Bewertung von Barrier Optionen mit der Finite-Differenzen-Methode

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1 Bewertung von Barrier Optionen mit der Finite-Differenzen-Methode Diplomarbeit vorgelegt von Ming Liao Universität Bielefeld Fakultät für Wirtschaftswissenschaften 9. Juni 2011

2 Themensteller: Prof. Dr. Thomas Braun 2. Prüfer: Prof. Dr. Reinhold Decker

3 I Inhaltsverzeichnis Einleitung 1 1 Grundlagen der Optionsbewertung Optionen Brown sche Bewegung und Itôs Formel Black-Scholes-Modell und Vanilla Option Bewertung Annahmen Black-Scholes Partial Differentialgleichungsmethode Die Black-Scholes Formel für europäische Optionen Barrier Option Eigenschaften der Barrier Option Black-Scholes-Modell zur Optionsbewertung Black-Scholes-Modell zur europäische Barrier Optionsbewertung Finite-Differenzen-Methode Einleitung in die Finite-Differenzen-Methode Finite-Differenzen-Approximation Die implizite Finite-Differenzen-Methode Standard Option Bewertung Implizite Finite-Differenzen-Methode für Barrier Optionsbewertung Die explizite Finite-Differenzen-Methode Standard Option Bewertung Explizite Finite-Differenzen-Methode für Barrier Option Bewertung Modifizierter expliziter finiter Differenzen Ansatz zur Barrier Optionsbewertung Crank-Nicolson-Methode Standard Option Bewertung Bewertung einer Barrier Option mit der Crank-Nicolson Methode 65 5 Sensitivitäten von Optionspreisen Sensitivitätskennzahlen Sensitivitätsanalyse der Differenzen-Methode

4 II 6 Fazit 73 Anhang 75 A Beweise und Theoreme 75 Beweis der Black-Scholes Bewertungs-Formel (2.15) Beweis für die Transformation (3.7), (3.8) und (3.9) Beweis für die Transformation (3.11), (3.12) und (3.13) Beweis die Delta und Gamma Berechnung des Deltas einer Barrier Option B Code 81 Allgemeine Symbol Bedeutung B.1. Simulation des Wiener-Prozess B.2 Simulation für Pfade eines Wiener Prozesses B.3. Simulation of Geometric Brownian Motion B.4. Monte-Carlo-Simulation für Pfade der geometrischen Brownschen Bewegung B.5. Simulation des Underlying asset B.6. European Call/Put Optionsbewertung mit Monte-Carlo-Simulation B.7. Option Bewertung (Call/Put) mit Black-Scholes Formula B.8. Barrier Option Bewertung mit Monte Carlo Simulation B.9. Barrier Option Bewertung mit BS-Modell B.10. amerikanischen und europäischen VerkaufsOption Bewertung mit implizite FDM B.11. amerikanischen und europäischen VerkaufsOption Bewertung mit explizite FDM B.12. europäischen Verkaufsoption Bewertung mit Crank-Nicolson Methode.. 92 B.13. europäischen Down-and-out VerkaufsOption Bewertung mit implizite Differenze Methode B.14. europäischen Down-and-out VerkaufsOption Bewertung mit explizite Differenzen Methode B.15. europäischen Down-and-out VerkaufsOption Bewertung mit modifizierte explizite Differenzen Methode B.16. europäischen Down-and-out Put Barrier Option Bewertung mit Crank- Nicolson Methode B.17. Down-and-out Barrier Optionsbewertung mit Monte Carlo Simulation... 97

5 Inhaltsverzeichnis III B.18. Amerikanische Down-and-out Put Optionsbewertung mit implizite FDM. 98 B.19. Beispiel der Greek B.20. Abbildung der Greek B.21. Delta der Down-and-in Call Barrier Option B.22. Sensitivitätskennzahl einer Europäische Call Option B.23. Die Delta einer Europäische oder Amerikanische Put Option Literaturverzeichnis 105

