Webinar: Elastostatik Thema: Zweiachsige Biegung. Aufgabe) Biegelinie bestimmen

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1 Webinr: Elsosik Them: Zweichsige Biegung Aufgbe Biegelinie besimmen F F l y z x z Gegeben sei der obige Krgräger, welcher durch eine Krf F in z-richung belse wird. Der Querschni des Krgrägers is rechs bgebilde und besiz eine S-Form. Es sei <<. Gegeben sind:,, F, l, E. Besimme die Hupchsen und die Biegelinie! 1

2 Verwendee Formeln: Biegelinie (schiefe Biegung Ev ''= M z M y z I z z Ew ' '= M zz M y I z I z z u gesm = v +w Flächenrägheismomene: Koordinenrnsformion I η = 1 (I +I +1 y z (I I cos( α+ z yz sin( α I ζ = 1 (I +I 1 y z (I I cos( α z yz sin( α I ηζ = 1 (I I sin(α+ z yz cos( α Hupchsen I 1/ = +I z ± ( I y I z +z Huprichung n(α= z I z Flächenrägheismomene (Sz von Seiner = (i +z i A i I z = (I zi +y i A i z = (zi y i z i A i

3 Lösung: Schiefe Biegung Schiefe Biegung lieg dnn vor, wenn die Summe ller uf einen Blken wirkenden Kräfe nich in Richung einer der Hupchsen ngreif. Ds obige Profil is nich symmerisch bezüglich der y-z-achsen. Ds bedeue, dss die y-z-achsen keine Hupchsen des Querschnis drsellen. Die Belsung F wirk in Richung der z-achse. D diese keine Hupchse drsell lieg hier schiefe Biegung vor. Die Belsung in z-richung führ zu einen Momen um beide Hupchsen (zweichsige Biegung. Es werden zunächs die Hupchsen berechne, um zu zeigen, dss die Belsung nich in Richung einer der Hupchsen ngreif und dmi Momene um beide Hupchsen resulieren. Berechnung der Hupchsen I 1/ = +I z ± ( I y I z +I yz Zunächs müssen nun die Flächenrägheismomene und I z sowie ds Deviionsmomen z berechne werden. Die Flächenrägheismomene können mi dem Sz von Seiner berechne werden, d es sich bei dem S-Profil um ein zusmmengesezes Profil hndel: = (i +z i A i I z = (I zi +y i A i z = (zi y i z i A i Es wird zunächs ds S-Profil in 3 Rechecke zerleg, für welche der Schwerpunk besimm werden muss. Der Schwerpunk eines Rechecks befinde sich immer in der Mie der Fläche. Die y-z- Achse fäll mi dem Schwerpunk des mileren Rechecks zusmmen. y z 3

4 Der nächse Schri is nun die Besimmung der Flächenrägheismomene der Teilflächen bezüglich ihrer Schwerpunkchse. Ds obige Recheck wird bis zur roen Line berche. Die Breie beräg demnch /. Genu dsselbe gil für die Breie des uneren Rechecks. Die Höhe des mileren Rechecks beräg dnn + / + /, weil die Höhe von nur bis zur Mie des oberen und uneren Rechecks gil. y 1 z 1 y y 3 z z 3 Die Flächenrägheismomene für ein Recheck bezüglich der Schwerpunkchsen werden besimm zu: Senkreche Seie hoch 3, prllele Seie einfch. Muliplikion der beiden Were und Division durch 1. 1 = 3 ( / 1 I z1 = ( /3 1 = (+/ + /3 1 I z = (3 (+ /+/ 1 3 = 3 ( / 1 I z3 = ( /3 1 Für die Schwerchsen wird für jedes Recheck ds Deviionsmomen Null, d mindesens eine der Schwerechse (hier: beide Symmeriechsen drsellen bezüglich der Teilflächen: z1 =z =z3 =0 Merke: << Alle Terme mi n > 1 für n fllen demnch rus. 4

5 Ausmuliplizieren der Klmmern und dnn lle Terme mi n > 1 für n elimieren. Es verbleib: 1 =0 I z1 = 3 1 = I z =0 3 =0 I z3 = 3 1 Flächenrägheismomen bezüglich der y-achse Es knn ls nächses der Sz von Seiner ngewnd werden. Für ds Flächenrägheismomen bezüglich der y-achse werden die Absände in z-richung von der y-achse des Ursprungskoordinensysems hin zum Schwerpunk der bercheen Teilfläche benöig. = (i +z i A i Es wird zunächs der Absnd vom oberen Recheck zur y-achse berche: y Der Absnd von der Mie des oberen Rechecks zur Mie des uneren Rechecks beräg. D sich ds Koordinensysem im Schwerpunk des mileren Rechecks befinde beräg der Absnd: z 1 = = 5

