Finanzierung und Investition

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1 ruschwiz/husmann (2012) Finanzierung und Invesiion 1/46 ruschwiz/husmann (2012) Finanzierung und Invesiion 2/46 Finanzierung und Invesiion ruschwiz/husmann (2012) Oldenbourg Verlag München 7. Auflage, apiel 7 7 Opionspreisheorieheorie 7.1 Grundbegriffe 7.2 Payoff-Funkionen und Wergrenzen einfacher Opionen 7.3 Zwei-Zeipunke-Zwei-Zusände-Modell 7.4 Binomial-Modell 7.5 Vom Binomial-Modell zu der Black-Scholes-Formeln 7.6 Bewerung der konsaner relaiver Risikoaversion 7.7 Sensiiviäsmaße für Opionspreisheoriee (Greek Leers) ruschwiz/husmann (2012) Finanzierung und Invesiion 3/46 ruschwiz/husmann (2012) Finanzierung und Invesiion 4/46 u 3 d 0 q 1 q u d u1 d 0 q 1 q u 2 d 0 u 1 d 1 u 2 d 1 u 1 d Abbildung 7.1: Bernoulliprozess u 0 d 1 u 0 d 2 u 0 d Abbildung 7.2: Binomialprozess 7 Opionspreisheorieheorie 7.1 Grundbegriffe 7 Opionspreisheorieheorie 7.1 Grundbegriffe

2 ruschwiz/husmann (2012) Finanzierung und Invesiion 5/46 ruschwiz/husmann (2012) Finanzierung und Invesiion 6/46 C T P T S T S T Abbildung 7.3: Payoff-Diagramm eines europäischen Calls Abbildung 7.4: Payoff-Diagramm eines europäischen Pus 7 Opionspreisheorieheorie 7.2 Payoff-Funkionen und Wergrenzen einfacher Opionen 7 Opionspreisheorieheorie 7.2 Payoff-Funkionen und Wergrenzen einfacher Opionen ruschwiz/husmann (2012) Finanzierung und Invesiion 7/46 ruschwiz/husmann (2012) Finanzierung und Invesiion 8/46 Tabelle 7.1: Arbirage mi einem Call, wenn C > S is S T T ST > auf einer Akie S ST ST Verkauf eines Calls C 0 ( S T ) Porfolio C S ST Vorzeichen > Tabelle 7.2: Arbirage mi einem Call, wenn C < 0 is T S T S T > auf eines Calls C 0 ST Vorzeichen > 0 0 > 0 7 Opionspreisheorieheorie 7.2 Payoff-Funkionen und Wergrenzen einfacher Opionen 7 Opionspreisheorieheorie 7.2 Payoff-Funkionen und Wergrenzen einfacher Opionen

3 ruschwiz/husmann (2012) Finanzierung und Invesiion 9/46 ruschwiz/husmann (2012) Finanzierung und Invesiion 10/46 C T Tabelle 7.3: Arbirage mi einem Call, wenn C < S (1 + r f ) (T ) is T S T S T > Leerverkauf einer Akie S S T S T risikolose Geldanlage (1 + r f ) (T ) auf eines Calls C 0 ST Porfolio S (1 + r f ) (T ) C S T 0 Vorzeichen > 0 0 = 0 (1+r f ) T Abbildung 7.5: Bereich zulässiger Were eines europäischen Calls S T 7 Opionspreisheorieheorie 7.2 Payoff-Funkionen und Wergrenzen einfacher Opionen 7 Opionspreisheorieheorie 7.2 Payoff-Funkionen und Wergrenzen einfacher Opionen ruschwiz/husmann (2012) Finanzierung und Invesiion 11/46 ruschwiz/husmann (2012) Finanzierung und Invesiion 12/46 Tabelle 7.4: Arbirage mi einem Pu, wenn P > (1 + r f ) (T ) is T S T S T > Verkauf eines Pus P ( S T ) 0 risikolose Geldanlage (1 + r f ) (T ) Porfolio P (1 + r f ) (T ) ST Vorzeichen > Tabelle 7.5: Arbirage mi einem Pu, wenn P < 0 is T S T S T > auf eines Pus P S T 0 Vorzeichen > Opionspreisheorieheorie 7.2 Payoff-Funkionen und Wergrenzen einfacher Opionen 7 Opionspreisheorieheorie 7.2 Payoff-Funkionen und Wergrenzen einfacher Opionen