6 Abbildungsverzeichnis IV Abbildungsverzeichnis 1.1 Call und Put Optionen. Quelle: [10, S.4] Simulation für Pfade eines Wiener Prozesses. X-Achse: Zeit T; Y-Achse: t sn(0,1). Quelle: eigene Darstellung Monte-Carlo-Simulation für Pfade der geometrischen Brownschen Bewegung. Quelle: eigene Darstellung Gitter der Finite-Differenzen-Methode Vorwärts-, Rückwärts- und Zentral-Differenzen-Approximation, Quelle: [21, S.137] Implizite Finite-Differenzen-Methode. Quelle: [6, S.511] Europäische Verkaufsoptionsbewertung durch implizite Finite-Differenzen- Methode für M = 20 und N = 10. Quelle: eigene Darstellung Europäische Verkaufsoptionsbewertung mittels impliziter Finite-Differenzen- Methode für M = 200 und N = 100. Quelle: eigene Darstellung Gitterstruktur einer Down Barrier Option Down-and-out Put Barrier Option mittels der Implizite-Differenzen- Methode. Quelle: eigene Darstellung Amerikanische Down-and-out Put Barrier Option mittels der Implizite- Differenzen- Methode. Quelle: eigene Darstellung Explizite Finite-Differenzen-Methode. Quelle: Vgl. [6, S.511] Explizite Finite-Differenzen-Methode als Trinomialbaum. Quelle: [6, S.514] Europäische Verkaufsoptionsbewertung mit explizite Finite-Differenzen- Methode. Quelle: eigene Berechnung Instabilitätsproblem der expliziten Methode. Quelle: eigene Berechnung Down-and-out Put Barrier Option mit modifizierter expliziter Differenzen Methode. Quelle: eigene Berechnung Down-and-out Verkaufsoption mit Crank-Nicolson-Methode. Quelle: eigene Darstellung Sensitivitätskennzahlen für t = 0 (punktierte Linie), t = 5/4(durchgezogene Linie) und t = 10/4 (dicke Linie), jeweils mit K = 50, T = 5/12, r = 0.1 und σ = 0.4. Quelle: eigene Darstellung Das Delta mit folge Annahme: K = 50, T = 5/12, r = 0.1 und σ = 0.4. Quelle: eigene Darstellung

7 Tabellenverzeichnis V Tabellenverzeichnis 1 Simulation für den Aktienkurs bei µ = 0.14, σ = 0.2 und t = Quelle: eigene Berechnung Bewertung der amerikanischen Option mit der impliziten FDM. Quelle: eigene Berechnung Bewertung der europäischen Option mit der impliziten FDM. Quelle: eigene Berechnung Bewertung der amerikanische Option mit der expliziten FDM. Quelle: eigene Berechnung Bewertung der europäische Option mit der explizite FDM. Quelle: eigene Berechnung Bewertung der europäischen Option mit der Crank-Nicolson-Methode. Quelle: eigene Berechnung

8 Abkürzungsverzeichnis VI Abkürzungsverzeichnis bzw. d.h. usw. Vgl. z.b. min max inf PDE FDM beziehungsweise das heißt und so weiter vergleiche zum Beispiel minimiere maximiere infimum partial difference equality Finite-Differenzen-Methode

9 Symbolverzeichnis VII Symbolverzeichnis N: natürliche Zahlen : reelle Zahlen W t Wiener-Prozess E( ) Erwartungswert einer Variablen H Barrier K Ausübungspreis (Strike price) N(0,1) standard normal distribution N(x) Kumulation Verteilungsfunktion C Preis einer amerikanischen Kaufoption P Preis einer amerikanischen Verkaufsoption c Preis einer europäischen Kaufoption p Preis einer europäischen Verksaufoption r risikoloser Zinssatz µ erwartete Rite einer Aktie σ Volatilität des Aktienkurses T Ausübungszeitpunkt (maturity date) T t Restlaufzeit der Option S aktueller Aktienkurs zum Zeitpunkt t in [0,T] S 0 aktueller Aktienkurs in Zeitpunkt Null S T Kurs des zugrunde liegen Wertpapiers zum Zeitpunkt T. /Kurs des Basiswerts. /Aktienkurs bei Fälligkeit underlying. Π Portfolio zur Optionsbewertung c do Down-and-out call c di Down-and-in call p do Down-and-out put p di Down-and-in put c uo Up-and-out call c ui Up-and-in call p uo Up-and-out put Up-and-in put p ui

