Finanzmarktökonometrie: Einführung in die Optionsbewertung Sommersemester 2014

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1 Finanzmarktökonometrie: Einführung in die Optionsbewertung Sommersemester 2014 Walter Sanddorf-Köhle Foliensatz Nr. 8 1 / 40

2 Erweiterungen des Binomialmodells Dividendenzahlungen Sei S der Wert einer Aktie unmittelbar vor Ausschüttung der Dividende D S, dann ist unter Ausschluss von Arbitrage der Wert der Aktie unmittelbar nach der Dividendenzahlung gleich S D. Sei S der Wert der Aktie unmittelbar nach der Dividendenzahlung. 2 / 40

3 Erweiterungen des Binomialmodells Fall 1: S > S D unmittelbar vor unmittelbar nach der Dividendenausschüttung der Dividendenausschüttung kaufe das Wertpapier S S + D leihe den Betrag S S Vermögensposition 0 S S + D > 0 Fall 2: S < S D unmittelbar vor unmittelbar nach der Dividendenausschüttung der Dividendenausschüttung verkaufe das Wertpapier S S D lege S an S S Vermögensposition 0 S S D > 0 3 / 40

4 Erweiterungen des Binomialmodells Wie wirkt sich die Einbeziehung von Dividendenzahlungen auf die Optionspreisbewertung aus? Spezialfall: Konstante prozentuale Dividende D: δ = D S z.b. 10% des akutuellen Aktienkurses S. Beispiel (Fortsetzung) Zweiperiodenmodell [N = 2] Betrachtet wird ein Europäischer Call auf eine Aktie 4 / 40

5 Erweiterungen des Binomialmodells Beispiel (Fortsetzung) Basispreis K = 85 Restlaufzeit 219 Tage ˆ= = 0.6 Jahre [T = 0.6] aktueller Aktienkurs S 0 = 80 Volatilität 30 % p.a. d.h. σ = 0.3 bzw. σ 2 = 0.09 risikoloser Zins 3% d.h. ˆr = 0.03 bzw. stetiger Zins r s = ln(1.03) = Dividendenzahlung zwischen t 1 und t 2 10% 5 / 40

6 Erweiterungen des Binomialmodells Beispiel (Fortsetzung) u(2) = , d(2) = und p (2) = Gemäß dem obigen Satz muss nun bei der Ermittlung der Preise für die zweite Periode im Zweiperiodenmodell die Dividendenzahlung berücksichtigt werden: u(2) 2 (1 0.1) S 0 = S t2 = u(2) d(2) (1 0.1) S 0 = d(2) 2 (1 0.1) S 0 = Für die erste Periode ändert sich nichts: { u(2) S0 = S t1 = d(2) S 0 = / 40

7 Erweiterungen des Binomialmodells Beispiel (Fortsetzung) Für den Preis einer Europäischen Call-Option ergibt sich damit: Call e[s 0 = 80, K = 85, T = 0.6] = 1 h p p (1 p ) 0 + (1 p ) 2 0 = 3.48 Will man nun eine ansonsten identische Amerikanische Call-Option bewerten, dann muss man berücksichtigen, dass bei Dividendenzahlungen der Satz von Merton (ein amerikanischer Call wird erst zum Fälligkeitszeitpunkt T ausgeübt) nicht mehr gilt. Vorzeitiges Ausüben kann nun vorteilhaft sein, d.h. der Innere Wert des Calls kann den erwarteten zukünftigen Wert überschreiten. 7 / 40

8 Erweiterungen des Binomialmodells Beispiel (Fortsetzung) Unter Berücksichtigung von Dividendenzahlungen erhält man für die Auszahlungen des Amerikanischen Calls zum Zeitpunkt t 2 : 8 < Ct a 2 = : Cuu a = max{u(2) 2 (1 0.1) S 0 K, 0} = Cud a = max{u(2) d(2) (1 0.1) S 0 K, 0} = 0.00 Cdd a = max{d(2) 2 (1 0.1) S 0 K, 0} = 0.00 Unter der Berücksichtigung vorzeitigen Ausübens erhält man zum Zeitpunkt t 1 : 8 >< Ct a 1 = >: Cu a = max{[u(2) S 0 K] + 1, (1+ˆr) 0.3 [p Cuu a + (1 p )Cud a ]} = max{9.29, 7.23} = 9.29 Cd a = max{[d(2) S 0 K] + 1, (1+ˆr) 0.3 [p Cud a + (1 p )Cdd a ]} = max{[ 17.12] +, 0.00} = / 40