4 ruschwiz/husmann (2012) Finanzierung und Invesiion 13/46 ruschwiz/husmann (2012) Finanzierung und Invesiion 14/46 Tabelle 7.6: Arbirage mi einem Pu, wenn P < (1 + r f ) (T ) S is T S T S T > risikoloser redi (1 + r f ) (T ) auf einer Akie S ST ST auf eines Pus P S T 0 Porfolio (1 + r f ) (T ) S P 0 ST Vorzeichen > 0 = 0 > 0 (1+r f ) T P T (1+r f ) T Abbildung 7.6: Bereich zulässiger Were eines Pus S T 7 Opionspreisheorieheorie 7.2 Payoff-Funkionen und Wergrenzen einfacher Opionen 7 Opionspreisheorieheorie 7.2 Payoff-Funkionen und Wergrenzen einfacher Opionen ruschwiz/husmann (2012) Finanzierung und Invesiion 15/46 ruschwiz/husmann (2012) Finanzierung und Invesiion 16/46 Tabelle 7.7: Arbirage mi zwei Calls, wenn C ( 1 ) < C ( 2 ) is T S T < S T < S T auf eines Calls mi 1 C ( 1 ) 0 ST 1 ST 1 Verkauf eines Calls mi 2 C ( 2 ) 0 0 ( S T 2 ) Porfolio C ( 2 ) C ( 1 ) 0 ST Vorzeichen > 0 = 0 > 0 0 Tabelle 7.8: aufopion im Zwei-Zeipunke-Zwei-Zusände-Modell Tiel Cashflow im Zusand Preis Akienkurs up Akienkurs down Akie Anleihe aufopion 15 0 C 0 =? 7 Opionspreisheorieheorie 7.2 Payoff-Funkionen und Wergrenzen einfacher Opionen 7 Opionspreisheorieheorie 7.3 Zwei-Zeipunke-Zwei-Zusände-Modell

5 ruschwiz/husmann (2012) Finanzierung und Invesiion 17/46 ruschwiz/husmann (2012) Finanzierung und Invesiion 18/46 Zwei-Zeipunke-Zwei-Zusände-Modell (S. 299) Tabelle 7.9: aufopion und äquivalenes Porfolio Tiel Menge Cashflow im Zusand Preis Akienkurs up Akienkurs down Akie 0, ,00 95,00 100,00 Anleihe 0, ,00 95,00 90,48 Porfolio 15,00 0,00 9,52 C 0 = r f ( ϕ C u + (1 ϕ) C d ) 7 Opionspreisheorieheorie 7.3 Zwei-Zeipunke-Zwei-Zusände-Modell 7 Opionspreisheorieheorie 7.3 Zwei-Zeipunke-Zwei-Zusände-Modell ruschwiz/husmann (2012) Finanzierung und Invesiion 19/46 Zwei-Zeipunke-Zwei-Zusände-Modell (S. 301) ruschwiz/husmann (2012) Finanzierung und Invesiion 20/46 uu = 242,0 u = 220 = 200 ud = 209,0 du = 209,0 P 0 = r f ( ϕ P u + (1 ϕ) P d ) d = 190 dd = 180, Abbildung 7.7: Binomialprozess eines Akienkurses 7 Opionspreisheorieheorie 7.3 Zwei-Zeipunke-Zwei-Zusände-Modell 7 Opionspreisheorieheorie 7.4 Binomial-Modell

6 ruschwiz/husmann (2012) Finanzierung und Invesiion 21/46 ruschwiz/husmann (2012) Finanzierung und Invesiion 22/46 C uu = 37 C u =? C uu = 37 C 0 =? C d =? C ud = 4 C du = 4 C u = 24,76 C ud = 4 C dd = Abbildung 7.8: aufopion im Binomialmodell Abbildung 7.9: Ausschni aus dem Binomialmodell 7 Opionspreisheorieheorie 7.4 Binomial-Modell 7 Opionspreisheorieheorie 7.4 Binomial-Modell ruschwiz/husmann (2012) Finanzierung und Invesiion 23/46 ruschwiz/husmann (2012) Finanzierung und Invesiion 24/46 Binomial-Modell (S. 315) Tabelle 7.10: Finanzkonrake in einem Drei-Zeipunke-Modell onrak Cashflows im Zeipunk Preis = 1 = 2 beim Zusand u d uu ud du dd assa Akie assa Anleihe Termin Akie ,00 209,00 0 Termin Anleihe ,25 110,25 0 Termin Akie ,00 180,50 0 Termin Anleihe ,25 110,25 0 C 0 = Bi(a n,ϕ ) 1 (1 + r f ) n Bi(a n,ϕ) 7 Opionspreisheorieheorie 7.4 Binomial-Modell 7 Opionspreisheorieheorie 7.4 Binomial-Modell