10 Einleitung 1 Einleitung Seit den 90er Jahren ist eine rapide Entwicklung bei den Finanzinnovationen festzustellen. Es fand sowohl eine Liberalisierung der Finanzmärkte als auch deren globale Integrationen statt. Dadurch ist der Derivatemarkt immer weiter angewachsen. Die Statistik des Deutschen Derivate Verbandes zeigt im Jahresbericht 2009, dass Ende 2009 in Deutschland rund Anlageprodukte und Hebelprodukte an den Börsen Stuttgart (EUWAX) und Frankfurt (Scoach) notiert waren. Bei den Hebelprodukten dominierten 2009 Optionen deren Underlyings Aktien gewesen sind. Sie stellten einen Anteil von 78 Prozent. Danach folgten Hebelprodukte die als Basiswert Währungen und Rohstoffe besaßen. Ihr Anteil erreichte dabei 21.3 Prozent am Gesamtvolumen der Hebelprodukte. 1 Dies zeigt, dass Optionen eine große Rolle auf dem Derivatemarkt spielen. Vor diesem Hintergrund ist die Bewertung von Optionen von so großer Bedeutung. Es existieren zwei unterschiedliche Arten wie die Bewertung von Optionen vorgenommen werden kann. Es wird unterschieden zwischen analytischer und numerischer Bewertung. Hierbei stellt die Black-Scholes Gleichung das einzige analytische Bewertungsverfahren zur Optionsbewertung dar. Zu den numerischen Verfahren gehören das Binominalmodell, die Finite-Differenzen-Methode und die Monte Carlo Simulation. Diese Arbeit beschränkt sich dabei auf die Betrachtung des analytischen Verfahrens des Black-Scholes-Modells und bei den numerischen Verfahren auf die Finite-Differenzen- Methode. Die Tabellen, die Graphiken und die Beispiele in dieser Arbeit wurden mit Hilfe des Programms MATLAB selbst erstellt. Dabei wurden die Funktionen und die für die Analyse notwigen Simulationen ebenfalls selbständig mit MATLAB durchgeführt. Die hierfür verwandten Programm-Codes befinden sich im Anhang der Arbeit. Diese Arbeit befasst sich mit dem Unterschied zwischen dem Black-Scholes-Modell und der Finite-Differenzen-Methode. Diese wird beispielhaft mit Hilfe der Barrier Option dargestellt. Zunächst werden in einem einführen Kapitel die Grundlagen der Optionsbewertung vorgestellt. In Kapitel zwei wird eine Erläuterung des Black-Scholes-Modell und die Bewertung von Vanilla Optionen durchgeführt. Im Anschluss wird in Kapitel drei näher auf die Barrier Optionen eingegangen, da in dieser Arbeit der Fokus auf die Bewertung von Barrier Option gelegt wurde. Das vierte Kapitel behandelt die Finite-Differenzen- Methode zur Barrier Optionsbewertung. Hier wird auf die drei Verfahren der Finite- Differenzen-Methode: implizite-, explizite- und Crank-Nicolson-Methode eingegangen. Im fünfte Kapitel wird eine Sensitivitätsanalyse des Black-Scholes Modell und der Finite- Differenzen-Methode vorgenommen. Im Fazit werden dann abschließ die Ergebnisse des Vergleiches zwischen Black-Scholes Modell und der Finite-Differenzen-Methode zusammengefasst. Danksagung Zunächst gilt mein Dank Prof. Dr. Thomas Braun, der mich bei der Anfertigung dieser Diplomarbeit unterstützt und mit Hinweisen angeholfen hat. Ein ganz besonderer Dank geht an Herr André Schöne für die gute Betreuung. 1 Vgl. [18, S.8]

11 1 Grundlagen der Optionsbewertung 2 1 Grundlagen der Optionsbewertung 1.1 Optionen Es existieren zwei unterschiedliche Typen von Optionen, die Vanilla- und Exotic Optionen. Die Vanilla Option wird als die Standard Option bezeichnet. Die exotische Option hingegen ist eine spezielle Form der Option, der nicht standardisierten Produkte. Barrier Optionen gehören in diesem Schema zu den exotischen Optionen. Im folgen Absatz wird näher auf Vanilla Optionen eingegangen. Um im Anschluss näher auf die Barrier Optionen eingehen zu können, ist es zunächst notwig, einige Grundbegriffe der Standard- oder Vanilla-Optionen zu erläutern. Eine Standard-Option ist ein Vertrag, welcher dem Inhaber einer Option das Recht zum Kauf oder Verkauf des Basiswertes bei einem vorgegebenen Preis (genannt Ausübung oder Basispreis K) innerhalb einer vorgegebenen Zeit T (sogenannter Zeitraum bis zur Fälligkeit oder Zeit bis zum Verfall der Option) verleiht. 2 Wenn der Inhaber sein Recht zum Kauf oder Verkauf des Basiswertes nur bei Fälligkeit ausüben kann, wird die Option als eine europäische Option bezeichnet. Wenn der Inhaber sein Recht zum Kauf oder Verkauf des Basiswertes jedoch jederzeit wahrnehmen kann, wird die Option als amerikanische Option bezeichnet. 3 Es gibt darüber hinaus noch weitere Möglichkeiten zur Klassifizierung von Standard- Optionen. Beispielsweise gibt es eine Klassifizierung in Call- und Put-Option. Der Call ist eine Kaufoption und Put ist eine Verkaufsoption. Da die Option ein Recht verbrieft, hat sie einen gewissen Wert, den Optionspreis. Dieser ändert sich mit dem Preis des zugrunde liegen Basiswertes S. Als Basiswert kann es sich zum Beispiel um Aktien, Währungen, Rohstoffen und Indizes handeln. Da der Basiswertes S als riskante Anlageklasse gilt, handelt er sich bei dem Preis um eine Zufallsvariable. Daher ist der Optionspreis, welcher aus diesem abgeleitet ist, ebenso eine Zufallsvariable. Sobald jedoch der Ausübungspreis K fixiert wurde, ist der Optionspreis zu bestimmen. Der Optionspreis lässt sich durch die Partial-Differential-Methode errechnen. Bei dieser Methode wird ein Portfolio Π (Vgl. Kapitel 2.2) zusammengestellt. 2 Vgl.[8, S.8] 3 Vgl.[6, S.29]