9 Erweiterungen des Binomialmodells Beispiel (Fortsetzung) Damit ergibt sich für den Amerikanischen Call unter Berücksichtigung der Dividendenzahlung im Zeitpunkt t 0 : Call a[s 0 = 80, K = 85, T = 0.6] = 1 (1 + ˆr) 0.3 [p C a u + (1 p )C a d ] = 4.47 Call e[s 0 = 80, K = 85, T = 0.6] = 3.48 Amerikanische Put-Optionen Wir hatten bereits festgestellt, dass vorzeitiges Ausüben im Fall einer Amerikanischen Put-Option vorteilhaft sein kann (unabh. von Dividendenzahlungen). 9 / 40

10 Erweiterungen des Binomialmodells Es ist genau dann vorteilhaft eine Amerkanische Put-Option auszuüben, wenn der Innere Wert der Option den diskontierten erwarteten zukünftigen Wert unter dem Martingalmaß übersteigt. In einem arbitragefreien Binomialmodell mit N Perioden und konstanten Parametern u(n) und d(n) sind die N + 1 möglichen Kurse des Wertpapiers zum Zeitpunkt T = t N gleich: u(n) j d(n) N j S 0, j = 0, 1, 2,..., N. Die N + 1 möglichen Auszahlungen der Put-Option sind dann zum Fälligkeitszeitpunkt T = t N gleich den positiven Differenzen zwischen dem Basispreis K und dem Kurswerten: P a (N, j) := [ K u j d N j S 0 ] +, j = 0, 1, 2,..., N 10 / 40

11 Erweiterungen des Binomialmodells Zu jedem Zeitpunkt t j < T ist der Arbitragepreis der Amerikanischen Put-Option gleich dem Maximum zwischen dem Inneren Wert und dem erwarteten diskontierten zukünftigen Wert unter dem Martingalmaß: i = N 1, N 2,..., 0 P a (i, j) := { [K max u j d i j ] + S 0, } r(n) [p P a (i + 1, j + 1) + (1 p )P a (i + 1, j)] mit: { } T u(n) = exp σ N und { } T d(n) = exp σ N 11 / 40

12 Erweiterungen des Binomialmodells sowie p = (1 + r(n)) d u(n) d(n) ln(1 + ˆr) 0.5σ 2 T 2 σ N mit: ˆr Zins p.a. σ Volatilität p.a. Der Wert der Amerikanischen Put-Option ist dann: Put a [S 0, K, T ] = P a (0, 0). 12 / 40

13 Erweiterungen des Binomialmodells Beispiel (Fortsetzung) Betrachtet wird eine Amerikanische Put-Option (keine Dividendenzahlungen). (Zu allen übrigen Angaben siehe vorangeganges Beispiel) { } 0.6 u(n) := exp 0.3 N und { } 0.6 d(n) := exp 0.3 N p (N) ln(1.03) N S T,min = d(n) N 80 und S T,max = u(n) N / 40

14 Erweiterungen des Binomialmodells Beispiel (Fortsetzung) Preis eines Puts bei N Unterteilungen N u(n) d(n) p (N) S T,min S T,max Put e[s 0 = 80, K = 85, T = 0.6] Put a[s 0 = 80, K = 85, T = 0.6] / 40

15 Erweiterungen des Binomialmodells Exotische Optionen Die Bezeichnung Exotische Optionen umfasst Finanzverträge, deren Auszahlung neben der auf Put- und Call-Optionen zurückzuführenden Auszahlungseigenschaft von zusätzlichen Bedingungen abhängig ist. Bei Exotischen Optionen handelt es sich fast ausschließlich um Finanzverträge, die aus spezifischen Kundenbedürfnissen entstehen, also um außerbörsliche Verträge, sogenannnte OTC (over the counter) Verträge. Dies bedingt, dass neben der Vielfalt vertraglicher Ausprägungen eine nicht immer einheitliche Namensgebung für gleichartige Verträge vorzufinden ist. 15 / 40

16 Erweiterungen des Binomialmodells Pfadabhängige Optionen Hängt die Auszahlung einer Option neben dem Schlusskurs des Wertpapiers zum Ausübungszeitpunkt auch von der Kursentwicklung bis zu diesem Zeitpunkt ab, dann spricht man von pfadabhängigen Optionen. Beispiele für Exotische Optionen 1 Barrier Optionen 1 Europäischer up-and-out Put Auszahlung eines Europäischen up-and-out Put [Put u0 ]: [K S T ] + falls S t < H t [0, T ] 0 falls S t H für mindestens ein t [0, T ] 16 / 40

