > 0 ω Ω, F n 0 n eine steigende Folge von σ-unteralgebren von F und X n 0 n eine Folge von Zufallsvariablen, wobei X n jeweils F n -messbar sei..3. Definition: X n 0 n heisst Martingal, falls EX n+ F n = X n n. Stellt X n zum Beispiel einen Aktienkurs zum Zeitpunkt n dar, so bedeutet diese Eigenschaft, dass die beste Schätzung des Kurses X n+ der Folgeperiode mit den gegebenen Informationen F n jeweils direkt der aktuelle Kurs X n ist..3. Eigenschaft: Ist X n 0 n ein Martingal, so gilt EX n+j F n = X n j {,... n} Herleitung der Optionspreisformeln. Allgemeine Schritte Abdiskontierte Wertschriftenpreise Um die Vergleichbarkeit der Wertschriftenpreise zu verschiedenen Zeitpunkten zu gewährleisten, werden wir diese jeweils mittels des risikolosen Zinssatzes r auf den Startzeitpunkt 0 abdiskontieren und schreiben: S n := S n + r n Bemerkung: Sinkt S n mit steigendem n, so deutet das darauf hin, dass die betrachtete risikobehaftete Wertschrift weniger an Wert gewinnt als die risikolose Wertschrift. Damit ein Investor allerdings das Risiko zu akzeptieren bereit ist, erwartet er eine höhere Rendite als den risikolose Zinssatz r, also steigende S n... Behauptung: Die Folge der abdiskontierten Preise S n 0 n ist genau dann ein Martingal, wenn ET n+ F n = + r, n {0,,... }. Beweis: E S n+ F n = S n Sn+ E F n = E S n S n ist F n -messbar und beschränkt Sn+ E S n+ n+ S n n F n = F n = + r ET n+ F n = + r S n Arbitrage Traum jeden Investors ist es, Gewinne zu erzielen, ohne dabei Risiken eingehen zu müssen. In der Realität ist dies allerdings in der Regel nicht oder nur sehr kurzfristig möglich. Diese sogenannte Arbitrage soll daher in unserem Modell ausgeschlossen sein. 3

4 .. Definition: Zwei Wahrscheinlichkeiten P und P heissen äquivalent : A Ω : P A = 0 P A = 0 Bemerkung: In unserem diskreten Fall ist eine Wahrscheinlichkeit P äquivalent zur gegebenen Wahrscheinlichkeit P, falls P {ω} > 0 ω Ω...3 Satz: Eine Arbitrage ist genau dann nicht möglich, wenn eine zu P äquivalente Wahrscheinlichkeit P existiert, unter der die abdiskontierten Wertschriftenpreise S n 0 n ein Martingal sind. Beweis: [3, S. 7ff.]..4 Behauptung: Damit in unserem Modell keine Arbitrage möglich ist, muss notwendigerweise r ]a, b[ sein. Beweis: Unter der Annahme, dass Arbitrage ausgeschlossen ist, existiert nach Satz..3 eine Wahrscheinlichkeit P, so dass gilt: E S n+ F n = S n.. E T n+ F n = + r mit E als der zu P gehörenden Erwartung. Es ist nun aber E T n+ = E E T n+ F n = E + r = + r und T n+ { + a, + b}, so dass gilt: + r = E T n+ = + a P T n+ = + a + + b P T n+ = + b ] + a, + b[ } {{ } } {{ } >0 n. Vorauss. >0 r ]a, b[ Motivation: Wäre beispielsweise 0 r a, so könnte ein Investor zum Zeitpunkt 0 den Betrag S 0 zum risikolosen Zinssatz r entlehnen und eine Einheit der risikobehafteten Wertschrift kaufen. Zum Zeitpunkt würde dann die Wertschrift zum Preis S verkauft und der Geldbetrag S 0 + r zurückbezahlt. Weil nun aber S S 0 +a S 0, würde ein Arbitragegewinn in der Höhe S S 0 resultieren, ohne dass der Investor ein Risiko eingegangen wäre. Aus diesen Gründen sei im Folgenden vorausgesetzt, dass r ]a, b[, und wir setzen p := b r b a Verteilung der Zufallsvariablen T n 0 n..5 Behauptung: S n 0 n ist ein Martingal. Die Zufallsvariablen T n 0 n sind voneinander unabhängig und identisch wie folgt verteilt: Beweis: P T = + a = p = P T = + b ET n+ F n = ET n+ = p + a + p + b = + r T n+ unabhängig von F n = σt,... T n 4