12 1 Grundlagen der Optionsbewertung 3 V T V T C T = (K S T ) + P T = (K S T ) + S T S T Abbildung 1.1: Call und Put Optionen. Quelle: [10, S.4] Der Ausübungspreis wird mit K bezeichnet. T bezeichnet den Verfallstag oder den Ausübungszeitpunkt. S T wird als der Kurs des Basiswertes kenntlich gemacht. Der Wert des europäischen Call zum Verfallstag wird durch die folgen Auszahlungsfunktionen (payoffs) beschrieben: max(s T K,0) =: (S T K) +, und max(k S T,0) =: (K S T ) +. In die Abbildung wird die Auszahlungsfunktion gezeigt. Hier wird V T als Auszahlung in Zeitpunkt T. Auf Grund der Annahmen der Arbitragfreiheit ergibt sich die Call-Put- Parität: c t + K e r(t t) = p t + S t, 0 t T. (1.1) Die Call-Put-Parität ist eine Beziehung zwischen den Preisen der europäischen Call-und Put-Optionen, wobei beide Optionen den gleichen Basiswert und das gleiche Verfallsdatum besitzen Brown sche Bewegung und Itôs Formel Die Kursbewegung eines underlying Vermögenswerts ist ein stochastischer Prozess. Im Jahr 1900 analysierte der französische Mathematiker Louis Bachelier Kursbewegungen an der Pariser Börse mit der Brown schen Bewegung. 5 In diesem Kapitel wird eine Einführung in das theoretische Modell des Wiener-Prozesses, die geometrische Brownsche Bewegung sowie in das Black-Scholes-Modell gegeben. Es wird auch die stochastische Differentialgleichung und das Itô-Lemma vorgestellt. Ein stochastischer Prozess besteht aus Zufallsvariablen, es kann sich hierbei um abzählbar viele Elemente (zeitdiskreter Prozess) oder unabzählbar viele Elemente (zeitstetiger 4 Vgl.[10, S.14]. In Beispiel wird mit t = 0 angenommen. 5 Vgl.[10, S.55].

13 1 Grundlagen der Optionsbewertung 4 Prozess) handeln. In dieser Arbeit sollen jedoch hauptsächlich der zeitstetige Prozess: der Wiener-Prozess-und der Itô-Prozess im Zentrum der Betrachtung stehen. Die Brown sche Bewegung ist nach dem schottischen Botaniker Robert Brown benannt, der sie 1827 bei seinen Untersuchungen von Pollenkörnern unter dem Mikroskop beobachtete. Dabei stellte dieser fest, wie Pflanzenpollen sich in einem Wassertropfen unregelmäßig hin- und herbewegten. Eine mathematische Konstruktion auf Basis der Maßtheorie gelang Norbert Wiener dabei erst im Jahr Der Wiener-Prozess (Brownsche-Bewegung) ist ein zeitstetiger stochastischer Prozess, der normalverteilte, unabhängige Zuwächse hat. Definition 1.1. Ein stochastischer Prozess (W t ) t heißt (Standard-)Wiener-Prozess, wenn die vier folgen Bedingungen gelten: 6 1. W 0 = Unabhängige Zuwächse: Für gegebenes t i mit 0 < t 1 < t 2 < < t n, sind alle Inkremente W tn W tn 1, W tn 1 W tn 2,..., W t2 W t1 unabhängig. 3. Stationär und normalverteilte Zuwächse: W t W s N(0,t s), für alle 0 s < t. 4. Stetigkeit: Die einzelnen Pfade sind sicher stetig. Weil N(t s) die gleiche Distribution wie t sn(0,1) hat, bekommt man N(t s) normalerverteilte Pseudozufallszahlen aus standard normalerverteilte Pseudozufallszahlen. In MATLAB, mit dem Befehl randn(m,n) kann ein Matrix erzeugt werden, die aus M N unabhängigen Standard normalerverteilte Pseudozufallszahlen (Pseudozufall) besteht. Daher ist es einfach die Bewegungen des Wiener Prozesses mit stationär und normalverteilten Zuwächsen zu simulieren. Um diese Bewegung des Aktienkurses zu veranschauerlichen, wird diese im folgen Beispiel dargestellt. (Code B.1) Beispiel 1.2. In diesem Beispiel gilt, T = 2, dt = 0.01 und die Anzahl des Pfader m = 4. Zur Erzeugung der Darstellung wurde die Berechnung jeweils viermal hintereinander mit identischen Ausgangsparametern durchgeführt. Durch das Programm BB_Path(T, dt, m) (Code siehe Anhang Code B.2) wurde die Abbildung (1.2) generiert. Die Abbildung zeigt eine Approximation der Pfade des Aktienkurses, entsprech dem theoretischen Modell des Wiener Prozesses. Wie in der Graphik zu sehen ist, kann der Verlauf der Pfade dabei erheblich voneinander abweichen. 6 [14, S.244]