7 ruschwiz/husmann (2012) Finanzierung und Invesiion 25/46 ruschwiz/husmann (2012) Finanzierung und Invesiion 26/46 Binomial-Modell (S. 316) Tabelle 7.11: Porfolio zur Pu-Call-Pariä P 0 = 1 ( ) ( ) (1 + r f ) n 1 Bi(a n,ϕ) 1 Bi(a n,ϕ ) Cashflows im Zeipunk T S T > ST Preis Akie ST ST Call ( S T ) 0 C 0 Pu 0 ( S T ) P 0 Anleihe (1 + r f ) T Porfolio 0 0 C 0 + P 0 (1 + r f ) T 7 Opionspreisheorieheorie 7.4 Binomial-Modell 7 Opionspreisheorieheorie 7.4 Binomial-Modell Pu-Call-Pariä (S. 319) ruschwiz/husmann (2012) Finanzierung und Invesiion 27/46 ruschwiz/husmann (2012) Finanzierung und Invesiion 28/46 P uu = 0,00 P a u = 0,00 P a u = 15,00 C 0 + P 0 (1 + r f ) T = 0 P a 0 = 4,76 P a 0 = 5,00 P a d = 7,78 P a d = 15,00 P ud = 0,00 P du = 0,00 P dd = 24, Abbildung 7.10: Rerograde Bewerung eines amerikanischen Pus 7 Opionspreisheorieheorie 7.4 Binomial-Modell 7 Opionspreisheorieheorie 7.4 Binomial-Modell

8 ruschwiz/husmann (2012) Finanzierung und Invesiion 29/46 Black-Scholes-Formeln (S. 325) ruschwiz/husmann (2012) Finanzierung und Invesiion 30/46 Black-Scholes-Formeln (S. 326) C 0 = N(d 1 ) e r f τ N(d 2 ) mi d 1 = ln(/) + r f τ σ2 s τ σ s τ d 2 = ln(/) + r f τ 1 2 σ2 s τ σ s τ = d 1 σ s τ P 0 = e r f τ N( d 2 ) N( d 1 ) 7 Opionspreisheorieheorie 7.5 Vom Binomial-Modell zu der Black-Scholes-Formeln 7 Opionspreisheorieheorie 7.5 Vom Binomial-Modell zu der Black-Scholes-Formeln ruschwiz/husmann (2012) Finanzierung und Invesiion 31/46 Greek Leers: Dela Call (S. 331) ruschwiz/husmann (2012) Finanzierung und Invesiion 32/46 Greek Leers: Dela Pu (S. 331) c := C 0 = N(d 1 ) p := P 0 = N(d 1 ) 1

9 ruschwiz/husmann (2012) Finanzierung und Invesiion 33/46 ruschwiz/husmann (2012) Finanzierung und Invesiion 34/46 Greek Leers: Gamma (S. 333) c, p 1,00 0,75 0,50 0,25 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 Call Pu Γ := 2 C 0 S 2 0 = 2 P 0 S 2 0 = N (d 1 ) σ s τ Abbildung 7.11: Dela ruschwiz/husmann (2012) Finanzierung und Invesiion 35/46 ruschwiz/husmann (2012) Finanzierung und Invesiion 36/46 Greek Leers: Thea Call (S. 334) Γ Θ c := C 0 τ = N (d 1 )σ s 2 τ r f e r f τ N(d 2 ) Abbildung 7.12: Gamma

10 ruschwiz/husmann (2012) Finanzierung und Invesiion 37/46 ruschwiz/husmann (2012) Finanzierung und Invesiion 38/46 Greek Leers: Thea Pu (S. 334) Θ c, Θ p Pu Θ p := P 0 τ = N (d 1 )σ s 2 τ + r f e r f τ N( d 2 ) Call Abbildung 7.13: Thea ruschwiz/husmann (2012) Finanzierung und Invesiion 39/46 ruschwiz/husmann (2012) Finanzierung und Invesiion 40/46 Greek Leers: Lambda (S. 335) Λ Λ := C 0 σ s = P 0 σ s = τ N (d 1 ) Abbildung 7.14: Lambda

11 ruschwiz/husmann (2012) Finanzierung und Invesiion 41/46 Greek Leers: Rho Call (S. 337) ruschwiz/husmann (2012) Finanzierung und Invesiion 42/46 Greek Leers: Rho Pu (S. 337) P c := C 0 r f = τ e r f τ N(d 2 ) P p := P 0 r f = τ e r f τ N( d 2 ) ruschwiz/husmann (2012) Finanzierung und Invesiion 43/46 ruschwiz/husmann (2012) Finanzierung und Invesiion 44/46 P c, P p V Call s Pu Abbildung 7.15: Rho Abbildung 7.16: Ungesichere Posiion

12 ruschwiz/husmann (2012) Finanzierung und Invesiion 45/46 ruschwiz/husmann (2012) Finanzierung und Invesiion 46/ V V s s Abbildung 7.17: Dela-Hedge Abbildung 7.18: Dela-Gamma-Hedge

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