5 ach Voraussetzung gilt + r = ET n+ F n = E + a {Tn+=+a} + + b {Tn+=+b} F n = + a E {Tn+=+a} F n + + b E {Tn+ =+b} F n Ausserdem ist E {Tn+=+a} F n + E {Tn+ =+b} F n =, da {T n+ = + a} {T n+ = + b} = Ω. Setzen wir nun p := E {Tn+ =+a} F n, so folgt aus der obigen Gleichung, dass und somit + r = + a p + + b p = + b + a b p p = r b a b = b r b a = p Daraus folgt p n+ := E {Tn+ =t n+ } F n = Dabei ist ausserdem { p falls t n+ = + a p falls t n+ = + b P T n+ = t n+ = E {Tn+ =t n+ } = E E {Tn+=t n+} F n = Ep n+ = p n+ Bleibt zu zeigen, dass die T i unabhängig sind: Induktion über n: P T = t,... T n = t n = P T = t,... T = t = P T i = t i P T n = t n T = t,... T n = t n P T = t,... T n = t n } {{ } } {{ } =E {T n=tn} F n =p n=p T n =t n n = P T i=t i= i Ind.vorauss. i= Der Wert von Call- und Put-Optionen Wir betrachten nun europäische Call- und Put-Optionen mit Verfalldatum und Ausübungspreis K auf unserer risikobehafteten Wertschrift. Der Wert der Option zum Zeitpunkt n soll durch C n für die Call-Option respektive P n für die Put-Option ausgedrückt werden. Eine Call-Option wird selbstverständlich nur ausgeübt, wenn am Fälligkeitsdatum der Ausübungspreis K unter dem Wertschriftenkurs S leigt, weil sonst die Wertschrift über den Kapitalmarkt ja günstiger zu haben wäre. Die Put-Option verhält sich genau umgekehrt und wird nur ausgeübt, wenn K > S. Es liegt daher auf der Hand, für C n und P n folgende Ansätze zu machen: C n = + r n E S K + F n P n = + r n E K S + F n Daraus leiten wir nun die sogenannte Call-Put-Parität her: 5

6 C n P n = + r n E S K F n = + r n E S F n K } {{ } = + r E S F n = + r Sn.3. = + r n S n = S n K + r n. Konkrete Anwendung des Modells zur Bestimmung der Optionspreise Die obige Definition der Werte von Call- und Put-Optionen sind theoretisch valabel, reichen allerdings zur praktischen Berechnung von Optionspreisen noch nicht aus. Ausserdem liefern sie uns nur zu endlich vielen Zeitpunkten n = 0,... Informationen. Wir bezeichnen daher im Weiteren das Verfalldatum mit T und lassen die Anzahl Schritte bis zum Verfalldatum gegen streben. Wir setzen folgende Beziehungen voraus: r = RT +a ln ln +b = σ = σ R lässt sich auf diese Weise als konstanten Momentanzinssatz in der Zeitperiode [0, T ] interpretieren, denn + r = + RT e RT σ seinerseits stellt die Grenzvarianz der Zufallsvariable lns bezüglich P dar, wobei S den Kurs der risikobehafteten Wertschrift zum Zeitpunkt T ausdrückt... Behauptung: Sei Y eine Folge von Zufallsvariablen der Form Y = X + + X, wobei für jedes die Zufallsvariablen {Xi σ } mit Werten in { σ, }, Erwartung µ und lim µ = µ R unabhängig und identisch verteilt sind. Dann konvergiert Y in Verteilung gegen eine µ, σ -ormalverteilung, wenn gegen strebt. Beweis: Wir betrachten die charakteristische Funktion ϕ Y u = Ee iuy = Ee iux j = Ee iux = = j= E + iux u X denn E X = σ P X folgt direkt + iuµ σ u = σ + + o lim ϕ Y u = e iuµ σ +... σ P X = σ = σ. Daraus u 6

7 Für ein fixes ist nun der Preis einer Put-Option zum Zeitpunkt 0 wie folgt gegeben: P 0 = + RT E K S 0 T j j= + = E + RT K S 0 e Y mit Y = ln j= T j = j= Tj ln. Dabei sind die Variablen Xj Tj := ln { σ σ, } unabhängig und identisch gemäss P verteilt, also E Xj = E ln Tj = p σ σ σ + p = p + r Mit e σ = +a und e σ = +b erhalten wir + und somit ist p = b r + b r = b a µ := E X j = + b a = e e σ e σ e σ e σ σ e σ σ j Man kann nun zeigen, dass lim µ = σ =: µ, so dass die Bedingungen von Behauptung.. erfüllt sind und die Folge Y somit in Verteilung gegen eine σ, σ -ormalverteilung konvergiert. Setzen wir nun ψy := Ke RT S 0 e y, so gilt: + P 0 E ψy = E + RT K S 0 e Y Ke RT S 0 e Y + + K + RT e RT 0 Da nun aber ψ stetig und beschränkt ist, lässt sich dank der obigen Konvergenzeigenschaft schreiben: lim P 0 = lim E ψy =, d := d σ und der Verteil- Mit den Substitutionen d := σ funktion π + ln S 0 K + RT + σ F d = π d Ke RT S 0 e σ +σy + e y dy e x dx einer Standard-ormalverteilung lässt sich der obige Ausdruck wie folgt vereinfachen: lim P 0 = Ke RT F d S 0 F d Unter Verwendung der Call-Put-Parität erhält man schliesslich für den Preis der Call- Option: lim C 0 = S 0 F d Ke RT F d 7

8 Bemerkung: In den obigen Formeln ist σ der einzige nicht direkt beobachtbare Parameter. Da σ aber als Grenzvarianz für des logarithmierten Wertschriftenpreises logs betrachtet werden kann, lässt er sich durch statistische Methoden schätzen. Literatur [] Black, F., Scholes, M., The Pricing of Options and Corporate Liabilities, in: Journal of Political Economy, Bd , r. 3, S [] Cox, J. C., Rubinstein, M., Options markets, Prentice-Hall, ew Jersey, 985. [3] Lamberton, D., Lapeyre, B., Introduction au Calcul Stochastique appliqué à la Finance, Bd. 9 von Mathématiques & Applications, Société de Mathématiques Appliquées et Industrielles, Paris, 99. 8

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