14 1 Grundlagen der Optionsbewertung 5 Abbildung 1.2: Simulation für Pfade eines Wiener Prozesses. X-Achse: Zeit T; Y-Achse: t sn(0,1). Quelle: eigene Darstellung. Itô Formel (auch Itôs Lemma), benannt nach dem japanischen Mathematiker Itô Kiyoshi, ist ein zentrales Werkzeug für die stochastische Analysis. Es ist die Verallgemeinerung der Kettenregel auf das stochastische Kalkül. Sei x t,x 0, ein Itô Prozess, dx t = a(x t )dt + b(x t )dw t, (1.2) wobei W t, t 0 ein Wiener Prozess ist. Funktion a,b sind zwei Funktionen in : [0, ) zu. Lemma 1.3 (Itôs Lemma). Sei g : [0, ) eine solche Funktion, die in der ersten Komponente einfach und in der zweiten Komponente eine zweifach stetig differenzierbare Funktion ist. 7 Die Taylor-Reihe für g t = g(x t ) ergibt den Stufensprung in y t : dg t = g g dt + t x dx t g 2 x 2 (dx t) 2, wobei (dx t ) 2 = dx t dx t ist und nach den folge Regeln: 8 7 Vgl.[12, S.44] 8 Vgl. [14, S.251] dt dt = 0, dt dx t = 0, dw t dw t = dt.

15 1 Grundlagen der Optionsbewertung 6 Ergibt sich dx t dx t = [µdt + σdw t ] [µdt + σdw t ] g t ist auch ein Itô-Prozess und es gilt dg t = = µ 2 dt + 2µσdtdW t + σ 2 dw t = σ 2 dt, ( g t + a(x t) g x + 1 ) 2 b2 (x t ) 2 g x 2 d t + b(x t ) g x dw t. Im Folgen Beispiel wird ein spezielles Itô Lemma betrachtet. Es gilt dabei, dass f : eine 2 mal stetig differenzierbare Funktion ist. dg(x t ) = g (x t )dx t g (x t )b 2 (x t )dt [ = a(x t )g (x t ) + 1 ] 2 b2 (x t )g (x t ) dt + b(x t )g (x t )dt. (1.3) Beispiel 1.4. Unter der Annahme, dass im deterministischen Fall b = 0 ergibt sich die nachfolge Formel: d dt g(x t) = g (x t ) a(x t )dt. Es gilt die folge geometrische Brownsche Bewegung: Sei g(x t ) = lnx t, dann g (x t ) = x 1 t und g (x t ) = 1. xt 2 ds = µsdt + σsdw t. (1.4) Aus (1.3) ergibt sich: dlns = 1 S ds S 2 (σs)2 dt = (µ 12 ) σ2 dt + σdw t, dann [ ) ] S = S 0 exp σw t + (µ σ2 t. (1.5) 2 Diese Lösung der Stochastischen Differentialgleichung (1.4), ist eine geometrische Brownsche Bewegung. Die Gleichung (1.5) wird als Annäherung für den Preisprozess eine Aktien verwet. Dabei nimmt man vereinfach an, dass die prozentuale Rite über disjunkte Zeitintervalle unabhängig und normalverteilt ist. 9 9 Vgl. [14, S.251]