17 Erweiterungen des Binomialmodells 2 Europäischer up-and-in Put [Put ui ]: Auszahlung eines Europäischen up-and-in Put: [K S T ] + falls S t H für mindestens ein t [0, T ] 0 falls S t < H t [0, T ] Es gilt: Put e [S 0, K, T ] = Put uo [S 0, K, T, H] + Put ui [S 0, K, T, H] mit S t < H. 2 Look Back Optionen 1 Look Back Put [Put LB ] Auszahlung eines Look Back Put: [ sup S t S T ] + = sup S t S T 0 t T 0 t T 17 / 40

18 Erweiterungen des Binomialmodells 2 Look back Call [Call LB ] Auszahlung eines Look Back Call: [S T inf S t] + = S T 0 t T inf 0 t T S t 3 Diskrete Asiatische Optionen Bezeichnet S t den Kurs des zugrundeliegenden Wertpapiers zum Zeitpunkt t [0, T ], T das Vertragsende und T = {0 < t 1 < t 2 < < T N = T } eine Menge vorgegebener Zeitpunkte, so ist der diskrete Durschnittskurs A(T ) zum Vertragsende gleich dem arithmetrischen Mittel N A(T ) := 1 N i=1 S ti 18 / 40

19 Erweiterungen des Binomialmodells 1 Handelt es sich beim Basispreis um eine zu Vertragsbeginn festgelegte konstante Größe K dann spricht man von einer Fixed Strike Asian Option. Auszahlung eines Fixed Strike Asian Option Call [A(T ) K] + := max{a(t ) K, 0} Auszahlung eines Fixed Strike Asian Option Put [K A(T )] + := max{k A(T ), 0} 2 Wird der Basispreis aus dem Durchschnittskurs gebildet, K = A(T ), dann spricht man von einer Floating Strike Asian Option. Auszahlung eines Floating Strike Asian Option Call [S T A(T )] + := max{s T A(T ), 0} Auszahlung eines Floating Strike Asian Option Put [A(T ) S T ] + := max{a(t ) S T, 0} 19 / 40

20 Erweiterungen des Binomialmodells Beispiel N = 2 (Forts.) Für das vorangegangene Beipiel wird jetzt ein Look-Back-Put mit der Auszahlung betrachtet. [ sup S t S T ] + = sup S t S T 0 t T 0 t T sup S t S T sup S t S T Ws. uu ud du dd / 40

21 Erweiterungen des Binomialmodells Beispiel N = 2 (Forts.) Damit erhält man im Binomialmodell (N = 2) für den Preis eines Lock-Back-Puts: Put LB [S 0 = 80, T = 0.6] = 1 ( ) (1.03) 0.6 = 9.32 Für N konvergiert der Optionspreis gegen: Put LB [S 0 = 80, T = 0.6] = S 0 e rs T Φ αt 1 σ σ2 S 0 T 2r s +S σ2 1 Φ (α + σ2 )T 2r s σ T = mit: α = r s σ 2 /2. 21 / 40

22 Parameterschätzung Schätzung der erwarteten Rendite und der Volatilität Nach dem Black-Scholes-Modell (Grenzwertbetrachtung des Binomialmodells) gilt, da die Grenzwertbetrachtung für ein beliebiges Zeitintervall [t j, t j+1 ], j = 0,..., N 1, gemacht werden kann: für beliebige t 1 und t 2 mit 0 t 1 < t 2 T : ln S t2 ln S t1 N(µ(t 2 t 1 )), σ 2 (t 2 t 1 )) für beliebige t 1, t 2, t 3 und t 4 mit 0 t 1 < t 2 t 3 < t 4 T gilt: ln S t2 ln S t1 und ln S t4 ln S t3 sind stochastisch unabhängig und damit gilt: Cov (ln S t2 ln S t1, ln S t4 ln S t3 ) = / 40

23 Parameterschätzung Um die Notation zu vereinfachen (und ggf. die Verwirrung zu vergrößern) nehmen wir an, dass der Beobachtungszeitraum identisch mit der Restlaufzeit ist (dies ist natürlich vollkommener Quatsch, da wir dann schon wüssten, welcher Preis sich zum Zeitpunkt T einstellen würde, und daher eine Bewertung mit Hilfe des Modells unnötig wäre). Vorstellung: der Preisprozess verlief bereits in der Vergangenheit mit derselben stochastischen Dynamik wie in der Restlaufzeit. Vorgehensweise Teile den Beobachtungszeitraum [0, T ] in N äquidistante Teilintervalle der Länge h, d.h. h = T N, bzw. T = N h 23 / 40