6 Der Schwerpunk des mileren Rechecks lieg in der Mie, lso muss die hlbe Höhe herngezogen werden. Es knn uch der gesme Absnd herngezogen werden: y z 1 = +/+ / /= Die -/ müssen bgezogen werden, weil der Absnd im Schwerpunk des oberen Rechecks beginn und nich m oberen Rnd. Der Absnd vom Schwerpunk des mileren Rechecks zur y-achse is null, d diese durch den den Schwerpunk verläuf. z =0 Der Absnd des uneren Rechecks zur y-achse beräg: z = + /+/ / = Die Flächen A i der drei Rechecke sind ( << : A 1 = ( /= A = (+ /+ /= A 3 = ( /= Alle Terme für n mi n > 1 fllen herus. 6

7 Flächenrägheismomen bezüglich der y-achse Es knn nun der Sz von Seiner ngewnd werden um ds Flächenrägheismomen bezüglich der y-achse für ds gesme Profil zu besimmen: = (i +z i A i =(0+ +( (0+ =( +( ( = = Flächenrägheismomen bezüglich der z-achse ( // + / ( // + / z Die Absände sind: ( z 1 = + = + 4 z =0 ( z 3 = + = + 4 Es knn ls nächses ds Flächenrägheismomen des gesmen Profils bezüglich der z-achse besimm werden: 7

8 I z = (I zi +y i A i I z =( 3 1 +( + 4 +(0+0 +( 3 1 +( + 4 Merke: Auflösung der Klmmer miels binomischer Formel Es gil wieder << : I z = 3 3 Besimmung des Deviionsmomens Merke: D die y-z-achsen des gesmen Profils keine Symmeriechsen drsellen, fäll ds Deviionsmomen nich rus. Die Deviionsmomene der einzelnen Teilrechecke bezüglich ihrer Schwerechsen sind null. Aber der Sz von Seiner, lso der Absnd in y-richung und z-richung zum Ausgngskoordinensysem muss berücksichig werden. Bei den Flächenrägheismomenen konne der Absnd ls Berg ngesehen werden, weil dieser innerhlb der Gleichung qudrier wird. Allerdings muss beim Deviionsmomen der Absnd in negive und posiive Achsenrichung zusäzlich berücksichig werden. z = (zi y i z i A i Absände in y-und z-richung bei den einzelnen Rechecken (es können die obigen Absände übernommen werden, llerdings mi Berücksichigung der Richung: y +(/ + /4 + y 1 =+( + z 1 =+ y =z =0 - -(/ + /4 z y 3 = ( + z 3 = 8

9 Es wird ls nächses ds Deviionsmomen für ds obige Profil besimm: z =(0 ( + +(0 0 +(0 ( ( z = 3 3 Es gil wieder << : z = 3 Besimmung der Hupchsen Nchdem nun lle Were für die Besimmung der Hupchsen gegeben sind, können diese us der folgenden Gleichung besimm werden: I 1/ = +I z ± ( I y I z +I yz I 1/ = ± ( +( 3 I 1/ = ± ( 3 I 1 = =3,08 3 I = =0,5 3 Besimmung der Huprichung n(α= z I z α=n 1 ( (

10 α=n 1 (1= 45 α=n 1 (1=,5 Um heruszufinden zu welcher Hupchse dieser Winkel gehör, verwende mn die Formeln für die Koordinenrnsformion und sez dor den Winkel ein: I η = 1 (I +I +1 y z (I I cos( α+ z yz sin( α I η = 1 ( ( cos( (,5 3 sin( (,5 I η = cos( 45 3 sin( 45 I η = I η =3,08 3 =I 1 Bei einer Drehung des Ausgngskoordinensysems um -,5 (negiver Winkel = negive Drehrichung ergib sich die Hupchse I 1. Die Hupchse I lieg senkrech uf I 1, deshlb ergib sich für I ein Winkel von -, = 67,5 (posiive Drehrichung. I I 1 y,5 z Merke: Ein posiiver Winkel bedeue eine posiive Drehrichung (Linksdrehung. Ein negiver Winkel bedeue eine negive Drehrichung (Rechsdrehung. 10