16 1 Grundlagen der Optionsbewertung 7 Daraus er gibt sich die folge Formel, ds S = µdt + σdw t, S 0 = a. (1.6) Der Parameter µ heißt dabei Drift und beschreibt die deterministische Tenz des Prozesses, d.h. die Drift gibt an wie sich der Aktienkurs entwickelt. Der Parameter σ beschreibt die Volatilität und damit die stärke der Schwankung. Ist die Volatilität σ = 0, so verschwindet der Diffusionsterm in der obigen Differentialgleichung, es ergibt sich dann die gewöhnliche Differentialgleichung ds(t) = µs(t), S 0 = a. welche die Exponentialfunktion S t = ae µt als Lösung besitzt. Für die allgemeine Gleichung (1.6), bei Itôs Lemma, ist maßgeb (Vgl. (1.5)) S t = aexp ] [(µ )t σ2 + σw t. (1.7) 2 Mit Hilfe dieser Formel erhält man den Wert von S T. Das Programm UnderlyingAssetBSModel (Code sehen Anhang Code B.5) verwet diese Formel, um die Preise für Vermögenswerte in Terminal Daten zu erhalten, d.h. dass zu jedem Zeitpunkt von beginn bis zum Fälligkeitsdatum der Aktienkurs bestimmet werden kann. Die wesentliche Bereiche bei der Optionsbewertung sind oberhalb und unterhalb diese Ausübungspreis. Es sollen also die folgen Wahrscheinlichkeiten berechnet werden: P(S T > K) und P(S T < K), (1.8) wobei S T der Preis des Vermögenswert zum Zeitpunkt T, und K den Ausübungspreis darstellt. Zu diesem Zweck wird die nachfolge Notation eingeführt. Es wird N( ) als die kumulative Verteilungsfunktion mit Standard Normalverteilung angenommen. Das heisst, wenn ζ N(0,1) ist, dann gilt für alle x, dass die Wahrscheinlichkeit der Zufallsvariablen ζ kleiner als x ist, daraus ergibt sich N(x): P(ζ < x) = Z x 1 2π e y2 2 dy. Die getroffene Annahme gilt auch für die Gleichung (1.7), eine Logarithmierung der Gleichung ergibt lns T = lns 0 + (µ 12 ) σ2 T + σw T Hier wird S T auch Log-Normalverteilung genannt.

17 1 Grundlagen der Optionsbewertung 8 Dann ζ := ln S T S0 (µ 1 2 σ2 )T σ T Durch einsetzen von (1.9) in (1.8) ergibt sich P(S T < K) = P = P ( ln S T S0 (µ 1 2 σ2 )T ( = N ( d 2 ), σ T ζ < ln S T S0 (µ 1 2 σ2 )T σ T N(0,1). (1.9) < ln S K 0 (µ 1 ) 2 σ2 )T σ T ) (1.10) mit Durch die Bedingung d 2 = ln S 0 K + (µ 1 2 σ2 )T σ. T N( x) = 1 N(x) = P(ζ > x). (1.11) Ergibt sich aus den Gleichungen (1.11) und (1.10) P(S T > K) = 1 N( d 2 ) = N( d 2 ). (1.12) Zum besseren Verständniss wird jetzt eine Simulation der geometrischen Brownschen Bewegung in einem Beispiel durchgeführt. Beispiel 1.5. Die Aktienkurse zu einem diskreten Zeitpunkt werden als geometrische Brownsche Bewegung bezeichnet. Das Modell beschreibt folge Gleichung S/S = µ t + σε t, bzw. S = Sµ t + Sσε t. (1.13) S bezeichnet den Aktienkurs zu einem bestimmten Zeitpunkt. S ist die Änderung des Aktienkurses innerhalb des nächsten Zeitintervalls t. ε ist ein zufälliger Wert aus der Standardnormalverteilung N(0,1). Angenommen, der Aktienkurs sei S 0 = 20, die Zeit T = 0.1, die erwartete Rite µ = 0.14, die Volatilität des Aktienkurses σ = 0.2 und t = Aus der Gleichung (1.13) erhalten wir S = S S ε. 10 Vgl Beispiel in [6, S.335]

18 1 Grundlagen der Optionsbewertung 9 Es werden mit Hilfe von MATLAB Befehl randn( ) eine Zufallszahl ε erzeugt. (Siehe Anhang Code B.3). Für den ersten Zeitraum wird ein ε = ermittelt. Die Tabelle 1 zeigt einen mögliche Entwicklung des Aktienpreises an. Bei der Änderung über den ersten Zeitraum erhalten wir: S = = Für den zweiten Zeitraum beginnt der Aktienkurs folglich bei Der Wert ε wird für den nächsten Zeitraum ermittelt und beträgt Die Veränderung des Aktienkurses für den zweiten Zeitraum beträgt S = ( ) = Damit liegt der Aktienpreis zu Beginn des dritten Zeitraums bei Die weiteren Werte werden entsprech ermittelt. Die Tabelle 1 ist nur einer der möglichen Verläufe der Aktiepreisbewegung. Beispielsweise zeigt Hull [6] zu welchen verschiedenen Ergebnissen eine solche Berechnung führen kann. Andere Zufallszahlen führen dabei zu andere Preisbewegungen. Der letzte Aktienkurs von kann als zufälliger Wert des Aktienpreises am Ende von zehn Zeitintervallen angesehen werden. Diese ist ein mögliches Ergebnis, dieser Simulation des Aktienpreises. Es wurde zur Erzeugung der Graphik unter der Tabelle Funktionen aus MATLAB verwet. (Siehe Anhang: Code B.3 und Code B.4). Aktienkurs zufälliger Wert Änderung Tabelle 1: Simulation für den Aktienkurs bei µ = 0.14, σ = 0.2 und t = Quelle: eigene Berechnung.