24 Parameterschätzung Zu jedem Zeitpunkt t j, j = 0, 1,..., N, liegt eine Realisation des Preisprozesses vor: S tj bzw. ln S tj. Zu jedem Zeitpunkt t j, j = 1, 2,..., N, wird die stetige Periodenrendite r tj berechnet (Periodenlänge: h). Beachte: Im Folgenden werden die Größen S tj, ln S tj und r tj je nach Zusammenhang entweder als Zufallsvariable oder als deren Realisation interpretiert. r 1 (h) r 2 (h) r 3 (h) r N (h) ln S 0 ln S 1 ln S 2 ln S 3 ln S N 0 t 1 t 2 t 3 T h 2h 3h Nh 24 / 40

25 Parameterschätzung Kleinst-Quadrate-Schätzung [(O)LS-Schätzung] Annahme: r i (h) i.i.d. mit: E (r i (h)) = µh und Var (r i (h)) = hσ 2, i = 1,..., N Unbekannte Parameter: µ und σ 2. Die Rendite wird als Abweichnung von seinem Erwartungswert notiert: r j (h) = µh + ε j, j = 1, 2,..., N 25 / 40

26 Parameterschätzung mit der Störgröße ε j : E (ε j ) = 0 j = 1, 2,..., N Var (ε j ) = σ 2 h j = 1, 2,..., N Cov (ε i, ε j ) = 0, i j,, i, j = 1, 2,..., N Bestimme nun µ so, dass die Summe der quadrierten Abweichungen N j=1 ε2 j minimal ist: min µ 0 SQ(µ 0 ) = N j=1 ε 0 j 2 N = (r j (h) µ 0 h) 2 j=1 26 / 40

27 Parameterschätzung Also: Bilde die Ableitung von SQ(µ 0 ) und setze sie gleich Null: d SQ(µ 0 ) d µ 0 N = 2h (r j (h) µ 0 h) = 2h j=1 j=1 N r j (h) + 2h 2 Nµ 0 Daraus folgt als OLS-Schätzfunktion für die erwartete Rendite µ, bezeichnet mit ˆµ: N 2h r j (h) + 2h 2 N ˆµ = 0 j=1 ˆµ = 1 Nh N j=1 r j (h) = 1 Nh (ln S N ln S 0 ) 27 / 40

28 Parameterschätzung Es liegt an der Stelle µ 0 = ˆµ ein Minimum vor, da d 2 SQ(µ 0 ) = 2h 2 N > 0 d µ 02 gilt. µ 0 =ˆµ Ist die Schätzfunktion erwartungstreu (Wird im Mittel mit ˆµ der wahre (unbekannte) Parameter µ geschätzt)? Gilt also: Wenn E (ˆµ) = µ? E (ˆµ) µ heißt ˆµ verzerrte Schätzfunktion und die Differenz µ E (ˆµ) wird als Verzerrung oder Bias bezeichnet. 28 / 40

29 Parameterschätzung Hier gilt: E (ˆµ) = E = 1 Nh = 1 Nh 1 Nh N r j (h) j=1 N E (r j (h)) j=1 N hµ j=1 = Nhµ Nh = µ Damit ist ˆµ eine erwartungstreue Schätzfunktion für µ. 29 / 40

30 Parameterschätzung Ein weiteres Maß für die Güte einer Schätzfunktion ist ihre Varianz (Wie stark streut die Schätzfunktion um ihren Mittelwert, d.h. hier, da ˆµ eine erwartungstreue Schätzfunktion ist, um den wahren Parameter µ?). 30 / 40

31 Parameterschätzung Für die Varianz von ˆµ erhält man: Var (ˆµ) = Var 1 Nh N r j (h) j=1 = = 1 (Nh) 2 1 (Nh) 2 N Var (r j (h)) j=1 N σ 2 h j=1 = Nhσ2 (Nh) 2 = σ2 Nh = σ2 T 31 / 40

32 Parameterschätzung Anmerkung Die OLS-Schätzfunktion ˆµ = 1 Nh r 1(h) + 1 Nh r 2(h) Nh r N(h) ist eine lineare Schätzfunktion für µ. Unter allen erwartungstreuen linearen Schätzfunktionen µ = w 1 r 1 (h) + w 2 r 2 (h) +..., w N r N (h) mit N w j = 1 j=1 ist die OLS-Schätzfunktion, die Schätzfunktion mit der kleinsten Varianz. Man sagt auch: die OLS-Schätzfunktion ist BLUE (=Best Linear Unbiased Estimator). 32 / 40