11 Nchdem die beiden Hupchsen besimm worden sind und die dzugehörige Huprichung knn mn nun uch deulich erkennen, dss die in z-richung ngreifende Krf nich in Richung einer der Hupchsen ngreif. Es liegen demnch Momene um beide Hupchsen vor --> Zweichsige Biegung. F I I 1 y,5 z Besimmung der Biegelinie Die Formel für die Besimmung der Biegelinie bei schiefer Biegung sind: Ev ''= M z M y z I z z Ew ' '= M zz M y I z I z z 11

12 Es hndel sich hierbei um die Durchbiegung v in y-richung und die Durchbiegung w in z- Richung. Bevor die Biegelinie besimm werden knn, müssen zunächs die Momene M z und M y besimm werden. D nur eine Krf in z-richung ngreif, exisier nur ein Momen um die y-achse. M z =0. Momen um die y-achse Lgerkräfe besimmen: M A F A h A v l Horizonle Gleichgewichsbedingung: : A h =0 Verikle Gleichgewichsbedingung: :A v F=0 A v =F Momenengleichgewichsbedingung um A: M A F l=0 M A = F l Nchdem nun die Lgerrekionen besimm sind knn ls nächses ein Schni durch ds Bueil durchgeführ werden, um ds Momen um die y-achse zu besimmen: M A M y A v x 1

13 Momenengleichgewichsbedingung (Bezugspunk is der Schni: M y M A A v x=0 Einsezen der Were: M y ( Fl F x=0 Auflösen nch M y : M y =( Fl+F x M y =F(x l Durchbiegung in y-richung Es knn ls nächses die Durchbiegung besimm werden: Ev ''= F(x l ( 3 F(x l Ev ''= 3 3 ( Ev ''= F(x l Ev ''= F(x l Ev ''= 9 7 F(x l 3 Es folg die 1. Inegrion: Ev '= (Fx Fldx Ev '= ( 1 Fx F l x+c 1 1. Ableiung der Durchbiegung Es folg die. Inegrion: Ev '= ( 1 Fx Fl xdx+ C 1 dx 13

14 Ev= ( 1 6 Fx3 1 Fl x +C 1 x+c Durchbiegung Nchdem nun die Inegrion durchgeführ wurde, können ls nächses die Inegrionskonsnen besimm werden. Es gil für die fese Einspnnung: Rndbedingung: Fese Einspnnung v = 0 v' = 0 Die fese Einspnnung is gegeben bei x = 0, hier is die Durchbiegung v = 0 und die erse Ableiung ebenflls v' = 0. Miels dieser Rndbedingungen is es nun möglich die Inegrionskonsnen zu besimmen. Als erses sezen wir v = 0 für x =0: E 0= ( 1 6 F 03 1 F l 0 +C 1 0+C C =0 Dnch berchen wird die 1. Ableiung der Durchbiegung v' und sezen v' = 0 für x = 0: E 0= ( 1 F 0 F l 0+C 1 C 1 =0 Die Durchbiegung ergib sich lso zu: Ev= ( 1 6 Fx3 1 Fl x Ev= 9F 7 3 ( 1 6 x3 1 l x Aufgrund dessen, dss l > x gil: 1 6 x3 < 1 l x Die Durchbiegung in y-richung is demnch negiv. Ds bedeue, dss die Durchbiegung in Richung der negive y-achse erfolg! 14

15 Durchbiegung in z-richung Ew ' '= M zz M y I z I z z Ew ' '= F(x l ( 3 F(x l 3 3 Ew ' '= F(x l 3 Ew ' '= F(x l Ew ' '= 7 3 Es folg die 1. Inegrion: Ew '= (Fx Fldx Ew '= ( 1 F x Fl x+c 3 1.Ableiung der Durchbiegung Es folg die. Inegrion: Ew= ( 1 F x Fl xdx+ C 3 dx Ew= ( 1 6 F x 3 1 Fl x +C 3 x+c 4 Durchbiegung 15

16 Es werden ls nächses die Inegrionskonsnen us den Rndbedingungen besimm: Rndbedingung: Fese Einspnnung w = 0 w' = 0 Wir berchen zunächs w' = 0 für x = 0: E 0= ( 1 F 0 Fl 0+C 3 C 3 =0 Dnch berchen wird w = 0 für x = 0: E 0= ( 1 6 F 03 1 Fl C 4 C 4 =0 Die Durchbiegung in z-richung ergib sich durch: Ew= ( 1 6 F x 3 1 Fl x Ew= 6F 7 3 ( 1 6 x 3 1 l x D x < l wird der reche Term in der Klmmer größer ls der linke Term. Die gesme Gleichung wird demnch posiiv. Die Durchbiegung erfolg in Richung der posiiven z-achse. 16