19 1 Grundlagen der Optionsbewertung 10 Für die Graphik wurden vier verschiedene Möglichkeiten der Aktienpreisbewegung durchgeführt. Abbildung 1.3: Monte-Carlo-Simulation für Pfade der geometrischen Brownschen Bewegung. Quelle: eigene Darstellung. Die wichtigste Anwung des Itô-Kalküls in der Finanzmathematik ist die in der Optionsbewertung. Dabei ist die bekannteste Anwung des Ergebnisses in der Black- Scholes-Formel. 11 Im folgne Kapitel wird die Black-Scholes-Formel dargestellt. 11 [17, S.90]

20 2 Black-Scholes-Modell und Vanilla Option Bewertung 11 2 Black-Scholes-Modell und Vanilla Option Bewertung Das Black-Scholes-Modell ist ein finanzmathematisches Modell zur Bewertung von Finanzoptionen, welches von Fischer Black und Myron Samuel Scholes im Jahr 1973 eingeführt wurde. Die Black-Scholes Formeln kann auf verschiedene Weise abgeleitet werden. Black-Scholes (1973) und Merton (1973) finden es durch Lösung der Wärmeleitungsgleichung, die nach Anwung eines Hedging Argument erhalten wurde Annahmen Das Black-Scholes-Modell ist das Grundlagenmodell für die Optionsbewertung und geht dabei von folgen Annahmen aus: 13 Der Preis für Vermögenswerte folgt einem normallogarithmischen Verlauf. Der risikolose Zinssatz r und die Volatilität σ sind bekannt und konstant. Es gibt keine Transaktionskosten oder Steuern. Alle Wertpapiere sind ohne Einschränkung teilbar. Vom zugrunde liegen Vermögenswert erfolgt keine Dividenzahlung währ der Laufzeit der Option. Es gibt keine Arbitragemöglichkeiten. Der Handel des Basiswertes erfolgt auf einer kontinuierlichen Basis. Leerverkäufe sind erlaubt. Es existiert ein vollkommener Kapitalmarkt. Das bedeutet, es gibt keine Transaktionskosten und keine Steuern. 2.2 Black-Scholes Partial Differentialgleichungsmethode Der von uns angenommene Aktienkursprozess ist ds = µsdt + σsdw t, (2.1) f gibt den Marktwert einer Option an und ist vom Aktienkurs und Zeitpunkt abhängig ( f = f (S,t)). µ ist erwartete Rite. σ ist die Volatilität des Aktienkurses und W t ist ein 12 Vgl. [15, S. 7] 13 Vgl. [21, S.41] und [6]

21 2 Black-Scholes-Modell und Vanilla Option Bewertung 12 Wiener-Prozess. Nach der Itô Formel ergibt sich, d f = f t dt + f S ds f 2 S 2 (ds)2 ( f = t + f S µs ) f 2 S 2 σ2 S 2 dt + f S σsdw t. (2.2) Der Marktwert f und der Aktienkurs S entsprechen dem zugrunde liegen Wiener- Prozesses. Der Wert des Portfolioes wird mit Π bezeichnet. Das Portfolio setzt sich dabei folgermaßen zusammen: 14 1 : + f S : Derivate Anteil der Aktien. Der Inhaber verkauft eine Option bei gleichzeitigem Ankauf einer Aktie des gleichen underlying assets. Dieses Portfolio lässt sich durch folge Gleichung darstellen: Die Π ist die Änderung von Π im Zeitintervall t Aus Gleichung (2.1) und (2.2) ergeben sich: Π = f + f S. (2.3) S Π = f + f S. (2.4) S Π = f + f S S ( f = t + f S µs ) f 2 S 2 t f S σs W t + f S [µs t + σs W t] ( f = t ) f 2 S 2 σ2 S 2 t. (2.5) Da diese Gleichung kein W t enthält, ist das Portfolio über den Zeitraum t risikolos. Unter der Voraussetzung, dass die oben beschriebenen Annahmen 3.1 gelten, ergibt sich, dass die momentane Rite des Portfolioes der anderen kurzfristigen risikolosen Anlage entspricht. Π = rπ t, (2.6) 14 Vgl. [6, S.357]