33 Parameterschätzung Bemerkung/Beispiel: Das letzte Jahr wird in 52 Teilperioden (Wochen) unterteilt und mit Hilfe der stetigen Wochenrenditen r j (Woche) = r j (1/52) die erwartete stetige (Jahres-) Rendite µ geschätzt (insgesamt 52 Beobachtungen): ˆµ = /52 52 j=1 r j (1/52) Als Varianz für die Schätzfunktion erhält man: Var (ˆµ) = σ /52 = σ2 33 / 40

34 Parameterschätzung Nun wird das Jahr in 365 Teilperioden (Tage) unterteilt und mit Hilfe der 365 beobachteten Tagesrenditen r j (Tag) = r j (1/365) die erwartete stetige (Jahres-) Rendite µ geschätzt: ˆµ = / r j (1/365) j=1 Als Varianz für die Schätzfunktion erhält man wieder: Var (ˆµ) = σ /365 = σ2 D.h. obwohl nun mehr Beobachtungen zur Schätzung von µ verwendet wurden, hat sich die Präzision des Schätzers nicht vergrößert (bzw. die Varianz verkleinert). 34 / 40

35 Parameterschätzung Der Mittelere quadratische Fehler (Mean Square Error) einer Schätzfunktion ˆθ: ( MSE = E [ˆθ θ] 2) ) ) = Var (ˆθ + [E (ˆθ θ] 2 = Varianz+Bias 2 Im Fall der OLS-Schätzfunktion ist der MSE gleich der Varianz des Schätzers. In manchen Fällen lassen sich die Kleinen-Stichproben-Eigenschaften für eine Schätzfunktion (z.b. Erwartungstreue) nicht angeben, und man ist daher an den asymptotischen Eigenschaften der Schätzfunktion, also den Eigenschaften der Schätzfunktion, wenn der Beobachtungsumfang gegen unendlich strebt, interessiert. 35 / 40

36 Parameterschätzung 1. Eine Schätzfunktion ˆθ N heißt asymptotisch erwartungstreu, wenn ) lim (ˆθN E = θ N gilt. 2. Eine Schätzfunktion ˆθ N heißt MSE-konsistent, wenn ) [ )] 2 lim MSE(ˆθ N ) = lim (ˆθ Var N + lim θ E (ˆθ N = 0 N N N gilt, also, wenn die Varianz für N verschwindet und die Schätzfunktion asymptotisch erwartungstreu ist. 36 / 40

37 Parameterschätzung Bemerkung/Beispiel (Fortsetzung) Für ˆµ gilt: Var (ˆµ) = σ2 Nh = σ2 T D.h. die Varianz konvergiert nur dann gegen Null, wenn T gegen unendlich strebt. Schätzung der Varianz (Volatilität) r j (h) = hµ + ε j Als Schätzfunktion für σ 2 wird (zunächst) σ 2 = 1 Nh N j=1 (r j (h) hˆµ) 2 = 1 Nh N r j (h) 2 hˆµ 2. j=1 37 / 40

38 Parameterschätzung angesetzt (= Mittel der quadrierten Abweichungen). Zur Erwartungstreue von σ 2 : Es gilt: ( Var (r j (h)) = E r j (h) 2) [E (r j (h))] 2 Daraus folgt: ( E r j (h) 2) = hσ 2 + h 2 µ 2 Desweiteren gilt: Var (ˆµ) = E (ˆµ 2) [E (ˆµ)] 2, und somit: E (ˆµ 2) = σ2 Nh + µ2 38 / 40

39 Parameterschätzung Daraus folgt bzgl. der Erwartungstreue von σ 2 : E ( σ 2) = 1 Nh N ( hσ 2 + h 2 µ 2) ( σ 2 h j=1 Nh + µ2 ) = σ 2 + hµ 2 hσ2 hn hµ2 = N 1 N σ2 Demzufolge ist σ 2 zwar keine erwartungstreue so doch eine asymptotisch erwartungstreue Schätzfunktion für σ 2, denn es gilt: lim E ( σ 2) N 1 = lim N N N σ2 = σ / 40

40 Parameterschätzung Demnach ist eine unverzerrte Schätzfunktion für σ 2 gegeben mit: ˆσ 2 = = N N 1 σ2 1 (N 1)h N (r j (h) hˆµ) 2. j=1 40 / 40

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