22 2 Black-Scholes-Modell und Vanilla Option Bewertung 13 wobei r der risikolose Zinssatz ist. Durch Einsetzen von (2.3) und (2.5) in (2.6) in die Gleichung ergibt sich dann erhalten wir ( f t ) ( f 2 S 2 σ2 S 2 t = r f f ) S S t, (2.7) f t + rs f S f 2 S 2 σ2 S 2 = r f. (2.8) Die Gleichung (2.8) ist die Black-Scholes-Merton-Differentialgleichung. 15 Mit den Erweiterungen und Varianten spielt die Gleichung eine wichtige Rolle in dieser Arbeit (Vgl. Kapitel 3). Für die Gleichung (2.8) existieren viele unterschiedliche Lösungen unterschiedlicher Optionen. Ausgeh von diesen Randbedingungen können die Ausgangswerte für ein bestimmtes Derivat zum Zeitpunkt T=0 berechnet werden. Diese Ausgangswerte werden verwet, um eine Matrix mit den Werten des Derivats zu verschiedenen Zeitpunkten zu bestimmen. Für eine europäische Kaufoption c stellt sich die Randbedingung wie folgt dar: c(s,t ) = max(s K,0), falls t = T. (2.9) Ist der Vermögenswerte gleicht Null (S = 0), so ist die Call-Option wertlos: c(0,t) = 0. (2.10) Wenn die Preiserhöhungen der Vermögenswert größer K sind, dann wird die Call-Option stets ausgeübt. Für S ist ergibt sich der Wert der Option: c(s,t) S, falls S. (2.11) Für eine europäiche Verkaufsoption p lautet die Randbedingung p(s,t ) = max(k S,0), falls t = T. (2.12) Die Randbedingung für eine Put-Option bei S = 0 ergibt: Die Randbedingung für eine Put-Option bei S ist: p(0,t ) = Ke r(t t). (2.13) p(s,t ) 0, falls S. (2.14) 15 Vgl. [6, S.358]

23 2 Black-Scholes-Modell und Vanilla Option Bewertung 14 im Portfolio. Es zeigt sich, dass die Black-Scholes Gleichung (2.8) den Parameter µ nicht mehr enthält. Das heißt der Wert eine Option wird unabhängig davon, wie schnell oder langsam ein Vermögenswert wächst. Der einzige Parameter der stochastischen Differentialgleichung ist somit die Volatilität. Wie in Kapitel 2.2 gezeigt, kann der Wert einer Option mit Hilfe eines Portfolios Π dagestellt werden. Dieses Portfolio ist nur für eine kurze Zeitspanne als risikolos anzusehen. Ändern sich die Aktienkurs S und Zeitpunkt t, so verändern sich auch der Anteil der Aktien f S Daraus folgt, dass zwei Anleger von unterschiedlichen Werten für ihre erwartete Rite µ ausgehen können und sich dennoch auf den Wert einer Option einigen. 2.3 Die Black-Scholes Formel für europäische Optionen Bei dem europäische Optionen wird zuerst auf die Vanilla Optionen eingegangen. Für die gelten die folgen Gleichungen: mit c = S 0 N(d 1 ) Ke rt N(d 2 ), (2.15) p = Ke rt N( d 2 ) S 0 N( d 1 ), (2.16) d 1 = ln S 0 K + (r + σ2 2 )T σ, T d 2 = ln S 0 K + (r σ2 2 )T σ T = d 1 σ T. wobei r der risikolose Zinssatz ist, T stellt den Verfalltszeitpunkt und K den Basispreis dar. Die Gleichung (2.15) zeigt die Formel einer europäische Kaufoption. Die Gleichung (2.16) zeigt die Formel einer europäische Verkaufsoption. Die Funktion N( ) ist die kumulative Verteilungsfunktion einer Standardnormalverteilung. 16 Ist die Preisformel einer Call-Option bekannt, kann unter den gleichen Voraussetzungen durch die Call-Put Parity die Preisformel einer Put-Option berechnet werden. Berücksichtigt man diese Identität, so ergibt sich: N( d 1 ) = 1 N(d 1 ). Die Gleichung (2.15) lässt sich dabei auf zwei unterschiedlichen Wegen nachvollziehen. Eine Möglichkeit kann die Lösung der Black-Scholes partiellen Differentialgleichung (2.8) unter bestimmten Randbedingungen sein. Die andere Möglichkeit ist die Verwung der risikoneutralen Bewertung. Wenn die partielle Black-Scholes Differentialgleichung die erwartete Rite µ enthält, dann wird gezeigt, dass sie nicht unabhängig von Risikopräferenzen ist. 16 Vgl. [6, S.361]